ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

Национальный  исследовательский  ядерный университет  «МИФИ»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ И 
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

 

КАФЕДРА № 31 «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

 
 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к учебно-исследовательской  работе и курсовому проекту на тему:

 
 
 
 

Группа  _____Т7-31_____

 

Студент __________________________ ( ____Воробьева М.В._____ )

                                            (подпись)                                        (фио)

 

Руководитель  проекта ______________ ( ____Савельев В.В._______ )   

                                            (подпись)                                        (фио)

Оценка __________________________________________________

Члены комиссии __________________ ( _______________________ )   

                                            (подпись)                                        (фио)

                             __________________ ( _______________________ )

                                            (подпись)                                        (фио)

                             __________________ ( _______________________ )

                                            (подпись)                                        (фио)

                             __________________ ( _______________________ )

                                            (подпись)                                        (фио)

 
 

Москва 2010

Оглавление

Введение3

Аналитическая часть4

Устойчивость динамических систем 7

Постановка задачи курсового проекта 8

Методы и алгоритмы  решения 9

1.1 Метод Рунге-Кутта  4-ого порядка9

1.2 Алгоритм решения  уравнения sin-Gordon11

Поведение решения  системы Лоренца 12

Заключение 13

Список  литературы 14

Приложения  15

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

 

  Теория  хаоса определяется как раздел математики, изучающий поведение сложных  нелинейных динамических систем. В  естествознании под динамической системой понимается система, которая развивается  во времени, при этом может меняться как состав ее элементов, так и  принципы их взаимодействия друг с  другом. Динамические системы могут быть линейными и нелинейными. Все части линейных систем слабо взаимодействуют между собой, оставаясь практически независимыми друг от друга. Реакция таких систем на внешнее воздействие легко прогнозируема. Что же касается нелинейных систем, то их поведение не укладывается в одну теоретическую схему и в различные периоды может быть непредсказуемо.

Основные инструменты  теории хаоса – это аттракторы и фракталы.

Аттрактором (от лат. притягиваю) называется такое идеальное состояние системы, к которому она стремится прийти в результате своего развития. Какими бы ни были начальные параметры, с течением времени они будут стремиться к определенным значениям или множествам значений – аттракторам.

Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова.

Целью работы является численное исследование первого изученного с точки зрения теории хаоса аттрактора - аттрактора Лоренца с помощью метода Рунге-Кутта 4-ого порядка в среде Delphi. А так же изучение поведения странного аттрактора с изменением параметров системы Лоренца.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
--- 
 
 
 
 
 
 
 

  Аналитическая часть

 

  Аттрактор представляет собой – геометрическую структуру, характеризующую поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

  Фазовое пространство – это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Самым простым типом аттрактора является точка.

  Аттрактор - совокупность внутренних и внешних условий, способствующих "выбору" самоорганизующейся системой одного из вариантов устойчивого развития; идеальное конечное состояние, к которому стремится система в своем развитии. Пространство внутри аттрактора, в котором каждая частица (система), туда попавшая, постепенно смещается в заданном направлении, называют "зоной аттрактора". Различают простые и странные аттракторы. При состояниях системы, определяемых простым аттрактором, траектория развития системы является предсказуемой. При состояниях системы, определяемых странным аттрактором, "становится невозможным определить положение частиц (их поведение) в каждый данный момент.

Аттракторы бывают регулярными и нерегулярными.

Регулярными аттракторами принято считать: 
1. устойчивые (асимптотически устойчивые) особые точки  
2. устойчивые (орбитально асимптотически устойчивые) предельные циклы  
3. устойчивые инвариантные торы

Аттрактор-точка  возникает в диссипативных динамических системах (грубо говоря, в системах, где присутствует трение). Точки  фазового пространства, соответствующие  нулевому значению скорости и локальному минимуму потенциальной энергии, являются устойчивыми точками притяжения траекторий. 
Определение. В динамических системах возможна ситуация, когда малое отклонение от траектории-цикла приводит к траектории, которая со временем сколь угодно мало отклоняется от траектории-цикла. Такие циклы называются предельными циклами или асимптотически устойчивыми циклами.

Известно, что  дифференциальные уравнения на плоскости  могут иметь только регулярные аттракторы первых двух типов (особые точки и  предельные циклы). Дифференциальные уравнения  в многомерных фазовых пространствах (начиная с трёхмерных) могут иметь  странные аттракторы, не являющимися  объединением или пересечением гладких  многообразий.

Странный аттрактор — это аттрактор, не являющийся регулярным. Среди странных аттракторов часто встречаются хаотические аттракторы, в которых прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией.

Аттрактор Лоренца  рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три  начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца  ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом. Смоделировав свою систему  на компьютере, Лоренц выявил причину  ее хаотического поведения – разницу  в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к  экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому  расхождению. Вместе с тем, любой  аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости – возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации. В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. Скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора. Таким образом, основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.

Аттрактор Лоренца  был найден в численных экспериментах  Лоренца, исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы. Система Лоренца является одной из наиболее простых и универсальных моделей поведения системы, значительно удалённой от равновесного состояния. Впервые такая система была предложена для описания конвекции атмосферного слоя в вертикально распределённом поле температуры. В простейшем виде такое поведение представляется дифференциальными уравнениями:

 

которые определяют временные зависимости скорости конвективного потока , разности температур на противоположных границах слоя и отклонение градиента температур от постоянного значения. Для дальнейших расчетов параметры принимают значения:

σ= 10, r = 28 и b = 8/3

При данных значениях в системе устанавливается  хаотический автоколебательный  режим.

Эта система  вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b, но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

• Конвекция в замкнутой петле
• Вращение водяного колеса
• Модель одномодового лазера (например, одночастотный лазер)
• Диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью.

Обозначим физический смысл переменных и параметров в  системе уравнений применительно  к упомянутым задачам:

• Конвекция в плоском слое. x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z — за распределение температуры по горизонтали и вертикали. r — нормированное число Рэлея, σ — число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b — содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
• Конвекция в замкнутой петле. x — скорость течения, y — отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на π/2, z — то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
• Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
• Одномодовый лазер. x — амплитуда волн в резонаторе лазера, y — поляризация, z — инверсия населённостей энергетических уровней; b, σ — отношение коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r — интенсивность накачки.

Исходная гидродинамическая  система уравнений:

,

где - скорость течения, T - температура жидкости, T₀ - температура верхней границы (на нижней поддерживается T₀ + ΔT ), ρ - плотность, p - давление, - сила тяжести, γ,χ,ν - соответственно коэффициент теплового расширения, температуропроводности и кинематической вязкости.

В задаче о конвекции  модель возникает при разложении скорости течения и температуры  в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник.

Устойчивость динамических систем

   
Устойчивость характеризует одну из важнейших черт поведения систем. Понятие устойчивости применяется для описания постоянства какой-либо черты поведения системы, понимаемого в весьма широком смысле. Это может быть постоянство состояния системы (его неизменность во времени) или постоянство некоторой последовательности состояний, «пробегаемых» системой в процессе ее движения. 
Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к равновесному состоянию или циклическому режиму после устранения возмущения, вызвавшего нарушения последних. 
Устойчивость есть категория, относящаяся, прежде всего, к собственным движениям системы, порождаемым начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями. 
Состояние равновесия, в которое система способна возвращаться, называют устойчивым состоянием равновесия. 
Состояние устойчивости (устойчивое состояние) - это такое равновесное состояние системы, в которое, она возвращается после снятия возмущающих воздействий. 
 
Об устойчивости и всевозможных движениях системы можно судить по фазовому портрету. Фазовый портрет в окрестности произвольной неподвижной точки принадлежит одному и только одному из трех типов точек: 
1) асимптотически устойчивой; 
2) нейтрально устойчивой; 
3) неустойчивой. 
Точная и строгая формулировка понятия устойчивости применительно к состоянию равновесия динамической системы была дана выдающимся русским ученым A.M. Ляпуновым: 
Неподвижная точка системы А называется устойчивой (или аттрактором), если для любой крестности N точки а существует некоторая меньшая окрестность этой точки N' ⊂ N, такая, что любая траектория, проходящая через N', остается в N при возрастании t.

 
В более широком понятии аттрактор  определяется следующим образом: 
Аттрактор (от лат. attraho - притягивать к себе) - область устойчивости, куда стремятся траектории в фазовом пространстве.

 
Аттракторы могут быть обычными точками в фазовом пространстве, а могут иметь более сложную  топологию, являясь, к примеру, замкнутыми кривыми (так называемыми предельными  циклами). 
Неподвижная точка системы А называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и, кроме того, существует такая окрестность N точки, где любая траектория, проходящая через N, стремится к а при t →∞. 
Любая асимптотически устойчивая неподвижная точка устойчива. Но не каждая устойчивая неподвижная точка является асимптотически устойчивой.  
Неподвижная точка системы а, которая устойчива, но не асимптотически устойчива, называется нейтрально устойчивой.  
Неподвижная точка системы, которая не является устойчивой, называется неустойчивой (или репеллером). 
Репеллер (от лат. repellо — отталкивать) — область в фазовом пространстве, где траектории, даже начинающиеся очень близко от особой точки, отталкиваются от нее. 
Это значит, что существует такая окрестность N неподвижной точки, что для любой окрестности N' ⊂ N имеется по крайней мере одна траектория, которая проходит через N' и не остается в N.

Постановка  задачи курсового  проекта.

1. Дана система дифференциальных уравнений Лоренца:

 

с фиксированными известными параметрами σ= 10 и b = 8/3 и начальным значением параметра r = 28. Необходимо построить модель странного аттрактора Лоренца, а также зависимости динамических переменных от времени .  Решить систему с помощью метода Рунге-Кутта 4-ого порядка и исследовать поведение системы при различных значениях параметра .

 

2. По выполнению первой задачи, была дана следующая задача на решение уравнения sin-Gordon’а:

u_tt - u_xx =sin( u)

• Используя схему «Крест» получить решения уравнения типа «кинка»: any γ>0

 

Начальные данный для задачи Коши взять из точного решения

(*)

(**)

• То же для «бризерного» решения

 

• То же для  решения

 

Для данной задачи был разработан алгоритм решения для проведения дальнейшей работы.

 
 
 

Методы  и алгоритмы решения

1.1.Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка

Для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные  методы их решения.

Численное решение  на отрезке [a, b] задачи Коши  
y' = f(x, y), y(a) = y0  
состоит в построении таблицы приближенных значений  
y₀, y₁, ..y_i, ..yN  
решения y(x) в узлах сетки  
a=x₀ < x₁ < ...< x_i < ...< x_N=b, y(x_i)= y_i.  
Если x_i = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.

 
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для  вычисления решения в точке x₀ + h используется информация о решении только в точке x₀. Методом Рунге-Кутты 4-ого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты.

Метод позволяет  решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка  следующего вида:

 
       , 
       ,     и т.д., 
которые имеют решение: 
 
       , 
       ,      и т.д., 
 
где t – независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. – искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. – заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно дифференциальное уравнение – частный случай системы  с одним элементом. Поэтому, далее  речь пойдет для определенности о  системе уравнений.

Метод может  быть полезен и для решения  дифференциальных уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они  могут быть представлены системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Метод Рунге-Кутта  заключается в рекурентном применении следующих формул: 
        
        
      ...

 
 

 
где 
       , 
       , 
       , 
       , 
       , 
       , 
       , 
       .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2.Алгоритм решения уравнения sin-Gordon.

1. Вводим сетку (n,j) с шагом h по оси x, и с шагом τ по оси t. Где j-нумерация слоев по оси x, а n-по оси t.

2. Совершаем переход от дифференциальной задачи к разностной.

 

3. Из начального условия получаем все , у которых n=0, т.е. , получаемого из уравнения (*) Эти решения записываем в предварительно созданный файл.

4. Следующим этапом будет нахождение при n=1. Используем уравнение (**). Также записываем найденные решения в файл.

5. Вычисляем для n=2,3,… по пункту 2).

Таким образом, получаем решения для всех n слоёв сетки.

 

При помощи компьютерной программы, написанной с  использованием языка программирования Delphi, мы находим численно все решения и получаем таблицу решений. 

Таблица далее может быть использована для  построения графиков зависимости  (x) от x для определенных слоёв n для каждого из начальных условий.

Поведение решения системы Лоренца

Рассмотрим изменения  в поведении решения системы  Лоренца при различных значениях  параметра r.

• — аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.
• — траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется  структура из вращающихся валов  жидкости.

• — если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку — возникают две гомоклинические петли (Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия).
• — в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel - отталкивать).
• — траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам — возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений .

Необходимые графики указаны в приложениях.

При больших  значениях параметра траектория претерпевает серезные изменения. Шильников  и Каплан показали, что при очень  больших r система переходит в  режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться  переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

 
 
 

Заключение

В процессе данной работы была изучена система дифференциальных уравнений Лоренца. С помощью численного метода Рунге – Кутта 4-ого порядка получено решение данной системы уравнений.

 Графически  исследовано поведение системы  в зависимости от различных  параметров. Полученные данные совпали  с ожидаемыми теоретическими.

Был разработан алгоритм для дальнейшего решения  и исследования уравнения sin-Gordon’а.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Г. Шустер Название: Детерминированный хаос Издательство: Мир, Москва 1988
2. КУЗНЕЦОВ С. П. Динамический хаос (курс лекций).--М.: Издательство Физико-математической литературы , 2001
3. Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. Изд.: Мир; Год: 1988.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложения

Странный аттрактор : σ= -10  b = 8/3 r = 28

 

 

 

.