Структурная схема системы передачи и исходные данные

                                                                                                     

Содержание

 

1. Структурная схема системы передачи и исходные данные…………………………………………………………2

 

2. Источник сообщений…………………………………………3

 

3. Дискретизатор…………………………………………………5

 

4. Кодер…………………………………………………………...8

 

5. Модулятор……………………………………………………..11

 

6. Канал связи……………………………………………………16

 

7. Демодулятор………………………………………………….19

 

8. Декодер………………………………………………………..22

 

9. Фильтр-восстановитель………………………………………24

 

10. Литература…………………………………………………29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Структурная схема системы передачи и исходные данные

 

Объектом расчета является цифровая система передачи непрерывных сообщений с импульсно-кодовой модуляцией (ЦСП с ИКМ) по каналу с шумом. Структурная схема системы  приведена на рис.1 и включает в себя источник сообщений (ИС), дискретизатор (Д), кодирующее устройство ( Кодер ), модулятор (Мод), линия связи (ЛС), демодулятор (Дем), декодер (Дек) и фильтр-восстановитель (ФВ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Структурная  схема цифровой системы передачи сообщений

 

Исходные данные:

интервал  значений передаваемого сообщения a(t)                       (a_min ,   a_max );

a_min-== -3,2 В

           a_max=   3,2 В

полоса частот сообщения F_c=3,4 КГц

номер передаваемой кодовой  комбинации j=24;

вид модуляции АМ;

спектральная  плотность мощности шума N₀=5,49*10^-7                                                                 

 

способ приема                                    2 - некогерентный

 

Затем в соответствии с приведенными далее пунктами  рассчитываются характеристики указанных  элементов и системы в целом.

2. Источник  сообщений

 

Непрерывное сообщение, поступающее от источника ИС и представленное первичным электрическим сигналом в форме напряжения a(t), является  стационарным случайным процессом, мгновенные значения  которого    распределены равномерно в интервале (a_min ,   a_max), а энергетический спектр  сосредоточен в полосе частот от 0 до 3,4 КГц.

 

2.1.Запишем  аналитическое выражение и построим  график одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения a(t).  

Так как a(t) непрерывная случайная величина  на интервале (-3,2; 3,2) , то она распределена по закону равномерной плотности:

 

                        

 

                        

График плотности распределения  имеет вид рис.2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Нахождение интегральной  функции распределения сообщения

 

Интегральная  функция распределения  сообщения определяется:

                                         

Найдем функцию  распределения  для рассматриваемого случая:

 

1) ;                             1/B

2)           =0,156            

       ;           

 

3) ;                      

                 

График интегральной функции распределения рис.2.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Расчет значения математического ожидания m_a и дисперсии   сообщения a(t).

 Математическое ожидание рассчитывается по формуле:

 

;

Итак, m(a)=0, так как a(t) центрированный процесс (величина a

находится в симметричных пределах)

 

Дисперсия равномерно распределенной величины находится по формуле:

                                         

 

                                                               ( В²)

 

 

 

 

 

 

3. Дискретизатор

     

Дискретизатор преобразует  сообщение в последовательность  отсчетов, взятых с интервалом по времени  . Затем каждый отсчет квантуется по уровню  (напряжению) с равномерным шагом.

Da =0,1 B.

 

 

3.1 Определение максимально допустимого  интервала дискретизации по времени .

   По теореме Котельникова  интервал дискретизации определяется  из соотношения:

 

Возмем максимально допустимый интервал

 

3.2.Число  уровней квантования L

которое может поместиться  в заданном интервале значений

(a_min ,   a_max )

 

                                  ;

 

                                      ;

 

Итак,  L=64

 

 

3.3.Средняя  мощность шума квантования.

Так как сообщение a(t) имеет равномерное распределение, то все его значения, попадающие в интервал между двумя соседними уровнями равновероятны. Значит, шум квантования распределен равномерно в интервале . Его плотность вероятности определится:

 

                           

 

 

 

                            

Формула для определения  средней мощности шума квантования соответствует определению дисперсии шума квантования¹

 

 

Итак,

 

 

 

3.4.Отношение средних мощностей сигнала и шума квантования.

Мощности  первичного сигнала и шума квантования  определяются как их дисперсии:

 

                                 

                          

                                  

Таким образом, отношение сигнал-шум  на входе дискретизатора ρ=4096

 

 

3.5.Рассматривая  дискретизатор, как источник  дискретных сообщений с объемом алфавита L, определим его энтропию H(A) и производительность H^’(A) при условии, что отсчеты, взятые через интервал  , статистически независимы.

 

При заданном равномерном законе распредедения  мгновенных значений a(t) и выбранном способе квантования вероятности всех уровней квантованного сообщения равны:

 

Под энтропией источника  сообщений понимается среднее количество информации, приходящееся на один символ источника. Энтропия определяется по формуле² :

                           (*)

Возмем в формуле (*) логарифм по основанию 2, чтобы энтропия измерялась в бит/символ, тогда

Итак, H(a)=6  бит/символ

 

Производительность источника  определяется скоростью выдачи символов длительностью ∆t , равной интервалу дискретизации.

                             , где

- скорость выдачи символов

Итак, .

 

 

 

 

4. Кодер

 

      Кодер обеспечивает  представление квантованных по  уровню отсчетов сообщения помехоустойчивым двоичным кодом. Эта операция осуществляется  в два этапа. На  первом из них производится примитивное кодирование: каждый  уровень квантованного сообщения представляется комбинацией k-разрядного равномерного  двоичного кода (b_k,b_k-1,...,b₁). На втором этапе из них формируются комбинации  кода с одной проверкой на четность: к каждой исходной комбинации добавляется один проверочный символ, получаемый в результате суммирования всех ее символов по модулю 2.

Сформированная таким образом  кодовая комбинация (b_k+1, b_k, b_k-1,..., b₁) имеет в итоге n = k+1 разрядов и представляется на выходе кодера двуполярным сигналом b(t) в виде последовательности импульсов со значениями +1 и -1                        (синхронным двоичным случайным сигналом). При этом символ «1» представляется значением b(t)=1, а символ «0» - значением b(t)= -1.

 

4.1.Определение числа разрядов примитивного кода k, необходимого для кодирования всех L уровней  квантованного сообщения.

 

Запишем соотношение, определяющее число  всевозможных комбинаций из m-элеиентов длиной k:

 

                                        L=m^k ,         где

 L- объем алфавита,

m-основание кода,

k-число разрядов кода.

Из этого соотношения находим  число разрядов примитивного кода:

                                       ,

m=2, так как здесь рассматривается двоичный код.

, то есть 64 уровня дискретного  сообщения  можно представить шестипозиционным двоичным кодом.

 

4.2.Нахождение избыточности r_к кода с одной проверкой на четность.

 

Избыточность кода находится по формуле³:

                               

 

Для линейного кода с одной проверкой  на четность общее количество символов n=k+1=7, объем алфавита L=64. Избыточность кода равна

 

4.3.Нахождение комбинации примитивного двоичного кода, соответствующую  передаче j-го уровня, считая, что она представляет собой запись числа j в двоичной  системе счисления.

 

Номер передаваемой кодовой комбинации j=24.

Представим число 24 в двоичной системе счисления:

символы шестиразрядного примитивного кода

 

                               

0	1	1	0	0	0
b6	b5	b4	b3	b2	b1

4. Запись кода с проверкой на четность.

Проверочный символ b₇ образуется путем суммирования по модулю 2 всех информационных символов, то есть . В данном случае b₇=0. Он прибавляется к исходной комбинации слева. В итоге получаем комбинацию помехоустойчивого кода с одной проверкой на чётность.

 

5. Определение числа двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени (скорость манипуляции) v_k   и длительности передачи символа (тактовый интервал синхронного двоичного сигнала) T.

 

Длительность  передачи символа определяется:

;       

Скорость манипуляции  равна:

 

                                

 

5. Модулятор

 

      В этом блоке осуществляется модуляция гармонического несущего колебания u_ген(t) = U_mcos2pft первичным сигналом b(t), представляющим передаваемую последовательность двоичных символов, как это описано выше. В последующих расчетах следует принять U_m=1В, f๐=100 v_k.

В данном варианте используется амплитудная  модуляция, результате чего двоичные символы представляются следующими высокочастотными сигналами. Символам “0” и “1” соответствуют элементы сигнала длительностью T вида

  u₀(t)=0,  u₁(t)=U_mcos2pft (система сигналов с пассивной паузой).

 

1.  Временные диаграммы первичного (модулирую-щего) сигнала b(t), представляющего кодовую комбинацию j-го уровня сообщения (b_k+1, b_k, b_k-1,..., b₁), как это описано в п.4,  и соответствующего модулированного  сигнала u(t) (с учетом заданного вида модуляции).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Аналитическое выражение  модулированного сигнала          u(t), связывающее его с первичным сигналом b(t).

 

Аналитическое выражение имеет  вид:

При передаче «1» b(t)=1, тогда

Здесь

Функция корреляции случайного стационарного  синхронного двоичного сигнала  имеет вид⁴

                            

В данном случае T=21 мкс, h²=1 B

                            

График функции корреляции представлен на рис.5.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4.Аналитическое выражение и  диаграмма спектральной плотности мощности (энергетического спектра) сигнала, G_b(f).

 

Выражение для энергетического  спектра G_b(f) записывается в виде⁵:

T=21 мкс, h²=1 B, тогда расчетная формула для построения диаграммы имеет вид:

Полученные значения сведены в таблицу 5.1.

Таблица 5.1.

	0	1/4T	1/2T	3/4T	1/T	3/2T	2/T	5/2T	3/T
, кГц	0	11.9	23.8	35.7	47.6	71.4	95.2	119	142.9
	20	16	8	1.8	0	0.9	0	0.3	0

 

Диаграмма спектральной плотности мощности сигнала b(t) изображена на рис.5.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.5. Определение ширины DF_b энергетического спектра G_b(f) по  правилу, согласно которому учитывается определенное число a «лепестков» спектра. Число a=1

 

Согласно правилу: DF_b  =a/Т=47,6 КГц

Полученное значение показано на энергетической диаграмме рис.5.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Аналитическое выражение и  диаграмма энергетического спектра модулированного сигнала.

 

Аналитическое выражение представляется в виде⁷:

 

Энергетический спектр сигнала при амплитудной модуляции получается путем сдвига спектра первичного сигнала на несущую частоту с умножением его на константу и с добавлением компоненты в виде d-функции на несущей частоте.

Расчетное выражение  для построения диаграммы имеет  вид:

 

Диаграмма энергетического спектра модулированного сигнала изображена на рис.5.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При построении диаграммы рис.5.7 были использованы данные таблицы 5.1. Значения G_u(f) уменьшены в 2 раза по сравнению с G_b(f) , энергетический спектр смещен вправо на несущую частоту f๐. Также на частоте f๐ появилась несущая

частот колебаний.

 

8. Определение полосы частот (ширины энергетического спектра) модулированного сигнала DF_u.

 

Ширина энергетического спектра  модулированного сигнала DF_u определяется полосой частот основного “лепестка”, то есть β=2

               DF_{u =} 2/Т=95,2 КГц

 

 

Полученное  значение показано на диаграмме спектра G_u(f).

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Канал связи

 

      Полученный в результате модуляции высокочастотный сигнал u(t) передается по каналу связи с постоянными параметрами и аддитивной помехой. Предполагается, что частотные характеристики канала выбраны таким образом, что сигнал в нем только затухает без искажений  формы и  временного рассеяния. С выхода такого канала на вход приемного устройства поступает смесь

z(t)=s(t)+n(t)

где s(t)–полезный сигнал на выходе канала, связанный с переданным сигналом u(t) известными соотношениями, n(t)– аддитивная помеха, приведенная к выходу канала.

Аддитивная помеха n(t) представляет собой флуктуационный гауссовский шум с равномерным энергетическим спектром N₀/2 (белый шум).

Заданы значения коэффициент передачи канала k=1/10, ) и спектра шума N₀ .

1. Аналитическое выражение, связываюшее входной и выходной сигналы в заданном канале.

 

Сигнал на выходе канала  с неизвестной фазой сигнала и аддитивным шумом можно представить в виде:

,      где

- переданный сигнал,

  - преобразование Гильберта от ,

  случайная фаза,

τ- время задержки при распространении сигнала по каналу связи.

 

 

2. Нахождение мощности шума на выходе  канала P_ш .

 

  Полосу пропускания канала F_K принята равной полосе частот модулированного сигнала DF_u., найденной в п.5: F_K=DF_u.

Так как рассматривается канал  с белым гауссовским шумом, то мощность шума определится по формуле:

                                       

где   - спектральная плотность мощности шума.

Возмем 

Тогда,

 

 

3. Расчет отношения мощностей сигнала и шума на выходе канала P_с/P_ш

Для синусоидальных сигналов, которые  используются в рассматриваемой системе, мощность сигнала определяется формулой:

P_c = (P_c0 + P_c1)/2,

где  P_ci = U_si²/2          (i=0; 1)

Здесь U_si – амплитуда элемента сигнала s_i(t) на приемной стороне, связанная с амплитудой переданного сигнала u_i(t) коэффициентом k.

 

 

Так как по условию задана система  АМ с пассивной паузой, то

P_{c0 =} 0 и P_{c1 =} U_si²/2=

P_{c= 0,0025}   

Отношение сигнал-шум на выходе канала:

                        

 

 

4. Определение пропускной способности непрерывного канала С΄.

 

Определим пропускную способность канала по формуле  Шеннона⁸:

                 

          

Получили H^’(A)< С΄, то есть для данного канала существуют методы передачи при которых можно получить сколь угодно малую вероятность ошибки.

 

5. Расчет эффективности использования пропускной способности непрерывного канала K_C, определяемую как отношение производительности  источника сообщений H^’(A) к пропускной способности непрерывного канала С.

 

K_C= H^’(A)/ С΄      , H^’(A)=40800 бит/с

Тогда K_{C =0,122}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Демодулятор

 

      В демодуляторе осуществляется оптимальная  некогерентная  обработка принимаемой смеси сигнала с шумом z(t), целью которой является вынос решения о переданном символе.

1. Общее решающее правило различения (приема) сигналов m-позиционного кода (при условии равенства их априорных вероятностей) в заданном канале, оптимальное по критерию идеального наблюдателя (минимума средней вероятности ошибки).

 

 

Решающее правило по критерию идеального наблюдателя записывается:

   >

-функция правдоподобия i-й гипотезы, а

j-й гипотезы.

Если все символы передаются равновероятно, то правило примет вид:

>1, i¹ j

Решение о том , что передавался  символ , должно приниматься, если для всех  i¹ j выполняются m-1 неравенств. Иначе можно записать :

                       

 

2. Алгоритм  приема двоичных сигналов с амплитудной модуляцией в канале с белым гауссовским шумом.

 

Для двоичной системы с пассивной паузой, полагая, что  символ «0» передается сигналом S₀(t)=0, алгоритм оптимального некогерентного приема (1) упрощается

 

 

Алгоритм  приема сигналов с пассивной паузой имеет вид:

                                    V₁- λ > 0,                   (2)

 

где порговый уровень                         λ=N₀/2k₀f(k₀E₁/N₀)

 

Функция f(k₀E₁/N₀) обратна функции LnI₀(k₀E₁/N₀)

I₀(x)-функция Бесселя

    При выполнении неравенства  (2) (V₁ становится больше порога) регистрируется символ “1”, в противном случае символ “0”.

 

 

 

 

7.3. Структурная схема оптимального демодулятора, реализующего  алгоритм (2).

 

На  рис. 7 приняты обозначения блоков:

 

С Ф- согласованный фильтр;     

Д О- детектор огибающей;

Н У- нелинейное устройство;

В У- вычитающее устройство;

С С В- схема сравнения и выбора;

З У –запоминающее устройство

 

 

 

 

7.4. Расчет средней вероятности ошибочного приема символа p.

 

При некогерентном приеме амплитудно модулированного сигнала средняя  вероятность ошибочного приема определяется формулой:

 

                 P=0,5 ,           где β=1/2,

-отношение энергии активного элемента принятого сигнала к спектральной плотности шума.

                          

                   

 

7.5.Определение изменения энергии сигналов при частотной и относительной фазовой модуляции при сохранении полученной вероятности ошибки p.

 

Для системы ЧМ энергия определится  из уравнения:

 

 

 

 

Получили, что при некогерентном приеме частотномодулированного сигнала  энергетический выигрыш по сравнению с амплитудно модулированным, равен 2.

 

Для системы ОФМ:

,

то есть энергетический выигрыш системы ОФМ относительно системы АМ , равен 4, а относительно системы ЧМ , равен 2.

 

 

8. Декодер

 

      Процесс декодирования в рассматриваемой системе осуществляется в два этапа. На первом этапе производится обнаружение ошибок в принятой кодовой комбинации. Если ошибки не обнаружены, то на втором этапе комбинации символов в  k информационных разрядах ставится в соответствие  элемент (квантованное значение отсчета) принятого сообщения .  .В случае обнаружения ошибок принимаются меры к их.

 

 

8.1. Обнаруживающая способность q_о заданного кода (7, 6) с одной проверкой на четность.

 

Под обнаруживающей способностью кода понимают максимальную кратность ошибок, то есть число ошибочно принятых разрядов кодовой комбинации q_о, которые позволяет исправлять или обнаруживать данный код.  Код с одной проверкой на четность имеет лишь один проверочный символ в кодовой комбинации, формируемый суммированием по модулю два всех информационных символов. Если число единиц в кодовой комбинации четное, то проверочный символ «о», если нечетное, то «1».

Минимальное расстояние по Хеммингу определяется минимальным числом единиц по всем кодовым комбинациям (кроме нулевой).

Для кода с одной проверкой на четность dmin = 2, так как если n-1 информационных символов кодовой комбинации имеют вес, равный 1, то проверочный символ будет «1», следовательно, вес этой кодовой комбинации равен двум.

Таким образом, код (n, n-1), в данном варианте (7,6), позволяет обнаруживать одиночные ошибки в кодовой комбинации, так как q_{о =} dmin–1=1 (dmin =2) и выполняется неравенство:

 

q _< dmin           ₍₂₎  

 

Условие (2) является условием обнаружения  запрещенной комбинации, то есть ошибки.

 

8.2. Алгоритм обнаружения  ошибок.

 

Для обнаружения ошибок в данном коде достаточно определить контрольный  символ в месте приема. Если суммирование принятой комбинации по модулю два в результате даст единицу, то произошла ошибка, если «о», то ошибки нет или она не обнаружена, так как код с одной проверкой на четность обнаруживает ошибки нечетной кратности: 3, 5, 7 и т.д.

Для кодовой комбинации, рассматриваемой  в данном варианте:

на приеме

       0      0 1 1 0 0 0       ошибок нет

 

проверочный            информационные

 

 

     0      0 0 1 0 0 0       произошла ошибка

 

     0      0 0 1 1 0 0       ошибка не онаружена

 

Другим примером линейного кода является код Хемминга (7,4), dmin =3. Такой код позволяет обнаруживать все одиночные ошибки и двойные ошибки или исправлять все одиночные ошибки в схеме декодирования с испрвлением.

Код Хемминга (7,4) содержит только 4 информационных символа, поэтому общее число  разрешенных комбинаций равно 2⁴=16.

Три остальных разряда – проверочные  и определяются соотношениями:

 

b₅=b₁⊕b₂⊕b₃

  b₆=b₂⊕b₃⊕b₄                       (3)

b₇=b₁⊕b₃⊕b₄

⊕- знак сложения по модулю два.

Таким образом, каждый из информационных символов участвует  хотя бы в одной проверке. Равенства(3) используются как проверочные при приеме кодовой комбинации. Если один из элементов принят неверно, то равенства, в которых он содержится, не выполняются. Возможны семь случаев неправильного принятия элемента. (Если не выполняются все три равенства, то ошибочно принят b₃).

В данном коде двойные ошибки обнаруживаются, но не исправляются.

 

 

 

8.3. Расчет вероятности  необнаруженной ошибки p_но.

 

Вероятность необнаруженной ошибки определяется как вероятность появления ошибки кратности q, необнаруженной данным кодом.

 Эта вероятность вычисляется  по формуле⁹:

 

Где  n-длина кодовой комбинации;

        q-кратность ошибки

В данном варианте n=7, q=2, =5.6 , поэтому

 

 

 

9.Фильтр-восстановитель

 

Этот элемент предназначен для восстановления непрерывного сообщения  по сформированным, как описано выше, отсчетам ^.и представляет собой фильтр нижних частот (ФНЧ). В предположении, что использован идеальный ФНЧ с частотой среза F_c

 

9.1.Определение значения F_c , при котором обеспечивается теоретически точное восстановление непрерывного сообщения.

 

Непрерывный сигнал может быть восстановлен по своим отсчетам с помощью идеального ФНЧ, частота среза которого, F_c определяется выбранным интервалом дискретизации △t в соответствии с теоремой Котельникова.

Для идеального ФНЧ можно взять 

Fc = FB = 3.4   - верхняя граничная частота.

 

2.  АЧХ и ФЧХ фильтра-восстановителя.

 

АЧХ идеального ФНЧ равномерна и определяется:

 

 

Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 9.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фазо-частотная характеристика идеального ФНЧ линейна:

        

   , где τ- время задержки сигнала в ФНЧ

Пусть           

 

График ФЧХ изображен на рис.9.2.