Структурный анализ кривошипно-ползунного механизма
- Структурный анализ кривошипно-ползунного механизма
2.1. Структурная схема механизма
Рис 2.1 Структурная схема кривошипно-
2.2. Выявление сложных и разнесенных кинематических пар
В кривошипно-ползунном механизме разнесенных кинематических пар нет. Пара В сложная, поэтому будем её считать за две кинематические пары.
2.3. Классификация кинематических пар механизма
Таблица 2.1
№ п/п |
Номера звеньев, образующих пару |
Условное обозначение |
Название |
Подвижность |
Высшая/ Низшая |
Замыкание (Геометрическое/ Силовое) |
Открытая/ Закрытая |
1 |
0 – 1 |
Вращательная |
1 |
Н |
Г |
З | |
2 |
1 – 2 |
Вращательная |
1 |
Н |
Г |
З | |
3 |
2 – 3 |
Вращательная |
1 |
Н |
З | ||
4 |
3 – 0 |
Вращательная |
1 |
Н |
Г |
З | |
5 |
3 – 4 |
Вращательная |
1 |
Н |
Г |
З | |
6 |
4 – 5 |
Вращательная |
1 |
Н |
Г |
З | |
7 |
5 – 0 |
Поступательная |
1 |
Н |
Г |
З |
Исследуемый механизм состоит только из одноподвижных кинематических пар (р1 = 7, р = 7), где р1 – число одноподвижных кинематических пар в механизме, р - общее число кинематических пар в механизме.
2. 4. Классификация звеньев механизма
Таблица 2.2
№ п/п |
Номера звена |
Условное обозначение |
Название |
Движение |
Число вершин |
1 |
Стойка |
Отсутствует |
- | ||
2 |
1 |
Кривошип |
Вращательное |
2 | |
3 |
2 |
Шатун |
Сложное |
2 | |
4 |
3 |
Кулиса |
Вращательное |
3 | |
5 |
4 |
Шатун |
Сложное |
2 | |
6 |
5 |
Ползун |
Поступательное |
2 |
Механизм имеет: четыре ( ) двухвершинных ( ) линейных звена 1,2,4,5; одно (n3=1) трёх вершинное звено, которое является базовым звено ; пять ( ) подвижных звеньев.
звеньев.
Находим число присоединений к стойке. Механизм конвейера имеет три ( ) присоединения к стойке.
В исследуемом сложном механизме можно выделить один элементарный механизм
Рис. 2.2. Элементарный механизм
и два простых, один из которых является шарнирным четырехзвенником,
Рис. 2.3. Шарнирный четырехзвенник
а второй является кривошипно-ползунным механизмом
Рис. 2.4 Кривошипно-ползунный механизм.
Механизмов с разомкнутыми кинематическими
цепями в исследуемом кривошипно-
Механизм имеет в своем составе только простые стационарные механизмы.
В исследуемом механизме звеньев закрепления нет. Звено 3 одновременно входит в два простых механизма – шарнирный четыхзвенник и кривошипно-ползунный. Значит, для этого звена
Классифицируем механизм. Исследуемый механизм имеет постоянную структуру, является сложным и однотипным. Он состоит из одного элементарного механизма и двух стационарных простых, которые имеют в своем составе только замкнутые кинематические цепи.
Механизм существует в трехподвижном пространстве .
Формулы для определения подвижности этих механизмов примут вид соответственно:
Определим подвижность шарнирного четырехзвенника. Этот механизм имеет: три ( ) подвижных звена 1,2,3; четыре ( ) одноподвижные кинематические пары O, A, B, C.
Найдем подвижность кривошипно-
Определяем подвижность сложного механизма по формуле:
Проводим анализ структурной модели механизма станка. Проверяем, соответствует ли исследуемый механизм структурой математической модели. Механизм имеет: семь ( ) одноподвижных кинематических пар; пять ( ) подвижных двухвершинных ( ) звена, базовым является ; три присоединения к стойке ( ) и нет звеньев закрепления ( ).
Математическая модель:
;
Получим:
Так как уравнения модели превратились в тождества, то исследуемое устройство имеет правильную структуру и является механизмом.
Выделим и проведем классификацию структурных групп. Элементарный механизм условно отнесен к механизму I класса.
Класс структурной группы определяется числом кинематических пар, входящих в замкнутый контур, образованный внутренними кинематическими парами. Порядок группы определяется числом внешних кинематических пар. Вид группы определяется в зависимости от места размещения на ней вращательных и поступательных кинематических пар.
№ |
Структурная схема |
Номера звеньев |
Класс, порядок, вид |
|
|
0-1 |
1 класс | |
2-3 |
II класс 2-порядок 1-вид | ||
3 |
4-5 |
II класс 2-порядок 1-вид |
Видно, что выделенные структурные группы полностью подобны по видовому и количественному составу звеньев и кинематических пар. Каждая из структурных групп имеет: два подвижных звена ( ), причем звенья двухвершинные ( ) и, значит, базовое звено также имеет две вершины ( ); три ( ) одноподвижные кинематические пары, из которых две внешние ( ).
Проверяем, соответствуют ли выделенные структурные группы математическим моделям. Так как группы подобны, то проверку выполняем только по одной группе, например, OAB. Математические модели структурных групп имеют вид:
где j = 0, 1, 2,… - целочисленный индекс; n¢ - общее число звеньев в структурной группе; nt¢ - число t – вершинных звеньев в группе; S¢ - число внешних кинематических пар, которыми группа присоединяется к механизму и стойке; T - звено структурной группы, у которого наибольшее число вершин.
Для обеих структурных групп:
Анализ полученных выражений показывает, что выделенные кинематические цепи являются структурными группами Ассура.
Кривошипно-ползунный механизм относится ко II классу.
3. Кинематический анализ
Кинематический анализ
любого механизма состоит в
3.1 Определение крайних (мертвых) положений механизма
Крайние (мертвые) положения механизма можно определить аналитически или графически. Так как аналитика дает более высокую точность, то при определении крайних положений ей отдается предпочтение.
Для кривошипно-ползунного и шарнирного
кривошипно-коромыслового
Рис. 3.1 Определение крайних положений механизма.
3.2 Определение положений звеньев
механизма графическим
Рис. 3.2 Определение положений звеньев механизма.
3.3 Определение положений звеньев и точек механизма аналитическим методом.
Применим метод замкнутых
Рис. 3.3 Построение замкнутых векторных контуров.
Структурную схему механизма располагаем
в прямоугольной системе коорди
Для контура OABCO: (3.1)
Представим уравнение в
(3.2)
Среди величин, входящих в уравнения (3.2) переменными являются углы , и . Угол является обобщенной координатой механизма, и поэтому задан. Из уравнений (3.2) подлежат определению переменные и . Анализ показывает, что эти уравнения сложны для решения. Для упрощения нахождения углов и вместо одного сложного контура OABCO рассмотрим два простых OACO и ABCA. Для этого введем в рассмотрение вспомогательный вектор , соединяющий точки A и C. При этом получим:
Составим уравнение (3.3) в проекциях на оси координат:
( 3.5)
Из уравнений (3.5) находим угол наклона вектора
и его модуль
Углы и находим из уравнения (3.4), записав его в проекциях на оси координат:
(3.8)
Слагаемые, содержащие угол , переносим в правые части уравнения, возводим оба уравнения в квадрат и складываем. После преобразования получим:
Обозначим , откуда
(3.10)
где . В этих выражениях угол между векторами и (рис. 3.3).
Определяем угол из уравнения (3.8):
Уравнение замкнутости второго контура имеет вид:
или в проекциях на оси координат
(3.13)
Учитывая, что и что , тогда из второго уравнения (3.13) находим :
Из первого определяем его модуль:
Для определения положения точек и записываем уравнения замкнутости контуров и :
Из уравнения (3.15) и (3.16) находим координаты центров масс звеньев 2 и 4:
(3.17)
(3.18)
3.4 Определение аналогов
Определение кинематических свойств механизма, когда закон движения начального звена еще не известен, производится с помощью кинематических характеристик, называемых аналогами скоростей, которые не зависят от времени, а являются функциями обобщенной координаты.
Так как аналоги скоростей не зависят от времени, то принимаем рад/с.
Аналитическое определение аналогов скоростей основано на дифференцировании по обобщенной координате уравнений (3.2) - (3.13). Получим:
(3.19)
где - аналог угловой скорости звена 1, принимаем , т. к. угловая скорость звена 1 направлена по ходу часовой стрелки; , - аналоги угловых скоростей звеньев 2 и 3.
(3.20)
Решая совместно (3.19) находим
и , вычтя из аргументов всех тригонометрических функций первого уравнения угол :
Из второго уравнения (3.20) определяем , так как , тогда
из первого находим проекцию :
Аналоги скоростей центров масс звеньев 2 и 4 получаем в проекциях на оси координат, дифференцируя по обобщенной координате уравнения (3.17) и (3.18):
3.5 Определение
аналогов ускорений
Аналитическое определение аналогов ускорений основано на дифференцировании по обобщенной координате уравнений (3.19) и (3.20):
В этих уравнениях , , - аналоги угловых ускорений звеньев 2, 3, 4; - аналог абсолютного ускорения ползуна D.
Для определения и решаем систему (3.27) обычным методом или, что проще, в первом уравнении системы (3.27) из аргументов всех тригонометрических функций вычитаем угол :
откуда
Из второго уравнения
Из уравнений (3.28) находим и соответственно:
(3.32)
Дифференцируя по обобщенной координате уравнения (3.25) и (3.26), определяем аналоги ускорений центров масс звеньев 2 и 4 в проекциях на оси координат:
По полученным формулам находим аналоги скоростей и ускорений интересующих точек и звеньев. Результаты расчетов на расчетное положение сводим в таблицы () и ().
3.6 Построение плана скоростей механизма.
Так как аналоги скоростей и ускорений не зависят от закона изменения обобщенной координаты, принимаем
Так как начальное звено совершает вращательное движение, то скорость точки A:
Из полюса плана p – откладываем отрезок pa=50мм, изображающий вектор скорости A (Рис. 3.4).
Рис. 3.4 Построение плана скоростей
Подсчитаем масштабный коэффициент скоростей:
Для определения скорости точки B раскладываем плоскопараллельное движение звена 2 на переносное (поступательное) вместе сточкой A и относительное (вращательное) вокруг точки B. С другой стороны, точка B находится в относительном движении вокруг неподвижной точки C. Поэтому
(3.35)
Уравнение (3.35) решаем графически. Через точку a проводим линию, перпендикулярную BA, а через полюс p – линию, перпендикулярную BC, до их пересечения в точке b. Векторы pb и ab изображают искомые скорости и .
Скорость точки D определяем аналогично, то есть раскладываем плоскопараллельное движение звена 4 на переносное (поступательное) вместе с точкой B и относительное (вращательное) вокруг точки B. С другой стороны, точка D находится в относительном движении относительно горизонтали x. Поэтому
(3.36)
Уравнение (3.36) решаем графически. Через точку b проводим линию, перпендикулярную DB, а p – горизонталь, до пересечения в точке d. Векторы pd и bd изображают искомые скорости и .
Положения точек и на плане скоростей находим, воспользовавшись теоремой подобия:
Векторы и изображают скорости и . Скорость точки равна скорости точки D.
Из плана скоростей для расчетного положения находим
Определяем аналоги линейных и угловых скоростей:
В табл. Приведены значения аналогов скоростей, полученные графическим и аналитическим методами.
Таблица 3.1
Результаты расчета аналогов скоростей.
Величина |
||||||||
|
Графически |
- |
- |
- |
- | ||||
Аналитически |
||||||||
D% |
- |
- |
- |
- |
3.7 Построение плана аналогов
ускорений кривошипно-
Задачу решаем путем построения плана ускорений, считая постоянной величиной.
Определяем ускорение точки A. Полное ускорение точки A равно нормальной составляющей , которая направлена по линии OA к центру O:
Из полюса p откладываем вектор, изображающий ускорение точки A, в виде отрезка pa=50 мм (рис.).
Определяем масштабный коэффициент ускорений:
Для определения ускорения точки B записываем два векторных уравнения, рассматривая движение этой точки в начале со вторым звеном, а затем с третьим:
(3.37)
Нормальное ускорение определяем по формулам:
Отрезки, изображающие в миллиметрах векторы этих ускорений равны:
Вектор направлен вдоль линии BA от точки B к точке A – центру относительного вращения звена, а вектор - по линии к центру C. Через точки и плана ускорений проводим направления векторов касательных ускорений, пересечение которых определяет точку b – конец вектора искомого ускорения точки B.
Для определения ускорения точки D используем векторное уравнение:
(3.38)
Нормальное ускорение определяем по формуле:
Отрезок, изображающий в миллиметрах вектор этого ускорения равен:
Вектор направлен вдоль линии DB, от точки D к точке B – центру относительного вращения звена 4, а вектор – по горизонтали. Через точку проводим вектор касательного ускорения, пересечение и
определяет точку d – конец вектора искомого ускорения точки D.
Ускорения точек и находим, используя теорему подобия. Точки и делят отрезки ab и bd пополам. Ускорение точки равно ускорению точки D.
Из плана ускорений находим:
Направления угловых скоростей и ускорений звеньев для расчетного положения показан на плане положений механизма.
Учитывая, что , находим:
В таблицу сводим значения аналогов ускорений, полученных графическим и аналитическим методами для расчетного положения.
Таблица 3.2
Результаты расчета аналогов ускорений.
Величина |
||||||||
|
Графичеки |
- |
- |
- |
- | ||||
Аналттически |
||||||||
D% |
- |
- |
- |
- |