Сутність адаптивних моделей прогнозування

ПЛАН

Вступ

1. Сутність адаптивних моделей прогнозування
2. Особливості методу адаптивного згладжування Брауна
3. Характеристика адаптивної моделі за методом Хольта

Висновки

Список використаної літератури

ВСТУП

Актуальність теми. При  короткостроковому прогнозуванні зазвичай важливіша динаміка розвитку досліджуваного показника на кінці періоду спостережень, а не тенденція його розвитку, що склалася в середньому на всьому періоді передісторії. Властивість динамічності розвитку фінансово-економічних процесів часто переважає над властивістю інерційності. Тому ефективнішими є адаптивні методи, що враховують інформаційну нерівнозначність даних.

Адаптивні моделі і методи мають механізм автоматичного налаштування на зміну досліджуваного показника. Інструментом прогнозу є модель, первинна оцінка параметрів якої проводиться за декількома першими спостереженнями. На її основі робиться прогноз, який порівнюється з фактичними спостереженнями. Далі модель корегується відповідно до величини помилки прогнозу і знов використовується для прогнозування наступного рівня, аж до вичерпання всіх спостережень. Таким чином, модель постійно "вбирає" нову інформацію, пристосовується до неї і до кінця періоду спостереження відображає тенденцію, що склалася на даний момент. Прогноз виходить як екстраполяція останньої тенденції. У різних методах прогнозування процес налаштування (адаптації) моделі здійснюється по-різному. Базовими адаптивними моделями є: Модель Брауна та Модель Хольта.

Модель Брауна - модель експоненціального згладжування - є  однією з моделей адаптивних прогнозування, що набула поширення в застосуванні. Проте, результати її застосування на практиці свідчать, що дана модель є недосконалою, оскільки вона однопараметрична, що значно обмежує її можливості в прогнозуванні. Тому найбільш прийнятною моделлю для прогнозування є адаптивна модель Ч. Хольта.

Метою роботи є дослідження  особливостей моделей адаптивного  прогнозування Брауна та Хольта.

1. СУТНІСТЬ АДАПТИВНИХ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗУВАННЯ

Адаптивне прогнозування  дає змогу автоматично змінювати константу згладжування в процесі обчислення. Інструментом прогнозування в адаптивних методах є математична модель з одним чинником «час».

Адаптивні моделі прогнозування — це моделі дисконтування даних, які здатні швидко пристосовувати свою структуру й параметри до зміни умов. Найважливіша особливість їх полягає у тому, що це саморегулювальні моделі, й у разі появи нових даних прогнози оновлюються із мінімальною затримкою без повторення спочатку всього обсягу обчислень.

Нехай ми перебуваємо в якомусь  поточному стані, для якого відомий поточний рівень ряду  й очікуване значення . Залежно від закладеної у модель гіпотези формування сподіваних значень розрізняють моделі адаптивних сподівань, неповного коригування, раціональних сподівань. Методи розрахунку доволі складні, тож розглянемо лише підхід до цієї проблеми.

Схему такого процесу представлено на рис. 1.1

Рис. 1.1 Схема побудови адаптивних моделей[5, с. 275]

Після надходження фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між фактичним і прогнозованим рівнем (довготермінова функція моделі): .

У моделі передбачається, що зміна  фактичного рівня є деякою часткою ( ) від очікуваної зміни . Параметр  називається коригувальним коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності під час вибору параметра адаптації можна взяти мінімум середнього квадрата помилок прогнозування. Чим ближчий  до одиниці, тим більше сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля — тим менше володіємо ситуацією, тому треба вносити корективи.

Помилка прогнозу через зворотний  зв’язок надходить до моделі та враховується залежно від прийнятої  системи переходу від одного стану  до наступного. В результаті з’являються  «компенсаційні» зміни, які дають змогу коригувати параметри моделі з метою більшого узгодження поведінки моделі з динамікою ряду. Наприклад, бажане значення  якогось економічного показника визначається рівнянням:

                             (1.1)

де залишки  є «білим шумом» і не корелюють із t. Фактичне значення на момент tyt не співпадає із бажаним значенням, але буде пристосовуватися до нього за таким правилом:

                      (1.2)

де   — білий шум. Із (1.2) випливає, що на кожному кроці t рівень ряду yt,буде коригуватися в напрямі очікуваного значення  на величину, пропорційну різниці між бажаним і поточним рівнями економічного показника. Співвідношення (1.2) можна переписати у вигляді експоненціальної середньої першого порядку:

                         (1.3)

з чого видно, що поточне  значення величини yt є зваженим середнім бажаного рівня на даний момент часу та фактичного значення в попередньому періоді. Підставляючи значення (1.1) в (1.3), маємо модель коригування прогнозу:

                 (1.4)

Це співвідношення називають  короткотерміновою функцією моделі. 
Таким чином, адаптація здійснюється ітеративно з одержанням кожної нової фактичної точки ряду. Модель постійно «всмоктує» інформацію й розвивається з урахуванням нових тенденцій, наявних на теперішній момент. Завдяки зазначеним властивостям адаптивні методи найуспішніше використовують для оперативного прогнозування[1, с. 97].

У практиці статистичного прогнозування  базовими адаптивними моделями вважаються моделі Брауна і Хольта, які належать до схеми ковзної середньої, та модель авторегресії. Решта адаптивних методів (метод адаптивної фільтрації (МАФ), метод гармонійних ваг тощо) розрізняються за способом оцінювання параметрів моделі та визначенням параметрів адаптації базових моделей.  

2. ОСОБЛИВОСТІ МЕТОДУ АДАПТИВНОГО ЗГЛАДЖУВАННЯ БРАУНА

Метод Брауна є узагальненням  методу простого експоненціального  згладжування.

Розглянемо постановку задачі експоненціального  згладжування в загальному випадку. Нехай часовий ряд   ( ) можна описати моделлю виду , де  — функція тренду,  — випадкові взаємонезалежні похибки із нульовим середнім значенням і сталою дисперсією, що розподілена нормально розподіленою із нульовим математичним сподіванням і дисперсією [3, с. 102].

Своєю чергою, функцію   можна розкласти в ряд Тейлора, тобто описати поліномом -го порядку

.         (2.1)

Потрібно за даними ряду  зробити прогноз на моменти часу ( ) ( ) шляхом зважування спостережень ряду  так, щоб пізнішим спостереженням надати більшу вагу, ніж попереднім. Прогноз рівнів ряду  на період часу , де  також можна побудувати за допомогою розкладення в ряд Тейлора:

,      (2.2)

де   — -та похідна, взята в момент t.

Згідно із теоремою, доведеною  Р. Брауном та Р. Майєром, будь-яка  -та похідна ( ) рівняння (2.1) може бути виражена через лінійні комбінації експоненціальних середніх до ( ) порядку. Головною метою експоненціального згладжування при цьому є обчислення рекурентних виправлень до оцінок коефіцієнтів  рівняння виду (2.1).

Так, експоненціальна  середня 1-го порядку для ряду  записується, як

,                        (2.3)

де   — параметр згладжування ( ).

Експоненціальна середня -го порядку для ряду  записується як

.                   (2.4)

Для визначення експоненціальної середньої використовують таку рекурентну формулу:

.              (2.5)

Тобто в розрахунку нової  експоненціальної середньої беруть попередню експоненціальну середню  та частку  від різниці між новим спостереженням і його попереднім згладженим значенням.

Покажемо, як обчислюється експоненціальна  середня для моменту часу t із раніше згладжених величин. Візьмемо, наприклад, експоненціальну середню першого порядку:

 (2.6)

Тут  — величина, що характеризує початкові умови.

Отже, функція (2.6) є лінійною комбінацією всіх попередніх спостережень. Ваги, які надаються минулим рівням , зі збільшенням  спадають за геометричною прогресією. Тому коефіцієнт  можна тлумачити як коефіцієнт дисконтування, що характеризує ступінь знецінення інформації з плином часу, а  — як вагу поточного спостереження .

Наприклад, якщо параметр згладжування , то для моменту часу ( ) вага для відповідного спостереження буде дорівнювати 0,3 (1 – 0,3) = 0,21; для спостереження в момент ( ) вага становитиме 0,3 (1 – 0,3)2 = 0,147; для моменту ( ) — відповідно 0,1029 тощо.

Виходячи з рекурентної  формули, можна отримати експоненціальні середні різних порядків:

                   (2.7)

де   — експоненціальна середня k-го порядку в точці t. 
Знаючи експоненціальні середні різних порядків, можна визначити оцінки параметрів у розкладенні (1.1) і, відповідно, прогнозові значення рівнів динамічного ряду.

Метод експоненціального згладжування можна узагальнити на випадки будь-якого ступеня полінома для вираження невипадкової складової часового ряду, але, як свідчить досвід, перевищення другого ступеня полінома не так збільшує точність прогнозу, як значно ускладнює процедуру розрахунків. Тому зазвичай розглядають три такі моделі Брауна[6, с. 29].

Модель нульового порядку описує часовий ряд , у якому відсутні тренд і сезонні коливання, а процес (1.1) представлено у вигляді

,                                (2.8)

де   — невідомий незалежний від часу параметр, що характеризує поточний рівень ряду.

Модель першого порядку описує лінійну тенденцію

,                             (2.9)

де   — параметр, значення якого характеризує середню останнього рівня ряду;  — параметр, що характеризує приріст наприкінці періоду спостереження, а також (хоча меншою мірою) швидкість зростання на попередніх періодах.

Модель другого порядку описує параболічну тенденцію зі змінюваними швидкістю та прискоренням:

,                     (2.10)

де   — параметр, значення якого характеризує поточний приріст або прискорення.

Зазначимо, що розглянуті моделі експоненціального  згладжування різних порядків можна  представити як окремі випадки ARIMA(p,d,q)-моделі.

Припустімо, що похибки прогнозу  є незалежними й однаково розподіленими. Тоді, підставляючи у (3.3.19)  для експоненціальної середньої першого порядку матимемо модель: . Оскільки: , то остаточно модель запишеться як: .

Підставляючи   замість  та позначивши , отримаємо: , тобто прийшли до моделі  або, якщо початковий ряд представити за допомогою оператора перших різниць L: , маємо ARIMA (0, 1, 1)-модель: .

Модель лінійно-адитивного тренду можна представити ARIMA (0, 2, 2)-моделлю:

 з коефіцієнтами ковзної середньої  —   та .

Порядок моделі прийнято визначати або на підставі візуального  аналізу графіка процесу (чи існує  тренд і чи близький він до лінійної функції), знання законів розвитку характеру  зміни досліджуваного явища, або методом випробувань, порівнюючи статистичні характеристики моделей різного порядку на ділянці ретроспективного прогнозу.

Оцінювання параметрів моделей на кожному кроці прогнозування t ( ) здійснюється за так званими формулами «оновлювання» (див. табл. 3.3.5), які використовують похибку прогнозу, обчислену в момент часу ( ) на один крок уперед ( ). Початкові значення параметрів моделей можна визначити за методом найменших квадратів, використовуючи кілька перших спостережень. Оптимальне значення коефіцієнта дисконтування перебуває у межах [0;1], визначається методом числової оптимізації і не змінюються для всього періоду спостережень.

Таблиця 2.1

Основні формули для прогнозування за адаптивним методом Брауна[5, с. 279]

Точковий прогноз розраховують після підстановки значення  в оцінювану модель. Межі інтервалу надійності прогнозу можна визначити за формулою:

,                             (2.11)

де величини  обчислюють індивідуально для моделей різних порядків (формули розрахунку  наведено в табл. 2.1).

Наприклад, побудувати прогноз кількості населення в Україні за лінійною моделлю Брауна. Ряд містить 24 рівні спостережень  цього показника (табл. 2.2).

Таблиця 2.2

Оцінки параметрів моделі Брауна[5, с. 280]

Скористаємося схемою адаптивного  прогнозування. Початкові оцінки параметрів одержимо МНК за першими п’ятьма  точками: , .  
Візьмемо , а параметр згладжування  В табл. 3.3.6. наведено розрахунки параметрів моделі Брауна на кожному кроці. На останньому кроці одержуємо модель . Прогнозовані оцінки за цією моделлю розраховують підстановкою у неї значень  та , а інтервальні — за формулою:   , де За розрахунками ; С(1) = 1,365; С(2) = 1,855.  
Інтервальні оцінки прогнозів дорівнюють:  та .

На рис. 2.1 показано результати згладжування й прогнозування за побудованою моделлю.

Рис. 2.1 Результати згладжування та прогнозування за адаптивною моделлю  Брауна[5, с. 280]

Ряд 1 відповідає фактичним  даним, ряд 2 — розрахованим за моделлю  Брауна, при цьому вказано точкові прогнози на два роки вперед.

3. ХАРАКТЕРИСТИКА АДАПТИВНОЇ МОДЕЛІ ЗА МЕТОДОМ ХОЛЬТА

 Адаптивна модель  за методом Хольта — це динамічний  процес у вигляді лінійно-адитивного  тренду:

                               (3.1)

де   — прогнозована оцінка рівня ряду , яка розраховується в момент часу  на  кроків уперед,

 — оцінка поточного ( -го) рівня часового ряду,

 — оцінка поточного приросту.

Припускається, що випадкові  залишки е мають нормальний закон розподілу із нульовим математичним сподіванням та дисперсією .

У цьому методі послаблені умови однопараметричності моделі Брауна за рахунок уведення двох параметрів згладжування —  та , ( ).

Коефіцієнти лінійної моделі за методом Хольта розраховують за такими співвідношеннями:

,                           (3.2)

,                               (3.3)

де еt — похибка прогнозу рівня , обчислена в момент часу (t-1) на один крок уперед, .

Коефіцієнт   має значення, близьке до останнього рівня, і становить закономірну складову цього рівня; коефіцієнт  — визначає приріст, що склався наприкінці періоду спостережень, але характеризує також швидкість зростання показника попередніх етапах. Початкові значення параметрів моделі знаходять за методом найменших квадратів на підставі кількох перших спостережень. Оптимальні значення параметрів згладжування  та  визначають методом багатовимірної числової оптимізації, вони є сталими для всього періоду спостереження[2, с. 138].

Після оцінювання параметрів  та  прогноз на ? моментів часу, тобто , розраховують як суму оцінки середнього поточного значення ( ) та очікуваного показника зростання ( ), помноженого на період випередження ?, тобто

.                                (3.4)

За допомогою оператора L можна зрушити всю послідовність даних на один крок назад: . Застосування оператора  до спостережень і коефіцієнтів моделі Хольта дає змогу представити її як модель ARIMA (0, 1, 1)у вигляді:

.           (3.5)

Формулювання адаптивних моделей у термінах лінійних параметричних моделей ARMA (авторегресії — ковзної середньої) — уможливлює також тлумачення їх як підмножини класу лінійних параметричних моделей. Отже, встановлюється відповідність між двома різними підходами до моделювання часових рядів.

ВИСНОВКИ

Таким чином, при побудові прогнозів в умовах економічної  нестабільності, як свідчить досвід останніх років, найбільш ефективними виступають адаптивні методи прогнозування, які враховують нерівноцінність часових рядів.

Адаптивні методи прогнозування  – це моделі дисконтування даних, які здатні швидко адаптувати свою структуру і параметри до зміни  зовнішніх умов.

Моделі Брауна та Хольта відносяться до схеми ковзаючого середнього. Численні адаптивні методи ґрунтуються на цих моделях і розрізняються між собою способом числової оцінки параметрів, визначення параметрів адаптації і компонуванням.

Згідно із схемою ковзаючого середнього, оцінкою поточного рівня є зважене середнє всіх попередніх рівнів, причому ваги при спостереженнях зменшуються в міру віддалення від останнього (поточного) рівня, тобто інформаційна цінність спостережень тим більша, чим ближче вони до кінця періоду спостережень.

У основу методу адаптивного  згладжування Брауна покладена ідея, що можна задати деякий параметр г такий, що зважена сума відхилень між спостережуваними і очікуваними значеннями стає мінімальною.

Метод Холта заснований на оцінці параметра - мірі ступеня  лінійного зростання або падіння показника в часі. При цьому чинник зростання оцінюється по коефіцієнту, який у свою чергу, обчислюється як експоненціально зважене середнє різниць між поточними експоненціально зваженими середніми значеннями процесу і їх попередніми значеннями.

Характерна особливість  даного методу - обчислення поточного  значення експоненціально зваженого середнього включає обчислення минулого показника зростання, адаптуючись, таким чином, до попереднього значення лінійного тренда.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Економіко-математичне   моделювання:   Навчальний   посібник   /   За   ред.   О.   Т.  Іващука. - Тернопіль: ТНЕУ «Економічна думка», 2008. - 704 с.
2. Лук’яненко І. Г., Городніченко Ю. О. Сучасні економетричні методи у фінансах. — К.: Літера ЛТД, 2002.
3. Наконечний C. І. , Терещенко Т. О., Романюк Т. П. Економетрія: Навч. посібник. — К.: КНЕУ, 1997.
4. Науменко В., Панасюк Б. Впровадження методів прогнозування і планування в умовах ринкової економіки. — К.: Глобус, 1995.
5. Присенко Г.В., Равікович Є.І. Прогнозування соціально-економічних процесів: Навч.  посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 378 с.
6. Прогнозування і розробка програм. (Методичні рекомендації) / За ред. В. Ф.Бесєдіна. — К.: Науковий світ, 2000.
7. Холден К., Піл Д. А., Томпсон Дж. Л. Економічне прогнозування: Вступ. — К.: Інформтехніка, ЕМЦ, 1996.
8. Черняк О. І., Ставицький А. В. Динамічна економетрика: Навч. посібник. — К., 2000.