Свойства правильных многогранников
Содержание
Введение…………………………………………………………
1..Определение правильного многогранника.
Виды правильных многогранников…………………………………………
1.1.Тетраэдр и его свойства…………………………………………...….5
1.2 .Гексаэдр и его свойства…………………………………….……..10
1.3.Октаэдр и его свойства ………………………………………...…..13
1.4.Икосаэдр и его свойства………………………………………...…..
1.5. Додекаэдр и его свойства…………………………………………..19
2.Формула Эйлера…………………………………………………………..
3. Доказательство существования пяти правильных многоугольников..24
4 Полуправильные многогранники………………………………………….
Заключение……………………………………………………
Список используемой литературы………………………………………….31
Введение
Мир наш исполнен симметрии. С древних времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона до Евклида, до Эйлера и Коши.
Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого « тетраэдр», «октаэдр», « гексаэдр», « додекаэдр», «икосаэдр» означают: «четырехгранник», « восьмигранник», « шестигранник», «двенадцатигранник». Этим красивым телам посвящена 13-я книга «Начал» Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр-воду, т.к. он самый «обтекаемый»; куб- землю, как самый «устойчивый»; октаэдр- воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе « все сущее», символизировал все мироздание, считался главным.(7,с340)
Актуальность данной темы можно объяснить тем, что человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности- от маленького ребенка, который играет с кубиками, до взрослого человека. Некоторые многогранники встречаются в природе в виде кристаллов или вирусов, пчелы строят соты в виде шестиугольников.
Правильные многогранники сами по себе очень интересные фигуры. Знание свойств многогранников может помочь при решении задач, в том числе с практическим содержанием. Одно из самых главных свойств -это симметрия, благодаря ей многогранники выглядят так красиво и необычно. Поэтому многогранники могут использоваться для развития пространственного воображения у учащихся.
1.Определение правильного многогранника.
Виды правильных многогранников.
МНОГОГРАННИК, часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника
Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству
Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:
- все его грани – конгруэнтные правильные многоугольники;
- к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.
Если все грани – правильные р-
Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются «правильными звездчатыми многогранниками». Условимся такие многогранники не рассматривать, а под правильными многогранниками мы будем понимать исключительно выпуклые правильные многогранники.
Существует пять видов правильных многогранников (рис 1.)
рис.1
Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.
Рассмотрим эти многогранники поподробнее.
1.1.Тетраэдр и его свойства.
Тетраэдр (от «тетра»-четыре и греческого «hedra» - грань) — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Два ребра тетраэдра, которые не имеют общих вершин, называются противоположными.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.
Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
У каждого из пяти платоновых тел
можно определить следующие математические
характеристики:
1. Радиус сферы описанной вокруг многогранника;
2. Радиус сферы вписанной в многогранник;
3. Площадь поверхности многогранника;
4. Объем многогранника.
Определим эти характеристики для тетраэдра.
Радиус описанной сферы тетраэдра
,где а- длина стороны.
Радиус вписанной сферы тетраэдра
Площадь поверхности тетраэдра
Объем тетраэдра
Свойства правильного тетраэдра:
- Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
- Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180º
- В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
- Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше ребер правильного тетраэдра
- Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
- Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
- Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
Приведем примеры использования свойств многогранника при решении задач.
Задача 1.
Доказать, что скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.
Решение:
Пусть DH – высота правильного тетраэдра, точка H – центр правильного ΔABC. Тогда проекцией отрезка AD на плоскость основания ABC будет отрезок BH. Т.к. BH^AC, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная BD ^ AC.
Задача 2.
Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. найдите расстояние между прямыми AL и МО, где L-середина ребра МС, О-центр грани АВС.
Решение:
1. Расстояние между двумя
2.Строим проекцию AK отрезка A
3. Найдем SΔKHA двумя способами.
SΔ= .
С другой стороны: SΔKHA=
поэтому ρ .
Найдём ON: ρ = .
Задача 3.
Каждое ребро треугольной пирамиды PABC равно 1; BD – высота треугольника ABC . Равносторонний треугольник BDE лежит в плоскости, образующей угол ϕ с ребром AC , причём точки P и E лежат по одну сторону от плоскости ABC . Найдите расстояние между точками P и E .
Решение. Поскольку все рёбра пирамиды PABC равны, это правильный тетраэдр. Пусть M– центр основания ABC , N – ортогональная проекция вершины E равностороннего треугольника BDE на плоскость ABC , K – середина BD , F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на высоту PM тетраэдра PABC . Так как EK BD , то по теореме о трёх перпендикулярах NK BD , поэтому EKN – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BDE , а т.к. NK || AC , то EKN = ϕ . Далее имеем:
BD = , MD = , KD = , BD = , PM = ,
KM = KD - MD = - = , EK = BD· = , EN = EK sin ϕ = sin ϕ,
NK = EK cos ϕ = cos ϕ, MN2 = NK2 + KM2 = cos 2ϕ + ,
PE2 = EF2 + PF2 = MN2 + (PM - MF)2 = MN2 + (PM - EN)2 =
= cos 2ϕ + + ( - sin ϕ)2 = cos 2ϕ + + - sin 2ϕ=
= + + - sin ϕ = - sin ϕ = - sin ϕ.
Следовательно,
PE = = .
1.2.Гексаэдр и его свойства.
Гексаэдр ( от греческого ,,гекса” – шесть и ,,hedra” – грань) — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,,cubus”; от греческого ,,kubos”).
Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270.Куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
Свойства куба:
- Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
- В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным.
- В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
- Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
- В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле Где d - диагональ, а - ребро куба.
Математические характеристики куба
Радиус описанной сферы куба
Радиус вписанной сферы куба
Площадь поверхности куба
Для наглядности площадь поверхности куба можно представить в виде площади развёртки.
Объем куба
Рассмотрим задачи, при решении которых используются свойства куба.
Задача 1. В кубе с ребром a найти угол между ребром и диагональю ,не пересекающей его грани.
Решение: Грань, не пересекающая ребро куба, параллельна ему. Следовательно угол между диагональю этой грани и ребром, равен углу между диагональю параллельной грани (содержащей это ребро) и самим ребром. То есть 45o.
1.3.Октаэдр и его свойства.
Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань)- правильный многоугольник составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников.
Сумма плоских углов
при каждой вершине равна 240 градусов.
Таким образом, октаэдр имеет 8 граней,
6 вершин и 12 ребер.
Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Математические характеристики октаэдра
Радиус описанной сферы октаэдра
, где a - длина стороны.
Радиус вписанной сферы октаэдра
Площадь поверхности октаэдра
Для наглядности площадь поверхности октаэдра можно представить
в виде площади развёртки
Объем октаэдра
Рассмотрим задачи, при решении которых используются свойства октаэдра.
Задача 1. Пусть вершины октаэдра ABCDEF расположены на осях декартовой системы координат с центром в точке О на равном расстоянии от О. Докажите, что это – правильный октаэдр.
Решение. Для того, чтобы соответствовать определению, необходимо доказать, что все треугольники правильные и все двугранные углы октаэдра равны. Каждое ребро октаэдра равно AO . Значит, все стороны треугольников одинаковы и все треугольники правильные.
Найдём угол ϕ/2 между гранью АВС и плоскостью симметрии ВОС. Проекция вершины А на плоскость ВОС – это О – центр квадрата BCDE. Треугольник BOC – это проекция грани ABC на ВOС. Так как SEOC = s = AO²/2. SABC = = . = . Двугранный угол между ABC и FBC вдвое больше угла между ABC и OBC, cosφ =- . Аналогично определяем любой другой угол. По определению, октаэдр, все грани которого правильные треугольники, и двугранные углы равны, – это правильный октаэдр.
Задача 2.Грани правильного октаэдра раскрашены
в белый и черный цвет. При этом любые две
грани, имеющие общее ребро, покрашены
в разные цвета.
Докажите, что для любой точки внутри октаэдра
сумма расстояний до плоскостей белых
граней равна сумме расстояний до плоскостей
черных граней.
Решение. Плоскости, которым принадлежат грани
каждого цвета, в пересечении образуют
равные правильные тетраэдры. Чтобы доказать
это, Рассмотрим куб ABCDEFGH (см. рис.) и два тетраэдра: ACFH и BDEG. Пересечение этих тетраэдров есть октаэдр.
Действительно, вершины пересечения есть
середины граней куба, а середины граней
куба являются вершинами октаэдра.
Черные
грани октаэдра лежат на одном тетраэдре,
а белые – на другом.
Далее утверждение задачи следует из того,
что сумма расстояний от внутренней точки
правильного тетраэдра до его граней постоянна
и равна утроенному объему тетраэдра,
деленному на площадь грани. Докажем последнее
утверждение. Пусть A, B, C и D – вершины тетраэдра, O – точка внутри тетраэдра, hA, hB, hC и hD – расстояния от точки O до плоскостей BCD, ACD, ABD и ABC
1.4.Додекаэдр и его свойства.
Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань)- правильный многоугольник составлен из двенадцати пятиугольников, тридцати рёбер и двадцати вершин. Каждая из вершин додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.
Элементы симметрии додекаэдра
- Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.
Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. - Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
Математические характеристики
Радиус описанной сферы додекаэдра
, где a - длина стороны
Радиус вписанной сферы додекаэдра
Площадь поверхности додекаэдра
Объем додекаэдра
Рассмотрим задачи, при решении которых используются свойства додекаэдра.
Задача1. Найдите двугранный угол додекаэдра.
Решение. Известно, что в додекаэдр можно вписать куб (ребра –диагонали граней). В обозначениях рисунка, АС CJ, CJ║Bg. Рассмотрим АВС, пользуясь видом вдоль Вg. Пусть а- ребро додекаэдра. На этом виде искомый двугранный угол φ:
φ = АВС, АС=2а , АВ=ВС=а .
Известно, .
Значит,
Задача2.Найдите радиус описанной сферы додекаэдра R
Решение.Расстояние от центра додекаэдра до вершины А суть половина диагонали вписанного куба, ребро которого d=2a .
R=OA= .
1.5.Икосаэдр и его свойства.
Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань)-правильный многоугольник составленный из двадцать равносторонних треугольников. Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер, число вершин – 12.Сумма плоских углов при каждой вершин равна 300.
Свойства икосаэдра
- Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
- В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
- Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
- В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
- Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12*5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12*5=90.
Математические характеристики
икосаэдра
Радиус описанной сферы икосаэдра
Радиус вписанной сферы икосаэдра
Площадь поверхности икосаэдра
Для наглядности площадь
Рассмотрим задачу, при решении которой используются свойства икосаэдра.
Задача. Для икосаэдра с ребром а найдите радиусы полувписанной, описанной и вписанной сфер и двугранный угол.
Решение. Пусть – а-ребро, -высота грани,ρ-радиус сферы, касающейся ребер в середине, 2∝-двугранный угол. Рассмотрим четверть сечения, содержащего два противоположных ребра и четыре высоты грани, образующие два линейных угла, равных двугранным.
Значит, .
Радиус описанной сферы
Радиус вписанной сферы
2.Формула Эйлера .
Изучая любые многогранники,
естественнее всего подсчитать, сколько
у него граней, сколько ребер и вершин.
Подсчитаем и мы число указанных элементов
правильных многогранников и зафиксируем
результаты
Таблица №1.
Название многогранника |
Число вершин |
Число ребер |
Число граней |
Тетраэдр |
4 |
6 |
4 |
Куб |
8 |
12 |
6 |
Октаэдр |
6 |
12 |
8 |
Икосаэдр |
12 |
30 |
20 |
Додекаэдр |
20 |
30 |
12 |
Рассматривая таблицу, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2 ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.
Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов ( табл№. 2).
Таблица № 2
Правильный многогранник |
Число | |
Граней и вершин (Г + В) |
Ребер (Р) | |
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр |
4 + 4 = 8 6 + 8 = 14 8 + 6 = 14 12 + 20 = 32 20 + 12 = 32 |
6 12 12 30 30 |
Вот теперь закономерность видна.
Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2.
Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.(6,с.42)
3.Доказательство существования пяти правильных многогранников.
Зададимся вопросом о том, сколько правильных многогранников существует?
Предположим, что правильный многогранник имеет
Г граней, из которых каждая есть правильный n-угольник,у каждой вершины сходятся k ребер,всего в многограннике В вершин и Р ребер,причем n3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех сторон,и k3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех ребер.
Считая ребра по граням, получим: n Г = 2Р.Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, в произведении n Г число Р удвоено.
Считая ребра по вершинам, получим: kВ = 2Р, поскольку каждое ребро опирается в 2 вершины. Тогда равенство Эйлера дает:
или . (*)
По условию , тогда , т.е. n и k не могут быть более трех. Например, если бы было n = 4 и k = 4, то тогда и Прикидкой можно проверить, что и другие значения n и k, большие 3, не удовлетворяют равенству (*). Значит, либо k = 3, либо n = 3.
Пусть n = 3, тогда равенство (*) примет вид:
или
Поскольку может принимать значения , ,
т.е. k = 3, 4, 5.
Если k = 3, n = 3, то P = 6, Г = В = - это тетраэдр (см. табл. 1).
Если k = 4, n = 3, то Р = 12, Г = , В = - это октаэдр.
Если k = 5, n = 3, то Р = 30, Г = В = - это икосаэдр.
Пусть теперь k = 3, тогда равенство (*) примет вид:
, или
Отсюда следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.
Случай n = 3 разобран.
Остаются два случая:
n = 4 при k = 3, тогда , т.е. Р = 12, Г = , В = - это куб.
n = 5 при k = 3, тогда , Р = 30, Г = 12, В = 30 - это додекаэдр.
Мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии.
4.Полуправильные многогранники.
Полуправильные многогранники являются естественным расширением правильных многогранников. Это выпуклые многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники, - возможно, с разным числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Большинство из них были открыты еще Архимедом. Но открывались они и в ХХ веке.
Самые простые из многогранников Архимеда получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Так, если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис.1). Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходится три грани.
Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис.2) и усеченный икосаэдр (рис.3). Обратите внимание на то , что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис.4) и усеченный додекаэдр (рис.5).
Для того, чтобы получить еще один правильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис.6). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и название – кубооктаэдр.
Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис.7). У него двадцать граней – правильные треугольники и двенадцать граней – правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.