Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Табличные случаи умножения и деления

Введение

На первой ступени обучения математике изучаются четыре основных математических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти действия, эти действия связывающие между собой три абстрактных числа нелегко даются ученикам. Поэтому на первой ступени обучения абстрактные числа стараются овеществлять, связывая их с предметами, например с яблоками, кубиками, шариками и т.д. Действия сложения и вычитания в этом плане особых трудностей не вызывают. В нашей научной работе мы остановимся на особенностях изучения умножения и деления.

Изучение табличного умножения и соответствующих случаев деления – центральная тема курса математики во 2 классе. Знанию таблицы умножения всегда придавалось большое значение. Но всегда возникали и трудности, которые приходилось преодолевать при заучивании ее.

Современная методика требует, чтобы дети не только знали таблицу, но и поняли принцип ее составления, дающие возможность находить любое произведение. Ученик должен не только выучить и запомнить результаты табличного умножения, но и уметь при необходимости вычислить результат самым кратчайшим путем. Эти вопросы были достаточно освещены Г.Г. Микулиной, А.Д. Никулиной и др. в статьях, опубликованных в журнале «Начальная школа».

Все выше изложенное определило актуальность курсовой работы.

Объектом исследования является процесс изучения математики в начальной школе.

Предметом является приемы изучения табличного умножения и деления в вариативных учебниках.

Цель курсовой работы – выявить наиболее эффективные приемы изучения табличного умножения и деления.

Нами определены следующие задачи:

- изучить и проанализировать научно-методическую и учебную литературу по проблеме исследования;

- изучить методические основы табличного умножения и деления;

- рассмотреть различные методики изучения табличного умножения и деления;

- обобщить результаты экспериментальной работы.

Исследование проводилось с помощью таких методов, как анализ теоретической литературы, обобщение педагогического опыта.

Курсовая работа состоит из введения, двух основных разделов, заключения, списка используемой литературы и приложений.

Во введении раскрывается актуальность, цели, объект, предмет и задачи исследования. Основная часть работы разделена на два раздела. Первый раздел имеет теоретический характер. В нем рассматривается теоретические и методические основы табличного умножения и деления. Во второй части мы рассмотрели и проанализировали конспекты уроков по математике по теме исследования.

В заключении приводятся выводы, сделанные в ходе исследования.

Список используемой литературы включает наименования книг и статей по теме исследования.

В приложении приводятся уроки, разработанные учителями начальных классов, анализ которых мы выполняли во второй части нашей курсовой работы.

Теоретические и методические основы изучения

табличного умножения и деления в начальном курсе математики

Математические основы табличного умножения и деления

Для развития у детей познавательного интереса к изучаемому материалу большое значение имеет методика преподавания данного материала. Поэтому, перед тем как приступить к изучению данной темы, учитель много времени уделяет поискам активных форм и методов обучения, продумывая каждый урок, ибо урок, по словам В. А. Сухомлинского, первая искра, зажигающая факел любознательности.

Готовясь к урокам, на которых учащиеся получат новые знания, надо стараться заинтересовать учащихся этим знанием, пробудить в них активное восприятие. Лучшему усвоению материала способствуют средства наглядности, опорные схемы, таблицы, которые применяются на каждом уроке.

Изучение табличного умножения проводится по следующему плану: подготовительная работа, изучение смысла действий умножения, некоторых его свойств, связь между умножением и делением, составление и усвоение таблиц умножения. На каждом из этих этапов важно качественно решать учебные задачи.

В школьной практике соотношения между знаниями, умениями и навыками рассматриваются прямолинейно: на первое место ставится усвоение математических знаний, а затем формирование умений и навыков. Однако такой подход не всегда правомерен. В одних случаях знания выступают необходимым условием выполнения действия, в других — знания могут являться результатом выполнения учащимися того или иного действия. Также существуют различные точки зрения на соотношение между умениями и навыками.

Различные трактовки соотношений умений и навыков обусловлены целями и содержанием обучения математике. Поэтому, формируя вычислительную деятельность учащихся, требуется заранее четко определить, что формируется — вычислительное умение или вычислительный навык, выяснить, в состав каких вычислительных умений входит тот или иной вычислительный навык, какое вычислительное умение должно сопровождать проявление конкретно взятого вычислительного навыка и т.д. Такой подход позволяет рассматривать формирование вычислительных умений и навыков в динамике, взаимных переходах.

Таким образом, вычислительные знания, умения и навыки находятся в сложных взаимоотношениях, и процесс их формирования — это единый процесс, требующий активной мыслительной деятельности. Овладение вычислительными навыками арифметических действий через активное использование приемов умственных действий есть суть вычислительной культуры.

Во 2 классе параллельно с разъяснением предметного смысла умножения начинается работа по формированию вычислительных навыков умножения.

Формированию табличных навыков умножения способствует система заданий продуктивного характера, которая требует от учащихся активного использования приемов умственной деятельности, что оказывает положительное влияние на непроизвольное запоминание табличных случаев умножения. Система заданий отражает сущностный подход к понятию «вычислительная культура» и реализуется в соответствии с закономерностями процессов понимания и запоминания изучаемого материала.

Сделаем вывод о том, что формирование прочных вычислительных навыков табличного умножения и деления — одна из основных и сложных начального курса математики. Без быстрого и правильного воспроизведения табличных результатов невозможно дальнейшее обучение устному и письменному умножению и делению.

Итак, определяя понятие А через род и видовое отличие, мы обращаемся к ранее введенному родовому понятию В, которое, в свою очередь, также ложно быть определено через родовое понятие С, и т.д. процесс построения такой цепи определений не может продолжаться неограниченно, поэтому и приходится некоторые понятия принимать без определений. Именно такие понятия и перечисляются в начале изложения аксиоматическом построении математической теории в качестве основных.

Аксиоматическое построение математической теории начинается с перечисления некоторых объектов, изучаемых этой теорией, и некоторых отношений между ними. Эти объекты и отношения называются основными (неопределяемыми) понятиями рассматриваемой теории (Стойлова 1986: 5).

Вслед за основными понятиями и отношениями формулируются основные предложения. Их называют аксиомами, они принимаются без доказательства в данной теории, и на их основе доказываются другие предложения данной теории – теоремы.

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

1) некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

2) каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

3) формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

4) каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Система аксиом называется полной, если на базе этой системы можно доказать или опровергнуть любое утверждение, относящееся к данной теории.

В качестве основного отношения в некотором множестве N выбирается отношение «непосредственно следовать за», а также используются теоретико-множественные понятия, правила логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом a, обозначают а'.

Натуральными числами называются элементы множества N, в котором установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее следующим аксиомам:

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей и обозначают символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N, отличного от единицы, существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Если множество М есть подмножество N и: а) единица содержится в М; б) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М, то множество М совпадает с множеством N.

Сформулированные аксиомы называют аксиомами Пеано.

Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1 - 4, получим модель данной системы аксиом. Например, моделью системы аксиом Пеано может служить такая совокупность множеств. Первый элемент - множество, содержащее один кружок, второй элемент - множество, содержащее два кружка, третий элемент - множество, содержащее три кружка и т. д., каждый следующий элемент получается добавлением в множество одного кружка:

{о}, {оо}, {ооо}, {оооо}, {ооооо}, {оооооо}, {ооооооо}, ...

Другой моделью будет такое множество. В качестве начального элемента возьмем произвольный отрезок. Отношение «непосредственно следовать за» определим так: «иметь длину в два раза меньше». Получим модель:

______________________________________________________

_____________________________________

_________________________

_______________

______

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N натуральных чисел (Стойлова 1986: 15).

Умножение - арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями.

Число а . b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b - множителями. Умножение натуральных чисел существует и единственно.

Умножение чисел обладает следующими свойствами:

коммутативность: ab = ba;
ассоциативность: a (bc) = (ab) c;
дистрибутивность: a (b + c) = ab + ac.

При этом всегда а • 0 = 0; a • 1 = а.

Коммутативное свойство умножения иначе называют переместительным свойством, а ассоциативное - сочетательным свойством. Переместительное свойство умножения в начальной школе изучают в виде правила: от перестановки множителей произведение не изменяется. Сочетательное свойство умножения изучают в виде правила умножения произведения на число: чтобы умножить произведение на число, нужно умножить на это число один из множителей, а затем результат умножить на другой множитель.

Дистрибутивное свойство умножения относительно сложения называют распределительным свойством умножения относительно сложения и изучают в начальной школе в виде правила умножения суммы на число: чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить.

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями. Если любое натуральное число а умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство а • 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 7 • 5 = 35, то для нахождения произведения 7 • 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 • 6 = 7 • (5+1) = 7 • 5 + 7. Таким образом, произведение а • b΄ можно найти, если известно произведение а • b: а • b΄ = а • b + а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел.

Деление при аксиоматическом построении теории натуральных чисел обычно определяется как операция, обратная умножению (Стойлова 1986: 20). Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию:

а : b = с тогда и только тогда, когда b • с = а.

Число а : b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b – делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

В начальном обучении математике определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16 • 3 = 48. следовательно, 48 : 16 = 3».

Методика изучения табличного умножения и деления в вариативных учебниках

Умножение по таблицам впервые ввели вавилонские математики. Однако это было не традиционное умножение в десятичной системе счисления, а умножение по готовым таблицам шестидесятеричной системе счисления, не получившей широкого распространения среди народов мира.

Привычная форма таблицы умножения использовалась в таблицах Паламеда (до 3 в. до н.э.), выполненных в виде столбиков, и таблице Никомаха (1 в. н.э.), выполненной в виде квадрата. Современное применение табличного умножения ведет свое начало со времени изобретения индийцами десятичной позиционной системы счисления и введения ими нуля, а также изобретения более совершенных способов умножения произвольных чисел (5-6 вв.). Применяемая сегодня форма записи действия умножения введена Н.Г. Кургановым в его «Универсальной арифметике» (1757) под влиянием французской математической литературы.

Табличное деление (в том смысле, которое рассматривается в современной начальной школе) фактически появляется одновременно с возникновением табличного умножения у индийцев. Однако на таблицу деления большинство математиков не обращали особого внимания, и ни один из авторов математических сочинений до конца XIX в. не помещал ее в своих книгах. Впервые в русские учебники таблица деления введена П.С. Гурьевым (1832), а необходимость ее применения более или менее подробно обоснована СИ. Шорох-Троцким (1903).

До 70-х годов XIX в. в школах России таблицы умножения и деления не изучались, а механически заучивались (зазубривались). Лишь с появлением «Методики арифметики» В.А. Евтушевского они стали именно изучаться, т.е. составляться тем или иным способом и усваиваться учащимися в процессе упражнений.

Вопросы формирования понятия учащихся об умножении и делении изложены в «Очерках по методике арифметики» Ф.А. Эрна. Вопросы взаимосвязи между умножением и делением, а также вопросы психологии усвоения учащимися умножения и деления в значительной мере раскрыты в «Методике арифметики» СИ. Шорох-Троцкого, а также в работе Н.А. Менчинской «Психология обучения арифметике».

Методы изучения таблиц умножения и деления были разработаны методистами А.И. Гольденбергом, В.К. Беллюстиным и др. Они широко проверены на опыте массовой школы.

Методика введения новых понятий в школе должна базироваться на научной теории соответствующего предмета. Так, широкую известность получили три способа введения понятия умножение:

1) с помощью системы аксиом;

2) на основе операций над множествами;

3) на основе сложения одинаковых слагаемых.

Первый способ положен в основу введения понятия действия умножения в школьный курс как в ряде английских и немецких учебников, так и в некоторых советских, например, пособиях К.И. Нешкова и А.М. Пышкало.

Деление может вводиться следующими путями:

1) как действие, обратное умножению;

2) на основе операций над предметными множествами.

Различают две операции: деление на равные части и деление по содержанию (различная роль множимого и множителя порождает различные виды деления). Можно познакомить учеников сначала с делением по содержанию, а затем с делением на равные части. Возможен и обратный порядок.

Однако, какой бы путь ни избрал учитель, изучение табличного умножения и деления — это один из наиболее трудных вопросов начального курса математики.

В настоящее время существует много различных программ обучения математике, которые различаются по методике обучения умножению и делению. Рассмотрим подробнее, каким образом в различных программах изучается табличное умножение и деление.

В учебниках авторского коллектива под руководством М.И. Моро при изучении табличных случаев на 2 и на 3 (II класс) составляются две таблицы умножения. При введении последующих случаев умножения на 4 - 9 (3 класс) составляются две таблицы умножения и две таблицы деления. Из каждого случая умножения, например 2 • 5, выводится новый случай путем перестановки множителей 5 • 2 и два случая деления 10 : 2 = 5 и 10 : 5 = 2. Все результаты деления находят из соответствующей таблицы умножения. Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения и соответствующие случаям деления с числами 2 и 3, затем 4, 5 и т.д.

Табличные случаи умножения и деления с каждым числом изучаются примерно по одному плану. Сначала составляется таблица умножения по постоянному первому множителю (3 • 3, 3 • 4, 3 • 5 и т.д.). В этом случае учащиеся легко находят результат следующего примера, пользуясь результатом предыдущего (3•5 = 5•3 + 3), но в этом случае в некоторых суммах будет много слагаемых (например, в случае 2 • 9 будет девять слагаемых). Если составлять таблицу по постоянному второму множителю (3 • 3, 4 • 3, 5 • 3 и т.д.), то слагаемых будет меньше. Эта таблица удобнее для запоминания наизусть, но зато при ее составлении труднее находить результат: слагаемые каждого следующего примера отличаются от слагаемых предыдущего примера (3-3 = 3 + 3 +3,4-3 = 4 + 4 + 4 и т.д.). Чтобы найти результат следующего примера, пользуясь предыдущим, придется рассуждать так: 4-3 = 3-3 + 3, 5-3 = 4-3 + 3.

Для нахождения результата умножения используют различные приемы:

— произведение заменяют суммой (3 • 4 = 3 + 3 + 3 + 3= 12);

— к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствующее число (3 • 4 = 12; 3 • 5 = 12 + 3 = 15);

— из известного результата вычитают соответствующее число (8 • 10 = 80, 8 • 9 = = 80-9 = 72).

После того как составлена таблица по постоянному первому множителю, из каждого примера на умножение учащиеся составляют еще один пример на умножение, переставляя множители, и два примера на деление, результат в которых находят на основе связи между компонентами и результатом умножения.

Составление каждой таблицы начинается с примера, в котором множители равны, например 3 • 3, и заканчивается случаем умножения на 9, например 3 • 9. Таким образом, ученики должны запомнить 36 табличных случаев умножения и затем использовать их для решения либо примеров с переставленными множителями, либо примеров на деление. Число новых случаев в каждой следующей таблице уменьшается. Учащиеся от таблицы к таблице проявляют больше самостоятельности при их состоянии.

В ходе составления и заучивания большое внимание уделяется упражнениям на запоминание табличных результатов, например:

— составь четыре примера на умножение и деление с одинаковыми числами (4 • 3 = 12, 3 • 4 = 12, 12 : 4 = 3, 12 : 3 = 4);

— повтори таблицы по порядку и вразбивку;

— составь по памяти таблицу умножения двух или на два, трех или на три и т.д.;

— замени число (например, 24) произведением соответствующих множителей (8 • 3, 6 • 4);

— отгадай задуманное число (если его умножили на 8 и получили 72).

Заметим, что заучиваются наизусть только результаты умножения, соответствующие же случаи деления учащиеся должны уметь быстро находить, пользуясь таблицей умножения. В процессе тренировки учащиеся должны твердо запомнить тройки чисел, например: 3, 7, 21; 9, 8, 72 и т.д.

В основе построения курса Н.Б. Истоминой лежит идея организации целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения и т.д.). Направленность процесса обучения математике в начальных классах на формирование основных мыслительных операций позволяет включить интеллектуальную деятельность младшего школьника в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с мотивацией и интересами, оказывая тем самым положительное влияние на развитие внимания, памяти, эмоций и речи.

В теме «Умножение» большое внимание уделяется разъяснению предметного смысла этого действия, усвоению его определения как суммы одинаковых слагаемых и осознанию новой математической записи. Для этой цели используются различные виды учебных заданий на:

— выделение признаков сходства и различия данных выражений;

— соотнесение рисунка и числового выражения;

— выбор числового выражения, соответствующего данному рисунку;

— запись числового выражения по данному рисунку и др.

Параллельно с усвоением предметного смысла умножения проводится работа по формированию навыков табличного умножения.

Важно, что составление и усвоение таблиц умножения (деления) органически включается в содержательную линию курса. В связи с этим в учебнике нет заголовков «Умножение на 2», «Умножение на 3» и т.д. Табличные случаи умножения усваивают в процессе изучения смысла умножения (тема «Умножение»), переместительного свойства умножения, понятия увеличить в несколько раз и тем «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное свойство умножения». Это позволяет предложить ученикам интересные содержательные упражнения, выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения. Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся в теме «Таблица умножения», где учащимся дается задание, при выполнении которого они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени.

Составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9. Это позволяет не только поупражнять школьников в сложении двузначных и однозначных чисел с переходом через разряд при замене произведения суммой, но и сосредоточить их внимание на более сложных для запоминания случаях табличного умножения (9 • 8, 9 • 6, 9 • 7, 8 • 7, 7 • 6).

Составление таблицы осуществляется небольшими порциями, каждая из которых сопровождается вариативными упражнениями, связанными с такими понятиями, как смысл умножения, переместительное свойство умножения, увеличение в несколько раз. Процесс выполнения каждого упражнения требует от учеников активного использования приемов умственной деятельности, что оказывает положительное влияние на непроизвольное запоминание табличных случаев умножения.