Текстовые задачи в школьном курсе математике

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………...………………….……………….2

§1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………………………………..4

1.   Из истории использования текстовых задач в России……………..4
2.   Понятие «текстовая задача». Структура задачи……………………7
3. Классификация задач……………………………………………...…10
4.   Методы решения задач……………………………………………....13

§2. Практическая часть………………………………………………………..24

   2.1 Методика работы с текстовой задачей на конкретных примерах…24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...32

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………….................34 

ВВЕДЕНИЕ

    Арифметические  задачи в обучении математике в 5-6 классах  занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи –показатель обученности и развития учащихся. При решении задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке – и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

    Решение задач приучает выделять посылки  и заключения, данные и искомые, находить общее и особенное в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач воспитывается правильное мышление, и учащиеся приучаются, прежде всего, к полноценной аргументации.

    Текстовые задачи используются как очень эффективное  средство усвоения учащимися понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее действенное средство развития мышления учащихся, как универсальное средство математического воспитания и незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике.

    При обучении математике в средних классах  при изучении нового материала используются классификации:

• по методам поиска решения – алгоритмические, типовые, эвристические;
• по требованию задачи – на построение, вычисление, доказательство;
• по трудности – легкие и трудные;
• по сложности – простые и сложные;
• по применению математических методов – уравнений, подобия, арифметический, алгебраический, графический, практический и т. д.

    Все эти классификации позволяют  рассматривать математические задачи под разными углами зрения и уточнять, совершенствовать методику работы с учащимися над задачей.

    Основные  недостатки при обучении решению  задач в 5-6 классах:

1. Отдельные задачи часто рассматриваются вне связей с другими задачами, без выделения и осознания общих приемов, методов, применяемых при решении задач;
2. Учащиеся не обучаются общим методам решения задач;
3. Часто идет погоня за количеством решенных задач, в ущерб качеству их решения.

    Ученик  только тогда сможет решить задачу, когда ясно представит все процессы, вытекающие из текста задачи, в их взаимной связи, только тогда он начинает намечать план решения и выражать свою мысль  словами.

    Цель  работы состоит в изучении методики обучению текстовых задач в курсе математики 5 - 6 классов.

    Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. установить основные этапы деятельности по решению задач;
2. выяснить общие приемы работы над задачей;
3. изучить и проанализировать учебники математики 5 - 6 классов;

4. рассмотреть методику решения текстовых задач в курсе математики 5-6 классов. 
    
    
    
    
    
    
   

§1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

    1.1  Из истории использования текстовых задач в России

    В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой – пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России.

    Известно, что исторически долгое время  математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».

    Подтверждением  тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна   (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу.

    «Тройным  правилом называется regula magistralis, или regulo aureo        (т. е магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить всё.

    ...Заметь  еще числа, стоящие сзади и  спереди. Надо стоящие сзади  число помножить на среднее  и разделить на переднее».

    Далее то же правило дано в зарифмованном  виде и приведен пример на его применение:

    Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

    Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что  получится и будет стоимостью 29 фунтов.

    Это была обычная практика. По-другому  в те времена учить не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703 г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России.

    В 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.

    Одной из причин большого внимания к задачам  заключается в том, что исторически  долгое время целью обучения детей  арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

    Вторая  причина повышенного внимания к  использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ. Проверкой        полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилась так много времени при обучении математике в школе.

    К середине XX века в СССР сложилась  развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и т. д. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам.

    К середине 50-х годов XX в. текстовые  задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Одним из аргументов к предлагаемым изменениям была критика негодной практики обучения решению задач. Соавторы Н.Я. Виленкина (по первому варианту ныне действующих учебников) К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: "Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?" Ответ напрашивается сам собой: "Невозможно!"

    Пересматривая роль и место арифметики в системе  школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратиться слишком много времени.

    Так или иначе, но в середине XX в. в  СССР присутствовал узко практический подход к использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении.

    Традиционные  для российской школы арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом, и перешли к раннему использованию уравнений.

    Такое упрощенное понимание роли и места  задач в школьной математике преобладало долгие годы. У этого подхода и теперь много сторонников–   у нас в России и за рубежом.

    Заканчивая  разговор об использовании текстовых  задач при обучении математике в  России, о разных подходах к обучению решению задач в прошлых реформах математического образования в России (тогда СССР), сошлемся на академика В.И. Арнольда, который, сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, писал: "Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранились старинные "купеческие" задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим". 

1.2 Понятие «текстовая задача». Структура задачи

    С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни как на бытовом, гак и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. Однако до настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия «задача». В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком.

    Отдельно  стоят математические задачи, решение  которых достигается специальными математическими средствами и методами. Среди них выделяют научные (теорема Ферма, проблема Гольбаха и др.), решение которых способствует развитию математики и ее приложений, и задачи учебные, которые служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков у разных групп обучаемых и направлены на изменение качеств личности обучаемого. Учебные математические задачи различаются по характеру их объектов. В одних задачах все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т. д.), в других объектами являются реальные предметы (люди, животные, автотранспортные и механические средства, сплавы, жидкости и т. д.) или их свойства и характеристики (количество, возраст, скорость, производительность, длина, масса и т. д.). Задачи, все объекты которых математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, установление признаков изучаемого математического понятия и т. д.), часто называют математическими задачами. Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми.

    Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостях между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.

    Основная  особенность текстовых задач  состоит в том, что в них  не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

    В каждой задаче можно выделить:

1. числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не менее двух);
2. некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
3. требование или вопрос, на который надо найти ответ.

    Числовые  значения величин и существующие между ними зависимости, т. е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

    Требования  могут быть сформулированы как в  вопросительной, так и в повествовательной  форме, их так же может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин - искомыми, или неизвестными.

    Ответ на требование задачи получается в  результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова – это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. д.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

• решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи;
• решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т. е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;
• решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

    В каждой текстовой задаче числовой материал должен соответствовать арифметической подготовке учащихся, числовые значения величин данных и искомых должны быть реальными (нельзя, например, указать в условии скорость пешехода 20 км в час или расстояние между Москвой и Ленинградом равным какому - либо числу, кроме 651 км). Условие и вопрос задачи должны быть сформулированы ясно и точно, в соответствии с числовыми данными в условии. 
 

1.3  Классификация задач

    В зависимости от целей классификации  выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать:

• по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;
• по соответствию числа данных и искомых;
• по способам решения и др.

    Положив в основание классификации число  действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой.

    Пример. Саше 7 лет, он на 3 года старше Тани. Сколько лет Тане?

    Задачу, для которой нужно выполнить  два или большее число действий, называют составной.

    Пример. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 части всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определите объем айсберга.

    Решая простую задачу, учащиеся учатся понимать зависимость между величинами и  применять то или иное арифметическое действие.

    Выбор действия - центральный и вместе с тем самый трудный вопрос при решении простых задач. При  решении простой задачи учащиеся, усвоив содержание условия, должны разобраться, в какой зависимости находится  искомое и данные числа, и отсюда сделать вывод действия для решения  задачи.

    Решение составной задачи сводится к разложению ее на простые задачи и к решению  этих простых задач.

    Поэтому к решению составных задач  можно приступить только тогда, когда  учащиеся усвоили решение простых  задач и когда они имеют  достаточные вычислительные навыки.

    Чтобы учащиеся при решении составной  задачи, в которой несколько данных и несколько искомых, не затруднялись в составлении простых задач, на которые разбивается составная  задача, полезно проделать упражнения на составление сложной задачи из 2-х или 3-х простых. Для этого  учащимся задаются одна за другой две простые задачи, причем ответ первой задачи служит одним из данных для второй задачи.

    Потом обе задачи читаются без промежуточного вопроса.

    Решением  сложной задачи состоит из следующих  частей:

• усвоение учащимися содержания задачи;
• разбор задачи и составление плана (разложение сложной задачи на простые и составные и составление плана решения);
• решение (выбор действия, их выполнение, запись хода решения и вычислений);
• проверка решения.

    Число условий должно соответствовать  числу данных и искомых. Тогда  задача имеет одно решение и является задачей определенной.

    Пример. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

    Если  число условий в задаче недостаточно, то задача может иметь несколько решений и называется задачей неопределенной.

    Пример. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Какова масса вишневое варенье, если в каждой банке его 800 г?

    Задачи  с альтернативным условием - это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

    Пример. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй - со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 ч, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

    Переопределенные  задачи - задачи, имеющие условие, которые не использующие при их решении выбранным способам. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.

    Пример. В одной печи можно обжечь 39 ООО кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней можно обжечь 143 ООО кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй.

    Задачи  можно разделить на стандартные и нестандартные. Нестандартная задача – это задача, решение которой не является для решающего известной целью известных действий. Для ее решения учащийся сам должен изобрести способ решения.

    Наиболее  часто используемым является метод восходящего анализа - решение задачи с конца, от требования – к условию.

    Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:

1. задачи на тройное правило;
2. задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;
3. задачи на пропорциональное деление;
4. задачи на исключение одного из неизвестных;
5. задачи на среднее арифметическое;
6. задачи на проценты и части;
7. задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом».

    Разбор  задачи можно сделать двумя приемами.

    Первый  прием называется синтетическим. Он состоит в следующем. Из условия задачи учащиеся выбирают одну пару числовых данных (иногда больше), к ним подбирается вопрос, т. е. составляется простая задача. Число, полученное при решении этой простой задачи, вместе с одним из данных в условии составной задачи или другая пара чисел из условия задачи берутся для составления второй простой задачи и т. д. в последней простой задаче ставится вопрос составной задачи. Ответ на него явится ответом задачи.

    Второй  прием разбора задач называется аналитическим. Разбор начинается с главного вопроса задачи, к нему подбираются данные из условия задачи, если в условии нет данных для решения этого вопроса, ставятся новые вопросы для их определения. Так поступают и дальше до тех пор, пока дойдут до вопроса, для которого есть данные в условии.

    Анализ  и синтез связаны между собой. Подбирая к числовым данным вопрос (синтез), мы выбираем те данные, которые  должны привести е решению задачи (анализ); поставив вопрос задачи (анализ), мы берем те данные, которые есть в условии задачи (синтез). 

4.   Методы решения задач

    Большое значение при обучении математике имеет  формирование общего приема решения задач. Но анализ практики показывает, что основное внимание уделяется ознакомлению со специальными способами решения отдельных типов задач. Это часто приводит к тому, что учащиеся не приобретают умения самостоятельно анализировать и решать различные типы задач. Поэтому проблема овладения общим приемом решения задач продолжает оставаться актуальной и должна разрабатываться в методике обучения математике.

    Общий прием решения задач включает: знание этапов решения, методов (способов) решения, типов задач, обоснование  выбора способа решения на основании  анализа текста задачи, а также  владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приемами и  операциями.

    К этапам решения можно отнести:

1. анализ текста задачи;
2. перевод текста на язык математики;
3. установление отношений между данными и вопросом;
4. составление плана решения задачи;
5. осуществление плана решения;
6. проверка и оценка решения задачи.

    Анализ  текста задачи.

    Работа  над текстом задачи включает семантический, логический и математический анализ.

    1. Семантический анализ направлен на обеспечение понимания содержания текста и предполагает:

• выделение и осмысление:
• отдельных слов, терминов, понятий, как житейских, так и математических,
• грамматических конструкций ("если…то", "после того, как…" и т.д.),
• количественных характеристик объекта, задаваемых словами "каждого", "какого-нибудь", "любое", "некоторое", "всего", "все", "почти все", "одинаковые", "столько же", "поровну" и т.д.;
• восстановление предметной ситуации, описанной в задаче, путем упрощенного пересказа текста с выделением только существенной для решения задач информации;
• выделение обобщенного смысла задачи - о чем говорится в задаче, указание на объект и величину, которая должна быть найдена (стоимость, объем, площадь, количество и т.д.)

    2. Логический анализ предполагает:

• умение заменять термины их определениями;
• выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных (понятия, процессы, явления).

    3. Математический анализ включает анализ условия и требования задачи.

    Анализ  условия направлен на выделение:

    а) объектов (предметов, процессов);

    б) величин, характеризующих каждый объект;

    в) характеристик величин (числовые значения, известные и неизвестные данные, отношения между известными данными  величин).

    Анализ  требования направлен на выделение: неизвестных количественных характеристик величин объектов или объекта.