Содержание 

Введение           3

1. Теорема Остроградского-Гаусса, основные положения   5

1.1. Исторические  аспекты, связанные с теоремой

Остроградского-Гаусса         5

1.2. Теорема Остроградского-Гаусса      7

2. Применение  теоремы Остроградского-Гаусса    14

2.1. Теорема Гаусса  в дифференциальной форме    14

2.2. Потоп электрического  смещения. Теорема Остроградского-

Гаусса для  электростатического поля      18

Заключение          21

Список использованной литературы      23     
 

Введение

     В науке часто бывает, что один и  тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки  зрения его действия, однако новая  формулировка помогает теоретикам несколько  иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.

     Теорема о суммировании зарядов позволяет  понять смысл и определить границы  применимости известной теоремы  Остроградского-Гаусса. В электродинамике  существуют понятия потоков напряженности  и индукции электрического и магнитного полей. Напряженность и индукция определяются градиентами потенциалов.

     В свою очередь они определяют число  силовых линий и линий индукции, исходящих из заряженного тела (заряда). Существует прямая пропорциональная связь  между величинами электрических и магнитных зарядов и количествами силовых линий и линий индукции. 
Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что суммарное число линий, проходящих через замкнутую поверхность, охватывающую электрические и магнитные заряды, равно алгебраической сумме линий, выходящих из каждого заряда в отдельности. Заметим, что линии напряженности и индукции – это крайне формальные понятия, в течение длительного времени затруднявшие правильное понимание электрических и магнитных явлений.

     Вместе  с тем эти понятия легко получить из общей теории, так как напряженность и индукция непосредственно связаны (пропорциональны) с потоком нанозаряда, а сам поток – с величиной излучающего его макро или микрозаряда.

     Таким образом, из общей теории как частный  случай вытекает теорема Остроградского-Гаусса. Она есть следствие теоремы о суммировании зарядов, справедливой только для стационарного режима и только в условиях, когда отсутствует взаимное влияние между зарядами. В реальных условиях теорема Остроградского-Гаусса неточно отражает действительность.

     Целью данной работы является систематизация и закрепление знаний о теореме Остроградского-Гаусса и ее применении при расчетах электростатических полей.

     Для реализации вышеуказанной цели в  работе необходимо решить следующие задачи:

     - рассмотреть исторические аспекты, связанные с теоремой Остроградского-Гаусса;

     - изучить основные положения теоремы  Остроградского-Гаусса;

     - охарактеризовать применение теоремы Остроградского-Гаусса в расчетах электростатических полей.

     Цель и задачи работы обусловили выбор ее структуры. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной при написании работы литературы. 

1. Теорема Остроградского-Гаусса, основные положения

1.1. Исторические аспекты, связанные с теоремой Остроградского-Гаусса

     В 1828 г. 27-летний русский математик М.В. Остроградский доложил на заседании Петербургской Академии наук о своих исследованиях в области переноса тепла, а вскоре опубликовал по этим результатам статью «Note sur la theorie de la chaleur» (Заметка по теории теплоты) в журнале Парижской Академии наук Mem. l'Acad, где в самом общем виде была доказана следующая формула:

      (1)

     У любого дальше возникает вопрос: почему теорема о дивергенции часто называется все-таки теоремой Остроградского-Гаусса, т.е. почему здесь указывается и имя Гаусса, а порой (чаще всего в английской и немецкой литературе) только его имя и упоминают. Просто в 1813г. Гаусс выпустил исторически значимую работу «Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata», в которой он изучил задачу о притяжении точки трехосным эллипсоидом. Здесь он впервые развил процедуру сведения объемного интеграла к поверхностному для простых функций в выражении:

      (2),

     и для нескольких частных случаев  ограничивающих поверхностей.¹ Более того, в 1830г. в работе «Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» Гаусс доказал теорему о среднем для гравитационного потенциала, которой мы часто пользуемся, в том числе в электродинамике, а именно: среднее значение потенциала по поверхности шара, внутри которого не содержится притягивающих масс, равно его значению в центре. Сразу же он вывел формулу:

           (3),

     где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей массу М, а под знаком интеграла стоит производная потенциала вдоль внутренней нормали к поверхности . В итоге получилось, что Гаусс в явном виде записал интегральное соотношение, равнозначное теореме о дивергенции для частного случая кулоновских полей.² Поэтому появление имени Гаусса при цитировании теоремы о дивергенции для кулоновских полей вполне закономерно. Но все же не стоит забывать о том, что эта теорема в общем виде была доказана впервые Остроградским, хотя это факт в последнее время редко вспоминают.

     Причин  того, что имя Остроградского при  упоминании теоремы чаще всего не упоминается, может быть несколько. Самая очевидная состоит в том, что произнести «теорема Гаусса» проще и быстрее, чем «теорема Остроградского-Гаусса», особенно для нерусского человека. Однако, часто важную роль в этом вопросе играет и мнение того или иного научного сообщества. Как уже упоминалось выше, в Германии и в англоязычных странах упоминается в большинстве случаев только имя Гаусса, иногда имена Грина и Стокса (теорема Стокса - это также теорема о конверсии процедуры интегрирования к меньшему числу измерений, а именно преобразование поверхностного интеграла к линейному - она известна как теорема о циркуляции). С другой стороны, во французской литературе, часто называется только имя Остроградского. Традиции цитирования в нашей стране, как правило, во все времена были более корректны, поэтому чаще всего теорема о дивергенции называется у нас теоремой Остроградского-Гаусса.

1.2. Теорема Остроградского–Гаусса

     Экспериментально  установленные закон Кулона и  принцип суперпозиции позволяют  полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.³

     Введем  новую физическую величину, характеризующую  электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1):

     где E_n – модуль нормальной составляющей поля

     Рассмотрим  теперь некоторую произвольную замкнутую  поверхность S. Если разбить эту поверхность  на малые площадки ΔS_i, определить элементарные потоки ΔΦ_i поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис.2):

     В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.⁴

     Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

     Для доказательства рассмотрим сначала  сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой  точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

     где R – радиус сферы.⁵ Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR². Следовательно, .

     Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R₀ (рис.3).

     Рассмотрим  конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS₀, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ₀ и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

     Здесь ΔS ' = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса r.

     Так как  а следовательно ΔΦ₀ = ΔΦ. Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ₀ через поверхность вспомогательной сферы:

     Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0.⁶ Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

     Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного  распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно  представить как векторную сумму  электрических полей  точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φ_i электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q_i оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

     Таким образом, теорема Гаусса доказана.

     Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять  утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

     Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев  легко вычислить напряженность  электрического поля вокруг заряженного  тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

     Примером  может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно  заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии, электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 4).⁷

     При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

     где τ – заряд единицы длины  цилиндра. Отсюда:

     Этот  результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

     Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно  построить замкнутую поверхность  для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.⁸

     Аналогичным образом можно применить теорему  Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда  распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

     Рассмотрим  еще один пример симметричного распределения  зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 5).

     В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

     где σ – поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.⁹

     Полученное  выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости  применимо и в случае плоских  заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

2. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

2.1. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

     В курсе векторного анализа доказывается очень полезная теорема. Она связывает интеграл от вектора по поверхности с интегралом дивергенции этого вектора по объёму:

      .    (13)

     Её  можно использовать для вывода теоремы  Гаусса в дифференциальной форме:

      (14) 

     Из  механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа этих сил не зависит от пути. А зависит только от начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле систем неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда взять положительный единичный заряд, то работа сил поля равна:

            (15)

     Этот  интеграл берётся по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным. ¹⁰

     Из независимости от пути следует, что по замкнутому контуру интеграл будет равен нулю:

               (16)

     Интеграл от вектора по замкнутому контуру (пути) называется циркуляцией вектора и обозначают С или (рис.6). 

     Рис.6. Интеграл от вектора по замкнутому контуру 

     Теорема о циркуляции вектора Е звучит так: циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю: 

                  (17)

     Следствие этой теоремы звучит так: в электростатическом поле силовые линии незамкнуты.

     Действительно, если бы какая-нибудь силовая линия была бы замкнута, то взяв по ней циркуляцию, мы получили бы интеграл отличным от нуля (скалярное произведение Е и dl по всему контуру будет положительно, а следовательно и вся сумма-интеграл тоже больше нуля).

     Поле, циркуляция которого равна нулю, называется потенциальным.

     Рассмотрим  отношение циркуляции вектора Е  к площади ограниченной контуром. Оказывается это отношение стремиться к некоторому пределу при S→0 , причём этот предел зависит от ориентации контура в пространстве. Ориентация контура задаётся вектором нормали n к плоскости контура и связано с направлением обхода правилом правого винта.¹¹

     Предел, получаемый при заданной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведёт себя как проекция вектора на вектор нормали к плоскости контура, по которому берётся циркуляция:

                 (18)

     Получим выражение для ротора в декартовой системе координат. Для этого выберем очень маленький контур в виде прямоугольника, лежащий в плоскости х,у (рис. 7.) 

     Рис. 7. Контур в виде прямоугольника, лежащий в плоскости х,у 

     Запишем интеграл - циркуляцию по этому контуру:

     Так как под интегралом стоит скалярное  произведение, то знаки расставлены  в соответствие с направлением единичных  векторов базиса.

     Теперь  разделим результат на площадь контура  и возьмём предел, так как нормаль  направлена на нас из рисунка, то это будет z-вая проекция ротора:

                  (19)

     Аналогично  получим х и у проекции ротора:

      ,   (20)

      .  (21)

     Собрав  все три проекции вектора вместе можно записать вектор в виде определителя:

              (22)

     Ротор ещё иногда называют вихрем.

2.2. Поток электрического смещения. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля

     Характер  векторных полей определяется потоком  и циркуляцией вектора. Рассмотрим поток электрического смещения электростатического  поля.

     Рис. 8 Поток электрического смещения электростатического поля

     В электрическом поле с электрическим  смещением представим элементарную площадку dS (рис.8). Ориентация dS в пространстве задается нормалью (единичным вектором) в направлении перпендикуляра к dS.¹²

     Потоком электрического смещения dФ_D через элементарную площадку dS называется произведение модуля электрического смещения на величину элементарной площадки dS и на косинус угла a между и :

     dФ_D = DdScosa.  (23)

     Здесь Dcosa = D_n - проекция на направление, поэтому dФ_D можно представить в виде:

     dФ_D=DndS.  (24)

     Поток электрического смещения через поверхность  площадью S выражается формулой:

     Формула потока через замкнутую поверхность записывается следующим образом:

     При замкнутых поверхностях за направление  принимается направление внешней нормали к dS.

     Теорема Остроградского - Гаусса утверждает, что  поток электрического смещения поля покоящихся электрических зарядов  через замкнутую поверхность  равен алгебраической сумме зарядов  в объеме, ограниченном этой замкнутой  поверхностью.

     Обозначим алгебраическую сумму зарядов внутри замкнутой поверхности qv. Тогда формула теоремы Остроградского - Гаусса будет иметь вид:

     

  (27)

     Если  S охватывает систему точечных зарядов, то:

     В общем случае из определения объемной плотности следует, что:

     q

и формула  теоремы Остроградского - Гаусса принимает  вид 

     

   (30)

     При применении теоремы Остроградского - Гаусса для расчета электростатических полей нужно:

     1) выбрать замкнутую поверхность,  удобную для данного случая  и проходящую через рассматриваемую точку;

     2) вычислить Ф_D через эту замкнутую поверхность;

     3) вычислить алгебраическую сумму  зарядов внутри выбранной замкнутой  поверхности;

     4) приравнять вычисленные Ф_D и q_V и из этого равенства определить D и Е.¹³

     Применив  теорему Остроградского - Гаусса для  электростатического поля бесконечной  заряженной однородно с поверхностной  плотностью s плоскости, можно получить: