Теорема Штурма
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ
АЛГЕБРЫ. НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ
2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3. РЯД ШТУРМА (СИСТЕМА ШТУРМА)
4. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ ШТУРМА
5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ШТУРМА К РЕШЕНИЮ ШКОЛЬНЫХ ЗАДАЧ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже.
Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). [4,c.54]
Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенны дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :
-(p(t)u¢)¢+q(t)u=lu,
удовлетворяющих граничным условиям вида:
А1u(a)+B1u¢(a)=0, A2u(b)+B2u¢(b)=0,
(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида: -u¢¢+q(x)u=lu).
Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.[3,c.12]
Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами.
Объектом исследования данной работы является изучение теоремы Штурма.
Предметом исследования является методика изучения многочленов.
Задачи:
-рассмотреть применение теоремы Штурма к решению школьных задач
-привести методические рекомендации по проведению занятий по данной теме.
Методы исследования:
-анализ научной, учебной литературы;
-обобщение и систематизация теоретического материала;
-подбор методических разработок.
- ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ. НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ
Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида
,
где I = (i1,i2,...,in) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое "коэффициент многочлена"), зависящее только от мультииндекса I.
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида
Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел).[6,c.34]
В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом, в случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число
| I | = i1 + i2 + ... + in.
Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).
Например, многочлен x4 + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.[10,c.78]
Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.
Корень многочлена над полем k – это элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a). Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).[9,c.73]
Доказательство:
Поделим с остатком P(x) = (x − a)Q(x) + R(x). Так как degR(x) < deg(x − a) = 1, R(x) - многочлен степени 0. Подставляя a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(x).
Другой вариант доказательства.
Запишем формулу Тейлора для многочлена:
Берём x0 = a. Теорема доказана.
Следствие. Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x − a.
Число вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами степени n заведомо меньше либо равно n. При этом комплексные корни многочлена (если они есть) сопряжены, таким образом, многочлен четной степени может иметь только четное число вещественных корней, а многочлен нечётной – только нечётное.
Всякий многочлен p(x) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень.
Теорема (основная теорема алгебры). Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел.[5,c.21]
Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.
Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.
Доказательство. У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x − a)g(x), где g(x) — другой многочлен. Применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель. На самом деле существует еще несколько прямых следствий.
Как предположение эта теорема
впервые встречается у
Д'Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какого-нибудь x f(x)≠0, где f(x) — многочлен степени ≥1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)|<|f(x)|. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что где-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во 2-й половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что по крайней мере один из них является комплексным числом. Гаусс первым дал доказательство без этого предположения (единственным недоказанным Гауссом предположением было то, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, также имеет и корень, что весьма геометрически наглядно). Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.[3,c.42]
Со времён доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Кроме того, доказательство теоремы не вполне "алгебраическое", оно привлекает утверждения о топологии комплексной плоскости, либо хотя бы вещественной прямой.
Многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде
где
— (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.
Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.
Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.[3,c.90]
Если — корни многочлена (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
Иначе говоря ( − 1)kak равно сумме всех возможных произведений из k корней.
Если старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.[1,c.38]
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства
где правая часть представляет собой многочлен, разложенный на множители.
После перемножения элементов правой части, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными в обеих частях, из чего следуют формулы Виета.
Пример. Квадратное уравнение
Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму
Если x1 и x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 , то
и .
В частном случае, если a = 1 (приведенная форма x2 + px + q = 0), то
x1 + x2 = − p и x1x2 = q.
Пример. Кубическое уравнение
Если x1, x2, x3 – корни кубического уравнения p(X) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, то
2.ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в математике и физике, следует выделить линейное уравнение второго порядка, имеющее вид
u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1)
или
(р (t) и')' + q (f) и = h(t). (1.2)
Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде
(p(t) и')' + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3)
если определить p(t) следующим образом:
(1.4)
при некотором a€J. Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2) можно записать в виде
,
а это уравнение имеет вид (1.1).
В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерывной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора :
, . (1.5)
Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t) ¹ 0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5), а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.)[4,c.73]
Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение
и" + q(t) u = h(t). (1.6)
Если функция принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных
, т.е. (1.7)
при некотором a € J. Функция s = s (t) имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет обратную t= t (s), определенную на некотором s-интервале. После введения новой независимой переменной s уравнение (1.2) переходит в уравнение
(1.8)
где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f)должен быть заменен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).
Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z:
(1.9)
при некотором a € J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению
(1.10)
которое имеет вид (1.6).
В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем.
Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.[11,c.65]
То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (корень Бринга).[11,c.71]
В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.
Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.[5,c.29]
3.РЯД ШТУРМА (СИСТЕМА ШТУРМА)
Для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма. Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма.[5,c.20]
Рассмотрим многочлен f(x) с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами называется рядом Штурма для многочлена f(x), если выполнены следующие условия: не имеет корней;
если и , то ;
если ,
то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через точку c, т.е. когда существует такое δ > 0, что
для и для .
Значением ряда Штурма в точке c называется количество смен знака в последовательности f0(c),f1(c),...,fs(c) после исключения нулей.
Теорема Штурма: Пусть f(x) — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, f0(x),f1(x),...,fs(x) — некоторый ряд Штурма для него, [a,b] — промежуток вещественной прямой, причём . Тогда число корней многочлена f(x) на промежутке [a,b] равно W(a) − W(b), где W(c) — значение ряда Штурма в точке c.[5,c.76]
Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена. Пусть многочлен f(x), отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:
;
;
Если fk(x) (k > 0) имеет корни, то , где — остаток от деления многочлена f(x) на многочлен g(x) в кольце многочленов , иначе s = k.
Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить , и далее следовать приведенному выше способу. Здесь (f(x),f'(x)) — наибольший общий делитель многочленов f(x) и f'(x). Если многочлен f(x) есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена f0(x) = f(x).
Ряд Штурма используется для определения
количества вещественных корней многочлена
на промежутке. Отсюда вытекает возможность
его использования для
Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена
f(x) = (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3
Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена
f(x) = (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3
Многочлен fi(x) |
Знак многочлена в точке |
||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| |
f0(x) = x2 − 4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
f1(x) = 2x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Значение ряда в точке |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена f(x) равно: 2 − 0 = 2 на промежутке
2 − 0 = 2 на промежутке (0,4)
2 − 1 = 0 на промежутке (0,2)
4.ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ ШТУРМА
Рассмотрим два уравнения:
где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и
. (3.2)
В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения
(3.32)
или
и (3.31)
выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.32) называется строгой мажорантой Штурма для (3.31) на J.[6,c.37]
Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.32) является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция является решением уравнения (3.11) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравнению (3.12) и
(3.4)
при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если ] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.11) при .
Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений
(3.5)
Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):
(3.6j)
Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что
для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.
Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.62), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.62) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при .
Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.31), либо (3.32). Запишем (3.62) в виде
,
где
Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при .Поэтому и при Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .
Следовательно, если при некотором t, то , т. е. . Если (3.31) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.32), и потому (3.32) справедливо на некотором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.
Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3j). Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.11) (3.12). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.[7,c.91]
Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.11) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).
Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.[9,c.44]
Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство .
5.ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ШТУРМА К РЕШЕНИЮ ШКОЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Упражнение 1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p1(t)ºp2(t)>0, q2(t)³q1(t).)
Предположим, что u1(t)>0 при t1<t2<t3 и утверждение неверно: например, u2(t)>0 при t1£ t£t2. Умножая (p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, где u=u1, на u2, а (p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0, где u=u2, на u1, вычитая и интегрируя по [t1,t2], получаем:
p(t)(u1¢u2-u1u2¢)³0, при t1£t£t2, где p=p1=p2. Это означает, что (u1/u2)¢³0; поэтому u1/u2>0 при t1<t£t2, т.е. получается, что u1(t2)>0 чего быть не может.
Решение:
(p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, u=u1
(p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1=0.
Умножим левую часть равенства на u2, получим:
u2(p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1u2=0.
Во втором
уравнении проделаем
(p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0, u2=u
(p2(t)u2¢)¢+q2(t)u2=0.
Умножим левую часть равенства на u1, получим:
u1(p2(t)u2¢)¢+q2(t)u1u2=0.
Вычитаем из первого уравнения второе, получим:
u2(p1u1¢)¢+q1u1u2-u1(p2u2¢)¢-q
u2(pu1¢)¢+q1u1u2-u1(pu2¢)¢-q2u
(u2(pu1¢)¢-u1(pu2¢)¢)+u1u2(q1-
Упростим это уравнение,
u2(p¢u1¢+pu1¢¢)-u1(p¢u2¢+pu2¢¢
Раскроем скобки, получим:
p¢u1¢u2+ pu1¢¢u2- p¢u1u2¢-pu1u2¢¢+u1u2(q1-q2)=0.
Сравнивая с формулой (2.2), получаем:
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢+u1u2(q1-q2)=
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢-u1u2(q2-q1)=