Теореми Чеви та Менелая
Міністерство освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України
Курсова РОБОТА
з геометрії
НА ТЕМУ:
«Теореми Чеви та Менелая»
Київ - 2012
ЗМІСТ
ВСТУП…………………………………………………………………
І ТЕОРЕМА ЧЕВИ…………………………………………………………5
1.1 Доведення за допомогою подібності трикутників………………...5
1.2 Доведення за допомогою площ трикутників………………………7
1.3 Доведення за допомогою теореми Фалеса…………………………8
1.4 Аналітичний метод…………………………………………………..9
1.5 Доведення за допомогою центра мас……………………………..10
1.6 Доведення за допомогою барицентричних координат………….12
1.7 Тригонометрична форма..…………………………………………14
1.8 Наслідки з теореми Чеви…………………………………………..15
ІІ ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ…………………………………………………16
2.1 Доведення за допомогою подібності трикутників……………….16
2.2 Доведення за допомогою площ трикутників……………………..18
2.3 Доведення за допомогою теореми Фалеса………………………..19
2.4 Аналітичний метод…………………………………………………19
2.5 Доведення за допомогою центра мас……………………………..20
2.6 Доведення за допомогою барицентричних координат…………..20
2.7 Тригонометрична форма…………………………………………...21
2.8 Доведення за допомогою гомотетії……………………………….22
ІІІ Приклади розв’язання задач…………………………………………..24
ВИСНОВКИ…………………………………………………………
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ…………………………………………………...
ВСТУП
Об’єктом дослідження є теореми Чеви та Менелая на площині та в просторі.
Мета роботи – дослідити докази двох теорем : теореми Менелая і теореми Чеви.
Хоча математиків − древньогрецького і італійського розділяють 17 віків, теореми, названі їх іменами, мають двоїстість. Якщо у будь-якій з них замінити пряму точкою і точку прямої, то теорема Менелая стане теоремою Чеви, і навпаки.
Досліджені теореми значно спрощують розв’язування ряду геометричних завдач.
Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. Теореми Чеви та їх наслідки використовується при розв’язуванні задач про три прямі, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трьох прямих в одній точці.
Результати досліджень можуть бути застосовані при викладанні теми “Теореми Чеви та Менелая” в математичних класах середніх шкіл, гімназіях та ліцеях, при позакласній роботі з учнями (на заняттях математичних гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).
Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “з’ясувати відношення” між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.
Теореми
Чеви та Менелая не входять
в основний курс шкільної
І ТЕОРЕМА ЧЕВИ
Теорема Чеви − це класична теорема геометрії трикутника. Ця теорема афінна, тобто вона може бути сформульована з використанням тільки тих властивостей, які зберігаються при афінних перетвореннях. Теорема названа на честь італійського математика Джованні Чеви, який довів її в 1678. Чева Джованні (1648-1734) – відомий італійський інженер-гідравлік і геометр. Свою теорему він сформулював у праці “Про пересічні прямі” (1678), яка започаткувала нову синтетичну геометрію. Довів він її, використовуючи властивості центрів мас системи точок.
Означення: Відрізок, що з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні, називається чевіаною.
Теорема: Нехай A1, B1, C1 лежать на прямих BC, CA, AB трикутника ∆ABC. Прямі AA1, BB1, CC1 конкурентні (тобто паралельні або перетинаються в одній точці) тоді і тільки тоді, коли:
Доведемо теорему декількома способами.
1.1 Доведення за допомогою подібності трикутників.
Необхідність: Нехай прямі AA1, BB1, CC1 перетинаються в точці O (рис. 1.1). Через точку B проведемо пряму, паралельну прямій AC. Нехай прямі AA1 i CC1 перетинають цю пряму в точках M i P вiдповiдно.
Рис. 1.1
Оскільки ∆AAC1 ~ ∆BAM1, то
з подiбностi ∆ACC1 i ∆PC1B випливає, що
Оскiльки ∆AOB1 ~ ∆BOM, ∆COB1 ~ ∆POB, то
Отже
Перемножимо почленно рiвностi (1), (2) i (3). Дістанемо:
B1
A1
C1
C
B
A
Рис. 1.2
Що й треба було довести.
Достатність: Нехай для точок A1, B1, C1 виконується рiвнiсть
Доведемо, що прямі AA1, BB1 i CC1 і проходять через одну точку. Нехай AA1 і CC1 перетинаються в точці O (Рис. 1. 2). Проведемо через точки B i O пряму, що перетинає сторону AC в точці B2. Оскільки прямі AA1, CC1 i BB2 перетинаються в точці O, то справедлива рiвнiсть
З двох одержаних рівностей дістанемо, що
Нехай цi спiввiдношення дорiвнюють коефiцiєнту k, тодi і . Але Отже, .
Оскільки точки B2 i B1 належать вiдрiзку AC, то точки B1 i B2 збігаються. Отже, прямі AA1 , BB1 i CC1 перетинаються в одній точці, що й потрібно було довести.
Надалі будемо розглядати тільки необхідну умову. Достатня доводиться аналогічно розглянутій в 1.1.
1.2. Доведення за допомогою площ трикутників
а) Оскiльки площi трикутникiв з рiвними висотами пропорцiйнi основам, то
,
використовуючи властивість дробів:
Аналогічно, і .
б) Площі трикутників з рівними основами пропорційні висотам.
Опустимо з точок A і В и перпендикуляри на пряму СС1 (Рис. 1.3). Оскільки ∆AA2C1 ~ ∆BB2C1
Аналогічно
отримуємо рівність для інших
пар
C
A1
B1
A
A2
C1
B2
B
Рис. 1.3
подібних трикутників
Отже, = 1
c) При доведенні скористаємося наступною лемою:
Даний довільний трикутник ABC; точка B1 лежить на стороні AC, E - довільна точка відрізку BB1 . Тоді
Нехай відрізки AA1, BB1 і CC1 перетинаються в одній точці E. Тоді, згідно з лемою, маємо:
Перемноживши ці рівністі, отримаємо:
1.3. Доведення за допомогою теореми Фалеса.
A3
C
B1
O
A1
B
A2
C1
A
Рис. 1.4
Введемо позначення
Тоді,
Проведемо прямі і
(Рис. 1.4).
За т. Фалеса ( )
Тогда по т. Фалеса ( )
(1)
Аналогично розглянемо за т. Фалеса ( )
і за т. Фалеса ( )
(2)
Прирівнюючи праві частини рівностей (1) и (2), отримаємо
1.4. Аналітичний метод
C(c;0)
A1
B1
A(0;0)
C1
B(a;b)
Рис. 1.5
Помістимо в початок координат точку А, а вісь ОХ направимо по прямій АС (Рис. 1.5). Використаємо введені раніше позначення КА, КВ, КС і формулу ділення відрізка в заданому відношенні:
і рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки:
Пряма (1)
Пряма (2)
Прямая (3)
Знайдемо координати точки О як точки перетину АА1 и СС1
Із (1) и (2) випливає
Т. я. точка , то при підстановці в формулу (3) отримаємо вірну тотожність (претворення опускаємо)
.
1.5. Доведення за допомогою центра мас.
Означення: Матеріальною точкою називається пара mA, де А−довільна точка, а m - дійсне число «маса», яка «зосереджена» в точці.
Центром мас (або барицентром) системи матеріальних точок (A1, m1), (A2, m2), ..., (An, mn) називається така точка Z, для якої має місце рівність m1 · ZA1 + m2 · ZA2 + ... + mn · ZAn = 0.
Якщо точка Z є центром мас системи матеріальних точок (A1, m1), (A2, m2), ..., (An, mn) при чому m1 + m2 + ... + mn ≠ 0, то для будь-якої точки O справедлива рівність
OZ=
Рис. 1.7
A1
C1
A
B
C
P
B1
B1
P
C
A1
B
C1
A
Рис. 1.6
Нехай такі числа, що (рис 1.6, 1.7).
Легко побачити, що При чому (за умовою теореми).
Оскільки , то т. С1 є центром мас матеріальних точок 1A і αB. Аналогічно т. A1 є центром мас матеріальних точок і , т. B1 є центром мас матеріальних точок і , тобто, і 1A.
Нехай . Позначимо через Z центр мас всіх трьох матеріальних точок. Тоді:
Аналогічно можна побачити, що , .
Таким чином, прямі мають спільну точку Z.
Нехай Оскільки B1 є центром мас матеріальних точок і 1A, то
Аналогічно,
.
Оскільки, то
Тому . Аналогічно, .
Отже прямі або мають спільну точку, або попарно паралельні.
1.6. Доведення за допомогою барицентричних координат
По аналогії з координатами вектору відносно деякого базису векторного простору можна ввести поняття барицентричних координат точок в афінній оболонці афінно незалежних точок.
Нехай x1,…,xn −довільні афінно незалежні точки. Тоді будь-яка точка
x∈aff (x1,...,xn) єдиним чином виражається у вигляді барицентричної комбінації точок x1,…,xn.
Елементи називають барицентричними координатами точки x відносно точок x1,…,xn.
y
x
b
c
a
Рис. 1.8
Лема: Нехай точки, які не лежать на одній прямій, і точка (Рис. 1.8). Тоді пряма ax називається чевіаною трикутника abc. На стороні ac трикутника abc взято точку y. Нехай
Тоді
1) Чевіани ax і by співпадають ⟺ y=a x=b
2) Чевіани ax і by паралельні ⟺
3) Чевіани ax і by мають едину спільну точку ⟺
z
y
x
b
c
a
Рис. 1.9
Теорема. Припустимо, що кожна з трьох чевіан ax, by i cz мають одну спільну точку. Тоді чевіани ax, by i cz мають спільну точку ⟺
Доведення.
чевіани ax, by i cz мають спільну точку (Рис. 1.9) ⟺ спільна наступна система рівнянь відносно t1, t2, t3 ∈ F :
Або
Оскільки точки a, b, c афінно незалежні, то отримана система рівносильна наступній
Виключаючи з системи невідомі , отримаємо
Згідно з умовою теореми, , тоді отримана система сумісна ⟺
або
1.7. Тригонометрична форма
Тригонометрична форма теореми Чеви для точок A1, B1, C1, що лежать на сторонах трикутника ABC:
Рис. 1.10
Доведення: Нехай орієнтовна кути (Рис. 1.10).
За теоремою синусів
Оскільки , якщо ∠AB1B – гострий (і навпаки, якщо ∠СB1B– гострий), то
Аналогічно,
Перемножемо
Отже,
1.8. Наслідки з теореми Чеви
1. Медіани трикутника перетинаються в одній точці.
2. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
3. Прямі, що сполучають вершини трикутника з точками дотику вписаного в нього трикутника, перетинаються в одній точці. Ця точка називається точкою Жергона
4. Висоти трикутника перетинаються в одній точці.
5. Прямі, що сполучають вершини трикутника з точками дотику вневписанной кола із сторонами трикутника(а не з їх продовженнями), перетинаються в одній точці. Ця точка називається точкою Негеля.
6. Прямі, що
сполучають вершини трикутника
з точками дотику одного з
вневписанных кіл із стороною
і продовженнями сторін
7. Прямі, що
сполучають вершини трикутника
і ділячі(внутрішнім чином)
8. Биссектриссы двох зовнішніх кутів трикутника не паралельні.
ІІ. ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ
Менелай Александрійський (I століття) − древньогрецький математик і астроном. Автор робіт по геометрії сфери. Для отримання формул сферичної тригонометрії використав теорему про пряму, що перетинає сторони трикутника. Ця теорема доводиться в третій книзі "Сферика". Менелай спочатку доводить теорему для плоского випадку, а потім центральним проектуванням переносить її на сферу. Можливо, що плоский випадок теореми розглядався раніше в незбережених "Порізмах" Евкліда.
Теорема. Нехай дано трикутник ABC i точки A1 , B1 , C1 на прямих BC, AC і AB вiдповiдно. Точки A1 , B1 , C1 лежать на однiй прямiй тодi й тiльки тодi, якщо
Доведемо теорему декількома способами.
2.1. Доведення за допомогою подібності трикутників.
K
A1
B1
C1
B
A
C
Рис. 2.1
Необхідність:
а) Нехай точки A1 , B1 , C1 лежать на однiй прямiй (Рис. 2.1). Проведемо через точку C пряму, паралельну AB, що перетинає B1C1
у точцi K. Оскiльки ∆CKB1 ∆AC1B1, то
а з подiбностi трикутникiв CA1K i C1A1B маємо:
Перемноживши почленно цi рiвностi i скоротивши на CK, дiстанемо:
Звідки
C
N
B1
P
A1
C1
B
A
M
Рис. 2.2
б) З вершини трикутника ABC опустимо перпендикуляри AM, BN i CP на пряму C1B1 (Рис. 2.2). Оскільки ∠MC1A = ∠NC1B, то ∆AMC1∆BNC1 за першою ознакою подібності трикутників. Звідси
З подібності трикутників BNА1 і CPА1 отримуємо
∆B1CP∆B1AM ⇒
Знак мінус з’явиться в формулі
з урахуванням того, что вектори і протилежно направлені.
Достатність: Нехай для точок A1 , B1 , C1, що лежать на сторонах трикутника ABC або на продовженнях, виконується рівність
Доведемо, що цi точки лежать на однiй прямiй. Через точки A1 і B1 проведемо пряму, що перетинає AB, наприклад, у точцi C2. Тодi для прямої C2A1B1 справедлива рівність
Отже,
звiдки точки C1 i C2 збiгаються, що доводить належнiсть точок A1, B1, C1 однiй прямiй.
2.2. Доведення за допомогою площ трикутників
S3
S4
S2
S5
C1
B
S1
A1
C
C1
A
Рис. 2.3
Нехай точки A1, B1 і C1 лежать на одній прямій (Рис. 2.3). Проведемо відрізки AA1 і CC1 і введемо позначення для площ трикутників, що вийшли. Тоді по лемі
Крім того, з формул площ трикутників ⇒
Перемноживши ці рівністі, отримаємо:
2.3. Доведення за допомогою теореми Фалеса.
B1
A2
C1
B
A1
C
A
Рис. 2.4
Проведемо пряму (Рис. 2.4) Тоді за теоремою Фалеса ( )
і за теоремою Фалеса ( )
Тоді
2.4. Аналітичний метод
Введемо позначення:
Виберемо на площині аффинную систему координат так, щоб точки А, В і С мали координати: С(0;0), А(1;0), В(0;1), виразимо координати точок А1, В1, С1 через КА, КB, КC за допомогою формул ділення відрізка в заданому відношенні, а потім вичислимо координати векторів . Отримаємо:
де
m = (1+КА)(1+КВ), n = (1+КА)(1+КС).
Отже вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли
2.5. Доведення за допомогою центра мас.
B1
A1
C
B
C1
A
Рис. 2.5
Як і при доведенні теореми Чеви, введемо числа (Рис. 2.5). Тоді, згідно з умовою Менелая . Отже, кожне з чисел відмінне від нуля. С1 центр мас матеріальних точок 1A і , А1 – м. т. , В1 − м. т. , або
. Отже при будь – якому виборі точки Q:
Віднімаючи друге рівняння від суми двох інших, отримаємо
а це означає, що точки А1, В1, С1 лежать на одній прямій.
2.6. Доведення за допомогою барицентричних координат
b
a
c
x
y
z
Рис. 2.6
Нехай точки a, b, c не лежать на одній прямій (Рис. 2.6), точки x, y, z лежать відповідно на сторонах bc, ca, ab трикутника abc. При чьому
Теорема: Точки лежать на одній прямій ⟺
Доведення: Оскільки
То матриця барицентричних координат точок x, y, z відносно точок a, b, c має виляд
Згідно з критерієм афінної незалежності, точки x, y, z лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли ранг цієї матриці , тобто її визначник = 0, або
2.7. Тригонометрична форма
5
6
4
3
2
1
B
A
B1
A1
C1
C
Рис. 2.7
Точки A1 , B1 ,C1 лежать на однiй прямiй (Рис 2.7) тодi й тiльки тодi, якщо виконується рівність
Використовуємо те, що площi трикутникiв iз рiвними висотами пропорцiйнi вiдповiдним сторонам, маємо:
Довiвши, що = 1, скористаємося цiєю рiвнiстю:
Або аналогічно доведенню тригонометричної форми теореми Чеви.
2. 8. Доведення за допомогою гомотетії.
B
A
B1
A1
C1
C
Рис. 2.8
Нехай точки A1, B1, C1 колінеарні (Рис 2.8).
Позначимо
Тоді . Тому
. Важливо, що ⇒
Тобто точки A1 і B1 ділили б відповідно відрізки CB і CA в однаковому відношенні, що можливо, коли (A1B1) || (AB), що заперечить умові теореми. Композиція гомотетій є гомотетія з коефіцієнтом і центром (A1B1) (AB) = C1, при чому . З іншого боку, у зв’язку з прийнятими позначеннями. Оскільки гомотетія визначена центром C1 і парою точек B→A, то , звідки , або, з урахуванням позначень
А ця рівність рівносильна рівності
ІІІ. ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Нетривіальними прикладами використання теореми Менелая є доведення теорем Гауса Дезарга, Паппа, Паскаля.
Теорема Гауса :
У чотирикутнику ABCD точки M1 і M2 - середини діагоналей AC і BD. Нехай, , N − середина відрізку EF. Довести колінеарність (приналежність одній прямій) точок .
Теорема Паппа :
Якщо A, C, E - три точки на одній прямій, B, D, F - на іншій, причому ніякі дві з прямих AB, CD, EF не паралельні і
, то L, M, N колінеарні.
Теорема Дезарга :
Нехай трикутники ABC і A1B1C1 такі, що прямі AA1, BB1, CC1 перетинаються в точці О і . Тоді K, M, N колінеарні.
Теорема Паскаля :
Якщо шестикутник вписаний в коло і його протилежні сторони не паралельні, то точки перетину прямих, що містять ці сторони, колінеарні.
Для того, щоб продемонструвати ефективність теорем Чеви та Менелая у розв’язанні задач, розглянемо розв’язання однієї задачі двома способами: векторним та за допомогою теореми Менелая.
Задача 1. Довести теорему Чеви, користуючись теоремою Менелая.
Розв’язання:
Нехай прямі АА1, ВВ1, СС1 перетинаються в точці О. Застосуємо теорему Менелая до трикутника АСС1 і січної ВВ1, а потім до трикутника ВСС1 і січної АА1.
Маємо
Перемноживши рівності почленно, одержимо
шуканий вираз теореми Чеви.
Задача 2. Нехай медіана . На взята точка K у відношенні . В якому відношенні пряма BK ділить площу?
Розв’язання:
n
K
m
P
C
D
B
A
Рис. 3.1
Очевидно, відношення площ ∆ABP і ∆CBP дорівнює відношенню відрізків AP і PC (Рис. 3.1). Отже, розв’язання задачі зводиться до знаходження відношення AP ∶ PC.
1-й спосіб
Векторний.
Вектор виразимо через вектори
Позначимо ,
За формулами ділення відрізка в заданому відношенні:
Але , тоді
Отже,
Прирівнюючи
коефіцієнти при однакових
Отже,
2-й спосіб
За допомогою теореми Менелая
Застосовуючи теорему до ∆ABC та січної BP, маємо
Задача 3. У трикутнику (Рис. 3.2) відрізок ( належить стороні ) ділить медіану у відношенні 3:4, починаючи від вершини . У якому відношенні точка ділить сторону
K
F
C
M
A
B
Рис. 3.2
Розв’язання
1-й спосіб
Проведемо
За умовою За теоремою Фалеса . Нехай , тоді
Відповідь: 3:8.
2-й спосіб
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
Тоді .
Відповідь: 3 : 8 .
D
M
Q
R
N
F
C
P
A
B
Pис. 3.3
Задача 4. Сторони трикутника поділено точками і так, що (Рис. 3.3) Знайти відношення площі трикутника, обмеженого прямими і , до площі трикутника
Розв’язання
1-й спосіб
Нехай .
Використовуємо
теорему синусів для
(1)
З трикутника :
.
, тому
(2)
Поділимо почленно рівність (1) на рівність (2):
З (3)
З : (4)
Поділимо почленно рівність (3) на рівність (4):
,
(*)
Нехай .
З (5)
З : (6)
Поділимо почленно рівність (5) на рівність (6)
З (7)
З : (8)
Поділимо почленно рівність (7) на рівність (8):
,
,
Оскільки , то
Використовуючи співвідношення (*) і (**), запишемо:
.
Аналогічно одержимо
.
Використовуючи властивості площ, маємо:
Відповідь: 3:7.
2-й спосіб
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
(1)
Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :
(2)
Використовуючи (1) і (2) дістанемо:
Аналогічно
А далі розв’язуємо, як в 1-му способі.
Відповідь: 3 : 7.
O
K
C
L
A
B
Рис. 3.4
Задача 5. Задано трикутник АВС. Як слід побудувати точку О всередині трикутника, щоб площі трикутників АОС, ВОС та АОВ відносилися як 7 : 11 : 13.
Розв’язання
1 спосіб.
Розглянемо трикутник АВС й побудуємо точку K, яка ділить сторону AB у відношенні 7 : 11, рахуючи від вершини A, та точку L, яка ділить сторону CA у відношенні 11 : 13, рахуючи від вершини C (Рис. 3.4).
Нехай O – точка перетину відрізків CK та BL. Покажемо, що O – шукана точка. Зазначимо, що у трикутників ACK та BCK спільна висота, яка опущена з вершини С, тому відношення їх площин дорівнює відношенню основ
SACK : SBCK = AK : BK.
Аналогічно, SAOK : SBOK = AK : BK.
Застосовуючи властивість пропорції ( Û ), одержуємо
SAOС : SBOС = AK : BK = 7 : 11.
Аналогічно, розглядаючи дві пари трикутників з основами AL та СL, доводимо, що
SBOС : SAOВ = CL : AL = 11 : 13.
Отже, SAOС : SBOС : SAOВ = 7 : 11 : 13, що і необхідно було довести.
2 спосіб.
З теореми Чеви випливає, що пряма АO розділить сторону ВС у відношенні 13 : 7, рахуючи від вершини В. Якщо застосовувати теорему Чеви в обернену сторону, то до розв’язку задачі можна було підійти інакше.
Нехай задано відрізок PQ, точка E, яка ділить його у відношенні p : q, де p та q – задані числа, й точка F, яка не належить прямій PQ. Аналогічно з наведеним розв’язком можна довести, що геометричним місцем точок М площини, для яких SPFM : SQFM = p : q є пряма EF (за виключенням точок E та F).
Отже, для того, щоб побудувати шукану точку О можна розділити сторони АВ, ВС та СА трикутника АВС відповідно точками K, N та L так, щоб
AK : BK = 7 : 11; BN : CN = 13 : 7; CL : AL = 11 : 13.
Тоді, згідно з теоремою Чеви , отже, відрізки AN, BL та CK перетинаються в одній точці, яка й буде шуканою.
Задача 6. Через точку K на медіані AM1 трикутника ABC проведено чевіани BB1 і CC1, при цьому BB1 = CC1 (Рис.3.5). Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.
Доведення. За теоремою Чеви має місце рівність:
Оскільки BM1 = CM1, то
тоді B1C1 || BC (за теоремою Фалеса).
Отже, BC1B1C — трапеція. Але її діагоналі рівні за умовою: BB1 = CC1. Отже, вона рівнобічна і ∠B = ∠C. Маємо: трикутник ABC —
Рис. 3.5 рівнобедрений.
Перевага застосування теорем Чеви і Менелая очевидна. Розв’язання задач за допомогою теорем Чеви і Менелая більш раціональне, ніж їх розв’язання іншими способами.
ВИСНОВКИ
Розв’язання задач складає суттєву сторону процесу навчання математиці: рівень математичної підготовки в більшості визначається глибиною навиків у розв’язанні задач.
Ці обставини спонукають з особливою увагою відноситись до організації в середніх школах, гімназіях та ліцеях ретельно продуманих занять, які мають за мету надати учням не тільки теоретичні знання в області геометрії, але й навчити їх вільно застосовувати здобуті знання до розв’язання нестандартних задач середньої та підвищенної складності.
Курсова робота присвячена вивченню теорем Чеви та Менелая на площині, та розв’язанню задач за допомогою цих теорем.
Теорема Менелая має широке застосування при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гауса та інших) та розв’язанні задач. Теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. В роботі наведено багато задач, розв’язаних двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая та Чеви, при цьому останній спосіб розв’язання задач виявляється більш раціональним (розв’язанні задачі займає всього кілька рядків). Зазначимо, що при розв’язанні задач найскладнішою справою є пошук трикутника, до якого слід застосувати теорему Менелая.
Теореми Чеви використовується при розв’язанні задач про три прямі, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трьох прямих в одній точці.
Досить ефективно при розв’язанні деяких задач застосовуються мало відомі стереометричні теореми Менелая і Чеви для довільного тетраедра.