Теория автоматического управления. 11

                 Зміст

  1. Отримання динамічних характеристик об’єкта регулювання і знаходження передаточних функцій об’єкта…………………………..4
 
  1. Вибір закону регулювання………………………………………………7
 
  1. Розрахунок  оптимальних настройок безперервного  регулювання…..10
  2. Оцінка сталості системи з оптимальними настройками………………12
 
  1. Оцінка  якості замкнутої системи………………………………………..14
 
  1. Література…………………………………………………………………27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вихідні данні

1. Крива розгону об’єкта (рис. 1)

2. Максимально можливе вхідна дія ∆Хmax = 18 % хода регулюючого органа.

3. Максимально динамічне відхилення ∆уmах ≤ 3,8 м.

4. Допустима статична помилка δост ≤0,96 м.

5. Час регулювання, t р ≤232 cек.

6. Можлива вхідна  дія ∆Х = 8 % регулюючого органа. 

      1.Отримання динамічних характеристик об’єкта регулювання і знаходження передаточних функцій об’єкта. 

  1.1 Отримання приблизної передаточної функції ТОК (технологічний об’єкт керування)

  У відповідності до завдання на вхід об¢єкта подається стрибкоподібнезбурення (х). Реакція об’єкта (у) надана у вигляді кривої розгону, що свідчить про перехід об¢єкта з одного стабільного стану до іншого. У курсовій роботі використовується статичний об¢єкт. Тому у подальшому огляді характер об¢єкта не зазначається.

   S-подібна  крива розгону складається з  двох ділянок. На першій ділянці,  де вихідна величина не змінюється, перехідний процес відповідає ланці запізнювання. Друга ділянка умовно відповідає експоненційній кривій та описується аперіодичною ланкою першого порядку.

  

Структурна схема  ТОУ 

Отже, приблизно  прийнята передаточна функція об’єкта:

,

    де  kо – коефіцієнт передачі, одиниця вимірювання вихідної змінної, % ходу регулюючого органа;

         То – постійна часу, одиниця часу;

         tо– запізнювання, одиниця часу. 

      Для отримання часових параметрів використовується графоаналітичний метод або метод дотичної.  Отримані часові параметри (рис 1):

     То =64,5 сек

     tо=39 сек

     t =27,75 сек

     

Коефіцієнт  передачі об’єкта керування (ко) визначається як відношення зміни вихідної величини до зміни вхідної дії:

.

    1.2 Отримання уточненої передаточної функції ТОК

      Уточнена  передатна функція описує динаміку ланки більш вищого порядку ніж  перший.

      Точніше визначення передаточної функції об’єкта  виконується за допомогою методу додаткових членів. Згідно з методом додаткових членів необхідно виконати таке опрацювання кривої розгону:

  1. вісь ординат змістити вправо на величину чистого запізнення (t);
  2. виконати процедуру нормування осі ординат (нормування відбувається шляхом нанесення поділок від нуля до одиниці на ось ординат від початкового стану до нового встановленого);
  3. на нормованій осі ординат визначити точку h(t1) = 0,632 та згідно з кривою розгону визначається час t1; t1 =52,5 сек
  4. на осі абсцис знайти точку t2 = t1/2 та встановити проекцію на ось ординат та визначити h(t2).  t2 = t1/2 = 52,5/2=26,25сек

    При этом h(t2)=0,25

      У відповідності до отриманого значення h(t2), визначається порядок передаточної функції (n) за графіком 1. При цьому необхідно прийняти n у відповідності до найближчої цілої величини.  

Так, якщо h(t2) = 0,25, то n = 3.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Графік 1 – Визначення порядку уточненої передаточної функції 

      За  допомогою таблиці 1 визначають значення коефіцієнта Dn. 

Таблиця 1 – Визначення постійних часу передаточної функції 

n 1 2 3 4 5 6 7
Dn 0,962 0,642 0,524 0,462 0,421 0,391 0,371
 

      З урахуванням коефіцієнта Dn постійні часу визначають за формулами:

;

,

      

      Отримана  таким чином передаточна функція  об’єкта має вигляд:

. 

            

      Слід  звернути увагу, що у виразі уточненої  передаточної функції використовується чисте запізнювання (t) на відзнаку від повного запізнювання (tо), що використовувалось для виразу приблизної передаточної функції. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Вибір закону регулювання 

      Вибір закону регулювання здійснюється на підставі виконання системою наступних  вимог:

  • сталість АСР повинна бути забезпечена при будь-яких режимах роботи;
  • прямі показники якості повинні задовольняти вимогам завдання.

      Для створення замкнутої системи  управління застосовують такі закони регулювання:

  • позиційний;
  • пропорційний;
  • інтегральний;
  • пропорційно-інтегральний;
  • пропорційно-інтегральний диференційний.
 

      Вибір закону регулювання базується на даних про динамічні властивості об¢єкта (То, tо). Позиційний закон регулювання переважно застосовується у разі дотримання виразу: . Якщо співвідношення , застосовують безперервне або імпульсне регулювання. У курсової роботі передбачено використання безперервного регулювання.

 Вибираємо безперервне регулювання.

2.1 Розрахунок динамічного  коефіцієнта регулювання

      Вибір закону регулювання для безперервного  регулятора здійснюється на підставі динамічного коефіцієнта регулювання:

,

      де Dу max – найбільше динамічне відхилення; одиниць величини, що регулюється;

        Dхmax – найбільша можлива вхідна дія, % ходу регулюючого органа.

      Коефіцієнт Rg є якісною оцінкою умов експлуатації. Він відображує найбільш важкі можливі умови роботи, ставлячи у відповідність максимально можливому збуренню максимально можливе, за технологічних умов, динамічне відхилення регульованої величини від встановленого значення та характеризує ступінь впливу регулятора на об¢єкт, знижує максимальне відхилення регульованої величини.

      Отримавши величину , за допомогою графіку 2, для обраного типу перехідного процесу, визначають закон регулювання. Типові перехідні процеси прийняті для трьох значень перерегулювання – : аперіодичний ( = 0%), з 20% перерегулюванням ( = 20%), з мінімальною інтегральною квадратичною оцінкою ( = 40%).

      Ми  обираемо перехідний процес з перерегулюванням: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Графік 2 – Вибір закону регулювання для статичних об¢єктів

                            1-4 – відповідають законам регулювання  І, П, ПІ, ПІД 

Таким чином згідно з графіком вибираємо ПІД закон регулювання.

      Передаточна функція для нього приведена  в таблиці 2: 
 

Таблиця 2.

Тип безперервного регулятора Передаточна функція
           ПІД
 

    2.2 Розрахунок очікуваного  часу регулювання

      Після вибору закону регулювання необхідно  оцінити очікуваний час регулювання (tр). Для цього по графіком 3, визначають відносний час регулювання (Zp).

 
 

Рис. 6. Оцінка статичної помилки АСР з П- регулятором

                             1-4 – відповідають законам регулювання  І, П, ПІ, ПІД 
 
 

Графік 3 – Оцінка очікуваного часу регулювання 
 
 

     З графіків маємо    

     Для підрахунку шуканої величини необхідно  скористатись формулою:

.

      Розрахуємо  очікуваний час регулювання:

                                    

      Очікуваний  час (tр) регулювання не перевищує передбачений завданням: 195с < 232с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Розрахунок  оптимальних настройок

безперервного регулятора

    3.1 Розрахунок настройок  регулятора за  перехідною характеристикою  об‘єкта

      Приблизні настройки регулятора за перехідною характеристикою визначаються за методом А.П. Копеловича. Згідно з цим методом настройки регуляторів розраховують за формулами наведеними в табл. 3, з урахуванням обраного типу перехідного процесу. 

Таблиця 3 – Настройки  регуляторів на статичних об’єктах  

Регулятор Тип перехідного процесу
ПІД

 

    3.2 Розрахунок настройок за АФХ розімкнутої АСР

      З метою отримання більш точних настройок їх розрахунок виконується  на базі АФХ об’єкта регулювання. При цьому досягається завданий характер затухання перехідного процесу в замкнутій системі, який характеризується показником коливання М. Значення М звичайно обирають у межах 1,1-2,4. Обираючи значення М, можливо задати бажаний характер перехідного процесу в системі регулювання.

      Метод графічного розрахунку настройок заснований на тому, що АФХ розімкнутої системи  регулювання, що може бути розрахована  як , повинна торкатися кола, яке є геометричним місцем точок із завданим значенням М. Радіус такого кола,

                        

а її центр  розташований на від’ємній дійсній  півосі на відстані.

                              

     В залежності від закону регулювання  змінюються настройки регуляторів  і методи їх визначення. 

Таблиця 4 – Результати розрахунку АФХ РАСР 
 
 
 
 
 

w fоб(w) Аоб(w) DА(w)
56,16 74,88 93,6 112,32 131,04 30
0,066 -239,5 0,55 -0,87 -1,25 -1,6 -1,97 -2,31 -0,26
0,033 -135,98 1,18 -0,46 -0,99 -1,22 -1,86 -2,28 0,61
0,0165 -63,4 1,59 0,99 0,29 -0,19 -0,6 -0,99 2,8
0,132 -396,1 0,11 -0,39 -0,05 -0,67 -0,81 -0,94 -0,19
0,264 -644,16 0,02 -0,15 -0,2 -0,25 -0,296 -0,35 -0,08
 

     Графічний розрахунок приведен на рис 2. Вибір  оптимальних параметрів приведений на рис 3.

     Маємо:

     Kopt=0,03

     Tиopt=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     4.Оцінка сталості системи з оптимальними настройками

4.1 Розрахунок АФХ  РАСР з оптимальними  параметрами

     Оцінка  сталості замкненої системи виконується  за допомогою критерію Найквіста-Михайлова. Для цього на комплексній площині  необхідно побудувати АФХ розімкнутої системи (годограф Найквіста), яка містить в собі об’єкт та регулятор із знайденими оптимальними настройками.

      Враховуючи  послідовну схему з’єднання регулятора та об’єкта, частотна передаточна функція  розімкнутої системи регулювання  представляє добуток передаточної функції регулятора та об’єкта:

.

При цьому  модуль вектора АФХ розімкнутої  системи визначається як добуток  і , а аргумент – як сума і : 

,

.

        

Для кожного  заданого значення частоти визначають модуль і аргумент об’єкта і регулятора, після чого розраховують модуль і  аргумент АФХ розімкнутої системи (табл. 5). 

Таблиця 5 – Результати розрахунку АФХ РАСР з оптимальними настройками 

w fоб(w) Аоб(w) fр(w) Ар(w) fрс(w) Арс(w)
0,066 -239,5 0,55 -88,98 0,23 -328,48 0,1265
0,033 -135,98 1,18 -89,75 0,45 -225,73 0,531
0,0165 -63,4 1,59 -89,94 0,91 -153,34 1,4469
0,132 -396,1 0,11 -85,72 0,11 -481,82 0,0121
0,264 -644,16 0,02 -69,37 0,06 -713,53 0,0012
 

      Набір частот, при яких розраховується АФХ  розімкнутої АСР, як правило, зберігається той, що й використовувався на етапі  розрахунку оптимальних настройок. Тобто дані по модулю та аргументу  вектора об¢єкта залишається перенести з попереднього розділу.

      У залежності від обраного закону регулювання, маємо певну структуру передаточної функції регулятора (табл.6). 

Таблиця 6 – Передаточна  функція для ПІД регулятора 

Регулятор Передаточна функція
        ПІД
 

      У формулу обраного закону регулювання  необхідно підставити оптимальні настройки.

      Годограф  Найквіста з зазначенням правила  розрахунку запасу стійкості за модулем (с) та фазою ( ) приведений на рис 4.

      АФХ не охоплює точку з координатами (–1, j0), згідно з критерієм Найквіста-Михайлова, система стала. 

4.2 Оцінка запасу  сталості

      З використанням годографа Найквіста  відбувається попередня оцінка якості синтезованої системи за такими показниками  як:

  • запас сталості за модулем (с) – відстань від точки перетину АФХ РАСР з від’ємною піввіссю до точки на від’ємній півосі з координатами (–1,j0);
  • запас сталості за фазою ( ) – кут між від’ємною півоссю та променем, проведеним з початку координат через точку перетену АФХ і кола радіусом 1 з центром у початку координат.

           Вважають, що система  достатньо стала, якщо виконуються  наступні умови:

,

.

. 

      Таким чином маємо не достатню сталу систему. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     5.Оцінка  якості замкнутої  системи 

      Для оцінки якості замкнутої АСР будемо використовувати прямі показники  якості: статична та динамічна похибки, час регулювання. Їх оцінка виконується  за графіком перехідного процесу  у замкнутій АСР.

      Розрахунок  по ДЧХ (Р( )) відбувається за рівнянням, що пов¢язує ці параметри наступним чином:

.                                         

      Надані  методи побудови перехідної характеристики відносяться до точних. При практичній реалізації, побудова перехідної характеристики відбувається за приблизними методами. Ми будемо користуватися методом трапецій.

      За  методом трапецій вихідною інформацією  є дійсна частотна характеристика замкнутої  системи. ДЧХ замкнутої системи  може бути побудована на основі АФХ  розімкнутої системи. ЗАСР може бути отримана з РАСР, якщо вона буде охоплена від¢ємним зворотнім зв¢язком.

 
 
 
 

Структурна  схема ЗАСР 

5.1 Побудова ДЧХ замкнутої  АСР

      Частотна  передаточна функція замкнутої  системи має вигляд:

.

      Згідно  з отриманим виразом, знаменник  частотної передаточної функції  замкнутої системи є збільшена  на одиницю частотна передаточна функція розімкнутої системи. Таким чином, якщо півось ординат перенести ліворуч на одиницю, АФХ розімкнутої системи перетворюється на АФХ знаменника частотної передаточної функції замкнутої системи. Після цього з нового початку координат у точки АФХ з відомими значеннями w будують вектори і вимірюють їх модулі та аргументи.

      Модуль  вектора АФХ ЗАСР визначають як частку від ділення модуля вектора АФХ  розімкнутої системи ( ) на модуль АФХ знаменника ( ) частотної передаточної функції замкнутої системи при тій самій частоті:

. 
 

Аргумент  вектора АФХ замкнутої системи  визначається як різниця між аргументами  АФХ розімкнутої системи( ) і АФХ знаменника частотної передаточної функції замкнутої системи ( ) при однакових частотах:

.

      Ордината  дійсної частотної характеристики при відповідних частотах визначається як добуток модуля АФХ замкнутої  системи на косинус її аргументу:

.

      Отримані  масиви інформації доцільно надати у  табличній формі (див. табл. 7.

Таблиця 7 – Результати розрахунку ДЧХ ЗАСР 

w fрс(w) Арс(w) fзн(w) Азн(w) fзс(w) Азс(w) Р(w)
0,066 -328,48 0,1265 4 1,12 -332,48 0,11 0,1
0,033 -225,73 0,531 34 0,76 -259,73 0,7 -0,12
0,0165 -153,34 1,4469 -114 0,71 -39,82 2,04 1,57
0,132 -481,82 0,0121 -1 0,99 -480,82 0,012 -0,006
0,264 -713,53 0,0012 0,5 1,01 -714,03 0,0012 0,0012
 

Отримані, таким  чином, координати точок ДЧХ замкнутої  системи, наносять у координатах: частота ( ) – дійсне значення АФХ замкнутої системи (Р( )). З’єднавши отримані точки плавною кривою, отримують графік дійсної частотної характеристики замкнутої системи.