1. Введение

    Теория  автоматического управления (ТАУ) появилась  во второй половине 19 века сначала как  теория регулирования. Широкое применение паровых машин вызвало потребность  в регуляторах, то есть в специальных  устройствах, поддерживающих устойчивый режим работы паровой машины. Это дало начало научным исследованиям в области управления техническими объектами. Оказалось, что результаты и выводы данной теории могут быть применимы к управлению объектами различной природы с различными принципами действия. В настоящее время сфера ее влияния расширилась на анализ динамики таких систем, как экономические, социальные и т.п. Поэтому прежнее название “Теория автоматического регулирования” заменено на более широкое - “Теория автоматического управления”.

    Управление  каким-либо объектом (объект управления будем обозначать ОУ) есть воздействие на него в целях достижения требуемых состояний или процессов. В качестве ОУ может служить самолет, станок, электродвигатель и т.п. Управление объектом с помощью технических средств без участия человека называется автоматическим управлением. Совокупность ОУ и средств автоматического управления называется системой автоматического управления (САУ).

    Основной  задачей автоматического  управления является поддержание определенного закона изменения одной или нескольких физических величин, характеризующих процессы, протекающие в ОУ, без непосредственного участия человека. Эти величины называются управляемыми величинами. Если в качестве ОУ рассматривается хлебопекарная печь, то управляемой величиной будет температура, которая должна изменяться по заданной программе в соответствии с требованиями технологического процесса. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Основная  часть.

1. Теоретическая часть.

Передаточная  функция.

    Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

    Звено, описываемое уравнением (2.1) или, то же самое, уравнениями (2.2) — (2.4), можно  характеризовать двумя передаточными  функциями: передаточной функцией W₁(p) по входной величине х

            (2.5)

и передаточной функцией W₂(p) по входной величине z, т.е.

            . (2.6)

     Используя передаточные функции, уравнение (2.1) записывают в виде

           y=W₁(p)x+W₂(p)z. (2.7)

     Это уравнение представляет условную, более компактную форму записи исходного уравнения (2.1). Уравнения (2.3), (2.4) и (2.7) называют уравнениями в символической или операторной форме записи.

     Используя запись дифференциальных уравнений  в символической ферме (2.3) или (2.4) и рассматривая формально собственный оператор и оператор воздействия как обычные алгебраические сомножители, передаточную функцию в операторной форме также можно определить как отношение выходной величины к входной.

     Наряду  с передаточной функцией в операторной  форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

     Передаточной  функцией или передаточной функцией в форме  изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Если звено (система) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной величины остальные входные величины полагают равными нулю.

     Пример. Найдем передаточные функции в форме  изображений Лапласа

Используя свойства линейности и дифференцирования  оригинала (свойства 1 и 2 преобразования Лапласа), при нулевых начальных  условиях получим

            , (2.8)

где Y(s)=L{y(t)}, X(s)=L{x(t)}, Z(s)=L{z(t)}.

     Полагая последовательно Z(s)=0, X(s)=0 и определяя каждый раз, отношение выходной величины к входной получим:

            , . (2.9)

     Передаточную  функцию в форме изображения  Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку р=s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала — символическому умножению оригинала на р — при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

     Сходство  между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем). Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в (2.1) зависят от времени, формула (2.9) неверна.

     Используя передаточные функции (2.9), уравнение (2.8) в изображениях Лапласа можно записать

            . (2.10)

     Это уравнение, как и уравнение (2.8), адекватно  исходному дифференциальному уравнению (2.1) только при нулевых начальных  условиях. Если начальные условия не равны нулю, то уравнениями (2.8) и (2.10) как математическими описаниями исходного звена пользоваться нельзя.

Правила преобразования структурных  схем. 

Следующие правила являются элементарно-преверяемыми свойствами структурных схем. Но на их основе можно любую, сколь угодно сложную структурную схему преобразовать и упростить до требуемого вида. 

• Передаточные  функции последовательно  соединенных звеньев  перемножаются.

U(p)                      X₁(p)                    X₂(p)     X_k-1(p)                      Y(p)

                                                                  …… 

X₁(p)=W₁(p)U(p);……. Y(p)=W_k(p)X_k-1(p). 

Последовательно подставляем выходные сигналы, выражая  их через входные: 

поэтому:                                                                                               (1) 
 

• Передаточные  функции параллельно  соединенных звеньев  складываются.

            U(p)

                     ….…………                     Y(p)                      

     поэтому:                                                                                    (2) 
 

• Передаточная  функция участка  с обратной связью-

          передаточная функция замкнутой системы.

                                                                          Обозначим все сигналы:

       U(p)     e(p)                    Y (p)             Y(p) =W(p)e(p);  Y_ос(p) = W_ос(p)Y(p);  

                                                                    e(p)=U(p) -Y_oc(p) = U(p) -W_ос(p) Y(p);

                   (-/+)                                          исключим е(p), выразим выход че-

       Y_oc(p)                                                   рез вход: Y(p)=W(p)(U(p)-W_ос(p)Y(p);       

     Y(p)·(1± W(p)W_ос(p))=W (p)·U(p); 

     поэтому:                                                                                    (3) 

Знак  плюс или минус зависит от того, отрицательная или положительная обратная связь имеется в замкнутой системе. 
 

• Перенос узла через блок.

            U(p)                                                                   U(p)                   Y(p)

                     ….…………             Y_i(p)=W(p)U(p)                                          …..  

                уз ел                                                                                          узел 
 

Эти две  схемы полностью эквивалентны, но в первой имеется множество блоков с одинаковой передаточной функцией, что неэкономно. 
 

• Перенос внешнего воздействия вперед и назад через блок.

                                                                  U(p)

       U(p)     e(p)                                       Y (p)                                                   Y(p)      

       Y_oc(p)                                                         

Эти две  структурные схемы полностью эквивалентны с точки зрения W_зс(p).

• Перенос места включения обратной связи.

       U(p)     e(p)                                       Y(p) U(p)                                            Y(p)      

       Y_oc(p)                                                         

Эти две  структурные схемы полностью  эквивалентны с точки зрения W_зс(p). 
 
 
 

Частные передаточные функции. 

      В общем случае можно  выразить любой выходной сигнал через любой  входной сигнал при  условии, что все  остальные входные  сигналы равны 0 и  имеются 0 начальные условия.

                                        f_воз(p)

       U(p)     e(p)                                                         Y (p)                                                  

                   (-)                                        

       Y_oc(p)                                                         

Это есть не что иное, как принцип суперпозиции, вытекающий из линейности. Например, выходной сигнал Y(p) и сигнал ошибки e(p) выражаются так:  

            Y(p)=W_зс(p)U(p) + W_f (p)f(p);     e(p)=W_e(p)U(p) + W_ef (p)f(p);     (4) 

Помимо  входного и выходного сигналов в  системе, важными являются сигналы ошибки e(t),  возмущающее воздействие f_воз,  сигнал обратной связи Y(p).

По отношению  к этим сигналам имеется несколько  часто использующихся передаточных функций:

• Главная передаточная функция  или передаточная функция замкнутой  системы:

                                                                                                    (5)

• Передаточная  функция по ошибке.

                                                                                                    (6)

W_e(p) - позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии.

• Передаточная  функция по возмущению (от возмущения к выходу).

                                                                                                    (7)

Эта передаточная функция позволяет выразить влияние  возмущения на выходной сигнал.

• Передаточная  функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке).

                                                                                                    (8)

• Передаточная  функция по обратной связи.

                                                                                                    (9)

Типовые входные воздействия.

      В соответствии с принципом суперпозиции  и линейности достаточно изучить  реакцию объектов на некоторые простые  типовые входные воздействия. Реакция на более сложные входные воздействия будет получаться как комбинация простых . 
 

1. Единичная ступенька  1(t). 

Преобразование  Лапласа имеет вид: 
 

2. Линейно нарастающее  входное воздействие    t(t).

Преобразование  Лапласа: 

Замечание:  Т.к. производная от единичной линейной функции равна 1,то:

                                                 ;                                   ; 

Замечание:  Y(p) = W(p) (pU(p)) = p W(p) U(p) ,   где p W(p) U(p) – производная выхода при нулевых начальных условиях. Это важнейшее свойство оператора Лапласа (дифференцирования) для линейных систем:

дифференцирование входного сигнала  переставимо (коммутирует) с передаточной функцией.

То есть фактически (математически) безразлично  вначале продифференцировать сигнал и после этого пропустить его через ПФ, или вначале пропустить, а затем продифференцировать выходной сигнал. На самом деле, справедливо и гораздо более сильное утверждение: передаточная функция коммутирует с любой аналитической функцией от оператора дифференцирования, например, полиномом P(p) или, скажем, экспонентой e^-p .

 3. Экспонента   e^at   с вещественным показателем.

Преобразование  Лапласа: 

Полученное выражение, конечно, справедливо и при любом  комплексном a.

Воспользуемся этим фактом, чтобы рассмотреть следующий  случай: 

4. Гармонические входные  воздействия   sin wt  и соs wt.  

С помощью Формулы  Эйлера и выделения вещественной и мнимой частей:

sin wt = Im e^jwt    т.к.  e^jwt =cos wt + j cos wt.

Соответственно  cos wt = Re e^jwt.

Поэтому преобразования Лапласа обоих функций  имеют вид:

L{sin wt} = L(Im e^jwt) = Im L(e^jwt) = Im (1/(p-jw)) = Im((p+jw)/(p²+w²)) =

Im(p/(p²+w² )+jw/ (p²+w²)) = w/ (p²+w²).

L{cos wt} = L(Re e^jwt) = Re L(e^jwt) = Re (1/(p-jw)) = Re((p+jw)/(p²+w²)) =

Re(p/(p²+w² )+jw/ (p²+w²)) = p/ (p²+w²). 
 

5. d(t)- функция (математическая модель очень короткого, но конечного воздействия большой мощности). 

Определение d(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t):

                                                                                                                       (1) 

Поэтому преобразование Лапласа d(t)-функции имеет вид:   L{d(t)} = 1. 

Замечание: d(t)- функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функциями:

                                                                                                        (2)

                                        d/dt                                     d/dt

..….ю                                                                                                                   …… 
 
 

Так получается целый ряд полиномиальных функций, связанных операцией дифференцирования (интегрирования), продолжающийся в  обе стороны.  

Определение 2:

Переходной  функцией H(t)  объекта с передаточной функцией W(p) называется реакция на единичную ступеньку на входе при нулевых начальных условиях.

                                            H(p)=W(p)/p.                                               (3) 

Определение 3:

Весовой функцией  h(t)  (импульсной переходной функцией) блока с передаточной функцией W(p) называется реакция на d - функцию на входе при нулевых начальных условиях. 

                                           h(p)=W(p) 1=W(p).                                       (4)  

Очевидно, что  h(p)=pH(p), что соответствует (14).

Произведение изображений соответствует свертке оригиналов, поэтому имеется формула свёртки, выражающая выход блока через интеграл от произведения весовой функции и входного сигнала:

т. к.    Y(p)=W(p)U(p), то при подаче d(t) на вход, выход блока равен передаточной функции: Y(p)=W(p)1.   Поэтому по Определению 3:   h(p) =W(p). Сделаем обратное преобразование Лапласа и получим:

                                                                                                       (5) 

Выходной сигнал в каждый момент времени зависит не только от входного сигнала  в этот  момент времени, но и от входа во все предыдущие моменты времени с “весом”, определенным функцией   h(t).

      Из (5) и из (3) вытекает следующая схема проведения эксперимента по определению параметров звена (блока):

Первый  подход: подадим на вход d^*(t).

Пусть  d*(t) » d(t)  (т.к. d(t) физически не реализуема),  измерим h^*(t)»»h(t).

Теперь  можно вычислить    L{h^*(t)} = W^*(p) »» W(p). 

Другой  подход: На вход подаем 1(t).

Измеряем H(t)  и вычисляем W(p): 

Замечание: численное дифференцирование – некорректная операция.  

Устойчивость  систем автоматического  управления.

• Техническое понятие устойчивости отражает понятное и очевидное свойство "хорошей" технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при некотором, возможно небольшом, отклонении всевозможных параметров от номинала.
• Устойчивость системы - простейшее техническое требование в системы в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.
• Свойство устойчивости, являясь простейшим свойством системы, без которого система неработоспособна, может быть выражено числовыми показателями, которые легко могут быть вычислены и непосредственно связаны со всеми другими показателями качества и точности системы.