Теория машин и механизмов

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

1. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА

 

1.1. Структурный анализ

 

Звенья: 1- кривошип; 2 – камень кулисы; 3 – кулиса; 4 – шатун; 5 – ползун; 6 – стойка; число подвижных звеньев n = 5.

Кинематические  пары: 1 стойка и кривошип; 2 кривошип камень; 3 камень и кулиса; 4 кулиса и стойка; 5 кулиса и шатун; 6 шатун и ползун; 7 ползун и стойка; число кинематических пар p₅ = 7.

Степень подвижности  механизма:

W = 3n – 2p₅ – p₄ = 3 ^. 5 – 2 ^. 7 – 0 = 1

Механизм состоит из следующих структурных групп  Ассура: диады второго вида – группы звеньев 4 и 5 , диады третьего вида – группы звеньев 2 и 3, группы начальных звеньев – входного звена 1 и стойки 6.

В целом рассмотренный  механизм является механизмом второго  класса второго порядка.

Формула строения механизма запишется в следующем виде:

I(6,1)®II(2,3) ®II(4,5).

 

1.2. Кинематическое исследование механизма

 

1.2.1. Основные задачи и методы.

 

Основными задачами кинематического  исследования механизмов являются:

• Определение положений звеньев (построение планов положений механизма);
• Построение траекторий точек;
• Определение скоростей и ускорений точек;
• Определение угловых скоростей и ускорений точек;

Под масштабом при  применении графических методов  анализа механизмов подразумевается  отношение действительной величины, выраженной в соответствующих единицах, к длине отрезка, изображающего  эту величину, в миллиметрах. При  построении кинематических схем и планов положения механизмов  определяется масштаб длин К_l.

где l_OA – действительная длина кривошипа, м;

ОА – длина отрезка  изображающего кривошип, мм.

При построении планов скоростей используется масштаб скоростей К_V.

 

Если действительная величина скорости точки А₁ будет V_A1, а длина отрезка изображающего эту скорость, - p_va₁, то масштаб скорости:

Аналогично определяем масштаб ускорений, сил и т. п.

 

1.2.2.Построение  планов положений механизма.

 

В принятом масштабе длин наносим на чертеже положение  неподвижных точек О, В и ось  неподвижных направляющих х-х механизма.

Для построений планов положений звеньев механизма разделим траекторию, описываемую точкой А кривошипа, на восемь равных частей. За начальное положение кривошипа принимаем ОА₀, при котором ползун занимает крайнее левое положение D₀. Начиная от точки А₀ в сторону направления угловой скорости w₁ ведем нумерацию положений точки А. Получаем точки А₀,А₁,А₂, … , А₇, соединив которые с точкой О, находим восемь положений кривошипа ОА.

Если вторая мертвая  точка не попадает в число фиксированных  восьми положений, то следует ввести соответствующее ей промежуточное, девятое положение, обозначив его тем же номером, что и соседнее фиксированное положение, но со штрихом.

Соединяем точку В (центр  вращения кулисы) с точками А₀,А₁,А₂, … , А₇ и каждый луч ВА_i продолжаем до пересечения с дугой радиуса l_BC. Получаем положение шарнира С, соответствующее принятым положениям кривошипа ОА.

Для определений положений точки D засекаем ось неподвижных направляющих х-х дугами окружностей с радиусами l_CD, проведенными из точек С₀, С₁, С₂, …, С₇. Получаем точки D₀, D₁, D₂, …, D₇, соединив которые с соответствующими точками С, определяем восемь положений шатуна CD.

 

1.2.3. Исследование движения механизма методом построения кинематических диаграмм.

 

Эти диаграммы дают наглядное  представление о законе движения выходного звена механизма. Для  выходного звена механизма строятся кинематические диаграммы если звено  движется возвратно-поступательно (ползун D исследуемого механизма)

Построение диаграммы  «путь – время» (S – t):

1. Строим оси координат S, t и на оси абсцисс откладываем отрезок Х_{1 об}, изображающий время одного оборота кривошипа в масштабе К_t:

 

где К_t – масштаб, сек / мм;

t_{1 об} – время одного полного оборота, сек:

где n –частота вращения кривошипа, об / мин;

Х_{1 об} – отрезок оси абсцисс графика, соответствующий одному полному обороту кривошипа, мм;

Х_{1 об} = 160 мм

где ω – угловая скорость вращения кривошипа, с^-1

ω = 7,2 с^-1

Тогда окончательно:

2. Отрезок Х_1об делим на восемь частей. Из полученных на оси абсцисс точек восстанавливаем ординаты и на них откладываем расстояния, пройденные точкой D от начала движения.

При К_S = K_l расстояния проходимые точкой D, откладываются прямо со схемы механизма. Если же эти расстояния приходится уменьшать в m раз, то К_S соответственно увеличивают в m раз.

m = 1,6; К_s = 1,6 ^. 0,0036 = 0,00576 м/мм

3. Полученные точки  соединяем плавной кривой. Она  и будет диаграммой перемещения  точки D.

Построение диаграмм скоростей и ускорений точки D.

Графическим дифференцированием (методом хорд) строим диаграмму (V_D – t):

1) Под диаграммой строим оси координат 0₁V_D, 0₁t И на продолжение оси 0₁t влево откладываем отрезок 0₁P = h_v = 30 мм;

2) Из точки Р проводим лучи Р1, Р2, Р3… параллельно хордам кривой   (S_D – t). Эти лучи отсекут на оси 0₁V_D отрезки 0₁1; 0₁2; 0₁3… ,пропорциональные средней скорости V_D на соответствующем участке диаграммы;

3) Отложим эти отрезки на средних ординатах соответствующих участков;

4) Соединим ряд полученных точек I, II, III, … плавной кривой; эта кривая будет диаграммой скорости (V_D – t) точки D.

Имея диаграмму скоростей, аналогично строим диаграмму тангенциальных ускорений.

Масштаб К_t диаграмм (V_D – t) и (a_D^T – t) остается таким же, как и у диаграммы (S_D – t); масштабы по осям ординат определяются по формулам :

Для диаграммы скоростей:

Для диаграммы ускорения:

где h_v и h_a – отрезки, взятые с чертежа в (мм);

h_v = 30 мм, h_a = 30 мм.

 

1.2.4.Исследование  движения механизма методом построения  планов скоростей и ускорений.

 

Скорость V_А1 точки А₁ ведущего звена ОА, равная скорости V_A2 точки А₂ кулисного камня 2, определяется по формуле

V_A1 = V_A2 = w₁ ^. l_ОА = 8 ^. 0,18 = 1,44 м/с

Задаемся длиной отрезка p_va₁, который будет изображать на плане скорость V_A1 точки А₁; p_va₁ = 50 мм.

Из произвольной точки  р_v, принятой за полюс, откладываем перпендикулярно звену ОА отрезок p_va₁, изображающий скорость V_A1.

Точка А₃ кулисы участвует в переносном движении вместе с точкой А₂ камня и совершает относительное движение параллельно оси ВС камня с некоторой скоростью V_А3А2.

На основании теоремы  о сложении скоростей имеем

`V<sub>A3</sub> = `V_А2 + `V_А2А3

где V_А2А3 // ВС

С другой стороны точка А₃ вместе с кулисой BС вращается вокруг точки В.

V_А3 = `V<sub>В</sub> + `V_А3В.

где V_В = 0; V_А3В. ┴ВС

Из точки а₂ плана скоростей проводим прямую параллельную ВС, а из полюса р_v – прямую перпендикулярно к BС. В пересечении получаем точку а₃. Вектор p_vа₃ изображает абсолютную скорость V_А3. Вектор a₂а₃ изображает относительную скорость V_A2А3.

Скорость точки С  получим на основании теоремы о подобии из пропорции

Отрезок р_vс изображает на плане скоростей скорость V_С точки С кулисы.

 

Скорость точки D ползуна определяем, рассматривая движение точки D относительно точки С и точки D_x, лежащей на направляющих и совпадающей в данный момент с точкой D. Составляем векторные уравнения:

`V<sub>D</sub> = `V_C + `V_DC; V_DC ┴DC; V_C = p_vc∙K_v;

`V<sub>D</sub> = `V_Dx + `V_DDx; V_DDx // xx; V_Dx = 0

Для определения скорости точки D через точку С плана скоростей проводим прямую, перпендикулярную к звену DC, а через полюс р_v горизонтальную до пересечения их в точке d. Вектор p_vd изображает скорость V_D, а вектор cd – скорость V_CD.

«По правилу подобия» наносим на план скоростей точки S₃ и S₄.

Пользуясь планом скоростей, определяем:

1) скорости точек А₃, С, D

V_A3 = (p_va₃)∙K_v ; V_C = (p_vc)∙K_v ; V_D = (p_vd)∙K_v ;

2) скорости центров  тяжести звеньев 3 и 4

V_S3 = (p_vs₃)∙K_v ;

3) относительную скорость  движения камня по кулисе

V_А3А2 = (а₂а₃)∙K_v ;

4) угловую скорость  кулисы и камня:

Направление вращения кулисы находим, перенося мысленно вектор относительной скорости V_A3B (ba₃) в точку А₃ : кулиса 3 и камень 2 вращаются по часовой стрелке.

5) угловую скорость шатуна:

Направление вращения шатуна СD определяем, прикладывая вектор относительной скорости V_DC (cd) в точку D схемы механизма: шатун CD вращается по часовой стрелке.

 

Скорости точек звеньев  механизма

 

Скорость м/с	Положения механизма
	0	1	2	3	4	5	6	7
VA	1,44	1,44	1,44	1,44	1,44	1,44	1,44	1,44
VА3	0	0,63	0,94	0,87	0,43	0,28	0,9	0,74
VС	0	0,864	1,18	1,11	0,62	0,48	1,81	1,4
VD	0	0,844	1,18	1,11	0,6	0,47	1,8	1,4
VA3A2	0	0,72	0,192	0,4	0,86	0,92	0,3	0,61
VCD	0	0,16	0,06	0,12	0,13	0,12	0,15	0,22
VS3	0	0,35	0,47	0,44	0,25	0,192	0,72	0,56

Угловые скорости звеньев  механизма

 

Угловая скорость рад/с	Положения механизма
	0	1	2	3	4	5	6	7
w1	6	6	6	6	6	6	6	6
w2 = w3	0	0,81	1,13	1,05	0,58	0,46	1,7	1,35
w4	0	7,25	0,8	1,6	1,9	1,5	1,6	1,4

 

Ускорение точки А₁ конца кривошипа и точки А₂ кулисного камня:

а_А1 = а_А2 = w₁^{2 .} l_ОА = 8² × 0,18 = 11,52 м/с².

так как w = const, тогда e₁ = 0. От полюса p плана ускорений откладываем параллельно ОА в направлении от точки А к точке О вектор pа₁ = pа₂, изображающий ускорение а_А1 = а_А2. Длина отрезка pа₁ = pа₂ = 50 мм. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений:

Для первого положения:

Для шестого положения:

Ускорение точки А₃ кулисы 3 (переносная среда – кулисный камень 2):

где  – переносное ускорение точки А камня, известно по величине и направлению;

 – вектор ускорения Кориолиса.

Величина ускорения  Кориолиса выражается формулой:

Поэтому отрезок а₂к подсчитывается по формуле:

где 

 – вектор относительной  скорости

(1)   

(6)   

Направление вектора  определяем, повернув вектор , изображающий относительную скорость на плане скоростей на 90^о относительно начала в направлении вращения кулисы BC;

- вектор ускорения точки А₃ относительно точки А₂; // ВС; = 0 (точка В принадлежит неподвижному звену-стойке); - вектор нормального ускорения; // АВ и направлен от точки А к точке В, модуль его равен

Отрезок πn_A3B определяется по формуле:

(1)   

(6)  

где а^t_АВ – вектор тангенциального ускорения точки А₃, направленный перпендикулярно к АВ.

Переходим к построению плана ускорений  в соответствии с векторными уравнениями. От точки а₂ плана ускорений проводим вектор а₂к, изображающий ускорение Кориолиса (поворачиваем вектор на 90^о по часовой стрелке из точки а₂ плана скоростей и переносим его на план ускорений), а от полюса π – вектор πn_А3В, изображающий ускорение .

Через точки k и n_A3B проводим прямые, первую параллельно ВС (параллельно ), а вторую перпендикулярно ВС (параллельно ). В пересечении прямых получаем точку а₃. Соединяя точку а₃ с полюсом, получаем вектор πа₃, изображающий ускорение а_А3. На плане ускорений векторы n_A3Ba₃ и ka₃ изображают соответственно ускорения и а_А3А2

Ускорение точки С определим  на основании теоремы о подобии из пропорции:

(1)   

(6)   

Откладываем этот отрезок  на плане ускорений параллельно πа₃. Планом ускорений звена ВС является вектор π.

 

По «правилу подобия» наносим на план ускорений точку S₃ и (ускорения центров тяжести звеньев).

(1)   

(6)   

Истинные значения ускорения (абсолютного, относительного или полного относительного) определяем, умножая длину соответствующего вектора ускорения на величину масштаба К_а.

 

Угловое ускорение кулисы и камня

(1)  

(6)   

Перенеся вектор тангенциального ускорения а^t_А3В в точку А₃ механизма, находим направление углового ускорения звеньев 2 и 3.

Угловое ускорение шатуна

Относительное ускорение движения камня по кулисе:

 

Рассматривая совместно план скоростей  и ускорений, можно сделать вывод  о характере движения звеньев  в данный момент (ускоренно или  замедленно).

 

 

2. СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМА

 

Задачей силового расчета  механизма является определение  сил, действующих на звенья механизма, давления в кинематических парах  и уравновешивающей силы (момента) на звене, принятом за входное звено. Решение  такой задачи необходимо для последующих  расчетов машины на прочность, жесткость, вибростойкость, для расчета ожидаемого износа элементов кинематических пар с целью определения ресурса работы и надежности машины.

 

2.1. Определение  сил инерции и моментов сил  инерции.

 

Сила Р_ин инерции определяется произведением массы m звена на ускорение а_s центра тяжести звена. Вектор силы инерции Р_ин направлен противоположно вектору ускорений центра тяжести:

Р_ин = -а_s ^. m.

Момент М_ин сил инерции равен произведению момента J_S инерции звена на угловое ускорение e звена и направлен противоположно угловому ускорению :

М_ин = -e ^. J_S.

Определим силы инерции звеньев механизма для 1 и 6 положения:

Для первого положения:

1. Р_ин1 = 0, т.к. а_S1 = 0

     М_ин1 = 0, т.к. e₁ = 0

2. P_ин2 =0, т.к. а_S2 = 0

   

3.

   

4. 

5. 

     М_ин5 = 0, т.к. e₅ =0.

Для шестого положения:

1. Р_ин1 = 0, т.к. а_S1 = 0

     М_ин1 = 0, т.к. e₁ = 0

2. P_ин2 = 0, т.к. а_S2 = 0

    т.к. e₂ = 0

3.

   

4. 

    

5. 

     М_ин5 = 0, т.к. e₅ =0.

2.2. Определение  реакций в кинематических парах групп Ассура.

 

Расчленяем кинематическую схему механизма на группы Ассура и исходный механизм.

Исходный механизм состоит  из входного звена 1 (кривошипа) и стойки 6.

На чертеже каждую группу следует вычертить в масштабе и нанести все силы, действующие на звенья. В соответствии с графиком изменения внешней (технологической) нагрузки определяется ее величина для рассматриваемого положения механизма. Эта сила прикладывается к звену, на которое она действует, с учетом направления этого действия. Силы тяжести звеньев G₁, G₂, G₃,… прикладываются к центрам масс и направляются вертикально.

Главный вектор сил инерций  Р_ин условно прикладывается к центру тяжести звена и направляется в сторону, противоположную ускорению этой точки. Главный момент пары сил инерции направляется в сторону, противоположную угловому ускорению, и условно изображается в виде угловой стрелки.

В каждой группе Ассура действие отброшенных звеньев заменяется реакциями связей в кинематических парах. Реакции обозначаются буквой R с двумя индексами. Первый индекс обозначает номер звена, со стороны которого действует эта сила, второй – номер звена на которое действует реакция. Например, R_ik – означает реакцию, действующую со стороны звена i на звено k.

Составляющими силами заменяются только реакции во внешних шарнирах.

Нормальная реакция Rⁿ обязательно направляется по линии, проходящей через центры двух шарниров, тангенциальная R^t - перпендикулярно этому направлению.

Силовой расчет начинаем с той группы Ассура, в которой  известны все внешние силы и неизвестны только реакции в кинематических парах. Применяя принцип Даламбера для этой группы, рассматриваем ее равновесие. Из условия равновесия этой группы Ассура, представленного в виде равенства нулю геометрической суммы всех сил, действующих на звенья этой группы, графическим путем определяем реакции в кинематических парах. После последовательного перехода от одной группы Ассура к другой и определения реакций в кинематических парах приступаем к определению уравновешивающей силы или момента и реакции в кинематической паре, образованной входным звеном со стойкой.

Определение реакций  в кинематических парах начинаем с группы Ассура, состоящей из звеньев 4 и 5, поскольку известны все внешние  силы, действующие на данную группу.

Реакцию R₃₄ во внешнем шарнире С этой группы раскладываем на две составляющие: нормальную Rⁿ₃₄, действующую по линии СD, и тангенциальную R^t₃₄, перпендикулярно этому направлению.

Величину реакции R^t₃₄ определяем из уравнения моментов относительно центра шарнира D всех сил, действующих на 4-м звене.

Примечание. Положительное направление  момента считаем направленным по часовой стрелке.

 

Первое положение (звенья 4-5):

Определяем вес звеньев:

G₅ = m₅∙g = 34∙9,8 = 333,2 (Н)

 

Плечи действия сил относительно взятого  полюса определяются графически по чертежу.

Если реакция (R^t)₃₄, определенная из уравнения моментов, окажется отрицательной, следует изменить ее направление на противоположное направление.

Для определения величин (Rⁿ)₃₄ и R₆₅ составляем векторную сумму сил, действующих на оба звена группы (4 и 5). Векторное равенство следует составлять таким образом, чтобы оно начиналось и заканчивалось силами, подлежащими определению. Кроме того, при составлении равенства для двух звеньев рекомендуется учесть сначала силы на одном звене, а затем на другом. Это избавит от построения второго плана сил.

åP_i = Rⁿ₃₄ + R^t₃₄ + G₄ + P_и4 + G₅ + P_и5 + P_nc + R₆₅ = 0.

В этом равенстве все  силы известны по величине и по направлению, за исключением (Rⁿ)₃₄ и R₆₅, которые известны только по направлению. Для решения этого равенства строим план сил. Построение плана сил начинаем с известного вектора. В некотором масштабе

(1)    К_р = 6,5 [ Н / мм ]

(6)    К_р = 9 [ Н / мм ]

проводим на чертеже  вектор R^t₃₄. Затем, согласно равенству, в том же масштабе прибавляем векторы G₄, G₅, P_ин4 и т. д. При этом конец предыдущего вектора является началом следующего, т. е. суммируемые векторы следуют один за другим.

 После того как на плане  сил будут нанесены все известные  векторы, замыкаем многоугольник  сил. Для этого из конца последнего  вектора P_nc проводим известное направление реакции R₆₅, а из начала вектора (R^t)₃₄ – направление реакции (Rⁿ)₃₄. Точка пересечения этих двух направлений определит конец вектора R₆₅ и начало вектора (Rⁿ)₃₄.

Складывая геометрически  нормальную и тангенциальную составляющие реакции R₃₄, получаем полную реакцию.

R₃₄ = (Rⁿ)₃₄ + (R^t)₃₄.

Для определения реакции R₅₄ в шарнире D составляем векторную сумму сил, действующих на четвертое звено

åP = R₃₄ + G₄ + P_и4 + R₅₄ = 0,

поскольку в этом равенстве  вектор R₅₄ неизвестен ни по величине, ни по направлению. Очевидно, искомый вектор должен замыкать многоугольник, состоящий из векторов (R₃₄ ,G₄ ,P_ин4). Для решения вышеприведенного векторного равенства можно не строить отдельного плана сил, т. к. силы, входящие в это равенство, уже имеются на плане, построенном для группы Ассура ( звенья 4 и 5). Остается только замкнуть многоугольник, состоящий из векторов (R₃₄ ,G₄ ,P_ин4), вектором R₅₄.

 

Переходим к следующей  группе Ассура, состоящей из звеньев 2 и 3 Выделяя группу из состава механизма, мы в центрах шарниров А, В и С должны приложить реакции R₁₂; R₆₃ и R₄₃.

Реакция R₄₃ равна по величине реакции R₃₄, но направлена в другую сторону. Для данной группы реакция R₄₃ является внешней силой.

Реакцию R₆₃ раскладываем на направление ВС и направление, перпендикулярное ВС. Получаем направления соответственно (Rⁿ)₆₃ и (R^t)₆₃.

Определяем величину (R^t)₆₃, составляя уравнение моментов относительно центра шарнира А всех сил, действующих на обеих звеньях группы.

 

Первое положение (звенья 2-3):

åM_A = - (R^t)₆₃ ^. BA ^. K_l + M_и3 – G₃ ^. h_G3 ^. K_l + R₄₃ ^. h₄₃ ^. K_l – Р_и3 ∙ h_и3 ∙ К_l = 0;

Шестое положение (звенья 2-3):

åM_A = (R^t)₆₃ ^. BA ^. K_l - M_и3 + G₃ ^. h_G3 ^. K_l - R₄₃ ^. h₄₃ ^. K_l + Р_и3 ∙ h_и3 ∙ К_l = 0;

Для определения величин  реакций (Rⁿ)₆₃ и R₁₂ составляем векторную сумму сил, действующих на третье звено:

åP_i = R₁₂ + (R^t)₆₃ + G₃ +Р₄₃ + R₄₃ + (Rⁿ)₆₃ = 0.

В этом равенстве неизвестны по величине  реакции (Rⁿ)₆₃ и R₁₂. Решаем векторное уравнение построением плана сил.

 

2.3. Силовой  расчет входного звена.

 

Из условия статической  неопределимости 3n = 2Р₅ следует, что под действием приложенных к входному звену сил, в том числе и сил инерций, входное звено не будет находиться в равновесии. Действительно, при числе подвижных звеньев n = 1 число уравнений статики равно трем. Неизвестных же при определении реакций только две – величина и направление реакции R₆₁ в шарнире О. Таким образом число уравнений превышает число неизвестных на единицу.