Теория массового обслуживания
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………
1 Элементы теории массового обслуживания и принятия решений……..…...7
1.1 Основные положения теории массового обслуживания.………………......7
1.2 Принятие решений в экономике
с использованием моделей массового обслуживания………………………………………………
2 Расчет основных параметров
в моделях массового
2.1 Постановка и математические модели задач………………….…………...14
2.2 Определение основных параметров процессов…………………………....18
3 Решение задачи «Бери и кати…………………………………………….…...27
Заключение ………………………………………………………………………30
Глоссарий………………………………………………………
Список используемых источников …………………………………………….34
ВВЕДЕНИЕ
Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств.
Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.
В теории систем массового обслуживания (CMО) обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.
Многие экономические организации и системы, получающие прибыль за счет обслуживания клиентов, можно достаточно точно описать с помощью совокупности математических методов и моделей, которые получили название теории массового обслуживания (ТМО).
Целью курсовой работы является изучение теории массового обслуживания и принятия решений.
Исходя из цели, задачи курсовой работы:
- рассмотрение элементов теории массового обслуживания и принятия решений;
- проанализировать расчет основных параметров в моделях массового обслуживания
- решить задачу «Бери и кати»
1 Элементы теории массового обслуживания и принятия решений
1.1 Основные положения теории массового обслуживания
Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания /1, 122 с./. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.
Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Основными признаками реальной системы, позволяющими рассматривать ее как своеобразную систему массового обслуживания, являются /2, 333 с./:
- наличие объектов, нуждающихся в случайные моменты времени в обслуживании (в выполнении некоторых работ над собой или для себя; эти объекты порождают так называемый входящий поток заявок (требований) на обслуживание;
- наличие обектов, которые производят обслуживание и называются обслуживающими приборами (каналами);
- возникновение задержек в обслуживании (образование очереди).
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
- магазины;
- банки;
- ремонтные мастерские;
- почтовые отделения;
- посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей;
- персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
- аудиторские фирмы;
- отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
- телефонные станции и т.д.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:
- входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
- дисциплина очереди;
- механизм обслуживания.
Раскроем содержание каждого
из указанных выше компонентов.
Входной поток требований. Для описания
входного потока требуется задать вероятностный
закон, определяющий последовательность
моментов поступления требований на обслуживание
и указать количество таких требований
в каждом очередном поступлении. При этом,
как правило, оперируют понятием «вероятностное
распределение моментов поступления требований».
Здесь могут поступать как единичные,
так и групповые требования (требования
поступают группами в систему). В последнем
случае обычно речь идет о системе обслуживания
с параллельно-групповым обслуживанием.
Дисциплина очереди — это важный компонент системы массово го обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания.
Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
- первым пришел - первый обслуживаешься;
- пришел последним - обслуживаешься первым;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности;
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая дли на очереди»).
Механизм обслуживания определяется
характеристиками самой процедуры обслуживания
и структурой обслуживающей системы. К
характеристикам процедуры обслуживания
относятся: продолжительность процедуры
обслуживания и количество требований,
удовлетворяемых в результате выполнения
каждой такой процедуры. Для аналитического
описания характеристик процедуры обслу
живания оперируют понятием «вероятностное
распределение вре мени обслуживания
требований».
Следует отметить, что время обслуживания
заявки зависит от характера самой заявки
или требований клиента и от состояния
и возможностей обслуживающей системы.
В ряде случаев приходится также учитывать
вероятность выхода обслуживающего прибора
по истечении некоторого ограниченного
интервала времени.
Структура обслуживающей системы
определяется количеством и взаимным
расположением каналов обслуживания (механизмов,
приборов и т. п.). Прежде всего следует
подчеркнуть, что система обслуживания
может иметь не один канал обслуживания,
а несколько; система такого рода способна
обслуживать одновременно несколько требований.
В этом случае все каналы обслуживания
предлагают одни и те же услуги, и, следовательно,
можно утверждать, что имеет место параллельное
обслуживание.
Система обслуживания может состоять
из нескольких разно типных каналов обслуживания,
через которые должно пройти каж дое обслуживаемое
требование, т. е. в обслуживающей системе
процедуры обслуживания требований реализуются
последовательно. Механизм обслуживания
определяет характеристики выходящего
(обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем
обслуживания, можно констатировать, что функциональные
возможности любой системы массового
обслуживания определяются следующими
основными факторами:
- вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
- вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
- конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
- количеством и производительностью обслуживающих каналов;
Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.
Простейший поток обладает такими важными свойствами /3, 34 с./:
1) Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.
2) Отсутствия последействия,
которое обуславливает
3) Свойством ординарности,
которое выражает практическую
невозможность одновременного
1.2 Принятие решений с
использованием моделей
Трудности использования стандартных моделей, разработанных в теории массового обслуживания, можно преодолеть одним из следующих способов. Во-первых, можно модифицировать структурно-функциональные характеристики обслуживающей системы так, чтобы чисто логическим путем достичь желательных операционных показателей этой системы и одновременно сделать рассматриваемую систему массового обслуживания поддающейся анализу одной из стандартных математических моделей. Во-вторых, можно признать справедливым некоторые упрощающие предположения относительно реальной обслуживающей системы и, следовательно, возможно представить ее с помощью математической модели без риска получить существенные ошибки в численных оценках операционных характеристик исследуемой системы. Второй из указанных способов представляет собой более перспективным, поскольку за счет его реализации увеличивается круг задач, решение которых может быть обеспеченно путем использования разработанных в теории массового обслуживания математических моделей и методов.
Выбор того или иного метода для исследования функциональных характеристик обслуживающей системы независимо от того, является ли он аналитическим или же относится к категории имитационных, в каждом конкретном случае определяется законом распределения моментов поступления требований и продолжительностей обслуживания.
Стоимостные модели массового обслуживания направлены на определение такого уровня функционирования обслуживающей системы, при котором достигается "компромисс" между следующими двумя экономическими показателями:
а) прибылью, получаемой за счет предоставления услуг;
б) потерями прибыли, обусловленными задержками в предоставлении услуг.
Рассмотрим мультиканальную модель.
Стоимостная модель массового обслуживания в данном случае должна быть ориентирована на определение оптимального числа обслуживающих машин, которое мы обозначили выше через с. предполагается, что значения l и m фиксированы. Интегральная стоимость показателей задается формулой
ТС(с)=сСi+C2TS(c) (1)
где С1 - отнесены к единице времени затраты на обеспечение функционирования одного дополнительного обслуживающего прибора;
LS(с)- среднее число находящихся в обслуживающей системе требований.
К моделям, в которых осуществляется учет предпочтительного уровня обслуживания, переходят из-за трудностей получения числовых значений стоимостных показателей (параметров) процесса массового обслуживания; при этом весь анализ производится на основе более примитивных оценок операционных характеристик, исследуемых систем массового обслуживания. При использовании таких моделей в ходе поиска оптимальных значений основных параметров проектируемой системы обращаются непосредственно к ее операционным характеристикам. При этом оптимальность связывают с возможностью обслуживающей системы удовлетворить некоторый желательный с точки зрения, принимающего решение, уровень активности системы. Эти желательные уровни определяются путем оценок верхних предельных значений тех конкурирующих экономических показателей, между которыми лицо, принимающее управляющее решение, хочет установить баланс /4, 67 с./.
- Расчет основных параметров в моделях массового обслуживания
- Постановка и математические модели задачи
Мы рассмотрим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена К. Эрлангом. на n одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности . Если в момент поступления имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь прибывшее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и ещё не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживанию очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент времени не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(t). Предполагается, что при .
F(t)=1-e-µt, (2)
где – постоянная.
Только что описанная задача представляет значительный прикладной интерес, и результаты, с которыми мы познакомимся, широко используются для практических целей. Реальных ситуаций, в которых возникают подобные вопросы, исключительно много. Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов, возникших к тому времени в телефонном деле/5, 55 с./.
Выбор распределения (1) для описания длительности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точностью описывает ход интересующего нас процесса. Распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим его свойством:
При показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.
Действительно, пусть означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время а, продлится еще не менее чем . В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, . Далее ясно, что и . А так как всегда и , и, следовательно,
Требуемое доказано.
Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой
(2)
где >0, a k – целое положительное число.
Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k – независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).
Обозначим для случая распределения (1) через время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна
(3)
Это равенство даст нам способ оценки параметра по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна
Dη=Mη2-( Mη)2=1/µ2 (4)
Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности . Одно из уравнения очевидно, a именно для каждого t
Найдём сначала вероятность того, что и момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:
- в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;
- в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило /6, 264 с./.
Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена – имеют вероятность о(h), как легко в этом убедится.
Вероятность первого из указанных событий равна
P0(t)*e-λh=P0(t)*(1-λ*h+0(h))
вероятность второго события
P1(t)*e-λh*(1-e -µ*h)=P1(t)*µ*h+0(h)) (6)
Таким образом
P0(t+h)=P0(t)*(1-λ*h)+µ*h*P1(
Отсюда очевидным образом приходим к уравнению.
Перейдём теперь к составлению уравнений для при 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 и . Пусть в начале 1 . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние в момент t+h. Эти состояния таковы:
В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна:
В момент t система находилась в состоянии , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна
В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна
Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние за промежуток времени h имеют вероятность, равную о(h).
Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:
Несложные преобразования приводят от этого равенства к такому уравнению для 1 ;
(8)
Подобные же рассуждения для приводят к уравнению
(9)
Для определения вероятностей получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (4) – (10). Её решение представляет несомненные технические трудности.
- Определение основных параметров
В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введём для них обозначения . Заметим дополнительно, что при .
Сказанное позволяет заключить, что уравнения (5), (6), (7) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:
-λ*P0+µ* P0=0 (10)
при 1
λ*Pk-1-(λ+k*µ)*Pk+(k+1)*µ*Pk+
при
λ*Pk-1-(λ+m*µ)*Pk+m*µ*Pk+1
К этим уравнениям добавляется нормирующее условие
Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введём обозначения: при 1
zk=λ*Pk-1-k*µ*Pk (13)
при
zk=λ*Pk-1-m*µ*Pk (14)
Система уравнений (10) – (12) в этих обозначениях принимает такой вид:
z1=0, zk- zk+1=0 при (15)
Отсюда заключаем, что при всех т.е. при 1
k*µ*Pk=λ*Pk-1 (16)
и при
m*µ*Pk=λ*Pk-1 (17)
Введём для удобства записи обозначение:
p=λ/µ (18)
Уравнение (17) позволяет заключить, что при 1
(19)
При из (18) находим, что
(20)
и, следовательно, при
(21)
Остаётся найти . Для этого в (9) подставляем выражения из (19) и (21). В результате
, (22)
так как бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, сходится только при условии, что то при этом предположении находим равенство
, (23)
Если условие не выполнено, т.е. если , то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения , расходится и, значит, должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (2) и (24), при всех оказывается /7, 45 с./.
Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при с течением времени очередь стремится к ∞ по вероятности.
Поясним полученный результат на нескольких практических примерах, которые покажут, что обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам.
Основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через вероятность того, что длительность ожидания превзойдёт t, и через вероятность неравенства, указанного в скобке при условии, что в момент поступления требования, для которого подсчитывается длительность ожидания, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство
, (24)
Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для использования, приготовим некоторые необходимые для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для . Несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1
=1- , (25)
а при m=2
, (26)
Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна
, (27)
Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:
(28)
при m=2
, (29)
В формуле (25) может принимать любое значение от 0 до m (исключительно). Так что в формуле (23) < 1, а в (21) <2.
Если в момент поступления требования в очереди уже находились k-m требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m+1 требований. Пусть означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего требования закончилось обслуживание ровно s требований. Ясно, что при имеет место равенство
, (30)
Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и не зависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна
, (31)
Если все приборы заняты обслуживанием и ещё имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия – стационарность, отсутствие последействия и ординарность – выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)
, (32)
Итак,
, (33)
и, следовательно,
, (34)
Но вероятности известны:
, (34)
поэтому
, (35)
Очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду
=
.(36)
Из формул (25) и (26) следует, что поэтому при m>0
(37)
Само собой разумеется, что при t<0 /8, 156 с./.
Функция имеет в точке t=1 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.