Ирина Эланс
Теория массового обслуживания. 2
Содержание:
Введение......................
I. Теория массового обслуживания..................
1. Основные положения............
2. Элементы теории массового
обслуживания..................
3. Классификация систем
массового обслуживания........
II. Практическое применение теории массового обслуживания............14
1. Постановка
задачи........................
2. Решение
задачи........................
Заключение....................
Список использованной литературы....................
Введение
В прoцecce упрaвлeния иcпoльзуeтся мнoжеcтвo рaзнooбрaзных cпocoбoв, пoдхoдoв и приeмoв, пoзвoляющих упoрядoчить, цeлeнaпрaвить и эффeктивнo oргaнизoвaть выпoлнeниe функций, этaпoв, прoцeдур и oпeрaций, нeoбхoдимых для принятия рeшeний. В совокупности они выступают как методы управления, под которыми понимаются способы осуществления управленческой деятельности, применяемые для постановки и достижения ее целей.
Методы занимают особое место в управлении, так как на их базе происходит взаимное обогащение его теории и практики. Действительно, отвечая на вопрос, как выполнять ту или иную управленческую работу, методы позволяют сформировать систему правил, приемов и подходов, сокращающих затраты времени и других ресурсов на целеполагание и целереализацию.
Основу системы методов, используемых в управлении, составляет общенаучная методология, предусматривающая системный, комплексный подход к решению проблем, а также применение таких методов, как моделирование, экспериментирование, конкретно-исторический подход, экономико-математические и социологические измерения и т.д.
Классификация конкретных методов осуществляется по трем основным направлениям, позволяющим выделить следующие группы методов:
методы принятия управленческих решений;
методы управления функциональными подсистемами;
методы выполнения функций управления;
Методы принятия управленческих решений - первое направление классификации, которое базируется на представлении процесса управления как совокупности этапов и процедур, необходимых для разрешения проблем. В соответствии с этим выделяют следующие группы методов:
постановки проблем (методы сбора, хранения, обработки и анализа информации; методы фиксации важнейших событий; методы факторного анализа; методы SWOT анализа; методы сравнения; методы аналогии; методы декомпозиции; методы моделирования и т.п.);
решения проблем (методы сбора, хранения, обработки и анализа информации; методы SWOT анализа и ФОНД анализа; метод номинальной групповой техники; метод Дельфы; метод мозговой атаки и др.);
выбора решений (экономико-математические методы; методы формирования критериев выбора; метод взвешенных критериев; методы количественного анализа и др.);
организации выполнения принятых решений (метод составления плана реализации; метод построения дерева решений; методы контроля выполнения работ и др.).
В данном курсовом проекте мы рассмотрим метод теории массового обслуживания, один из методов, применяемых на этапе диагностики проблемы и формулировки ограничений и критериев. Он представляет собой определение оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. Применяется в условиях, когда для принятия решения требуется оценить оптимальное число каналов обслуживания, которые необходимо иметь для сбалансирования издержек в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества. Наиболее разработаны и удобны для использования методы, в которых входящий поток является пуассоновским.
I. Теория массового обслуживания
1. Основные положения
Основными признаками реальной системы, позволяющими рассматривать ее как своеобразную систему массового обслуживания, являются:
- наличие объектов, нуждающихся в случайные моменты времени в обслуживании (в выполнении некоторых работ над собой или для себя; эти объекты попрождают так называемый входящий поток заявок (требований) на обслуживание;
- наличие обектов, которые производят обслуживание и называются обслуживающими приборами (каналами);
- возникновение задержек в обслуживании (образование очереди).
В качестве своеобразных систем массового обслуживания могут рассматриваться: системы связи и ремонта, пункты технического обслуживания, вычислительные центры и отдельные ЭВМ: автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы материального обеспечения.
Для задания систем массового обслуживания необходимо указать: входящий поток (заявок), множество обслуживающих приборов и дисциплину обслуживания.
Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.
В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.
При аналитическом исследовании систем массового обслуживания чаще всего предполагают, что входящий поток – простейший поток событий интенсивности λ.
Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.
Простейший поток обладает такими важными свойствами:
1) Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.
2) Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную не зависимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.
3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).
2. Элементы теории массового обслуживания
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания.
Согласно Т.Ю. Новгородцевой и Д.С. Матусевичу, под системой массового обслуживания понимают объект (предприятие, организация и др.), деятельность которого связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций.
Авторы Бережная Е.В. и Бережной В.И. утверждают, что системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
Требованием или заявкой называется объект, который необходимо обслужить: железнодорожные составы, проходящие через железнодорожный узел, покупатели, приобретающие товар и т.д. Как видно, объект является носителем запроса. Поэтому в дальнейшем под требованием понимается и сам запрос на обслуживание. Например, запрос на ремонт станка, запрос на продажу товара покупателю и т.д.
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединится к очереди других требований (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование, из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
- посты технического обслуживания автомобилей;
- персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования для решения тех или иных задач;
- отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
- аудиторские фирмы;
- телефонные станции и т.д.
Каждая СМО (рис.1) включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или иные операции, - кассиров, операторов, менеджеров и т.п.), обслуживающих некоторый поток заявок (требований), поступающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслуживание заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО - перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке - с простаиванием каналов.
Таким образом, в СМО имеются: входящий поток заявок, дисциплина очереди, поток необслуженных (покинувших очередь) заявок, каналы обслуживания с механизмом обслуживания и выходящий поток обслуженных заявок.
Рис.1. Структура СМО.
Рассмотрим содержание каждого из указанных выше компонентов.
Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием "вероятностное распределение моментов поступления требований". Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе облуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
Дисциплина очереди - это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
- первым пришел - первый обслуживаешься;
- пришел последним - обслуживаешься первым;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности;
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием "допустимая длина очереди").
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием "вероятностное распределение времени обслуживания требований".
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обсуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т.д.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система подобного рода способна обслуживать сразу несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т.е. в обслуживающей системе процедура обслуживания требований реализуется последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:
- вероятностным распределением моментов поступления заявок на обслуживание (единичных или групповых);
- вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
- конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
- количеством и производительностью обслуживающих каналов;
- дисциплиной очереди;
- мощностью источника требований.
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
- вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
- вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
- относительная и абсолютная пропускная способность системы;
- средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
- среднее время ожидания в очереди;
- средняя длина очереди;
- средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.д.
Итак, предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие систему массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
3. Классификация систем массового обслуживания
Согласно общей классификации система массового обслуживания разделяется на три подсистемы.
Первая подсистема - это система массового обслуживания без потерь. Под термином система без потерь (с полным ожиданием) понимают систему, в которой, если все приборы заняты, требование становится в очередь и не покидает ее до тех пор, пока не будет обслужено.
Вторая подсистема - это система с частичными потерями. Подобная подсистема характеризуется тем, что требование либо не становится в очередь, если эта очередь превышает по длине некоторую величину (система с ограниченной длиной очереди), либо становится в очередь, но покидает ее, если время пребывания в ней превышает определенную величину (система с ограниченным временем пребывания), или, если время ожидания в очереди начала обслуживания превышает определенную величину (система с ограниченным временем ожидания начала обслуживания).
Третья подсистема - это система без очередей. Под этим термином понимают систему, в которой требование покидает систему, если все обслуживающие устройства (приборы) заняты. В такой системе, очевидно, очереди не может быть.
Системы, имеющие очередь, подразделяются на системы с одной очередью и системы с несколькими очередями.
Все системы массового обслуживания делятся на системы с одним каналом и системы с конечным числом каналов обслуживания. Под термином канал понимают обслуживающее устройство в цехе, пропускающее через себя требование. В тех случаях, когда приборов много удобно (математически более просто) считать, что их бесконечное число.
Все системы массового обслуживания можно разделить на системы с бесконечным числом требований (например, запросы на телефонные переговоры, на обслуживание покупателей, автомашины на бензозаправках и т.д.) и с конечным числом требований в системе (группа ремонта станков в цехе: число станков известно, тренировка футболистов футбольной команды, лечение больных студентов в институтской поликлинике и т.п.).
теория массовое обслуживание математический
Представленная классификация, конечно, не исчерпывает все множество различных систем массового обслуживания. Эти системы могут классифицироваться и по другим признакам.
Так, весьма важной характеристикой является дисциплина обслуживания, под которой понимают порядок выбора требований из очереди. В соответствии с этим системы подразделяются на четыре вида.
СМО с типом дисциплины "первый пришел - первый обслуживается" - дисциплина "живой очереди";
СМО с типом дисциплины "последний пришел - первый обслуживается" - примером такой системы является склад, заполненный изделиями, из которого на доработку удобно брать изделия, поступившие последними;
СМО с типом дисциплины выбора требований случайным способом;
СМО с типом дисциплины выбора требований в соответствии с присвоенными приоритетами.
Другими вариантами классификаций могут быть следующие.
Поступление требований может быть единичным и групповым.
Требования могут обслуживаться параллельно работающими приборами, но может быть и система, в которой приборы расположены последовательно так, что как только будет обслужено требование первым прибором, то начнет обслуживаться и другое и т.д.
Интенсивность обслуживания прибором может быть постоянной или зависеть от длины очереди, приоритетов или каких-либо других факторов.
Наконец, системы массового обслуживания различают по характеру входного потока и по характеру обслуживающих устройств.
II. Практическое применение теории массового обслуживания
1. Постановка задачи
В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 101 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя об. = 3 минуты. Рабочее время 12 часов (2 часа обеденный перерыв). Средняя з/п одного контролера-кассира составляет 25000руб. в месяц. Кассовый аппарат стоит 11000руб. (срок службы 5 лет). Стоимость канцтоваров (бумага, кассовая лента, ручки и т.д.) на одного кассира составляет 150 руб. в месяц.
Арендная плата в месяц составляет 23000 руб. Коммунальные услуги составляют 10000 руб. Налоги составляют 12580 руб.
Средний размер покупки - 500руб.
Определить:
а) Минимальное количество контролеров-кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin и прибыль фирмы при этих условиях.
б) Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как
Cотн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. Определить прибыль фирмы при n=nопт.
в) Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
2. Решение задачи
Задача представляет собой яркий пример СМО с ожиданием.
Необходимо найти:
А). Минимальное количество контролеров-кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin и прибыль фирмы при этих условиях.
Находим среднее число занятых каналов по формуле 1.31.
По условию l=101 (1/ч) =1,68 (1/мин).
Очередь не будет расти до бесконечности при условии, что среднее число занятых каналов будет меньше, чем реальное количество кассиров. На числовой оси наименьшее натуральное целое число, большее, чем 3,36, есть число 4. Значит минимальное количество кассиров =4. Рассчитаем основные характеристики этой СМО с количеством кассиров =4. Вероятность того, что канал свободен. По формуле (1.27) получаем:
Таким образом, можно заключить, что 2,3% времени касса свободна.
Вероятность того, что заявка окажется в очереди, рассчитаем по формуле 1.30:
Среднее число заявок в очереди. Воспользовавшись формулой 1.31, получаем:
Среднее время ожидания в очереди
Среднее число заявок в системе
Рассчитаем прибыль фирмы при этих условиях.
Прибыль = выручка - себестоимость. На себестоимость продукции отнесем заработную плату 4-х кассиров, амортизационные отчисления от использования основных средств (кассовые аппараты), материальные затраты на канцелярию, арендную плату, затраты на коммунальные услуги, а также начисленные предприятию налоги. При расчете заработной платы будем считать, что фирма работает без выходных, а отчетный период равен 30 дням.
З/П.4-х кассиров = 4 кассиров*25 т. р. =100000 р.
Начислена амортизация основных средств:
р.
Материальные затраты на канцелярию 150*4=0,6 т. р.
Арендная плата = 23 т. р.
Затраты на коммунальные услуги = 10 т. р.
Начисленные предприятию налоги = 12580 т. р.
Значит себестоимость по осуществлению
предпринимательской деятельности предприятия
= 100000+14666,7+600+23000+
Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек. Теперь можем определить размер выручки: р.
Прибыль = 60600000-160846,7 =60439153,3 р.
Б). Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как Cотн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. Определить прибыль фирмы при n=nопт.
При n=4 относительная величина затрат, выражаемая как Cотн. = , будет равна Cотн= . Рассчитаем относительную величину затрат при n=5,6,7,8 и представим их в сводной таблице.
N=5
N=6
N=7
N=8
Таблица 2. Сравнительные характеристики СМО с числом каналов обслуживания n = 4,5,6,7,8.
Характеристика |
N=4 |
N=5 |
N=6 |
N=7 |
N=8 |
Вероятность того, что канал свободен |
0,023 |
0,037 |
0,041 |
0,043 |
0,043 |
Среднее время ожидания в очереди Toch |
2,3 |
0,48 |
0,17 |
0,043 |
0,013 |
Затраты Cотн. = |
11,6 |
5,35 |
4,56 |
4,471 |
6,48 |
Минимальное выражение относительная величина затрат принимает при n=7, значит . Из таблицы видно, что характеристики системы с шестью каналами обслуживания уменьшились: вероятность того, что канал свободен, увеличилась; среднее время ожидания в очереди сократилось; затраты на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей уменьшились.
Это говорит о несомненном росте эффективности функционирования СМО при увеличении обслуживающих каналов с 4х до 7ти.
Теперь рассчитаем прибыль для СМО с количеством обслуживающих каналов n=7.
З/П.7 кассиров*25 т. р. = 175 т. р.
Начислена амортизация основных средств: р.
Материальные затраты на канцелярию 150*7=1050 р.
Арендная плата = 23 т. р.
Затраты на коммунальные услуги = 10 т. р.
Начисленные предприятию налоги = 12580 р.
Значит себестоимость по осуществлению
предпринимательской деятельности предприятия
= 175000+25666,7+1050+23000+
Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек. Теперь можем определить размер выручки: р.
Прибыль = 106050000 - 247296,7 =105802703,3 р.
Прибыль предприятия, не смотря на рост себестоимости, возросла в два раза.
В). Для расчета вероятности того, что в очереди окажется не более трех покупателей для СМО с количеством обслуживающих каналов n=7, будем иметь ввиду, что эта вероятность будет складываться из вероятности того, что заняты все шесть каналов обслуживания и вероятности того, что в трех из них ждут своей очереди по одному человеку.
Значит
,
где каждое слагаемое найдем по формулам (1.28) - (1.29). Итак,
=0,144+0,272+0,228+0,153+0,
Таким образом, вероятность того, что в очереди окажется не более трех покупателей, равна 95,8%.
Заключение
Наряду с другими экономико-математическими методами в экономическом анализе используется теория массового обслуживания. Она применяется, в частности, в розничной торговле при анализе количества обслуживаемых покупателей и продолжительности их обслуживания (при условии высокого качества их обслуживания). На эти показатели оказывают влияние различные факторы (переменные величины). Они взаимодействуют между собой в условиях процесса обслуживания покупателей, носящего стохастический характер.
На основе теории массового обслуживания выбирается оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, обеспечивающий минимальное время обслуживания при минимизации затрат и высоком качестве обслуживания населения.