Теория статистических решений. Игры с природой

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФИЛИАЛ В Г. ТОБОЛЬСКЕ

Кафедра математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория принятия решений»

на тему «Теория статистических решений.

Игры с природой».

Выполнил студент группы ИВТ(б)-10

____________

(подпись)

Руководитель курсового проекта:

______________

(подпись)

Тобольск, 2013 г.

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………….…..3

2. История теории статистических  решений……………………………………5

3. Методологические основы  теории принятия решений……………….……..6

4. Будущее теории принятия решений………………………………………….7

5. Элементы теории статистических решений………………………….………8

6. Игры с природой в условиях определенности………………………………9

7. Игры с природой в условиях неопределенности……………………………11

8. Заключение………………………………………………….……………….…18

9. Список использованной литературы…………………………………………19

Введение

Искусство принятия наилучших  решений, основанное на опыте и интуиции, является сущностью любой сферы  человеческой деятельности. Наука о  выборе приемлемого варианта решения  сложилась сравнительно недавно, а  математической теории принятия решений - около 50 лет.  
Основы теории принятия решений разработаны Джоном фон Нейманом и Отто Моргенштерном. По мере усложнения задач появилось много различных направлений этой науки, которые имеют дело с одной и той же проблемой анализа возможных способов действия с целью нахождения оптимального в данных условиях решения проблемы.  
Как самостоятельная дисциплина общая теория принятия решений (ТПР) сформировалась в начале 60-х годов, тогда же была сформулирована основная цель этой теории - рационализировать процесс принятия решений. В последующие годы была создана и прикладная теория статистических решений, позволяющая анализировать и решать широкий класс управленческих задач, связанных с ограниченным риском - проблемы выбора, размещения, распределения и т.п.  
В настоящее время теория принятия решений применяется преимущественно для анализа тех деловых проблем, которые можно легко и одназначно формализовать, а результаты исследования адекватно интерпретировать. Так, например, методы ТПР используют в самых различных областях управления - при проектировании сложных технических и организационных систем, планировании развития городов, выборе программ развития экономики и энергетики регионов, организации новых экономических зон и т.п.  
Необходимость использования подходов и методов ТПР в управлении очевидна: быстрое развитие и усложнение экономических связей, выявление зависимости между отдельными сложными процессами и явлениями, которые раньше казались не связанными друг с другом, приводят к резкому возрастанию трудностей принятия обоснованных решений. Затраты на их осуществление непрерывно увеличиваются, последствия ошибок становятся все серьезнее, а обращение к професиональному опыту и интуиции не всегда приводит к выбору наилучшей стратегии. Использование методов ТПР позволяет решить эту проблему, причем быстро и с достаточной степенью точности.  
В курсе “Теория принятия решений" особое внимание сосредоточено на способах решения конкретных практических задач. Минуя сложную математику, которая лежит в основе методов принятия решений, слушатели знакомятся со всеми основными достижениями в прикладной ТПР - от возможных способов моделирования до принципов оптимальности выбранного решения.  
В результате изучения дисциплины студент ориентируется в классах задач ТПР, может грамотно сформулировать задачу в терминах ТПР и адекватно ее формализовать, обоснованно выбрать методы для решения поставленной задачи, сформулировав принципы оптимальности для выбора окончательного решения, и правильно интерпретировать полученные результаты решения задачи. 

История развития теории статистических решений

 
  Трудно проследить весь путь развития теории принятия решений от ее возникновения до наших дней, поскольку за это время изменялись как содержание теории, так и название. В основу этой теории положена концепция, связывающая такие понятия, как субъективная вероятность и полезность. Большим вкладом в изучение проблемы неопределенности явилась работа, посвященная структуре субъективной вероятности. Современная теория полезности для принятия решений в условиях неопределенности разработана независимо двумя авторами — фон Нейманом и Моргенштерном. Они постулировали ряд аксиом, похожих на аксиомы следующего раздела (используя только объективные вероятности), и показали, что каждому возможному исходу можно поставить и соответствие некоторую полезность. В соответствии с их аксиомами лицо, принимающее решение, должно всегда выбирать альтернативу с максимальной ожидаемой полезностью. Этот результат часто называют гипотезой ожидаемой полезности. 
 В 1950 г. появилась классическая работа Вальда по статистическим проблемам принятия решений, где доказан ряд важных результатов статистической теории принятия решений на основе теорем теории игр. Хотя вместо теории полезности автор использовал критерий ожидаемых потерь, понятие, «полезность» легко вводится в его теоретическую схему при помощи небольшой модификации. Упомянутая работа проливает свет на одну сложную проблему, а именно как численно выразить неформальную информацию в модели мира. Школа ученых по статистике и теории принятия решений, куда входят Маршак, Чернов и Рубин, отстаивает использование субъективной вероятности в качестве инструмента для решения задач принятия решений. 
 После создания основ теории многие исследователи начали применять ее к хорошо сформулированным с математической точки зрения задачам, включающим различные неопределенности и возможности для получения выборки или экспериментирования. Результаты этих исследований, основанные на работах предыдущих авторов, образовали направление, известное как байесовская, или статистическая, теория принятия решений. В начале 60-х годов несколько ученых этого направления, главным образом из Harvard Business School, вместе со своими коллегами начали использовать упомянутые теоретические работы для анализа реальных деловых проблем, которые включали неопределенности различного рода, причем иногда была возможность получения выборки и проведения эксперимента, а иногда такая возможность отсутствовала. Результатом работ явилось создание прикладной теории статистических решений. Однако когда стало очевидно, что прикладная теория статистических решений пригодна для анализа широкого класса задач принятия решений, то стало ясно, что название теории должно лучше отражать ее прикладной характер. Так, в 1966 г. в литературе и появился термин теория принятия решений. 
Большой вклад в эту теорию внесли работы ученых, занятых изучением поведения людей, принимающих решения.  
 Наряду с теоретическими разработками совершенствовалось искусство применения теории принятия решений. Были созданы более совершенные системы программного обеспечения для решения сложных задач принятия решений, а также процедуры приближенного анализа, которые позволяли экономить время и усилия. Возможно, более важно отметить, что быстро растет количество публикаций по приложениям теории принятия решений. 
                   Методологические основы теории принятия решений

  Здесь изложена методология применения теории принятия решений для анализа проблем принятия решений. По существу, мы проиллюстрируем четвертый этап процесса принятия решений, предполагая, что проблема уже сформулирована и определены полезности и вероятности суждений. 
 Опишем сначала проблему в общих чертах. Лицо, принимающее решение, имеет возможность выбора решений. Предпочтительность выбора того или иного решения зависит от совокупности внешних условий. Например, целесообразность бурения нефтяной скважины зависит от того, есть нефть или нет нефти. Чтобы получить информацию о внешних условиях, лицо, принимающее решение, имеет возможность провести несколько различных экспериментов. Каждый эксперимент требует определенных денежных затрат. Исходы, представляющие интерес для данного лица и зависящие от внешних условий, реализуются в результате этих экспериментов и последующих решений. Однако в момент принятия решения неизвестно, какой исход фактически будет иметь место. Следовательно, хотелось бы, чтобы методология помогла ответить на следующие вопросы: 
 
а) Какое решение является наилучшим при отсутствии экспериментов? 
б) Следует ли лицу, принимающему решение, проводить эксперимент, и если да, то какой является наилучшим? 
в) Какова должна быть максимальная плата, которую стоит платить за отдельный эксперимент? 

 Будущее  теории принятия решений

 
В настоящее время многие специальные приемы и методы теории принятия решений развиты до такой степени, что позволяют охватить большинство трудных вопросов, которые возникают при анализе сложных проблем. Для создания гарантий необходимо разрабатывать более совершенные методологические процедуры, относящиеся к многофакторным предпочтениям, групповым действиям, оценке информации, программному обеспечению и т. д. Нужно стремиться к тому, чтобы успешно применять теорию для решения актуальных проблем, и использовать накопленный опыт для совершенствования «искусства» применения. Проделанная работа будет ненапрасной, поскольку в теории принятия решений заложены возможности, реализация которых позволит значительно улучшить процесс принятия решений в любой сфере деятельности человека.

Элементы теории статистических решений.

Предметом рассмотрения данного раздела служат статистические модели  приянятия решений, трактуемые как статистические игры или игры с природой при использовании дополнительной статистической информации о ее стратегиях. Характерная черта статистической игры - возможность получения информации в результате некоторого статистического эксперимента для оценки распределения вероятностей стратегий природы. Исследование механизма случайного выбора  стратегии природой позволяет принять оптимальное решение, которое будет наилучшей стратегией в игре с неантагонистическим противником человека - природой.

В рассмотренных разделах теории игр  предполагалось, что оба противника  (или больше двух) активно противодействуют друг другу, что оба они достаточно умны, чтобы искать и найти свою оптимальную стратегию, и осторожны, чтобы не  отступать от нее. Такое положение дает возможность предсказывать поведение  игроков. Неопределенность была лишь в выборе противником конкретной чистой  стратегии в каждой отдельной партии.

Но возможен случай, когда неопределенность в игре вызвана не сознательным противодейтсвием противника, а незнанием условий, в которых будет приниматься  решение, случайных обстоятельств. Такие игры называются "играми с  природой".

Игра человека с природой тоже отражает конфликтную ситуацию, возникающую  при столкновении интересов в  выборе решения. Но "стихийным силам  природы" нельзя приписать разумные действия, направленные против человека  и тем более какой-либо "злой умысел". Таким образом, корректнее говорить о конфликтной ситуации, вызванной столкновением интересов человека и неопределенностью действий природы.

Действия природы могут как  наносить ущерб, так и приносить  прибыль.  Поведение природы можно оценить статистическими методами, определить присущие ей закономерности. В зависимости от степени знания этих закономерностей, определяющих поведение природы, различаются игры с природой в условиях определенности и игры с природой в условиях неопределенности.

В первых поведение природы известно полностью (заданы вероятностями).  Во вторых - действия природы не известны, или изучены частично.

К явлениям природы, влияющим на результат  решения относят не только погодные и сезонные явления (дождь, засуху, урожай, неурожай), но и проявление любых, не зависящих от нас обстоятельств: например, задержки на транспорте.

Поиском решений в таких ситуациях  и занимается теория статистических решений.

Человек, играя с природой, стремиться максимизировать свой выигрыш, поэтому, если он осторожный игрок ( а теория игр рассматривает именно таких игроков), он должен при выборе своей стратегии руководствоваться тем, что неизвестные или известные ему закономерные действия природы приведут к наименее благоприятным последствиям. Именно поэтому такие игры можно рассматривать как игры двух лиц с нулевой суммой, которые были уже нами рассмотрены.

Формализация задачи происходит следующим  образом: у активного игрока (человека) возможные действия по прежнему называются стратегиями, а возможные действия пассивного игрока (природы) - состояниями или условиями природы.

В качестве первого игрока всегда выступает человек, поэтому в  матрице записывается его выигрыш. Так как нас интересует оптимальная  стратегия человека и его гарантированный  выигрыш, то в игру достаточно определить максиминную стратегию первого игрока и нижнюю цену игры. Определение  верхней цены игры имеет смысл, если даная игра повторяется многократно и оптимальная стратегия может быть смешанной.

Игры с природой в условиях определенности.

  Если у человека, выступающего против природы, есть статистические данные о закономерностях в конкретных проявлениях природы, то задача легко может быть решена вероятностными методами.

Таким образом, если вероятности состояний  природы известны и не  изменяются со временем ( стационарны), определяется решение, которое дает наибольшее математическое ожидание выигрыша против известной стратегии природы - состояния или условия. 

Пример. Фирма купила станок за 100 ден.ед.  Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецобору дования обходится в 10 ед., без спецоборудавания - в 40 ед. Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0,3;  сломается 1 раз - 0,4; сломается 2 раза - 0,2;  сломается 3 раза  - 0,1. Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Формализация. Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать и не покупать специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей: 

Решение. Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру.

В матрице методом  минимакса находим седловую точку: (2,4), таким образом,  x* = ( 0, 1 ),  y* = ( 0, 0, 0, 1 ), v* = - 180 ден.ед.

Ответ: нужно купить специализированное оборудование.

Однако в играх с  природой положение коренным образом  меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия  природы: у = ( 0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа.

Если же человек - первый игрок - будет продолжать играть оптимально, то его выигрыш составит  v(x*) = - 150 0,3 - 160 0,4 - 170 0,2 - 180 0,1 = - 161 , а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит  v(x') = - 100  0,3 - 140  0,4 - 180 0,2 - 220  0,1 = - 144 .

Таким образом, первому  игроку выгодно играть неоптимально !

Ответ: не покупать специализированное оборудование.

Существенное различие между значениями v(x*) и v(x') обьясняется  тем, что смешанная стратегия  природы неоптимальна и она, "отклоняясь" от своей оптимальной стратегии "недополучает" 36 ден.единиц выигрыша.

Игры с природой в условиях неопределенности.

Если распределение  вероятностей будущих состояний  природы не известно, вся информация о природе сводится к перечню ее возможных состояний.

Пример. Игра "Поставщик".

Выпуск продукции фирмы  существенно зависит от скоропортящегося материала, например, молока или ягод, поставляемого партиями стоимостью 100ед. Если поставка не прибывает в  срок, фирма теряет 400 ед. от недовыпуска продукции. Фирма может послать к поставщику свой транспорт (расходы 50 ед.), однако опыт показывает, что в половине случаев транспорт возвращается ни с чем. Можно увеличить вероятность получения материала до 80%, если предварительно послать своего  представителя, но расходы увеличатся еще на 50 ед. Существует возможность приобретать более дорогой (на 50%) материал-заменитель у другого, вполне надежного поставщика, однако, кроме расходов на транспорт (50 ед.) возможны дополнительные издержки хранения материала в размере 30 ед., если его  количество на складе превысит допустимую норму, равную одной партии.

Какой стратегии должен придерживаться завод в сложившейся  ситуации? 

Формализация. У природы два состояния: поставщик надежный и поставщик ненадежный. У фирмы - четыре стратегии: 1) не осуществлять никаких дополнительных действий, 2) послать к поставщику свой транстпорт, 3) послать к поставщику представителя и транстпорт, 4) купить и привезти материал-заменитель от другого поставщика.

Составим таблицу расчетов:

Решение. На основе полученных результатов вычислений можно составить платежную матрицу:

Ответ. Нужно придерживаться третьей стратегии и затраты не превысят 260 ед., если послать к поставщику представителя и транстпорт.  

1. Рассмотренный способ поиска оптимального решения называется критерием Вальда(Максиминный критерий принятия решения). Выбирается решение, гарантирующее получение выигрыша не меньше, чем maxmin:

v_W = max_i min_j a_ij = -260 ед.

Применяя этот критерий мы представляем на месте природы  активного и злонамеренного противника. Это пессимистичный подход. 

2. Максимаксный критерий. Самый благоприятный случай:

v_M = max_imax_j a_ij = -100 ед.

Если фирма ничего не предпримет, то потратит не больше 100 единиц. Это критерий абсолютного оптимизма.

3. Критерий  пессимизма-оптимизма Гурвица.

Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации придерживаться некоторой промежуточной  позиции, учитывающей возможность  как наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы. Такой компромиссный вариант и был предложен Гурвицем. Согласно этому подходу для каждого решения необходимо определить линейную комбинацию min и max выигрыша и взять ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей:

v_H = max_i [a max_i a_ij + (1-a) min_j a_ij ], где a - “степень оптимизма” , 0£ a £1.

При  a = 0 критерий Гурвица тождественен критерию Вальда, а при a =1  совпадает с максиминным решением.

На выбор значения степени оптимизма оказывает  влияние мера ответственности: чем  серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание принимающего решение застраховаться, то есть степень оптимизма a ближе к нулю.

Влияние степени оптимизма  на выбор решения в задаче “Поставщик”.

Величина v_H  для каждого значения  a отмечена*. При   a £ 4/9 критерий Гурвица рекомендует в задаче “Поставщик” решение А₃, при 4/9£ a £2/3 - решение А₂. В остальных случаях А₁. А₄ не выгодно во всех случаях.

4. Критерий  Сэвиджа (критерий минимакса риска).

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем в 1954 году и получил название принципа Сэвиджа. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой.

По принципу Сэвиджа  каждое решение характеризуется  величиной дополнительных потерь, которые  возникают при реализации этого решения, по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю.

При выборе решения, наилучшим  образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые по существу, будут являться следствием ошибок выбора.

Для решения задачи строится так называемая “матрица рисков”, элементы котрой показывают, какой убыток понесет игрок (ЛПР) в результате выбора неоптимального аврианта решения.

Риском игрока r_ij при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i.

Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы j, он выбрал бы стратегию, которой соответствует max элемент в данном столбце: max_i a_ij, тогда риск:   r_ij = max_ia_ij  -  a_ij.

Критерий Сэвиджа рекомендует  в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное  значение максимального риска:

v_S = min_i max_j r_ij = min_i max_j (max_i a_ij  -  a_ij).

Для задачи “Поставщик”  минимакс риска достигается сразу  при двух стратегиях А₂  и А₃:

5. Критерий  Лапласа.

В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение: поскольку неизвестны будущие состояния  природы, постольку можно считать  их равновероятными. Этот подход к решению используется в критерии “недостаточного основания” Лапласа.

Для решения задачи для  каждого решения подсчитывается математическое ожидание выигрыша (вероятности  состояний природы полагаются равными y_j = 1/n, j = 1:n), и выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна.

v_L = max_i å1/n a_ij  = 1/n max_i å a_ij.

Решением игры “Поставщик”  по критерию Лапласа является вторая стратегия:

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

6.Критерий  Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает  от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным  состояниям природы можно приписать  определенную вероятность их наступления  и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

v_BL = max_i å a_ij  y_j.

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как  повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).

Возвращаясь к нашей  игре “Поставщик” предположим, что руководители фирмы-потребителя, прежде чем принять решение, проанализировали, насколько точно поставщие ранее выполнял сроки поставок, и выяснили, что в 25 случаях из 100 сырье поступало с опозданием.

Исходя из этого, можно  приписать вероятность наступления первого состояния природы вероятность y_j = 0,75 = (1-0,25), второго - y_j = 0,25. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа оптимальным является решение А₁.

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

Из таблицы видно, что  от выбранного критерия (а в конечном счете - от допущений) зависит и выбор  оптимального решения.

Выбор критерия ( как и  выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной,  чтобы нельзя было получить хоты-бы частичной информации отностительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводяд эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

Заключение

В заключение данной работы можно сделать вывод о необходимости использования теории игр в современных экономических условиях.

В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять  решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет  с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.