Теория телетрафика. 2
Санкт-Петербургский
Государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч - Бруевича
ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА
Курсовая работа
Выполнил: студентка III курса
Галашина Ольга Сергеевна
факультета ВиЗО
Группа А-06у
№ зачетной книжки 1651
Вариант 51
задачи 1 и 2
Вариант исходных данных №6
Санкт – Петербург
2013
Задача 1.Исследование процесса поступления сообщений на системы коммутации
Условие: На телефонной станции организовано наблюдение за процессом поступления сообщений. Весь период наблюдения (25 ч), на протяжении которого поток является практически стационарным, разделен на n=100 интервалов длительностью t=15 мин. Для каждого интервала определяется число поступающих сообщений. Данные наблюдений группируются в статистический ряд по m членов, характеризующихся числом интервалов nk (k = 1, 2, …, m) с одинаковым числом вызовов ck в интервале.
Требуется: Оценить следующие характеристики процесса поступления сообщений.
- Рассчитать эмпирические вероятности распределения числа вызовов на интервале длительностью t = 15 мин.
- Рассчитать среднее статистическое значение числа вызовов в интервале t=15 мин.
- Рассчитать вероятности распределения Пуассона Pk на интервале t=15 мин.
- Рассчитать число степеней свободы r и меру расхождения c2 между теоретической вероятностью Pk и эмпирической
№ п/п |
ck |
nk |
|
1 |
0 |
5 |
2 |
1 |
15 |
3 |
2 |
22 |
4 |
3 |
23 |
5 |
4 |
17 |
6 |
5 |
11 |
7 |
6 |
5 |
8 |
7 |
1 |
9 |
8 |
1 |
10 |
9 |
0 |
|
100 |
Определить соответствие эмпирического распределения числа сообщений в интервале t=15 мин распределению Пуассона
Исходные данные:
Решение
Задание связано с изучением простейшего потока вызовов-стационарного ординарного потока без последействия, который описывается функцией Pk(t) распределения числа вызовов, происходящих в заданном интервале времени [0,t).
Функция Pk(t) подчиняется закону Пуассона с параметром λt:
где λ- параметр простейшего потока, совпадает
с интенсивностью µ этого потока.
- Эмпирические вероятности распр
еделения числа вызовов рассчит ываются по формуле
- Среднее статистическое значение
где n – число интервалов наблюдения.
- Данному эмпирическому распределению ставится в соответствие распределение Пуассона при:
λt=c=
где t-длина рассматриваемого интервала;
c-математическое ожидание числа вызовов в интервале t.
Значения вероятностей распределения Пуассона могут быть определены по справочным таблицам или рассчитаны по формуле
Приведем пример расчета для k=2, результаты остальных расчетов сведем в таблицу 1.1.
Таблица 1.1. Результаты расчетов.
№ п/п |
ck |
nk |
(t) |
Pk(t) |
1 |
0 |
5 |
0,05 |
0,1534 |
2 |
1 |
15 |
0,15 |
0,2270 |
3 |
2 |
22 |
0,22 |
0,2240 |
4 |
3 |
23 |
0,23 |
0,1657 |
5 |
4 |
17 |
0,17 |
0,0981 |
6 |
5 |
11 |
0,11 |
0,0484 |
7 |
6 |
5 |
0,05 |
0,0205 |
8 |
7 |
1 |
0,01 |
0,0076 |
9 |
8 |
1 |
0,01 |
0,0025 |
10 |
9 |
0 |
0 |
0,0007 |
100 |
1 |
- Чтобы установить, в какой степени результаты эксперимента согласуются с выбранной матема
тической моделью- с распределением Пуассона-воспользуемся критерием χ2 .
Применение критерия χ2 сводится к определению меры расхождения χ2 между теоретической вероятностью Pk(t) и эмпирической (t):
и числа степеней свободы:
где s-число независимых условий, налагаемых
на вероятности
.
Число степеней свободы равно:
r = 10 – 2 = 8, так как на вероятности накладываются два условия –их сумма должна быть равна единице и должны совпадать теоретические и статистические средние значения.
- По найденным значениям r и χ2 из [1, табл.3] определим вероятность Р того, что величина, имеющая распределение χ2=30,177 с r=8 степенями свободы превзойдет данное значение χ2:Р< 0,7
Задание 2 Вариант 9
Исследование процесса обслуживания реального потока сообщений полнодоступным пучком, включенным в однозвенную коммутационную схему
Задание. На телефонной станции организован станционный эксперимент, направленный на выявление соответствия реального процесса обслуживания потов сообщений математическим моделям, описываемым первой формулой Эрланга и формулой Энгсета. Условия эксперимента ограничены однозвеньевой ступенью свободного искания, в выходы которой включен полнодоступный пучок из u линий. Поток создается N источниками; среднее число вызовов в ЧНН от всех источников составляет ; средняя длительность обслуживания одного сообщения принята равной . Измерения числа i одновременно занятых линий в пучке проводят в течение трех дней по 12 измерений в каждый ЧНН.
Требуется. Оценить следующие характеристики процесса обслуживания.
1) По результатам измерений рассчитать эмпирические значения:
- интенсивность нагрузки, обслуженной ступенью искания ;
- интенсивности нагрузки,
поступающей на ступень
- интенсивность нагрузки, потерянной ступенью искания ;
- вероятность потерь по нагрузке .
2) В предположении, что поступающий на ступень искания реальный поток сообщений соответствует модели простейшего потока, для которого среднее число вызовов в ЧНН от всех источников (Т – промежуток времени, соответствующий ЧНН), рассчитать:
- интенсивность нагрузки
у, поступающей на ступень
- вероятность того, что все u линий пучка заняты Рu;
- вероятность потерь по вызовам Рв, по времени Рt, по нагрузке Рн;
- распределение вероятностей Рi (i = 0, 1, …u);
- интенсивность нагрузки, обслуженной ступенью искания yоб;
- интенсивность нагрузки, потерянной ступенью искания yп;
- отклонение теоретического значения вероятности потерь Рн от эмпирического значения в %;
- отклонение теоретического значения интенсивности обслуженной нагрузки уоб от эмпирического значения в %.
3) В предположении, что поступающий на ступень искания реальный поток сообщений соответствует модели примитивного потока, который создает нагрузку интенсивности y = = N∙a (а – интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника), рассчитать:
- вероятность потерь по вызовам Рв;
- вероятность потерь по времени Рt;
- вероятность потерь по нагрузке Рн;
- распределение вероятностей Рi (i = 0, 1, …u );
- среднее значение параметра потока от N источников;
- интенсивность нагрузки, обслуженной ступенью искания yоб;
- интенсивность нагрузки, потерянной ступенью искания yп;
- отклонение в процентах
теоретического значения
4) Построить кривые распределений Эрланга и Энгсета и получить численное доказательство того, что сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего токов вызовов составляет .
5) Установить взаимосвязь
между рассматриваемыми
6) По результатам проведенных
исследований сформулировать
Исходные данные:
Таблица 1 – Результаты измерений числа одновременно занятых линий
Номер измерений | |||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 | ||
Число одновременно занятых линий i |
1 день |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
0 |
0 |
2 день |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 | |
3 день |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
2 |
1 |
1 | |
Среднее число поступающих вызовов в ЧНН = 72;
Средняя длительность обслуживания одного вызова t = 70с;
Емкость пучка u = 5;
Число источников N = 20.
Решение
1) По результатам измерений рассчитываем следующие эмпирические характеристики:
- интенсивность обслуженной нагрузки определяется как математическое ожидание числа одновременно занятых линий Мi:
,
где ijk – число одновременно занятых линий при k-м измерении (k = 1, 2,…12) в j-й день измерений (j = 1, 2, 3);
- интенсивность поступающей нагрузки находится по известным и , при этом берется = с(1), = t:
;
Эрл
- интенсивность потерянной нагрузки определяется по формуле:
.
= 1,4– 1,3333 = 0,0667 Эрл
Вероятность потерь по нагрузке рассчитываются по формуле:
.
2) Для полного описания простейшего потока вызовов достаточно знать интенсивность потока μ, зная которую можно оценить все остальные характеристики потока (параметр λ, функцию распределения промежутков между вызовами А(х), вероятность поступления определенного числа вызовов k за некоторый промежуток времени t – Pk(t)).
Если за единицу времени принять ЧНН, то правомерно приравнять эмпирическое значение среднего числа вызовов в ЧНН его теоретическому значению:
.
Также правомерно принять эмпирическое значение интенсивности поступающей нагрузки его теоретическому значению у:
у= .
Математическая модель простейшего потока вызовов описывается первой формулой распределения Эрланга:
Рi = Еi,u(y) =
где Рi – вероятность того, что в полнодоступном пучке из u линий, на которые поступает нагрузка интенсивностью у, занято точно i линий.
Вероятность занятости в пучке всех u линий Рu равна вероятности потерь по вызовам Рв, времени Рt и нагрузке Рн:
Рu = Рв = Рн = Рt = Еu,u (y) =
Расчет вероятностей состояния полнодоступного пучка Рi проведем через рекуррентное соотношение:
.
По таблицам Пальма [1 прил. 2] при y =1,4 Эрл и u = 5 определим
Р5 = Рв = Рн = Рt = 0,011088
Интенсивность обслуженной нагрузки равна:
.
yоб = 1,4∙(1 – 0,011088) = 1,38447 Эрл
Интенсивность потерянной нагрузки определяется по формуле:
.
уп = 1,4 – 1,38447 = 0,01553 Эрл
Отклонение теоретического значения вероятности потерь Рн от ее эмпирического значения определим по формуле:
.
Отклонение теоретического значения интенсивности обслуженной нагрузки уоб от эмпирического значения определим по формуле:
.
3) Если интенсивность нагрузки создается примитивным потоком вызовов, то математическая модель обслуживания описывается распределением Энгсета. Значения этого распределения табулированы.
При расчете характеристик этой модели будем исходить из численного равенства
y = = N∙a ,
где а – интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника, и следовательно,
.
Эрл
Распределение Энгсета и характеристики качества обслуживания имеют вид:
a £ i £ u;
;
;
;
при этом Рн < Рв < Pt = Рu .
Распределение Энгсета рассчитывается через рекуррентное соотношение:
.
По [1 прил. 3] при N = 20, u = 5 и а = 0,07 Эрл определим
Рв = Р(20, 5, 0,07) = 0,0071
при N + 1 = 21, u = 5 и а = 0,07 Эрл определим
Рt = Р5 = Р(21, 5, 0,07) = 0,0088
Среднее значение параметра от N источников рассчитаем по формуле:
.
Интенсивность обслуженной нагрузки равна:
.
Эрл
Интенсивность потерянной нагрузки равна:
.
yп = 1,500 –1,3861= 0,1139 Эрл
Отклонение теоретического значения вероятности потерь Рн и интенсивности обслуженной нагрузки уоб от их эмпирических значений и определим по ранее приведенным формулам.
4) На рисунке 1 представлены кривые распределения Эрланга и Энгсета.
Приведем доказательство того, что сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего токов вызовов составляет :
Для простейшего потока
Для примитивного потока
5) Характер зависимости величины поступающей нагрузки от емкости пучка линий u, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников n, такой же, как и при обслуживании простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов n: в области малых потерь с уменьшением n увеличивается пропускная способность пучка. При заданном качестве обслуживания, поступающая на u линий пучка нагрузка na, создаваемая вызовами примитивного потока от любого числа источников имеет меньшую величину по сравнению с нагрузкой у, создаваемой вызовами простейшего потока. С уменьшением пучка линий, нагрузка, создаваемая вызовами примитивного потока, увеличивается и становится в каждом своём значении больше, чем нагрузка, создаваемая вызовами простейшего потока. С увеличением потерь существенно уменьшается влияние n на пропускную способность пучка; сокращается различие между пропускной способностью пучков, обслуживающих вызовы примитивного и простейшего потоков.
6) Сопоставив отклонения в процентах теоретических значений вероятностей потерь и обслуженной нагрузки от эмпирических значений для простейшего и примитивного потока при количестве источников N = 20 можно сделать вывод о том, что измеренный реальный поток в наибольшей степени соответствует первой модели обслуживания и необходимо пользоваться распределением Эрланга.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лившиц Б.С., Пшеничников
А.П., Харкевич А.Д. Теория
2. Мамонтова Н.П. Теория
телетрафика: методические реко