Теория упругого режима

    Введение

    Постановка  и решение газогидродинамических  задач разработки месторождений  в значительной степени определяются природой движущих сил, обеспечивающих фильтрацию нефти и газа в пласте. В связи с этим важное значение имеет значение режимов нефтегазоносных пластов.

    Режим продуктивных пластов в процессе их разработки зависит как от многих естественных факторов, так и от системы разработки.

    К естественным факторам, влияющим на режим  разрабатываемого пласта, относятся  геологические особенности строения пласта, фильтрационные характеристики пород пласта и насыщающих его жидкостей и газов, физические условия в пласте – давление, температура и т.д.

    Режимом нефтегазоводоносного пласта называется проявление доминирующей формы пластовой  энергии в процессе разработки залежи нефти и газа.

    В курсовой работе рассматривается упругий  режим разработки месторождений, при котором нефть или газ поступает в скважины за счет упругих свойств жидкости и породы пласта.

    При пуске скважины в эксплуатацию в условиях упругого режима движение жидкости к скважине начинается за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости сначала в ближайшей окрестности забоя, затем во все более удаленных областях пласта.

    Характерная особенность проявления упругого режима в процессе разработки нефтяных месторождений – длительность процесса перераспределения пластового давления после начала работы скважины или изменения темпа отбора жидкости из скважины. Это связано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают очень большие силы сопротивления. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости и коэффициенты объемной упругости жидкости и пласта. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ТЕОРИЯ упругого режима

    1.1 Закон Дарси

   Закон Дарси устанавливает линейную зависимость  между объемным расходом несжимаемой  жидкости и потерей напора, приходящийся на единицу длины, и имеет вид:

,    (1.1.1)

где Q – объемный расход жидкости через песчаный фильтр;

    k_ф – коэффициент фильтрации, зависящий как от структуры пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости;

    Н₁ – полный напор в начальном сечении образца пористой среды (скоростные напоры отброшены вследствие их малости):

    Н₂ – полный напор в конечном сечении образца пористой среды:

    L – длина образца;

    ω – площадь поперечного сечения;

    i – гидравлический уклон:

   Эта формула впервые была экспериментально получена французским инженером Дарси подтверждается для многих жидкостей и газов в широких пределах изменения скоростей. Но для некоторых жидкостей и значений скоростей фильтрации не подтверждается. Коэффициент фильтрации k_ф используется в тех случаях, когда фильтруется вода. При фильтрации нефти, газа, воды и их смесей желательно учитывать свойства породы и жидкости отдельно. Свойства жидкости характеризуется коэффициентом динамической вязкости μ и плотности ρ. Тогда коэффициент фильтрации можно записать в виде:

где k – коэффициент проницаемости породы, м²;

   μ – динамический коэффициент вязкости

   С введением коэффициента проницаемости  закон Дарси примет вид:

где – приведенное давление.

   Расстояние  z от плоскости сравнения до данной точки считается положительным, если точка лежит выше плоскости сравнения, и отрицательной, если ниже. За плоскость сравнения можно принять любую горизонтальную плоскость. Обычно принимают границу газонефтяного (ГНК) или водонефтяного (ВНК) контакта. При движении жидкости в горизонтальных пластах (z = const), второе слагаемое в приведенном давлении постоянно и при подстановки в формулу в закон Дарси обращается в нуль. Поэтому в горизонтальных пластах при движении однородной жидкости приведенное давление можно положить равным давлению в данной точке и знак (^*) в законе Дарси можно опустить.

   Рассмотрим  трубку тока, вдоль которой происходит фильтрации жидкости. Обозначим расстояние вдоль вектора скорости у этой трубки через  s. Выберем две точки на расстоянии Δs друг от друга и запишем для этих точек закон Дарси:

   Получим значение средней скорости на этом участке u_ср. Если устремить расстояние между точками к нулю, то получим закон Дарси в дифференциальной форме:

где s – координата вдоль линии тока.

   Закон Дарси в векторной форме:

или в проекциях  на оси координат:

; ; .            (1.1.2)

   В случае плоскорадиального притока к скважине р^* = р, ∂р_у = ∂р_z = 0 и закон Дарси будет иметь вид:

.                    (1.1.3)

1.2 Вывод  уравнения неразрывности

   Выведем уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока для однородного сжимаемого флюида в деформируемой пористой среде. Оно представляет собой уравнение баланса массы в элементарном объеме пористой среды. Выделим мысленно в пористой среде, в которой происходит движение флюида, элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис. 1.1). Пусть точка М, совпадающая с центром левой грани ab, имеет координаты x, y, z. Тогда точка М' в центре грани a'b' имеет координаты x+dx, y,z. Масса флюида, втекающего в объем через грань ab за малый промежуток времени dt записывается в виде:

.     (1.2.1)

   Отметим, что в силу малости выделенного  объема и его граней можно считать, что плотность и скорость фильтрации распределены на гранях ab и a'b' равномерно и равны значения их в точках М и М' соответственно.

Схема элемента пласта для вывода уравнения неразрывности

   Масса флюида, вытекающая из объема через  грань a'b' равна:

.     (1.2.2)

   Но  так как при переходе от точки М грани ab к точке М' грани a'b' координата х изменилась на малую величину dx, то можно записать:

      .    (1.2.3)

   Тогда изменение массы флюида в объеме abb'a' за промежуток времени dt за счет потока вдоль оси х:

      .  (1.2.4)

   Рассматривая  фильтрацию флюида в направлениях вдоль  осей y и z, получим аналогичные выражения для изменения массы в элементарном объеме за счет потока вдоль этих осей в виде:

       и  .   (1.2.5)

   Таким образом, общее изменение (накопление) массы в объеме dxdydz за время dt будет

      .   (1.2.6)

   С другой стороны, масса флюида, находящего в рассматриваемом элементарном поровом объеме:

где m – коэффициент пористости пласта.

   Изменение массы флюида за промежуток времени  dt записывается в следующем виде:

      .    (1.2.7)

     Приравнивая выражения (1.2.6) и (1.2.7) и сокращая их на dx·dy·dz·dt получим уравнение неразрывности:

      .    (1.2.8)

   Отметим, что уравнение (1.2.8) справедливо только в том случае, если внутри выделенного  элемента породы нет источников или  стоков, выделяющих или поглощающих флюид.

   Выражение в левой части уравнения (1.2.8) представляет собой дивергенцию вектора массовой скорости фильтрации и кратко записывается так:

.                       (1.2.9)

   Поэтому уравнение(1.2.8) имеет также следующую  запись:

.                (1.2.10)

1.3 Дифференциальное уравнение движения

   Рассмотрим  фильтрацию флюидов в пористых средах, принимая в качестве закона движения линейный закон фильтрации Дарси:

.                                          (1.3.1)

   Закон Дарси в виде (1.3.1) записан в конечном виде, т. е. для пласта или образца с постоянной площадью сечения,

где – разность приведенных давлений на конечной длине L;

      – приведенное давление (очевидно, приведенное давление совпадает с истинным давлением Р при z = 0);

    μ – динамический коэффициент вязкости;

    k – коэффициент проницаемости, который не зависит от свойств жидкости и является характеристикой только пористой среды. Для трубки тока с переменной площадью сечения по длине трубки закон Дарси записывается в дифференциальной форме.

   Выделим два сечения: первое – на расстоянии s от начало отсчета, второе – на расстоянии ds от первого. Пусть движение флюида происходит в направлении возрастания координаты s. В сечении с координатой s обозначим приведенное давление , в сечении с координатой давление:

.                             (1.3.2)

   Используя формулу (1.3.1), получим:

или

.                                         (1.3.3)

   Знак  минус появился в правой части  формулы (1.3.3) потому, что приведенное давление уменьшается в направлении движения жидкости, т. е. градиент давления отрицателен .

   Формула (1.3.3) справедлива только для изотропной среды, для которой характерно постоянство проницаемости среды k по всем направлениям в окрестности рассматриваемой точки. Однако с переходом от точки к точке пласта проницаемость, вообще говоря, может измениться, т. е. (модель изотропного неоднородного пласта).

   Запишем уравнение (1.3.3) в проекциях на ось  координат x, y, z. Если обозначить единичные векторы вдоль осей координат, то вектор скорости фильтрации можно записать так:

.                                  (1.3.4)

   В правой части (1.3.3) представляет собой градиент приведенного давления, т. е. вектор с составляющими , , :

.                         (1.3.5)

Тогда

;                                         (1.3.6)

или в  проекциях на ось координат:

, , .                          (1.3.7)

   Если  ось z направлена вертикально верх, то дифференциальное уравнение движения примут вид:

, , .                         (1.3.8)

или в  векторной форме:

.                                  (1.3.9)

1.4 Дифференциальное уравнение упругой режима фильтрации

   Запишем дифференциальное уравнение фильтрации однофазного сжимаемого флюида в однородной пористой среде, пренебрегая силами тяжести и инерции:

• уравнение неразрывности потока:

.                  (1.4.1)

   Пусть при существовании в пласте упругого режима жидкость движется в соответствии с законом Дарси, тогда:

• уравнение движения:

; ; .                     (1.4.2)

   Процесс фильтрации будем считать изотермическим, т. к. изменение температуры, возникающие  в ходе движения вследствие наличия сопротивления и расширения вещества, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами.

   В неустановившихся процессах часто  большое количество нефти можно  отобрать за счет расширения ее объема при снижении давления. Поэтому в этих процессах необходим учет сжимаемости жидкости.

   Введем  функцию F, которая бы учитывала зависимость основных параметров жидкости и пористой среды от давления. Примем, что ее дифференциал:

;            (1.4.3)

тогда

.            (1.4.4)

   Функция F названа функцией Лейбензона. Т. к. функцией Лейбензона F и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (1.4.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:

.    (1.4.5)

   Из  сравнения коэффициентов при  dx, dy, dz, dt получаем:

; .         (1.4.6)

   Запишем выражение для массовых скоростей фильтрации, умножив уравнение движение (1.3.8) на плотность флюида и используя формулу (1.4.6):

                          .                                (1.4.7)

   Подставив выражение (1.4.7) в уравнение неразрывности (1.4.1), получим:

;                      (1.4.8)

или

.                           (1.4.9)

   Дифференциальное  уравнение (1.4.8) или (1.4.9) справедливо  для неустановившегося движения однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.

   В дальнейшем примем, что проницаемость  пористой среды и динамический коэффициент  вязкости флюида постоянны: , , . Тогда можно ввести функцию Лейбензона:

,                            (1.4.10)

а дифференциальное уравнение (1.4.9) перепишется в виде:

.                        (1.4.11)

   Введенное дифференциальное уравнение (1.4.11) содержит плотность флюида ρ, а также коэффициент пористости m. Для дальнейших расчетов надо знать зависимость этих параметров от давления.

   При изотермическом процессе  зависимость  плотности флюида от давления представляет собой уравнение состояния.

   Считая  капельную жидкость упругой, можно  записать закон сжимаемости ее в  виде:

где V_ж – начальный объем жидкости;

    dV_ж – изменение объема при изменении давления на dP;

    β_ж – коэффициент объемного сжатия жидкости.

   В Формуле (1.4.11) перейдем от объемов к плотности. Подставляя, получим:

будем иметь:

откуда:

   Проинтегрируем  последнее равенство от фиксированных  значений Р₀ и ρ₀ до текущих значений Р и ρ, соответственно:

отсюда:

или

 .                          (1.4.12)

   Показатель  степени  обычно много меньше единицы. Действительно, если , а , . В этом случае разложив функцию в ряд Тейлора, можно ограничится двумя первыми членами ряда:

   При этом получаем линейную зависимость плотности от давления:

.                          (1.4.13)

   Для больших перепадов давлений (Р – Р₀) надо использовать уравнение состояния (1.4.12).

   Иногда  вместо коэффициента сжатия вводят модуль упругости жидкости:

   Формулы (1.4.12) и (1.4.13), выраженные через модуль упругости  , примут вид:

;                        (1.4.14)

.                      (1.4.15)

   Выясним как зависит от давления коэффициент пористости. Вследствие малой деформации твердой фазы считают обычно, что изменение пористости зависит от изменения давления линейно. Закон сжимаемости породы записывают следующим образом, вводя коэффициент объемной упругости пласта β_с:

,                               (1.4.16)

где dV_n – изменение объема пор в элементе пласта, имеющем объем V, при изменение давления на dP.

   Закон сжимаемости (1.4.16) можно записать в виде:

,                              (1.4.17)

или в  конечной форме:

,                             (1.4.18)

где m₀ – коэффициент пористости при Р = Р₀.

   Используя уравнение состояния упругой  жидкости (1.4.13) и упругой пористой среды (1.4.18), найдем выражение правой части уравнения (1.4.10).

   Произведение  m·ρ можно получить, умножив (1.4.13) на (1.4.18):

   Последним слагаемым в правой части этого  равенства ввиду его малости  по сравнению с двумя другими  слагаемыми можно пренебречь. Тогда  получаем:

,                         (1.4.19)

где ;

    β^* – коэффициент упругоемкости пласта;

откуда после  дифференцирования по времени t находим:

.                                    (1.4.20)

   Найдем выражение левой части уравнения (1.4.10). Для этого предварительно найдем выражение функции Лейбензона для упругой (слабосжимаемой) жидкости, описываемой уравнением состояния (1.4.12):

.         (1.4.21)

   Если  , то можно взять уравнение состояния упругой жидкости в виде (1.4.13). Тогда из (1.4.21) получим следующее выражение для функции Лейбензона:

.                 (1.4.22)

   Дифференцируя дважды выражения (1.4.22) по координатам  и складывая, получим:

.                                 (1.4.23)

   Подставляя (1.4.20) и (1.4.23) в исходное дифференциальное уравнение (1.4.10), будем иметь:

или

,                        (1.4.24)

где введенное  обозначение:

,                                (14.25)

χ –  коэффициент пьезопроводности пласта, характеризующий скорость перераспределения  пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой  пористой среде. Наиболее часто встречающиеся в нефтепромысловой практике значения коэффициента пьезопроводности заключены в пределах 0,1 до 5 .

   Уравнение (1.4.24) является основным дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации (уравнение пьезопроводности).

   Для плоскорадиального движения оно  запишется в виде:

 ,                            (1.4.26)

или

.                           (1.4.27)

   Для того чтобы исследовать неустановившиеся процессы фильтрации упругой жидкости в упругом пласте, надо получить закон распределения давления в пласте . Для этого нужно проинтегрировать уравнение (1.4.27) при соответствующих начальных и граничных условиях.

     1.5 Начальные и граничные условия

   Продуктивный  пласт или выделенную из него часть  можно рассматривать как некоторую  область пространства, ограниченную поверхностями-границами. Границы могут  быть непроницаемыми для флюидов, например, кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания – это контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.

   Начальное условие заключается в задании  искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный.