Тепловой расчёт и конструирование печи

Санкт-Петербургский  государственный

политехнический университет

 

 

 

Факультет технологии и исследования материалов

Кафедра «Пластическая обработка  металлов»

 

 

 

 

Пояснительная   записка

к курсовому проекту

На тему: «Тепловой расчёт и конструирование  печи»

 

 

 

 

 

 

Проект выполнил                                        студент группы 3064/2

                                                                        И. А. Полозов

 

 

Руководитель                                                А.Э. Александров

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

 

Санкт-Петербургский  государственный

политехнический университет

 

 

Факультет технологии и  исследования материалов.

Кафедра «Пластическая  обработка металлов»

Задание № 25

к курсовому проекту на тему:

«Тепловой расчёт и конструирование печи»

 

Студент:  И. А. Полозов                                Группа 3064/2

1. Тип и назначение печи:  камерная садочная.
2. Материал нагреваемых заготовок: Сталь 08
3. Габариты заготовок: цилиндр D = 620 мм, L = 1380 мм.
4. Садка печи: 2.
5. Режим нагрева металла: нагрев под ковку
6. Топливо: смесь природного и коксового газов
7. Теплотворность топлива: Q = 23000 кДж/м³
8. Влажность топлива: W=  40 г/м³
9. Температура подогрева воздуха: t =230˚С

10. Выполнить аэродинамический  расчёт дымового тракта

 

 

Введение

В данном курсовом проекте производится тепловой расчет и конструирование печи. Нагрев металла является одной из важнейших стадий производственного процесса, влияющей на производительность, качество и себестоимость продукции.

В машиностроении для  нагрева металлических заготовок под прессование, штамповку  и термическую обработку используют печи различных конструкций, которые могут быть объединены общим признаком. В  большинстве   случаев – это камерные печи  садочного  типа. В  таких  печах  нагрев  заготовок  производят  отдельными  садками, с  последующим их  охлаждением. Широкое  применение  этих  печей объясняется  их  универсальностью,  позволяющей  обрабатывать  по  разным  режимам   разнообразные  по форме  и  размерам  заготовки.

Для того чтобы грамотно выбрать и  использовать  печь,  необходимо  ознакомиться  с основами её  тепловой  работы, т.е. совокупности всех  процессов, протекающих  в  печи  и  определяющих основной  процесс – нагрев  металла. Сущность тепловой  работы  нагревательных  и  термических  печей  садочного  типа  определяется сочетанием  процессов  тепловыделения,  теплообмена  и  теплоусвоения, которые  протекают  в  рабочем  пространстве  печи. Поэтому  задачи расчета  таких  печей  сводят  к  выявлению  условий  протекания  указанных  процессов,  которые  обеспечат заданный  режим  нагрева  и  заданную  производительность  печи.

 

1. Расчет горения топлива.

 

Согласно заданию печь должна отапливаться смесью природного и коксового газов (теплота сгорания: 23000 кДж/м³, влажность 40 г/м³). Состав природного (П) и коксового (К) газов приведен в таблице 1.

                                                                                                               Таблица 1

Газ	СО2	СО	Н2	N2	СН4	С2Н4	О2	Н2S	Н2О
П	0,3	0,6	2,0	3,0	93,0	0,4	0,5	0,2	-
К	2,8	5,4	50,8	11,4	26,5	1,7	1,0	-	0,4

 

Пересчитаем состав сухого газа на рабочий по формулам:

k = (100-Н₂О)/(100-(Н₂О)_Т),

Н₂О = 100·W/(W+803,6)

где (Н₂О)_Т - содержание влаги в топливе по справочным данным, %;

Н₂О – заданное содержание влаги в топливе, %; W - содержание водяных паров в топливе, г/м³.

Н₂О = 100·40/(40+803,6) = 4,74%

k =(100-4,74)/100 = 0,9526

Рабочий состав газов  равен:

Природный газ      СО₂^Р = 0,3·0,9526 = 0,29%  и т.д.

Коксовый газ      СО ₂^Р = 2,8·0,9526 = 2,67% и т.д.

 

Рабочие составы (%) природного и коксового газов приведены в таблице 2.

                                                                                                                     Таблица 2

Газ	СО2Р	СОР	Н2Р	N2Р	CH4Р	C2H4Р	O2Р	H2SР	H2OР	Сумма
П	0,28	0,57	1,90	2,86	88,6	0,38	0,48	0,19	4,74	100
К	2,67	5,14	48,39	10,86	25,24	1,63	0,95	-	5,12	100

 

Теплоту сгорания каждого  газа вычисляем по формуле:

 

Q_н ^р = 0,127·CO^P +0,108·H₂^P +0,234·H₂S^P +0,357·CH₄^P +0,596·C₂H₄^P

Q_{н пг} ^р = 0,127·0,57+0,108·1,91+0,234·0,19+0,357·88,59+0,596·0,38 = 32,18МДж/м³

Q_{н кг} ^р = 0,127·5,14+0,108·48,39+0,357·25,24+0,596·1,63 = 15,86 МДж/м³

 

Определим состав смеси.

Доля природного газа в смеси:

x  = (Q_см - Q_{н кг}^Р)/(Q_{н пг}^Р – Q_{н кг}^Р) = (23,0-15,86)/(32,18-15,86) =0,4375

Доля коксового газа:  (1- 0,4375) =  0,5625.

 

Рабочий состав смешанного газа определяется по формуле:

(СО₂)_см = х· (СО₂)_пг + (1-х) · (СО₂)_кг  …

СО₂^Р _см = 0,4375·0,28 + 0,5625·2,67 = 1,62%…

Рабочий состав (%) смешанного газа приведен в таблице 3.

                                                                                                                 Таблица 3

СО2РСМ	СОРСМ	Н2РСМ	N2РСМ	СН4РСМ	С2Н4РСМ	О2РСМ	Н2SРСМ	Н2ОРСМ	Сумма
1,62	3,14	28,05	7,37	52,97	1,08	0,74	0,08	4,95	100

 

Теоретически необходимое  количество воздуха (м³) определяем по формуле:

 

L₀ = 0,0476· (0,5CO^P +0,5H₂^P +2CH₄^P +3C₂H₄^P +1,5H₂S^P -O₂^P)(1+0,00124d_В),

 

где d_В - влагосодержание сухого воздуха, г/м³, равное 10г/м³.

 

L₀ = 0,0476· (0,5·3,14+0,5·28,05+2·52,97+1,5·0,08-0,74) · (1+0.00124·10) = 5,83 м³.

 

Действительное количество воздуха при a = 1,1 вычисляется по формуле:

 

L_Д = a·L₀ = 1,1·5,83 = 6,41 м³.

 

Количество продуктов  сгорания (м³) рассчитываем по формулам:

 

V_CO2 = 0,01· (CO₂^P+CO^P+CH₄^P+2C₂H₄^P)

V_CO2 = 0,01· (1,62+3,14+52,97+2·1,08) = 0,6 м³

 

V_N2 = 0,01*(N₂ +79*L_Д)

V_N2 = 0,01*(7,37+79*6,41) = 5,14 м³

 

V_H2O = 0,01· (2CH₄^P +2C₂H₄^P +H₂^P + H₂O^P +H₂S^P + 0.124L_д·d_В)

V_H2O = 0,01· (2·52,97+2·1,08+28,05+4,95+0,08+0,124·6,41·10) =1,44 м³

 

V_O2 = 0,21· (a-1) ·L₀ = 0,21· (1,1-1) ·5,83 = 0,13 м³

V_SO2 = 0,01·H₂S^P = 0,01·0,08 = 0,0008 м³

 

Общее количество продуктов  сгорания равно:

 

V_Д = V_CO2 + V_N2 +V_H2O + V_O2 + V_SO2 = 0,6+5,14+1,44+0,13+0,0008 = 7,31 м³

 

Рассчитаем состав продуктов  сгорания смешанного газа по формулам:

 

Х = 100·V_X/V_Д

CO₂ = 0,6·100/7,31 = 8,2%

H₂O = 1,44·100/7,31 = 19,69%

SO₂ = 0,0008·100/7,31 = 0,01%

N₂ = 5,14·100/7,31 = 70,3%

O₂ = 0,13·100/7,31 = 1,8%

 

Плотность продуктов сгорания вычисляем  по формуле:

 

r_Д = (0,44·CO₂+0,18·H₂O+0,28·N₂+0,32·O₂+0,64·SO₂)/22,4 = =(0,44·8,2+0,18·19,69+0,28·70,3+0,32·1,8+0,64·0,01)/22,4 = 1,22 кг/м³

 

 

2. Расчет параметров  внешнего теплообмена.

 

Согласно заданию садка  печи состоит из двух слитков диаметром d = 620 мм и длиной

 l = 1380 мм.

Расположим слитки в  ряд по ширине пода (рис. 2.1).

 

 

Рис. 2.1. Эскиз рабочего пространства печи и схема

расположения слитков  на ее поду.

 

На поверхность нагреваемого в печи материала теплота передаётся за счёт излучения и конвекции:

где q _конв и q_изл – тепловые потоки, переданные соответственно конвекцией и излучением. Следует иметь ввиду, что доля теплоты, передаваемой конвекцией в печах с рабочей температурой более 700°С, не превышает 15…20% и падает с увеличением температуры. Существующие методики расчёта конвективного теплообмена дают относительную погрешность около 20…30%, поэтому в дальнейшем будем считать, что конвективный тепловой поток составляет 10% от лучистого теплового потока: qконв=0.1 qизл. Тогда общий поток теплоты, передаваемый на поверхность металла: qм=1.1 qизл. Теловой поток

излучением на поверхность  нагреваемого материала может быть вычислен по формуле:

 

где q_изл - тепловой поток излучением; Т_ср, Т_пов – температуры среды и поверхности нагреваемого материала, К; С_пр – приведённый коэффициент излучения, В/м²К⁴ .

При расчёте теплового  потока на поверхность садки в  качестве источника излучения может быть выбрана печь, газ или кладка. В реальных условиях режим нагрева контролируется по показаниям печной термопары. Температура, фиксируемая горячим спаем такой термопары, даёт промежуточное значение между температурой газа (наиболее высокой температурой печи), кладки и металла. Принято считать, что на поверхность печной термопары и металла передаются равные тепловые потоки, поэтому в дальнейшем при его определении принимаем в качестве источника излучения печь. Тогда с учётом конвекции тепловой поток на металл:

где С_пм – приведённый коэффициент излучения в системе печь – металл,

В/м²К⁴ ; Т_пч – температура печи, К.

Исходя из того что тепловой поток  излучением на металл одинаков независимо от того, что мы выбираем в качестве источника излучения, то qм, можно определить температуру газов и кладки из выражений:

Тогда длина рабочего пространства

L = 0,5·2+1,38·2+0,1= 3,86 м; ширина В = 1,55 м.

В камерных печах рабочее пространство перекрывают арочным сводом с  центральным углом j = 60⁰. При таком центральном угле свода R=B, а высота боковой стены

h = R·cos(j/2) = 1,55·cos30⁰ = 1,34 м.

Средняя высота печи

h_СР = (h+H)/2 = (1,34+1,55)/2 = 1,45 м.

Определим геометрические параметры излучения. Поверхность  кладки

F_КЛ = F_{ТОРЦ СТЕН} +F_{БОК.СТЕН} +F_СВОДА +F_ПОДА = 2Вh_СР + 2Lh+ pRjL/180+LB = =2·1,55·1,45+2·3,86·1,34+3,14·1,55·60·3,86/180+3,86·1,55 = 27,1 м²

Излучающую поверхность  металла определим по формуле

F_М = n*(2πrl+2πr²), где n - число слитков; r и l – радиус и длина слитка;

F_М = 2· (2·3,14·0,31·1,38+2·3,14·0,31²) = 7,0 м².

Объем рабочего пространства печи

V_ПЧ = BLh_CP = 1,55·3,86·1,45= 8,7 м³.

Объем металла 

V_М = n·π·r²·l = 2·3,14·0,31²·1,38 = 0,38 м³.

Эффективную длину луча определим согласно формуле:

S_ЭФ = 3,5· (V_ПЧ - V_М)/(F_М +F_КЛ) = 3,5· (8,7-0,83)/(7+27,1) = 0,8 м.

Угловые коэффициенты

j_КМ = j_ММ = F_М/(F_М +F_КЛ) = 7/(7+27,1) = 0,208

 j_МК = 1 - j_ММ = 1-0,208 = 0,792

Приведенный коэффициент  С_ПМ при степени черноты окисленной стали, равной e_М = 0,8 согласно формуле равен:

С_ПМ = 5,67·e_М·j_МК/(1-j_ММ· (1-e_М))

С_ПМ = 5,67·0,8·0,792/(1-0,208· (1-0,8)) = 3,748 Вт/м²К⁴

Так как в продуктах  сгорания содержится 8,18% СО₂ и 19,69% Н₂О, парциальное давление углекислого газа р_СО2 = 0,0818·0,0981 = 0,008 МПа, а паров воды р_Н2О = 0,1969·0,0981 = 0,019 МПа.

Определим степень черноты газов  при трех значениях температур:

 t_Г1 = t_ПК = 1220˚С, t_Г2 = 1320˚С, t_Г3 = 1420˚С.

Коэффициент ослабления можно найти  по формуле:

 

K =

.

Для T_Г1 = 1220+273 = 1493 К:

K =

= 1,03

 

Для T_Г2  = 1320+273 = 1593 К:

K =

= 0,937

 

Для T_Г3 = 1420 + 273 = 1693 К:

K =

= 0,847

 

Степень черноты газов  находим по формуле:

e_Г = 1-exp(-10КрS_ЭФ).

Для T_Г1 = 1493К:

e_Г = 1-exp(-10*1,03*0,0274*0,8) = 0,20

Для T_Г2  = 1593К:

e_Г = 1-exp(-10*0,937*0,0274*0,8) = 0,18

Для T_Г3  = 1693К:

e_Г = 1-exp(-10*0,847*0,0274*0,8) = 0,167

 

Приведенный коэффициент  излучения в системе газ - металл  - по формуле:

С_ГМ = 5,67*e_М *e_Г / (e_Г  + j_КМ (1 - e_Г))

 

Для T_Г1 = 1493К:

С_ГМ = 5,67*0,8*0,20/(0,20+0,21*(1-0,20)) = 2,48 Вт/м²К⁴

Для T_Г2 = 1593К:

С_ГМ = 5,67*0,8*0,18/(0,18+0,21*(1-0,18)) = 2,33 Вт/м²К⁴

Для T_Г3 = 1693К:

С_ГМ = 5,67*0,8*0,167/(0,167+0,21*(1-0,167)) = 2,23 Вт/м²К⁴

 

Приведенный коэффициент  излучения в системе кладка - металл -  по формуле:

С_КМ =

.

 

 

 

 

Для T_Г1 = 1493К:

С_КМ =

= 5,19 Вт/м²К⁴  

Для T_Г2 = 1593К:

С_КМ =

= 5,21 Вт/м²К⁴

Для T_Г3 = 1693К:

С_КМ =

= 5,22 Вт/м²К⁴

В таблице 4 приведены  результаты расчета для трех различных температур.

Таблица 4

Т, К	eГ	СГМ Вт/м2К4	СКМ Вт/м2К4	СПМ Вт/м2К4
1493	0,20	2,48	5,19	3,748
1593	0,18	2,33	5,21
1693	0,167	2,23	5,22

 

 

 

3. Расчет режима  нагрева металла.

 

Начальные условия: начальная  температура металла 20⁰С; конечная температура поверхности слитков 1220⁰С, конечный перепад температур по сечению слитков 50⁰С. 

Dt_ДОП = 1,4*s_В/bЕ,

где s_В -предел прочности материала слитка, МН/м²; b - коэффициент линейного расширения материала слитка, 1/град; Е - модуль упругости материала слитка, Мн/м².

Для Сталь 20 из [1] имеем:

s_В = 323 МН/м²; b= 13,4*10^-6 1/град;

E = 0,207 МН/м².

 

Dt_ДОП = (1,4*323*10⁶)/(13,4*10^-6*0,207*10⁶⁾ = 163⁰С.

 

l_ср =  (l₂₀ + l₅₀₀)/2 = (62+41)/2 = 51,5 Вт/м*град

 

q_ДОП = 2*l*Dt_ДОП/R = 2*51,5*163/0,31 = 54158 Вт/м²

Рассчитываем допустимую температуру печи:

 

t_{ПЧ ДОП} =

= = 806 ⁰С

Если принять температуру  печи выше допустимой, то это приведет к тому, что и перепад температур по сечению слитка в период нагрева превысит Dt_ДОП = 163⁰С. Это вполне допустимо при нагреве мягких сталей, для которых скорость нагрева, т. е. перепады температуры по сечению изделий из них, не ограничиваются. К таким сталям относится и сталь 08. Поэтому примем t_ПЧ = 1270 °С.

Примем следующий режим нагрева:

первый период – нагрев при постоянной температуре печи t_ПЧ = 1270 °С – const;

второй период – выравнивание температуры при постоянной температуре  поверхности  t_П = 1220 °С

Разобьем первый период нагрева на три интервала по температуре поверхности:

Первый интервал: от t_1н = 20°С до  t_1к = 800°С.

Второй интервал: от t_2н = 800°С до  t_2к = 1000°С.

Третий интервал: от t_3н = 1000°С до  t_3к = 1220°С

Конечный перепад температуры  по сечению слитка 50 °С.

 

Расчет первого  интервала

 

По формуле      q_м = 1,1·С_пм·[(Т_пч/100)⁴ - (Т_пов/100)⁴]      определяем тепловые потоки на поверхности металла в начале и конце интервала:

 

q_1н = 1,1·3,748· [((1270 + 273)/100)⁴ - ((20 + 273)/100)⁴] = 233395 Вт/м²;

q_1к = 1,1·3,748· [((1270 + 273)/100)⁴ - ((800 + 273)/100)⁴] = 179048 Вт/м².

 

Коэффициенты теплоотдачи  в начале и конце интервала:

 

α_1н = q_1н/(t_пч – t_п1н) = 233395/(1270-20) = 187 Вт/м²·град;

α_1к = q_1к/(t_пч – t_п1к) = 179048/(1270-800) = 381 Вт/м²·град.

 

Среднее значение коэффициента теплоотдачи в первом интервале:

 

α_ср1 = (α_1н + α_1к)/2 = (187+ 381)/2 = 284 Вт/м²·град;

 

Среднее значение коэффициента теплопроводности стали в первом интервале нагрева:

 

λ_ср1 = (λ_п1н + λ_ц1н + λ_п1к)/3 = (λ₂₀ + λ₂₀ + λ₆₈₀₀)/3 = (59+ 59 + 28,5)/3 = 48,8 Вт/м·град.

 

Величину λ_ср1 определяем по известным значениям температур по сечению слитка:

t_п1н = 20°С – начальная температура поверхности слитка;

t_ц1н = 20°С – начальная температура центра слитка;

t_п1к = 800°С – температура поверхности слитка в конце первого интервала.

Температура центра слитка t_ц1к в конце первого интервала нам пока не известна.

Число Био в первом интервале нагрева:

 

Bi₁ = α_ср1 R / λ_ср1 =284 ·0,31/48,8 = 1,8.

 

Определим температурный  критерий поверхности в конце  первого интервала:

θ_п1к = (t_пч - t_п1к)/( t_пч – t_ср1н) = (1270-800)/(1270-20) = 0,376 ,

где t_ср1н = t_п1н = t_ц1н = 20°С – средняя температура по сечению слитка в начале первого интервала нагрева.

Для марки стали «Сталь 08» находим F₀₁ = 0,23  и    θ_ц1к = 0,76.

Далее из выражения  θ = (Т_пч – Т)/(Т_пч – Т_н) = (t_пч – t)/(t_пч – t_н) найдем температуру центра слитка в конце первого интервала нагрева:

t_ц1к = t_пч – θ_ц1к ·( t_пч – t_ср1н) = 1270 – 0,76*(1270 – 20)  = 320 °С.

Уточним значение λ_ср1 с учетом известного нам теперь значения температуры центра слитка в конце первого интервала нагрева:

λ^’_ср1 = (λ₂₀ + λ₂₀ + λ₆₀₀ + λ₄₈₀)/4 = (59+59+28,5+48,7)/4 = 48,6 Вт/м·град.

Разница между уточненным λ^’_ср1 и его первоначальным значением λ_ср1 составляет

(48,8 – 48,6)·100/48,8 = 0,4%,

поэтому пересчитывать  не будем. Если бы эта разница превысила 10%, следовало бы выполнить дополнительные расчеты при новом значении числа Bi₁, рассчитанном с λ^’_ср1.

 

Перепад температур по сечению  слитка в конце первого интервала  нагрева:

Δt_1к = t_п1к – t_ц1к = 800 – 320 = 480 °С.

 

Средняя температура  по сечению слитка в конце первого интервала:

t_ср1к = t_ц1к + Δt_1к/2 = 320 +480/2 = 560 °С.

 

Расчетная теплоемкость стали в первом интервале нагрева

С_р1 = (i_{t ср1к} – i_{t ср1н})/( t_ср1к –t_ср1н) = (i₅₆₀ – i₂₀)/(560–20) = (320–10)/540 = 0,57 кДж/кг·град,

где i – теплосодержание стали при соответствующей температуре.

 

Среднее значение коэффициента температуропроводности в первом интервале нагрева

a_ср1 = λ_ср1/(С_р1·ρ) = 48,8/(570·7850) = 109·10^-7 м²/с = 0,039 м²/ч,

где ρ – плотность  стали, кг/м³. Поскольку плотность стали мало зависит от температуры, будем считать ρ = 7850 кг/ м³ = const для всего времени нагрева слитков.

 

Время нагрева в первом интервале:

τ₁ = F₀₁·R²/а_ср1 = 0,23·(0,31)²/0,039 = 5,7 ч.

 

Температура газа в начале нагрева 

t_г1н = 100·⁴√[q_1н/С_гм + (Т_п1н/100)⁴] – 273 = 100·⁴√[233395/2,23+ ((20+273)/100)⁴] -  273 = 1576 °С.

 

Температура газа в конце  первого интервала нагрева:

t_г1к = 100·⁴√[179048/2,23 + ((800+273)/100)⁴] - 273 = 1459 °С.

 

Температура кладки в  начале нагрева:

t_кл1н = 100·⁴√q_1н/С_км + (Т_п1н/100)⁴ – 273 = 100·⁴√233395/5,22 + ((20+273)/100)⁴-273 = 1182°С.

 

Температура кладки в  конце первого интервала:

t_кл1к = 100·⁴√179048/5,21 + ((800+273)/100)⁴ -  273 = 1204 °С.

 

Расчет второго  интервала

 

Порядок проведения расчета  режима нагрева металла для второго, третьего, четвертого  интервалов такой же, как и для первого:

q_2н = q_1к = 179048 Вт/м²;

 

q_2к = 1,1·3,748·[((1270 + 273)/100)⁴ - ((1000 + 273)/100)⁴] = 125429 Вт/м²;

 

α_2н = α_1к = 381Вт/м²·град;

 

α_2к = q_2к/(t_пч – t_п2к) = 125429/(1270 – 1000) = 464 Вт/м²·град;

 

α_ср2 = (α_2н + α_2к)/2 = (381  + 464)/2 = 422 Вт/м²·град;

 

λ_ср2 = (λ_п2н + λ_ц2н + λ_п2к)/3 = (λ₈₀₀ + λ₃₂₀ + λ₁₀₀₀)/3 =

= (28,7+48,7+28,5)/3 =35,3 Вт/м·град;

 

Bi₂ = α_ср2 · R / λ_ср2 = 422 ·0,31/35,3 = 3,71;

 

θ_п2к = (t_пч - t_п2к)/( t_пч – t_ср1к) = (1270 – 1000)/(1270 – 560) = 0,38;

 

Для марки стали «Сталь 40» находим F₀₂ = 1,308  и    θ_ц2к = 0,46.

t_ц2к = t_пч – θ_ц2к ·( t_пч – t_ср1к) = 1270 – 0,38(1270 – 560) = 673 °С;

 

λ^’_ср2 = (λ₈₀₀ + λ₃₂₀ + λ₁₀₀₀ + λ₆₇₃)/4 = (28,7+48,7+28,5+32,9)/4 = 34,7  Вт/м·град;

 

Разница между уточненным λ^’_ср2 и его первоначальным значением λ_ср2 составляет (35,3– 34,7)·100/35,3 = 1,7 %, поэтому пересчитывать не будем.

 

Δt_2к = t_п2к – t_ц2к = 1000 – 673= 327 °С;

 

t_ср2к = 673 + 327/2 = 836°С;

 

С_р2 = (i₈₃₆ – i₅₆₀)/(836 – 560) = (550 – 320)/(836-560) = 0,83 кДж/кг·град;

 

a_ср2 = λ_ср2/(С_р2·ρ) = 35,3/(830·7850) = 54·10^-7 м²/с = 0,019 м²/ч;

 

τ₂ = F₀₂·R²/а_ср2 = 1,308·(0,31)²/0,019 = 6,62 ч;

 

t_г2н = t_г1к = 1459 °С;

 

t_г2к = 100·⁴√[125429/2,23 + ((1000+273)/100)⁴] -  273 = 1422 °С;

 

t_кл2н = t_кл1к = 1204°С;

 

t_кл2к = 100·⁴√[125429/5,21+ ((1000+273)/100)⁴] -  273 = 1225 °С.

 

Расчет третьего интервала

 

q_3н = q_2к = 125429 Вт/м²;

 

q_3к = 1,1·3,748·[((1270 + 273)/100)⁴ - ((1220 + 273)/100)⁴] = 28851 Вт/м²;

 

α_3н = α_3к = 464 Вт/м²·град;

 

α_3к = q_3к/(t_пч – t_п3к) = 28851/(1270 – 1220) = 577 Вт/м²·град;

 

α_ср3 = (α_3н + α_3к)/2 = (577  + 464)/2 = 520 Вт/м²·град;

 

λ_ср3 = (λ_п3н + λ_ц3н + λ_п3к)/3 = (λ₁₀₀₀ + λ₆₇₃ + λ₁₂₂₀)/3 =

= (28,5+32,9+29,9)/3 =30,4 Вт/м·град;

 

Bi₃ = α_ср3 · R / λ_ср3 = 520 ·0,31/30,4 = 5,3;

 

θ_п3к = (t_пч - t_п3к)/( t_пч – t_ср2к) = (1270 – 1220)/(1270 – 836) = 0,11;

 

Для марки стали «Сталь 40» находим F₀₃ = 0,267 и    θ_ц3к = 0,5.

t_ц3к = t_пч – θ_ц3к ·( t_пч – t_ср2к) = 1270 – 0,5(1270 – 836) = 1003 °С;

 

λ^’_ср3 = (λ₁₀₀₀ + λ₆₇₃ + λ₁₂₂₀ + λ₁₀₀₃)/4 = (28,5+32,9+29,9+28,5)/4 = 29,95  Вт/м·град;

 

Разница между уточненным λ^’_ср2 и его первоначальным значением λ_ср2 составляет (30,4– 29,95)·100/30,34 = 1,5 %, поэтому пересчитывать не будем.

 

Δt_3к = t_п3к – t_ц3к = 1220 – 1003= 217 °С;

 

t_ср3к = 1003 + 217/2 = 1111 °С;

 

С_р3 = (i₁₁₁₁ – i₈₃₆)/(1111 – 836) = (770 – 550)/(1111-836) = 0,8 кДж/кг·град;

 

a_ср3 = λ_ср3/(С_р3·ρ) = 30,4/(800·7850) = 48·10^-7 м²/с = 0,017 м²/ч;

 

τ₂ = F₀₂·R²/а_ср2 = 0,267·(0,31)²/0,017 = 1,5 ч;

 

t_г3н = t_г2к = 1422 °С;

 

t_г3к = 100·⁴√[28851/2,23 + ((1220+273)/100)⁴] -  273 = 1309 °С;

 

t_кл3н = t_кл2к = 1225 °С;

 

t_кл2к = 100·⁴√[28851/5,21+ ((1220+273)/100)⁴] -  273 = 1260 °С.

 

τ_н = τ₁  +  τ₂ + τ₃ = 5,7 +6,62 + 1,5 = 13,8 ч.

 

 

Второй период нагрева

 

Нагрев происходит при  условии t_п = 1220°С = const (т.е. при граничных условиях первого рода) для выравнивания температур по сечению слитка от Δt_н = 217°С в конце второго периода нагрева до завершения заданного значения Δt_к = 50°С.

Время выравнивания температур по сечению цилиндра радиуса R найдем из формулы