Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Тихоновские пространства

Оглавление

Введение

§1. Основные определения

1. Топология и топологические пространства

2. База и предбаза топологии

3. Отображения топологических пространств

4. Аксиомы отделимости

§2. Произведение пространств

1. Топология произведения

2. Проектирование пространства произведения

§3. Вложение в кубы. Тихоновские пространства

1. Лемма о вложении

2. Тихоновские пространства

3. Нормальные и тихоновские пространства

4. Теорема о вложении

Заключение

Библиографический список.

Введение

Топология (буквальная расшифровка – учение о положении), если говорить кратко, это геометрический раздел математики, изучающий непрерывность, точки непрерывного отображения.

Понятия непрерывности и предела тесно связаны между собой и восходят еще к античности. Однако строгое их определение и последующее изучение на твердой основе стали возможными лишь во второй половине XIX столетия.

Топологические пространства оказались той естественной средой существования непрерывных отображений, на базе которых возникла и развивается обширная ветвь топологии – общая топология. От других разделов топологии общая топология отличается как общностью рассматриваемых топологических пространств, так и чисто топологическими в основном способами их изучения.

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в XYIII-XIX вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале XX в. создаётся общее понятие пространства в топологии (метрическое — М. Фреше, топологическое — Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть XX в. завершается расцветом общей топологии и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия (на основе которого в 1944 году Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства); вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров).

В данной работе будут рассматриваться топологические пространства, введенные советским математиком и геофизиком А. Н. Тихоновым, работы которого посвящены топологии и функциональному анализу, а также теории дифференциальных уравнений, математической физике, геофизике и вычислительной математике.

В §2 работы мы определим произведение пространств: рассмотрим топологию произведения двух пространств и распространим на случай бесконечного числа топологических пространств, также рассмотрим понятие проектирования пространств. В §3 введем определение пространств, рассматриваемых Тихоновым, докажем соответствующую теорему. В первом же параграфе мы дадим все необходимые для работы основные определения.

§1. Основные определения

1. Топология и топологические пространства

Определение 1. Пусть дано множество X. Семейство его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:

1) все X и пустое множество принадлежат;

2) объединение элементов любого подсемейства семейства τ принадлежит τ;

3) пересечение любых двух элементов семейства τ является элементом семейства τ .

Множество X=всегда является элементом τ, т.к. само τ является своим подсемейством. Каждый элемент семейства τ является подмножеством множества Х. Множество Х называется пространством топологии τ, и τ есть топология на Х. Пара (Х, τ) называется топологическим пространством.

Элементы семейства τ называют открытыми множествами. Пространство Х топологии всегда открыто. Открыто всегда и пустое множество, т.к. оно является объединением элементов пустого подсемейства семейства τ.

Определение 1.1. Подмножество A топологического пространства (X, τ) называется замкнутым, если относительное дополнение X\A открыто.

Определение 1.2. Абсолютное дополнение множества А есть {x: x A};обозначается оно через \А.

Относительное дополнение множества А по отношению к множеству Х есть множество Х\А, обозначаемое через Х\А. Множество Х\А называется также разностью Х и А.

Определение 2. Окрестностью (τ-окрестностью) точки х называется подмножество U топологического пространства (Х, τ), в котором лежит открытое множество, содержащее х. Окрестность точки не обязана быть открытым множеством, но каждое открытое множество является окрестностью любой своей точки. Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.

2. База и предбаза топологии

Определение 3. Базой топологии называется семейство множеств, содержащихся в τ, и для каждой точки х пространства и любой ее окрестности U существует множество V из β такое, что хVU.

Характеристика базы, которая часто принимается за определение: подсемейство топологии образует базу этой топологии, когда каждый элемент из является объединением элементов из .

Теорема 1.1. Семейство β множеств является базой некоторой топологии на множестве Х={B: Bβ} в том и только в том случае, когда для любых двух элементов U и V этого семейства и каждой точки х из UV существует такой элемент W в β, что хW и WUV.

Не каждое семейство множеств может служить базой какой-нибудь топологии. Например, пусть множество Х состоит из чисел 0, 1 и 2, множество В состоит из чисел 0 и 1 и А состоит из 1 и 2. Семейство ς, состоящее из Х, А, В и пустого множества, не может служить базой никакой топологии. В самом деле объединение каких-либо элементов семейства ς непременно является элементом ς; таким образом, если бы семейство ς служило базой какой-нибудь топологии, то эта топология должна была бы совпадать с ς, но ς не является топологией, так как АВς. Но по произвольному семейству ς множеств можно естественно и однозначно определить некоторую топологию. Эта топология должна быть определена на множестве Х, являющемся объединением всех элементов семейства ς; каждый элемент семейства ς должен быть открыт в этой топологии, т.е. ς должно быть подсемейством искомой топологии.

Теорема 1.2. Пусть ς – произвольное непустое семейство множеств. Тогда семейство всевозможных пересечений элементов из ς образует базу некоторой топологии на множестве Х={S: S ς }.

Семейство ς множеств называется предбазой топологии τ, если семейство всевозможных конечных пересечений элементов ς образует базу топологии τ (или, что то же самое, если каждый элемент из τ является объединением конечных пересечений элементов семейства ς).

3. Отображения топологических пространств

Пусть задано отображение f: XY, где X и Y - топологические пространства с топологиями соответственно и .

Определение 4. Отображение f топологического пространства (X, τ) в топологическое пространство (Y, ν) является непрерывным, если прообраз каждого открытого множества открыт.

Определение 5. Отображение f топологического пространства Х в топологическое пространствоY называется непрерывным в точке хХ, если прообраз каждой окрестности точки f(x) при отображении f является окрестностью точки х.

Определение 6. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X, называется непрерывным на X.

Непрерывные отображения характеризуются следующим свойством.

Теорема 1.4. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого множества пространства Y его прообраз U = принадлежит , т.е. является открытым множеством топологического пространства X

Доказательство.

Пусть f непрерывно, т.е. удовлетворяет определению 6. Выберем открытое множество V в Y. Поскольку V - окрестность каждой своей точки y=f(x), , то, по определению 4, каждое x имеет окрестность U(x) такую, что f(U(x)). Из последнего включения, в частности, следует, что , т.к., по определению, U есть множество всех точек x из X, таких, что . Действительно, т.к. каждое x принадлежит своему U(x), которое содержит все x, т.е. включает в себя U. Кроме того, т.к. все U(x) содержатся в U, то и их объединение содержится в U. Из двух включений и следует равенство. Таким образом, U есть объединение открытых множеств U(x), т.е. оно само открыто по свойству 2) топологии.

Теперь пусть для любого открытого множества V топологического пространства Y (т.е. ) множество открыто в X (т.е. принадлежит ). Покажем, что выполнено определение 4 в каждой точке . Выберем произвольную окрестность V точки f(x) в Y. Это открытое множество, и поэтому открыто в X и при этом по построению . Итак, для любой окрестности V(f(x)) существует окрестность U(x), такая, что f(U(x))V(f(x)), т.е. выполнено определение 4. Теорема доказана.

Эта теорема дает критерий непрерывности отображений топологических пространств.

Также она позволяет строить новые топологии следующим образом. Пусть задан некоторый класс отображений F (обозначим этот класс через {F}) из множества X в числовую прямую R (или в любое другое топологическое пространство - в этом случае конструкция аналогична). Зададим набор подмножеств в X, включив туда множества вида для всех открытых множеств V в R и для всех отображений F из {F}, все их объединения и конечные пересечения, а также все X и пустое множество. Полученный набор будет топологией. При этом по теореме из построения следует, что все отображения из {F} будут непрерывными. Подобные топологии часто используются и оказываются весьма полезными.

Определение 7. Отображение f из топологического пространства X в топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если выполнены следующие три условия:

1) f непрерывно;

2) f взаимно однозначно (т.е. для любого существует , такое, что f(x)=y, и указанное x единственно; в частности, существует обратное отображение);

3) обратное отображение – – непрерывно.

Два пространства гомеоморфны, если существует гомеоморфизм одного пространства на другое. Тождественное отображение топологического пространства на себя всегда является гомеоморфизмом, и обратное к гомеоморфизму отображение тоже является гомеоморфизмом.

4. Аксиомы отделимости

Каждое топологическое пространство обладает специфическими свойствами, которые иногда резко отличаются от свойств числовой прямой.

Известны пять основных аксиом отделимости, из которых приведем три простейшие.

Аксиома (аксиома Колмогорова). Для любых двух не совпадающих точек хотя бы одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Аксиома . Существует две формулировки аксиомы :

1. Для любой точки хХ множество {x} является замкнутым множеством.

2. Для любых двух не совпадающих точек каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Докажем, что эти формулировки равносильны, т.е. для любой точки х из Х множество {x} – замкнутое множество, тогда и только тогда, когда для любых двух не совпадающих точек из Х каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Доказательство.

Пусть для любой точки множество {x} – замкнутое. Тогда, по определению 1.1, – открытое множество. Зафиксировали произвольные точки х и у, причем и . Т.к. , то . Значит, в существует окрестность V точки у такая, что .

Пусть для любых двух не совпадающих точек х и у каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку. Предположим, что существует точка такая, что {x} – открытое множество. Тогда, по определению 1.1, - замкнутое множество. Любая точка у, не равная х, будет принадлежать . Возьмем произвольную окрестность U точки х и зафиксируем ее. По определению 2 U содержит множество {x} (открытое), и в U есть элементы, принадлежащие, т.е. существует точка у () такая, что для любой окрестности U точки х точка у принадлежит U. Получили, что существуют точки х и у () такие, что для любой окрестности точки х точка у принадлежит этой окрестности. Это противоречит условию, что для любых двух несовпадающих точек каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку. Значит, предположение, что существует точка х, такая, что {x} – открытое множество не верно, а верно обратное, т.е. для любой точки х из Х множество {x} является замкнутым множеством. Что и требовалось доказать.

Нетрудно видеть, что пространство, удовлетворяющее аксиоме , удовлетворяет и аксиоме , а не удовлетворяющее аксиоме , не удовлетворяет и аксиоме .

Аксиома (аксиома Хаусдорфа). Для любых двух не совпадающих точек у каждой из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.

Понятно, что из выполнения аксиомы следует выполнение аксиомы , и, значит, если не выполняется аксиома, то не выполняется и аксиома .

§2. Произведение пространств

1. Топология произведения

Пусть Х и Y – топологические пространства и β – семейство всех декартовых произведений вида UV, где U – множество, открытое в Х, и V – множество, открытое в Y. Пересечение двух элементов из β есть снова элемент из β, т.к. (U V)(R S)=(U R) (VS). Следовательно, по теореме 1.1. β – база некоторой топологии на множестве XY. Эта топология называется топологией произведения на XY. Подмножество W множества XY открыто в топологии произведения, если для каждого элемента (х, y)W можно найти открытые окрестности U и V точек х и y соответственно такие, что UVW. Пространства Х и Y называются координатными пространствами, а отображения и , первое из которых переводит точку (х, у)ХY в х, а второе – в у, называются проектированиями на координатные пространства. Эти проектирования являются непрерывными отображениями, т.к. если U открыто в Х, то [U]=UY – множество, открытое в XY.

Распространим данное определение топологии произведения на декартовом произведении любого конечного числа координатных пространств.

Пусть - топологические пространства. Базу топологии произведения на декартовом произведении образует семейство всевозможных множеств вида , где - произвольное множество, открытое в .

Теперь определим топологию произведения на декартовом произведении произвольного семейства топологических пространств.

Предположим, что для каждого элемента а из какого-то множества индексов А задано некоторое множество . Декартово произведение определяется как множество всех таких функций х на А, что для каждого а из А. Множество называется а-м координатным множеством.

Проектирование произведения на а-е координатное множество определяется формулой . Предположим, что на каждом координатном множестве задана некоторая топология . Каждое проектирование должно быть непрерывным. Чтобы все проектирования были непрерывны, необходимо и достаточно, чтобы были открытыми все множества вида [U], где U – произвольное множество, открытое в . Семейство всех таких множеств образует предбазу некоторой топологии. Эта топология – наименьшая среди тех, относительно которых проектирования непрерывны. Это и есть топология произведения.

Элементы определенной нами предбазы имеют вид , где U может быть любым открытым подмножеством пространства . Интуитивно они ассоциируются с цилиндрами над открытыми подмножествами координатных пространств. Иногда говорят, что элементы рассматриваемой предбазы получаются «ограничением а-той координаты некоторым открытым подмножеством а-го координатного пространства». Базу топологии произведения образует семейство всевозможных конечных пересечений элементов указанной предбазы. Произвольный элемент U этой базы имеет вид для каждого а из F}, где F – конечное подмножество множества А из - открытое подмножество пространства для каждого а из F. Речь идет о конечных пересечениях (пересечениях конечного числа множеств). Не верно, что множество вида открыто в топологии произведения, если каждое открыто в Х. Пространство произведения, или произведение пространств, - это декартово произведение этих пространств, наделенное топологией произведения.

2. Проектирование пространства произведения

Отображение f топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется открытым, если образ каждого открытого множества открыт, т.е. если множество U открыто в пространстве Х, то множество f[U] открыто в пространстве Y.

Отображение f топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется замкнутым, если образ каждого замкнутого множества замкнут, т.е. если из множество U замкнуто в пространстве Х, то множество f[U] замкнуто в пространстве Y.

Теорема 2.1. Проектирование пространства произведения на произвольное его координатное пространство открыто.

Теорема 2.2. Отображение f топологического пространства в пространство произведения непрерывно в том и только в том случае, когда непрерывна каждая из композиций , где аА.

Сходимость в пространстве произведения можно описать в терминах проекций.

Определение 8. Бинарное отношение , заданное на множестве D, называется направлением на нем, если D не пусто, и

(а) если m, n и p – такие элементы множества D, что mn и np, то mp;

(б) если mD, то m m;

(в) если m, nD, то существует рD, для которого рm pn.

Направленное множество – это пара (D,), где – направление на множестве D. Направленностью называется пара (S,), где S – функция и – направление на ее области определения.

Направленность (S,) сходится в топологическом пространстве (X, τ) к точке s относительно топологии , когда она с некоторого момента находится в произвольной -окрестности точки s.

Теорема 2.3. Направленность S в пространстве произведения сходится к точке s тогда и только тогда, когда ее проекция в произвольное координатное пространство сходится к проекции точки s.

Доказательство.

Т.к. проектирование на произвольное координатное пространство непрерывно, то из сходимости направленности в произведении к точке s следует, что направленность { сходится к .

Пусть - такая направленность, что { сходится к для каждого а из А. Тогда для любого направленность { находится с некоторого момента в множестве и, значит, направленность находится с того же момента в множестве . Но тогда направленность должна находиться с некоторого момента в любом конечном пересечении множеств вида . Т.к. семейство всевозможных таких конечных пересечений образует базу топологии произведения в точке s, то направленность сходится к точке s. Что и требовалось доказать.

Сходимость относительно топологии произведения называется покоординатной, или поточечной, сходимостью. Термин «поточечная сходимость» употребляется, когда все координатные пространства идентичны. В этом случае декартово произведение есть просто множество всех функций, определенных на А, со значениями в Х, и обозначается через . Направленность множестве сходится к функции f в топологии поточечной сходимости, когда направленность сходится к f(a) при каждом а из А. Топологию произведения называют в этом случае топологией простой сходимости.

§3. Вложение в кубы. Тихоновские пространства

1. Лемма о вложении

Кубом называется декартово произведение замкнутых единичных интервалов, наделенное топологией произведения. Куб, таким образом, – это множество всех функций, определенных на некотором множестве А со значениями в замкнутом единичном интервале Q, наделенное топологией поточечной, или покоординатной, сходимости.

Далее будем описывать топологические пространства, гомеоморфные подпространствам кубов.

Пусть F – некоторое семейство отображений, определенных на одном и том же топологическом пространстве Х со значениями в разных пространствах (пространство значений отображения fF будет обозначаться через ). Тогда имеет место естественное отображение пространства Х в произведение – точка переходит при этом отображении в элемент произведения, f-я координата которого равна f(x). Формально отображение вычисления определяется так: . Отображение е непрерывно, если непрерывны отображения из F, и е является гомеоморфизмом, если семейство F содержит «достаточно отображений».

Говорят, что семейство F отображений множества Х различает точки, если для каждой пары различных точек х и у найдется такой элемент , что . Семейство F различает точки и замкнутые множества, если для каждого замкнутого подмножества А пространства Х и каждой точки х из Х\А существует такое отображение , что f(x) не принадлежит замыканию множества f[A].

Лемма 1(о вложении). Пусть F – семейство, произвольный элемент которого f есть непрерывное отображение топологического пространства Х в некоторое топологическое пространство . Тогда:

(а) Отображение вычисления является непрерывным отображением пространства Х в пространство произведения .

(б) Если семейство F различает точки и замкнутые множества, то отображение е является открытым отображением пространства Х на пространство e[X].

(в) Отображение е взаимно однозначно в том и только в том случае, когда семейство F различает точки.

Доказательство.

Последовательно выполняя отображение е и проектирование на f-е координатное пространство, мы получаем непрерывное отображение, ибо

. Следовательно, в силу теоремы 2.2 отображение е непрерывно.

Для доказательства утверждения (б) достаточно установить, что образ при е любой открытой окрестности U произвольной точки х содержит пересечение множества e[X] с некоторой окрестностью точки у(х) в произведении. Выберем в F элемент f так, чтобы точка f(x) не входила в замыкание множества f[X\A]. Множество всех точек у произведения таких, что , открыто и, очевидно, его пересечение с множеством e[X] содержится в e[U]. Значит, е – открытое отображение пространства Х на пространство e[X].

Докажем утверждение (в). Если отображение е взаимно однозначно, то для любой пары различных точек х и у найдется такой элемент , что (). Что и означает, что семейство F различает точки.

Предположим, что семейство F различает точки, но отображение е не является взаимно однозначным. Это значит, существуют пары точек х и у таких, что если , то (f(x)=f(y)), или при (f(x)f(y)) (). Это противоречит тому, что семейство F различает точки. Значит, предположение неверно, а верно обратное, т.е. отображение е является взаимно однозначным.

Лемма доказана.

2. Тихоновские пространства

Топологическое пространство называется регулярным, если для каждой его точки х и любой окрестности U этой точки существует замкнутая окрестность V точки х, содержащаяся U. Другими словами, семейство замкнутых окрестностей произвольной точки должно быть базой топологии в этой точке. Регулярное пространство, одновременно являющееся -пространством, называется -пространством.

Топологическое пространство называется вполне регулярным, если для каждой точки х и любой ее окрестности U на Х существует непрерывная функция f со значениями в замкнутом единичном интервале, равная нулю в точке х, тождественно равная единице на множестве X\U. Семейство всех непрерывных отображений вполне регулярного пространства в единичный интервал [0,1] различает точки и замкнутые множества в смысле предшествующей леммы.

Если вполне регулярное пространство удовлетворяет -аксиоме отделимости ({x} – замкнутое множество для любой точки х), то семейство всех его непрерывных отображений в отрезок [0,1] различает также и точки.

Тихоновским пространством называется вполне регулярное -пространство.

Существует второе определение тихоновского пространства:

Тихоновское пространство – это вполне регулярное -пространство.

Докажем, что эти два определения тихоновских пространств равносильны:

Пространство Х является вполне регулярным -пространством тогда и только тогда, когда оно является вполне регулярное -пространство.

Доказательство.

Пространство Х является вполне регулярным -пространством. Возьмем произвольные точки х и у () из Х и зафиксируем их. По аксиоме у этих точек существуют окрестности U и V такие, что точка у не принадлежит окрестности U точки х, х не принадлежит окрестности V точки у. Необходимо доказать, что существуют такие U и V, которые не пересекаются. Т.к. топологическое пространство является вполне регулярным, то существует непрерывная функция f: X R такая, что f(x)f(y), f(x)=0, f(y)=1. Рассмотрим окрестности U(x) и V(y) такие, что f(U(x))= и f(V(y))=. Возьмем пересечение f(U(x)) и f(V(y)) и получим, что = – пустое множество. Т.к. f – непрерывная функция, то и прообразы пересекаться не будут: =U(x)V(x) – пустое множество. Т.е. нашлись такие окрестности U и V точек х и у соответственно, которые не пересекаются.

Предположим, что существует точка такая, что для любой окрестности U точки х существует точка (), которая лежит в этой окрестности. Тогда любая окрестность V точки у пересекается с U(x). Это противоречит тому, что Х – вполне регулярное -пространство, т.е. существуют непересекающиеся окрестности точки х и точки у. Значит, предположение не верно, а верно обратное, т.е. Х – вполне регулярное -пространство. Что и требовалось доказать.

Пусть Х – тихоновское пространство и F семейство всех непрерывных вещественных функций на Х, значения которых заключены в отрезке [0,1]. Лемма 1 о вложении позволяет утверждать, что отображение вычисления пространства Х в куб является гомеоморфизмом. Таким образом, каждое тихоновское пространство гомеоморфно подпространству некоторого куба. Это свойство в действительности характеризует тихоновские пространства, как мы скоро увидим.

3. Нормальные и тихоновские пространства

Пространство называется нормальным, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что и . -пространство – это нормальное -пространство. Если согласиться называть множество U окрестностью множества А, если А содержится во внутренности множества U, то определение нормальности можно переформулировать так: пространство нормально, если любые его непересекающиеся замкнутые подмножества обладают непересекающимися окрестностями.

Линделефовым называется топологическое пространство, из каждого открытого покрытия которого можно выбрать счетное подпокрытие.

Лемма 2 (Тихонов). Каждое регулярное линделефово пространство нормально.