Трехсекторная модель экономики

                                                          Введение

В настоящее время  глобальная мировая экономика, в  которой большинство стран открыты  для взаимодействий с другими  государствами, прогрессивно развивается. И, соответственно, чтобы четко прослеживать, как эти макроэкономические процессы отражаются на развитии той или иной страны, необходимо уделять большое внимание их исследованию, а, следовательно, прибегнуть непосредственно к математическому моделированию.

Для изучения долговременных тенденций, факторов роста, оценки последствий тех или иных вариантов макроэкономических решений применяются нелинейные модели, т.к. большинство зависимостей в экономике имеет нелинейный характер (например, зависимость выпуска продукции от затрат ресурсов).

 Структура экономики отражена секторами. Каждый сектор производит один агрегированный продукт. Небольшое число секторов позволяет аналитически представить развитие экономики при нелинейных зависимостях выпусков секторов от ресурсов. Более адекватно отражает процесс воспроизводства трехсекторная модель экономики, в которой три агрегированных продукта (предметы труда, средства труда и предметы потребления) и каждый из трех секторов производит свой продукт. Таким образом, состояние характеризуется тремя результирующими показателями Y (валовой внутренний продукт) и затратными показателями К, L (капитал, число занятых).

Преимущество математического  моделирования состоит в том, что при правильности заложенных в модель предпосылок полученные по модели выводы являются верными, и с помощью модели можно исследовать долгосрочные последствия принимаемых управляющих решений. Если заложенные предпосылки неверны, то сравнение результатов, полученных по модели, с реальной действительностью покажет несостоятельность данных предпосылок. В таком случае математическая модель может явиться средством проверки правильности выдвигаемых научных гипотез или предполагаемых направлений экономического развития.

 

Глава 1.

1.1. Трехсекторная модель экономики

Для анализа воспроизводственного процесса и структурной политики недостаточно рассматривать экономику, состоящую только из двух подразделений, как рассматривал ее К. Маркс. Ведь средства производства, являющиеся продуктом первого подразделения, включают две принципиально отличные друг от друга составляющие: предметы труда, используемые в одном производственном цикле, и средства труда, принимающие участие во многих производственных циклах.

Таким образом, разделив первое подразделение на два сектора — материальный и фондосоздающий, приходим к модели трехсекторной экономики (приведем предварительный укрупненный перечень отраслей, входящих в каждый из секторов):

1. материальный (нулевой) сектор — предметы труда: топливо, электроэнергия, сырье и другие материалы. Отрасли: добывающая промышленность, электроэнергетика, металлургия, промышленная химия и нефтехимия, производство сельхозпродукции и морепродуктов, лесозаготовки, промышленность стройматериалов, стекольная и фарфорофаянсовая промышленность для производственных целей, грузовой транспорт, служебная связь, оптовая торговля средствами производства – т.е. все то, что используется для дальнейшего производства;
2. фондосоздающий (первый) сектор — средства труда: машины, оборудование, производственные здания, сооружения и т.д. То есть непосредственно  основные производственные фонды. Включает следующие отрасли: металлообработка и машиностроение, промышленное строительство –
3. потребительский (второй) сектор — предметы потребления, включает такие отрасли, как переработка сельхозпродукции и морепродуктов (легкая и пищевая промышленность), деревообработка, бытовая химия, стекольная и фарфорофаянсовая промышленность для бытовых целей, гражданское строительство, пассажирский транспорт, гражданская связь, торговля предметами потребления, производство вооружений – потребительские товары и услуги,  используемые для  видов непроизводственного (социального) потребления.

Предполагается, что за каждым сектором закреплены основные производственные фонды (ОПФ), в то время как трудовые ресурсы и инвестиции могут свободно перемещаться между секторами.

Кроме того, примем следующие предположения:

1. Технологический уклад, т.е. совокупность технологий, характерных для определенного уровня развития производства, считается постоянным и задается с помощью линейно-однородных неоклассических производственных 
функций:  X_i= F_i(K_i ,L_i),    i= 0,1,2,        (1)

где X_i, K_i, L_i — выпуск, ОПФ и число занятых в i-м секторе.

2. Общее число занятых в производственной сфере L изменяется 
с постоянным темпом прироста v.

3. Лаг капиталовложений отсутствует – другими словами: капиталовложения дают отдачу сразу, а не по истечению определенного срока времени.

4.   Коэффициенты износа ОПФ µ_i и прямых материальных затрат (топлива, энергии и т.д.) а_i секторов постоянны.
5. Для начала предположим, что экономика замкнутая, т.е. внешняя торговля напрямую не рассматривается.

6. Время t изменяется непрерывно.

Предположение 2 в дискретном времени имеет вид (t — номер года):

 

(2)

которое при переходе к непрерывному времени принимает форму:

 

(3)

Последнее соотношение при переходит в дифференциальное уравнение

                                                                              (4)

 

которое имеет решение L = L⁰ e^vt   

 

Из предположений 3, 4 вытекает, что изменение за год ОПФ i-гo сектора состоит из двух частей: износа (-µ_iK_i) и прироста за счет валовых капиталовложений (+I_i,), т.е. К_i (t + 1) - К_i (t) = -µ_iK_i(t) + I_i (t), i = 0, 1, 2, или в непрерывном времени:

                    К_i (t +

t) - К_i (t) = (-µ_iK_i(t) + I_i (t))* t.     (5)

При

получаем дифференциальные уравнения для ОПФ секторов:

       (6)

Далее значок времени t везде опущен, но предполагается по умолчанию. ОПФ и число занятых в секторах (K_i ,L_i) являются мгновенными показателями, иными словами, их значения можно определить (измерить) в любой момент времени t. Выпуск секторов и инвестиции (X_i ,I_i) являются показателями типа потока, т.е. их значения накапливаются за год, начинающийся в момент t.

Таким образом, при сделанных предположениях трехсекторная модель экономики в абсолютных показателях примет вид [3] (на рис. 1 представлена графическая форма модели):

L = L(0)e^vt                 (7)

        В формуле (7) число занятых;

L₀+ L₁+L₂=L             (8)

        В формуле (8) распределение занятых по  секторам;

               (9)

В формуле (9) динамика фондов по секторам;

 Xi= Fi(Ki ,Li),    i= 0,1,2                 (10)

 В формуле (10) выпуск продукции по секторам;

Х₁ = I₀ + I₁+ I₂                  (11)

В формуле (11) распределение продукции фондосоздающего сектора;

Х₀ = a₀X₀ + а₁X₁ + а₂Х₂                         (12)

В формуле (12) распределение продукции материального сектора.   

Как видно из рис. 1, в состав модели входят следующие десять элементов:

1. четыре линейных динамических элемента первого порядка:

                                                            (13)

2. три линейных статических распределительных элемента:

L = L₀ + L₁ + L₂,

X₁=I₀+ I₁+ 1₂,

(1 - а₀)Х₀ = а₁ Х₁+ а₂Х₂;                   (14)

3) три нелинейных статических элемента:

X_i= F_i(K_i L_i), i=0, 1, 2.         (15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.

 

Как видим, трехсекторная модель является динамической, поскольку имеет в своем составе четыре линейных динамических элемента. Она нелинейна, поскольку выпуски секторов заданы нелинейными производственными функциями. Кроме того, она многосвязна, поскольку ее состояние представлено тремя (не одной!) фазовыми (выходными) переменными X₀, X₁, Х₂, взаимосвязанными с помощью балансов.

В этих балансах проявляется эмерджентность экономической системы, т.е. наличие у нее таких общих свойств, которые не присущи составляющим ее отдельным элементам. Эти общие свойства как раз и проявляются во взаимосвязанном (взаимообусловленном) изменении фазовых переменных: каждый сектор производит не любой объем продукции, но столько, сколько нужно другим секторам и потребителям, и столько, на сколько хватит ресурсов.

Эндогенными, т.е. определяемыми с помощью модели, переменными являются ОПФ и выпуски секторов (К_i, X_i).

Экзогенными, т.е. заданными извне модели, переменными (параметрами) служат: темп прироста числа занятых v, коэффициенты износа ОПФ секторов µ_i, коэффициенты прямых материальных затрат секторов а_i, начальное значение числа занятых L⁰, начальные значения ОПФ секторов ,а также параметры производственных функций.

Управление осуществляется путем распределения трудовых (L = L₀ + L₁+ L₂) и инвестиционных (Х₁ = I₀ + I₁ + I₂) ресурсов. В случае централизованной экономики это распределение реализуется директивным образом, а в децентрализованной — косвенно, с помощью цен, тарифов, налогов и других экономических инструментов.

Для анализа финансовых потоков к модели в натуральной форме (1.1.3) необходимо добавить балансы доходов и расходов секторов (p_i, t_i, w_i — цены, ставки налогов и годовые ставки заработной платы в секторах).

Баланс доходов и расходов материального сектора:

Баланс доходов и  расходов фондосоздающего сектора:

Баланс доходов и  расходов потребительского сектора:

р₂Х₂ = р₀а₂Х₂ + P₁I₁ + t₂X₂ + L₂w₂

Сложив эти три уравнения, получим баланс предложения предметов потребления и платежеспособного спроса:

В самом деле, слева  в последнем уравнении — стоимость произведенных предметов потребления, а справа — суммарный доход работников производственной сферы и суммарный доход работников непроизводственной сферы и пенсионеров 

Поскольку последнее уравнение является следствием первых трех, то независимых стоимостных балансов только три. Удобнее в качестве трех независимых балансов выбрать балансы доходов и расходов материального и фондосоздающего секторов, а также баланс предложения предметов потребления и платежеспособного спроса. Таким образом, получаем три следующих независимых стоимостных баланса:

                   (1.1.4)

Если выпуски секторов определены по натуральным балансам (1.1.3), то девять стоимостных переменных (цены, ставки налогов и заработной платы) связаны тремя стоимостными балансами (1.1.4).В частности, из (1.1.4) видно, что стоимостные балансы по-прежнему будут выполнены, если цены, ставки налогов и заработной платы вырастут в одинаковое число раз.

 

   1.2. Производственные функции секторов экономики РФ

Для работы с трехсекторной  моделью необходимо определить ее экзогенные параметры. Наибольшую трудность представляет установление параметров производственных функций (ПФ) секторов. Примем, что последние являются функциями Кобба—Дугласа:

 (1.2.1)

где A_i — коэффициент нейтрального технического прогресса;

α и 1-Ошибка! Ошибка связи. — коэффициенты эластичности по фондам.

Параметры A_i, α удобнее определять для функций в относительных показателях: где , — производительность труда¹ и фондовооруженность в расчете на одного занятого в i-м секторе. [6]

Параметры ПФ (1.2.1) можно найти по временным рядам производительности и фондовооруженности (T — число лет):  x_i(t),k_i(t),    t = 1,...,T, определенным по рядам выпусков, ОПФ и числа занятых в i-м секторе: Х_i(t),K_i(t),L_i(t),       t = 1,...,T,

При расчете параметров теоретическая модель (1.2.1) заменяется ее статистическим аналогом:

x_i(t) = ,

где — корректировочный коэффициент.

Эта модель в логарифмах сводится к модели линейной парной регрессии:

y_t =a₀+az_t + , где y_t =In x_i(t), а₀ = In A, z_t =In k(t), = 1п .

Таким образом, мы полностью рассмотрели, что из себя представляет трехсекторная  модель при условии, что экономика  замкнутая. Но анализ взаимодействий между странами подразумевает под собой исследование трехсекторной модели в условиях открытой экономики. Для того, чтобы учесть это условие, необходимо дополнить рассмотренную модель, а именно включить в систему балансов некоторые недостающие переменные. Эта проблема и будет решена во 2 главе.

 

                                                       ГЛАВА 2

 ИССЛЕДОВАНИЕ ОТКРЫТОЙ ТРЕХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ    ЭКОНОМИКИ

В настоящей главе рассматривается модель взаимодействия трехсекторной экономики с мировым рынком. Изучаются переходные процессы и стационарные состояния открытой трехсекторной экономики. Предполагается, что собственное производство и импорт агрегированного товара можно складывать, как части одинакового стандартного качества, кроме того, по каждому товару рассматривается только чистый вывоз или чистый ввоз.

 

2.1. Открытая трехсекторная модель экономики. Переходные процессы и стационарные состояния

При формировании открытой трехсекторной модели экономики наряду с предположениями, положенными в основу замкнутой трехсекторной модели (см. 1.1), используются также дополнительные допущения. Итогом введения внешней торговли в трехсекторную модель экономики являются следующие изменения в модели:

1. в приходной части инвестиционного баланса появится слагаемое Y₁ — ввоз инвестиционных товаров;
2. в расходной части материального баланса добавится слагаемое Y_q — вывоз материалов;
3. на потребительский рынок наряду с собственным производством Х₂ поступит также импорт предметов потребления Y₂;

4) добавится внешнеторговый баланс.

В результате модель открытой трехсекторной экономики в абсолютных показателях приобретет следующий вид (все обозначения, касающиеся национальной экономики, приведены в предыдущей главе):

• технологический уклад в форме линейно-однородных ПФ —

Xi= Fi(Ki ,Li),    i= 0,1,2 (2.1.1)

• динамика общего числа занятых –

L = L(0)e^vt   (2.1.2)

 

• динамика ОПФ секторов—

 

      (2.1.3)

 

• трудовой баланс —

L= L₀+L₁+L₂     (2.1.4)

• инвестиционный баланс —

Х₁+ Y₁= I₀ + I₁+ I₂   (2.1.5)

• материальный баланс —

(1-а₀)X₀ =a₁X₁ + a₂X₂+Y₀;   (2.1.6)

• внешнеторговый баланс: экспорт (вывоз) = импорт(ввоз) —

     (2.1.7)

где q₀, q₁, q₂ — мировые цены на продукцию материального, фондосоздающего и потребительского секторов.

Замечание. Внешнеторговый баланс составлен для страны с сырьевой направленностью экономики. Однако его можно использовать для моделирования экономики любой страны, имеющей в своем составе материальные и обрабатывающие отрасли, если допустить возможность отрицательности показателей внешней торговли. Так, Y₀ < 0 означает импорт материалов, Y₁ < 0 — экспорт инвестиционных товаров, Y₂ < 0 — экспорт потребительских товаров. [1]

Так же, как и в предыдущей главе, введем следующие относительные показатели:

 — доля i-го сектора в распределении трудовых ресурсов; 
— доля i-го сектора в распределении инвестиционных ресурсов;

—отраслевая производительность i-го сектора;

 

—народно-хозяйственная производительность i-го сектора;

– фондовооруженность в расчете на одного занятого в i –м секторе;

- вывоз материалов в расчете на одного занятого;

- ввоз инвестиционных товаров в расчете на одного занятого;

- ввоз потребительских товаров в расчете на одного занятого.

Тогда открытая трехсекторная модель экономики в относительных показателях запишется следующим образом:

    (2.1.8) 

 (2.1.9)

  (2.1.10)

  (2.1.11)

         (2.1.12)

  (2.1.13)

В приведенной записи модели внутренние стоимостные балансы не рассматриваются, поскольку их форма зависит от типа поведения секторов, т.е. от того, действуют они в сотрудничестве или конкурируют друг с другом.

Уравнения (2.1.9) имеют стационарное (постоянное) решение:

, где      (2.1.14)

Если производственные функции секторов являются функциями Кобба—Дугласа , то данное решение примет вид: ,           (2.1.15)

При этом удельные выпуски секторов запишутся следующим образом (индекс стационарного решения опущен):

 (2.1.16)

Переходные процессы (обусловленные динамическим характером экономической системы) в открытой трехсекторной модели экономики задают решения уравнений (2.1.9). Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений для замкнутой трехсекторной модели экономики наличием в правой части каждого уравнения дополнительного слагаемого . Поэтому при фиксированных параметрах распределения трудовых и инвестиционных ресурсов и благоприятной конъюнктуре внешнего рынка (т.е. при – это условие означает, что «цена» 1 ед. экспорта больше «цены» 1 ед. импорта) эти решения будут больше соответствующих решений для замкнутой модели экономики. Но характер решений (переходных процессов) будет тем же самым: разности между текущими значениями решений и значениями соответствующих стационарных решений экспоненциально убывают.

В заключение скажем несколько слов о компонентах внешней торговли (у₀, у₁, у₂) в расчете на одного занятого. Для страны с достаточно развитой обрабатывающей промышленностью, но сырьевой направленностью экономики, основной компонентой является у₁ — ввоз инвестиционных товаров (главным образом, машин и оборудования). В ответ вывозятся материалы (главным образом, топливо, электроэнергия, сырье) в объеме у₀. Ввоз потребительских товаров можно рассматривать как нагрузку на ввоз инвестиционных товаров. Введем параметр нагрузки — ввоз потребительских товаров (долл.) на 1 долл. ввоза инвестиционных товаров, тогда (2.1.17), поэтому из внешнеторгового баланса следует (2.1.18)

Таким образом, при фиксированном значении параметра нагрузки все компоненты внешней торговли выражаются через компоненту , как ведущую.

 

 

 

       (2.2.16)

где – доля фондосоздающего сектора в распределении товарной продукции материального сектора.

Уравнения (2.2.16) являются действительно неявными для  соответствующих переменных, поскольку содержащиеся в правой части этих уравнений x₁ ,h, являются функциями свободных переменных. Каждое из уравнений может быть решено методом последовательных приближений.

Принципиальное значение этих уравнений состоит в том, что само их существование показывает бесперспективность чрезмерного развития одних секторов в ущерб другим. Так, переток ресурсов в фондосоздающий сектор вначале приводит к росту выпуска предметов потребления, но по достижении оптимальных значении дальнейшая «подпитка» сектора ресурсами приводит к сокращению выпуска потребительских товаров, хотя выпуск инвестиционных товаров по-прежнему будет расти. Этот факт, как видим, непосредственно вытекает из «золотого» правила, но первопричиной его является эмерджентность экономической системы, что отражено в модели через балансовые соотношения.

Из уравнений (2.2.16) можно непосредственно получить различные макроэкономические рекомендации. Укажем в качестве примера на две из них:

1) если ₀ < ₂ (материальный сектор менее технологически развит, чем потребительский), то l*<1, что означает меньшую долю потребительского сектора в трудовых ресурсах по сравнению с его долей в инвестиционных ресурсах, в то время как на практике наблюдается совершенно противоположный феномен;

2) оптимальные доли фондосоздающего сектора в трудовых и инвестиционных ресурсах напрямую зависят от , т.е. от соотношения импорта и собственного выпуска инвестиционных товаров.

 

1. Решающую роль в развитии экономики играет фондосоздающий сектор. При фиксированном уровне внешней торговли удельные выпуски всех секторов растут при увеличении вложений ресурсов в фондосоздающий сектор, вплоть до достижения критического уровня. В случае превышения критического уровня производство инвестиционных товаров будет по-прежнему возрастать, а производство потребительских товаров — сокращаться.

 

К сожалению, данной теории недостаточно, чтобы рассуждать о влиянии международных взаимодействий на национальную экономику и о внешней торговли во всех ее подробных аспектах. Это требует более подробного  и длительного изучения. Однако именно на рассмотренном  в данной работе материале базируются эти подтемы, что подтверждает  актуальность изначальной темы.

 

                                       ГЛАВА 3

КРУГОВОРОТ РАСХОДОВ И ДОХОДОВ В ТРЕХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ

Во-первых, государство делает закупки  товаров и услуг (government spending —G), что связано с необходимостью содержания государственного сектора экономики, обеспечения производства общественных благ, выполнения функций по регулированию экономики и управлению страной. При этом заработная плата государственных служащих рассматривается не как плата за экономический ресурс на ресурсном рынке, а как оплата услуги на рынке товаров и услуг. Государственные закупки товаров и услуг увеличивают совокупный спрос на производимый в экономике продукт, т.е. совокупные расходы. 
 
     Во-вторых, государство обязывает всех платить налоги (taxes — Тх), являющиеся основным источником доходов государственного бюджета. Однако, выступая перераспределителем национального дохода, государство не только собирает налоги, но и выплачивает трансферты (transfer payments — Тr). Трансферты — это платежи, которые домохозяйства и фирмы безвозмездно (не в обмен на товары и услуги) получают от государства. Трансфертные платежи государства домохозяйствам — это различные социальные выплаты (social benefits): пенсии, стипендии, пособия по безработице, пособия по нетрудоспособности, пособия по бедности и др. Трансфертные платежи государства фирмам — это субсидии (subsidies).

В-третьих, в зависимости от состояния  государственного бюджета государство  может выступать либо кредитором, либо заемщиком на финансовом рынке. Если расходы государства (государственные  закупки плюс трансферты) превышают доходы государства (налоги), что соответствует дефициту государственного бюджета, то государство для оплаты своих расходов должно занять деньги на финансовом рынке, выступая заемщиком.     Для этого государство выпускает государственные облигации (делает внутренний заем) и продает их на рынке ценных бумаг домохозяйствам. Домохозяйства тратят часть своих сбережений на покупку государственных облигаций, обеспечивая государству возможность оплаты части его расходов, превышающих доходы казны, т.е. финансируя дефицит государственного бюджета. При этом государство выплачивает домохозяйствам процент по своим облигациям, делая их привлекательными для покупки. Выплаты процентов по государственным облигациям увеличивают доходы домохозяйств, но являются расходами государственного бюджета и называются расходами на обслуживание государственного долга. Если доходы государства превышают расходы, т.е. имеет место профицит (излишек) государственного бюджета, то государство может выступить на финансовом рынке кредитором, покупая ценные бумаги частных фирм. 
 
      Для трехсекторной модели экономики справедливы все выводы, сделанные для двухсекторной модели, т.е. совокупный продукт равен совокупному доходу, совокупные расходы равны совокупному доходу, инъекции равны изъятиям. Однако совокупные расходы состоят теперь из трех компонентов: потребления (С), инвестиций (I) и государственных закупок (G): 
 
 
 
а совокупный доход распределяется на потребление (С), сбережения (S) и чистые налоги (Т):

 

Чистые налоги представляют собой  разницу между налогами (Тх) и  трансфертами (Тr):

 
 
 
Государственные закупки товаров  и услуг являются инъекциями, а  чистые налоги — изъятиями из потока расходов и доходов, поэтому формула  равенства инъекций и изъятий  приобретает вид

 
 
 
Анализ трехсекторной модели экономики (модели закрытой экономики) показывает, что национальный (совокупный) доход (F), являющийся суммой факторных доходов, т.е. доходом, заработанным собственниками экономических ресурсов (домохозяйствами), отличается от дохода, которым домохозяйства могут распоряжаться и расходовать по собственному усмотрению, т.е. от располагаемого дохода (disposal income — Yd). Располагаемый доход отличается от национального дохода на величину налогов (Тх), которые домохозяйства платят государству, и величину трансфертов (Тг), которые государство платит домохозяйствам. Поэтому, чтобы получить величину располагаемого дохода, надо из национального дохода вычесть налоги и прибавить трансферты:

 
 
 
или вычесть чистые налоги Т.

 
 
 
Располагаемый доход домохозяйства  используют на потребление (потребительские  расходы) и сбережения:

 
 
 
    Включение в модель кругооборота иностранного сектора дает четырехсекторную модель экономики (рис. 1.4) — модель открытой экономики и означает необходимость учета взаимосвязей национальной экономики с экономиками других стран, которые прежде всего проявляются через международную торговлю товарами и услугами, т.е. экспорт и импорт товаров и услуг. Поскольку в модели кругооборота отражены только денежные потоки, то под экспортом (export — Ex) понимается выручка (доходы) от экспорта (стрелка от иностранного сектора), а под импортом (import — Im) — расходы по импорту (стрелка к иностранному сектору).

 

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТРЕХСЕКТОРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ

Постановка задачи. Пусть  экономика разбита на 3 сектора1: нулевой (материальный) сектор производит предметы труда; первый (фондосоздающий) - средства труда; второй (потребительский) - предметы потребления. Материальный сектор занимает особую промежуточную позицию между фондосоздающим и потребительским секторами.

Предполагается, что за каждым сектором закреплены основные производственные фонды (ОПФ), а труд и инвестиции свободно перемещаются между секторами.

Пусть выполнены следующие допущения:

1) Производственные возможности каждого сектора заданы в форме линейно-однородных неоклассических производственных функций

X = Р(К, . у = 0, 1 2 где X К., M - соответственно выпуск, основные производственные фонды и число занятых в у-м секторе.