Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Треугольник Паскаля и его приложения

Учреждение образования «Белорусский государственный
педагогический университет имени Максима Танка»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КУРСОВАЯ РАБОТА

Выполнила

студентка 403 группы Юхно Е. В.

Научный руководитель

доцент Новохрост В.Г.

Минск 2011

Содержание

Содержание 2

Введение 3

1.Треугольник Паскаля 4

2. Свойства треугольника Паскаля 9

3.Числа Фибоначчи 12

4. Биномиальные коэффициенты 13

5. Примеры 15

Список использованных источников 19

Введение

В данной работе будет рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.

‘’Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике. ‘’

М. Гарднер

Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике". Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата.

Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом. Изображен треугольник и на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

1.Треугольник Паскаля

Рассмотрим какую-нибудь строчку чисел d₀, d₁, ... ..., d_n, n = 0, 1, 2, ... (при п = 0 эта строчка «вырождается» в строчку, состоящую из единственного числа d₀). Образуем из нее новую строчку чисел s₀, s₁, ..., s_n+1 по следующему правилу:

s₀ = d₀, (1.1)

s_k = d_k-1+ d_k (1< k< n), (1.2)

s_n+1 = d_n (1.3)

Про эту новую строчку будем говорить, что она получена из предыдущей по закону Паскаля. Например, из строчки 2, 0, —2 по закону Паскаля получается строчка 2, 2, —2, —2, а из этой, в свою очередь, 2, 4, 0, —4, —2.

Замечание1. Если строчка β получена из строчки α по закону Паскаля, то сумма членов строчки β равна удвоенной сумме членов строчки α. Действительно, если выполняются соотношения (1.1) — (1.3), то

s₀ + s₁ + s₂+ _… +s_n + s_n+1= d₀ + (d₀ + d_l) + (d_l + d₂) + ... +(d_n__i + d_n) + d_n= 2(d₀ + d_l + ... +d_n). (1.4)

Замечание 2. Назовем строчку чисел d₀,…, d_nсимметричной, если при любом целом k от 0 до n имеет место равенство

d_k=d_n-k (1.5)

Строчка чисел s₀,…, s_n+1, получающаяся по закону Паскаля из симметричной строчки d₀,…, d_n, сама является симметричной. Для обнаружения этого надлежит проверить равенство

s_k=s_(n+1)-k(1.6)

при k = 0, 1, ..., n+1. Но при k = 0 и k = п+ 1 равенство (1.6) вытекает из соотношений (1.1), (1.3) и равенства do = d_n (получающегося из (1.5) при k= 0). Если же 1 ≤ k ≤ n, то имеем:

s=d_n-1+d_k=d_n-(k-1)+d_n-k=d_(n+1)-k+d_[(n+1)-k]-1=d_[(n+1)-k]-1+d_(n+1)-k =s_(n+1)-k (1.7)

Рассмотрим теперь строку, состоящую из одного числа— единицы. Назовем эту строку нулевой строкой Паскаля. Образуем из нее по закону Паскаля новую строку, которую назовем первой строкой Паскаля. Из первой строки Паскаля по закону Паскаля образуем вторую строку Паскаля и т. д. Поскольку при переходе к каждой следующей строке число членов этой строки возрастает на единицу, то в n-й строке Паскаля будет n+1 число. Не производя никаких вычислений, а лишь принимая во внимание замечания 1 и 2, можно утверждать, что:

1) сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2ⁿ (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 2°= 1);

2) все строки Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична).

Запишем строки Паскаля, начиная с нулевой, друг под другом, так чтобы каждое число каждой строки оказалось между теми числами предыдущей строки, суммой которых оно является. Мы получим бесконечную таблицу, называемую арифметическим треугольником Паскаля, а также просто арифметическим треугольником, или треугольником Паскаля. Вся таблица в целом как бы заполняет внутренность некоторого угла; любое ее начало, образованное 0-й, 1-й, …, n-й строками, имеет форму равнобедренного треугольника. На рис. 1 приведено начало треугольника Паскаля, образованное первыми его 15 строками от нулевой до четырнадцатой. Вследствие симметрии строк Паскаля, треугольник Паскаля симметричен относительно своей биссектрисы.

Рис. 1

Члены каждой строки Паскаля обычно нумеруются слева направо, начиная с нулевого. Так, второе место в пятой строке занимает число 10. Число, стоящее на k-м месте в n-й строке, будем обозначать через
, так что, например, =1, = 10. Выражение определено, очевидно, при любом n>=0 и k=0,1,…, n.

В силу своего определения числа подчинены следующим соотношениям:

=1, (1.8)

= = 1 для n = 0, 1, 2..... (1.9)

= для n = 0, 1, 2, …; k= 1, 2, …, n. (1.10)

Этими соотношениями числа полностью задаются; пользуясь равенствами (1.8) — (1.10), можно построить сколько угодно строк треугольника Паскаля.

Выражение можно естественным образом доопределить так, чтобы оно было осмыслено при любом целом неотрицательном n и любом целом k. Для этого положим = 0, если n≥0, a k таково, что для него не выполнено хотя бы одно из двух неравенств: 0 ≤ k и k ≤ n. Таким образом, = 0 для всех пар (n, k), у которых n>=0, k<0, и всех пар (n, k), у которых n>=0, k>n. Теперь соотношение = + будет выполняться для всех k (а не только для k от 1 до п как в (1.10)), и числа будут полностью задаваться следующими равенствами:

=1, (1.11)

при k ≠ 0, (1.12)

= при всех n ≥ 0 и всех k (1.13)

Треугольник Паскаля при расположении его членов, рассмотренном выше (как на рис. 1), естественно называть треугольником Паскаля в равнобедренной форме, или, короче, равнобедренным треугольником Паскаля. Часто бывает удобным расположить члены треугольника несколько иначе, чтобы каждое начало имело форму прямоугольного треугольника. Такую бесконечную таблицу естественно называть треугольником Паскаля в прямоугольной форме, или просто прямоугольным треугольником Паскаля. В прямоугольном треугольнике Паскаля на пересечении n-й горизонтали и k-й вертикали (при том, что счет идет с нулевой горизонтали и нулевой вертикали) стоит число :

На n-й горизонтали здесь располагается n-я строка Паскаля; числа, стоящие на фиксированной вертикали, также достойны изучения. Помимо вертикалей и горизонталей, в прямоугольном треугольнике Паскаля легко прослеживаются диагонали. Различают восходящие диагонали (они выделены в приведенной только что таблице) и нисходящие диагонали. По главной нисходящей диагонали стоят единицы; по каждой из параллельных ей нисходящих диагоналей располагается— в силу симметрии строк Паскаля — та же последовательность чисел, что и по соответствующей вертикали; поэтому рассмотрение бесконечных рядов чисел, расположенных на нисходящих диагоналях, не дает ничего нового. Восходящие диагонали нумеруются, начиная с первой. На каждой из них стоит конечный ряд чисел: на первой диагонали 1; на второй 1; на третьей 1, 1; на четвертой 1, 2; на пятой 1, 3, 1 и т. д. Вообще, на n- ой диагонали стоят числа ,,… , (они продолжаются до тех пор, пока k ≤ n- 1- k, т. е. k ≤₎

Замечание 3. Из двух чисел пятой горизонтали — 10 и 5 — по закону Паскаля получается число 15 шестой горизонтали. Эти числа 10, 5, 15 расположены соответственно на девятой, десятой и одиннадцатой восходящих диагоналях. Легко видеть, что, вообще, любое число (n+ 2)- ой диагонали, кроме самых крайних единиц, является суммой двух чисел, находящихся на двух предшествующих диагоналях, n- ой и (n+1)- ой; оговорка относительно крайних единиц станет излишней, если мы продолжим n-ю и (n+1)-ю диагонали некоторым количеством нулей (возникающих в силу сделанного выше доопределения выражения ). При этом для различных чисел (n + 2)- ой диагонали образующие их пары чисел двух предыдущих диагоналей не имеют между собой общих членов, и все такие пары путем суммирования их членов участвуют в образовании чисел (n + 2)- ой диагонали. Поэтому сумма чисел (n + 2)-ой диагонали равна сумме чисел n- ой диагонали, сложенной с суммой чисел (n + 1)-ой диагонали.

2. Свойства треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее.

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире и нашем измерении это невозможно, возможно только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

А вот еще два интересных свойства треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную последовательность Фибоначчи.

3.Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи часто встречаются в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4, ... число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8, ..., то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)ⁿ по степеням x и y. Например, (x+y)²=x²+2xy+y² и (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y)ⁿ, достаточно взглянуть на n- ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой

_{,
где n!=1∙2∙3∙4∙....∙}n так называемый факториал числа n. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле _{причем, они же и являются,
как мы выяснили, строками
треугольника Паскаля,
связывая непостижимым
образом этот треугольник
с комбинаторикой и
разложением двучлена
по степеням.}

4. Биномиальные коэффициенты

Паскаль предложил очень простой способ вычисления биномиальных коэффициентов с использованием специальной таблицы чисел, называемой арифметическим квадратом или треугольником Паскаля.

Рассмотрим так называемый прямоугольный Треугольник Паскаля, представляющий собой следующую таблицу чисел:

Строки треугольника Паскаля нумеруются сверху вниз. Биноминальные коэффициенты:

_…

образуют "нулевую" строку. Каждая n-я строка начинается с биноминального коэффициента = 1 (n =0, 1, 2, 3, ... ).

Столбцы треугольника Паскаля нумеруются слева направо; крайний левый столбец, состоящий из одного числа ( = 1), называется нулевым столбцом. Столбец с номером n включает следующие биномиальные коэффициенты:

где

Треугольник Паскаля основывается на следующем рекуррентном соотношении:

Рассмотрим Треугольник Паскаля, представленный в числовой форме.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3 6 10 15 21 28 36

1 4 10 20 35 56 84

1 5 15 35 70 126

1 6 21 56 126

1 7 28 84

1 8 36

1 9

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

Биномиальные коэффициенты и Треугольник Паскаля широко используются в различных разделах математики. Знаменитый математик Якоб Бернулли писал: "Эта таблица имеет ряд чудесных свойств. Только что мы показали, что она составляет существо теории соединений, но те, кто тесно соприкасаются с геометрией, знают, что она хранит ряд фундаментальных секретов этой области математики".

5. Примеры

Задача.

Имеется сеть дорог. Из точки А выходят 2¹⁰⁰⁰ человек. Половина идет по направлению l, половина— по направлению т. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: половина идет по направлению l, половина — по направлению т. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько людей придет в каждый из перекрестков тысячного ряда) ?

Решение.

Заметим прежде всего, что мы пока не знаем, имеет ли задача решение, т. е. может ли движение людей происходить так, как требуется условием задачи. Ведь если на какой-то перекресток, на котором предстоит очередное деление людского потока пополам, придет нечетное число людей, то движение застопорится. Следовательно, чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы в каждый перекресток любого из первых тысячи рядов, от нулевого до девятьсот девяносто девятого, пришло четное число людей. Мы убедимся, что это так, решая задачу.

Начнем с того, что введем обозначения для количеств людей, прошедших через каждый перекресток нашей сети дорог. Будем нумеровать перекрестки каждого ряда слева направо, начиная с нулевого; перекрестки n-го ряда, следовательно, будут нумероваться от 0-го до n-го. Число людей, прошедших через k-й перекресток n-го ряда, обозначим . Поскольку пока еще не известно, имеет ли задача решение, мы не можем быть уверены, что все числа существуют, т. е. что существует каждое из чисел при любом п от 0 до 1000 и любом k от 0 до n. Некоторые из них, во всяком случае, существуют. Так, в силу введенных обозначений

= 2¹⁰⁰⁰ (5.1)

Посмотрим теперь, как связаны между собой числа (k= 0, 1, 2, ..., n) и Н^к_п.₊₁ (k = 0, 1, 2, …, п+ 1) при условии, что все они существуют. Изучая эту связь, мы сможем затем установить, что все числа при n≤ 1000 действительно существуют. Рассмотрим п-й и (n+l)-й ряды перекрестков и соединяющие их участки дорог; против каждого перекрестка поставим обозначение соответствующего числа людей (рис. 2).

Рис. 2

Количество людей, вышедших из 0-го перекрестка n-го ряда (т. е. ), разделится пополам и одна половина придет в 0-й перекресток (n+1)-го ряда; поэтому

(5.2)

Другая половина от придет в 1-й перекресток (n+l)-гo ряда и там соединится с половиной людей, вышедших из 1-го перекрестка n-го ряда, т. е. с половиной от . Поэтому _.

И вообще, количество людей, пришедших на k- ый перекресток (n+l)- гo ряда, слагается из половины количества людей, вышедших из (k -1)-го перекрестка n-го ряда (это половина ряда ), и половины количества людей, вышедших из k- го перекрёстка n- го ряда (эта половина равна ). Таким образом, при 1≤ k ≤ n (5.3)

Наконец, число людей, пришедших на (n+1)-й перекресток (n+1)-го ряда, равно половине числа людей, вышедших из n-го перекрестка n-го ряда:

(5.4)

Соотношения (5.1) — (5.4) позволяют установить, что задача действительно имеет решение. В самом деле, из равенств (5.2) — (5.4) вытекает, что если при каком-либо фиксированном n все числа n-го ряда: , …, —существуют и делятся на 2а, то числа (n+l)-гo ряда: , , …, — существуют и делятся на а. Поэтому, поскольку все числа 0-го ряда (а их всего одно — ) существуют и делятся на 2¹⁰⁰⁰ (в силу (5.1)), то все числа 1-го ряда

существуют и делятся на 2⁹⁹⁹; все числа 2-го ряда

существуют и делятся на 2⁹⁹⁸; ...; все числа 999- го ряда

существуют и делятса на 2; все числа 1000- го ряда

существуют (и делятса на 1).

Соотношения (5.2) — (5.4) не только доказывают существование решения задачи, но и показывают, как из строчки чисел

получается строка

Применяя последовательно эти соотношения, начиная с нулевой строки (т. е. используя соотношение (5.1)), мы в принципе можем вычислить значения для всех 501501 перекрестков, содержащихся в рядах до тысячного включительно, в частности, для всех перекрестков тысячного ряда, и тем самым решить задачу. Так, для первых рядов непосредственным вычислением находим:

_; _;

_{; ;}

и т. д.

Список использованных источников

1. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. М.: Наука 1979

2. Кузьмин О. В. Обобщённые пирамиды Паскаля и их приложения Н.: Наука, 2000.