Міністерство  освіти і науки  України

Національний  авіаційний університет

ІЗДН 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсова робота

з дисципліни

“Обробка сигналів” 

Тема: «Цифрова обробка моделі суміші сигналів на фоні

завад в  середовищі MATLAB» 

Роботу здано  “___”________ 20__р. 
 
 

Київ 2010 р.

НАЦІОНАЛЬНИЙ  АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЗАВДАННЯ

на  виконання курсової роботи

студента Ткаченко Сергія Васильовича 

Тема  курсової роботи: Цифрова обробка моделі суміщі сигналів на фоні завад в

       середовищі MATLAB.

1. Термін виконання проекту:   з 25.05.2009р. до 25.01.2010р.
2. Вихідні дані до проекту:

                -     математична модель  сигналу складається з 3-х сигналів: двох гармонічних сигналів з частотами F1 та F2 та сигналу завади;

• амплітуда першого сигналу U1= 1 В, частота F1= 6,5 Гц; 
• амплітуда другого сигналу U2= 3 В, частота F2= 16 Гц;
• сигнал завади – випадковий процес з нормальним законом росподілу, амплітудою Uш= 2 В;
• співвідношення сигнал-завада вихідного сигналу не гірше –30Дб;
• частота дискретизації Fs = 100·F2   Fs= 1600 Гц;

3. Етапи роботи над курсовим проектом:

• перегляд основних методів та характеристик дискретної обробки сигналів;
• перегляд  типів цифрових фільтрів та їх основних характеристик;
• вивчення інтерактивної оболочки SPTool;
• розробка програми моделювання сигнально-завадної ситуації та формування графіків кожного сигналу та суміші 3-х сигналів, оцінка спектральних характеристик сигналів та співвідношення сигнал-завада;
• розробка рекурсивного та не рекурсивного ФНЧ для виділення першого сигналу;
• розробка рекурсивного та не рекурсивного полосового фільтру для виділення другого сигналу;
• аналіз результатів виділення сигналів із сигнально-завадної суміші;
• порівнювальний аналіз рекурсивних та не рекурсивних фільтрів.

4. Перелік обов'язкового графічного матеріалу:

• лістінги програм;
• графіки вхідних та вихідних сигналів,
• характеристики фільтрів,
• спектрограми вхідних та вихідних сигналів;
• результати досліджень;
• таблиці коефіцієнтів розроблених фільтрів.

5. Завдання видав                                               (   Дегтярьов В.В.   )

(підпис  керівника)          (П.І.Б. керівника) 

“ ” ________ 2010 р.

6. Завдання прийняв до виконання   _________________________________________

                                                                                                        (підпис студента)

Курсовий  проект захищений з оцінкою  

Голова комісії:          

Члени комісії: 

Зміст 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Перелік умовних позначень

ФНЧ – фільтр нижніх частот;

ФВЧ – фільтр верхніх частот;

СФ – смуговий фільтр;

НЦФ – не рекурсивний цифровий фільтр;

РЦФ – рекурсивний  цифровий фільтр;

КІХ-фільтр –  фільтр з кінцевою імпульсною характеристикою;

НІХ-фільтр –  фільтр з нескінченною імпульсною характеристикою;

АЧХ – амплітудно-частотна характеристика;

ФЧХ – фазочастотна характеристика;

SPTool –  Signal Processing Tool – інтерактивне середовище для цифрової обробки сигналів;

FIR – finite impulse response filter – КІХ-фільтр;

IIR – infinite impulse response filter – НІХ-фільтр;

Equiripple FIR – КІХ-фільтр оптимальної фільтрації  Чебишева;

Least Square FIR – КІХ-фільтр найменших квадратів;

Chebyschev  IIR – НІХ-фільтр Баттерворта;

Chebyschev IIR – НІХ-фільтр Чебишева;

Lowpass –  фільтр нижніх частот;

Highpass –  фільтр верхніх частот;

Bandpass –  смуговий фільтр;

F1 –  частота першого сигналу;

F2 –  частота другого сигналу;

U1 –  амплітуда першого сигналу;

U2 –  амплітуда другого сигналу;

U_ш – амплітуда завади;

Sampling Frequency (Fs) –  частота дискретизації;

Fp – гранична  частота смуги пропускання фільтру;

Fs – гранична  частота смуги затримки;

Rp – пульсації  (нерівномірність) АЧХ в смузі  пропускання;

Rs – подавлення  сигналу в смузі затримки;

F3db – частота  зрізу фільтра; 

FFT – швидке  перетворення Фур'є;

Nfft – кількість  відліків вихідного сигналу при  Welch-перетворенні;

Nwind – довжина  реалізацій розбиттів вихідного  сигналу (ширина вікна);

Order – порядок фільтру; 

      Вступ

     Цифрова обробка сигналів містить у собі створення засобів чисельного перетворення масиву заданого (вимірюваного в дискретні моменти часу) процесу зміни деякої безперервної фізичної  величини з метою добування з нього корисної інформації про іншу фізичну величину, що міститься в виміряному сигналі.

     На  практиці доводиться зіштовхуватися з  тим, що фізична величина, яка несе в собі корисну інформацію, не має  таку фізичну форму, що може бути визначена  безпосередньо. При цьому будь-який реальний прилад сам вносить власні похибки у вимірювану величину, які прийнято називати  шумами приладі. Так що в ряді практичних задач обробки сигналів, що мають відношення, наприклад,

     а) до придушення шуму, що маскує сигнал;

     б) до усунення перекручувань, внесених інформаційним каналом;

     в) до виділення двох або декількох  сигналів, які були спеціально змішані.

     Для ефективного використання каналу передачі інформації необхідне використання пристроїв, що забезпечують мінімізацію  перекручування корисних сигналів у вимірювальних каналах. У випадку цифрової обробки сигналів у якості таких пристроїв виступають цифрові фільтри.

     У даній роботі ставиться задача виділення  гармонічних сигналів з нормального  шуму з використанням  рекурсивних  Chebyschev IIR і не рекурсивних  Equiripple FIR цифрових фільтрів. Рішення такої задачі   дозволить краще зрозуміти процес фільтрації та особливості кожного із зазначених типів цифрових фільтрів. 
 
 
 
 
 
 
 

      1 Моделі шуму та гармонічних сигналів

     При аналітичних дослідженнях процесів і систем використовуються різні моделі сигналів і перешкод. У даній роботі розглядається задача виділення детермінованого гармонійного сигналу з адитивної суміші двох детермінованих гармонічних сигналів і  білого шуму з нормально розподіленими значеннями. Тому розглянемо дві моделі сигналів, з яких складається суміш.

     Гармонічний сигнал визначається виразом

- амплітуда сигналу,

- частота сигналу.

      Найбільше часто при аналізі сигналів і шумів використовуються спектральні характеристики. Зокрема для  опису нормального шуму використовується його  подання у вигляді спектральної щільності.

      (1.1)

        Тут  - верхня частота шуму. Дійсно в практичних розрахунках ми змушені встановлювати граничну частоту шуму з ряду причин. Укажемо дві основні:

1. обмеженим по частоті спектрам відповідають шуми з кінцевою дисперсією, що спостерігається практично;
2. при дискретному поданні частота дискретизації обмежує спектр сигналів і шумів.

      Кореляційна функція  для шуму (1.1) відповідно до  перетворення Вінера-Хінчіна

дорівнює:

.

      Тоді  дисперсія шуму знаходиться як значення кореляційної функції в точці , і тому параметр знаходиться як

     (1.2)

      Співвідношення  перешкода-сигнал для суміші гармонічного сигналу обчислюється по формулі

,       (1.3)

     де  енергія гармонічного сигналу  Е визначається:

,  (1.4)

       2 Основні  характеристики не рекурсивних і рекурсивних цифрових фільтрів

     2.1 Не рекурсивні цифрові фільтри

     Відмінною рисою НЦФ є залежність вихідного  сигналу y(n) тільки від вхідних сигналів  у даний момент часу x(n) і попередні моменти x(n-k). Алгоритм (рівняння) НЦФ порядку N записують у вигляді

      Для розрахунків зручніше використати  фільтр порядку 2N з алгоритмом фільтрації виду:

                                                 (2.1)

      При N=2 відповідно до (1.1) можна записати

     де x(n) - вхідний сигнал (відлік сигналу) у момент часу  nT_д ,

      y(n) - відповідний вихідний сигнал,

      T_д    - період дискретизації.

    При такому записі алгоритму фільтрації вихідний сигнал у момент часу n можна  обчислити тільки тоді, коли стануть  відомими “майбутні” вхідні відліки. Це означає необхідність затримки  вихідного сигналу фільтра щодо вхідного.

     Якщо  на НЦФ подать одиничний імпульс

те відповідно до  (1.1)  на виході повинна з'явитися  послідовність із (2N+1) відліків, що відповідають ваговим коефіцієнтам фільтра a_k .

      Очевидно, що ця послідовність кінцева, тому НЦФ має кінцевий імпульсний відгук і називається фільтром з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ - фільтром або FIR (finite impulse response) фільтром ).

     Якщо  на НЦФ подать дискретне гармонійне коливання:

      тоді  з (1.1) випливає

      звідки  передатна функція НЦФ

      Неважко перевірити, що - періодична з періодом функція частоти, тобто

      Таким чином, може бути представлена рядом Фур'є в частотній області,  причому коефіцієнти цього ряду визначаються співвідношенням:

      При розрахунках зручно оперувати парними  або непарними відносно коефіцієнтами . У цьому випадку спрощується вид передатної функції . Для парних передатна функція дійсна та складається із суми зважених косинусоїд:

а для  непарних - - уявна та складається із суми синусоїд:

      .

  Для визначення параметрів цифрового не рекурсивного ФНЧ за основу береться ідеальний ФНЧ. Ідея методу розрахунку зводиться до апроксимації ідеального ФНЧ, передатна функція якого має вигляд:

                                                        (2.2)

      де  w_c - частота зрізу (іноді її позначають і називають «верхня гранична частота»).

     Ця  передаточна функція H(jw) може бути періодизована з періодом , після чого також може бути представлена рядом Фур'є, що буде тим краще апроксимувати H(jw), чим більше доданків буде містити. Якщо ж таке розкладання «усікти», тобто залишити в ньому стільки складових, скільки коефіцієнтів фільтра ми хочемо обчислити, тоді результат такого усікання природно трактувати як H_д(jw). З'являється різниця між H(jw) і її апроксимацією H_д(jw). Одним з кількісних критеріїв такої різниці є метод найменших квадратів Гауса: середній квадрат різниці повинен бути мінімальним:

      Можна показати, що відповідно до цього критерію помилка апроксимації буде мінімальною, якщо вагові коефіцієнти шуканого фільтра  обчислювати як коефіцієнти Фур'є  розкладання в ряд періодизованої функції H(jw). З огляду на (1.2), можна записати для парних функцій :

      Таким чином, коефіцієнт a_k (k = 0, ... ,N) залежить від відношення частоти зрізу до частоти дискретизації. Тому при розрахунках зручно використати відносну частоту зрізу

      У цьому випадку

,                                         (2.4)

      де  .

      Розрахунок  ФВЧ, СФ і РФ виконується на підставі теореми додавання перетворень  Фур'є.

     Як  відзначалося вище, найважливіший параметр, що визначає коефіцієнти не рекурсивного ФНЧ – це відношення . Інший не менш важливий параметр – порядок фільтра 2N. Виявляється, фіксуючи порядок фільтра , ми «автоматично» ставимо задачу про оптимальний у деякому сенсі виборі співвідношення між частотою дискретизації й частотою зрізу . Виходячи із цього, на практиці рекомендують вибирати «оптимальні» значення або .

      Джерела таких рекомендацій стають зрозумілими, якщо врахувати зв'язок між  й ІПХ неперервного (аналогового) фільтра:

,                                              (2.5)

.                 (2.6)

      Порівнюючи (2.6) і (2.4), дійдемо висновку, що , тобто з точністю до множника коефіцієнти цифрового фільтра збігаються зі значеннями ІПХ аналового фільтра, узятими в дискретні моменти часу .

2.2 Рекурсивні цифрові фільтри

     Вихідний  сигнал рекурсивного фільтра в кожен  момент часу залежить не тільки від  вхідних  сигналів,  але й від  вихідних  у попередні  моменти  часу. У загальному випадку рівняння РЦФ записують у вигляді:

                                    (2.7)

      Більше  із двох чисел M та  N визначає порядок фільтра.

     На  найпростіших прикладах можна показати, що ІПХ рекурсивного фільтра нескінченна, тому такий фільтр іменують IIR (infinite impulse response) фільтром. Дійсно, нехай рівняння РЦФ має вигляд:

      Подамо  на такий фільтр одиничний імпульс:

      Оскільки  в моменти часу, що передують  , фільтр не був збуджений, тобто , одержуємо:

      і т.д., тобто ІПХ триває нескінченно  довго.

      Для одержання передатної функції рекурсивного фільтра прийнято використовувати Z-перетворення: .

      Помножуючи на й піддаючи обидві частини рівняння (2.1)  Z-перетворенню, одержимо

      Оскільки  в рівнянні (2.1) прийнято

                            a_k = 0   при k<0  й k>N,

                                             b_k = 0    при k<0  й k>M,

     можна розширити границі підсумовування до :

     або

      Позначивши  m = (n - k), одержимо

     або в компактному виді

B(z) Y(z) = A(z) X(z),

      де A(z), B(z), X(z), Y(z) – Z-перетворення відповідних числових послідовностей.

      Звідси  треба, що Z-перетворення передатної функції  фільтра (тобто відношення  вихідної реакції до вхідного  впливу)  має вигляд: 

   (2.8) 

        Після підстановки в (2.2) одержимо передатну функцію в явному виді, тобто у вигляді залежності коефіцієнта передачі від частоти:

      Коефіцієнт  передачі - періодична функція частоти  з періодом .

В окремому випадку не рекурсивного фільтра

    Розрахунок (проектування) рекурсивних фільтрів істотно складніше розрахунку не рекурсивних  фільтрів. Існує  велика  кількість  різних  методик, однак багато з них розраховані на висококваліфікованих професіоналів в області фільтрації сигналів, знайомих як з методиками проектування аналогових фільтрів, так і з областю математичного аналізу, присвяченої перетворенням Лапласа, Z-перетворенням, теорії відрахувань. Найбільш простою і популярною є методика, що називається  «частотне перетворення».

    Сутність  цієї методики полягає в трансформації  передатної характеристики якогось ФНЧ, іменованого «ФНЧ - прототип», у передатну характеристику потрібного фільтра (НЧ, ВЧ, смугового, режекторного), з наступною заміною .

    Представимо таку методику у вигляді алгоритму:

    1) виходячи з вимог до якості проектованого фільтра (гладкість у смузі пропускання, фазова характеристика, припустимий рівень пульсацій у смугах пропускання й запирання), вибирають тип фільтра й порядок фільтра N. ФНЧ Баттерворта забезпечує максимально плоску характеристику в зоні пропуcкання, однак погано передає фронти прямокутних імпульсів. Крутість перехідної зони (зі смуги пропускання в смугу запирання) росте при збільшенні N.

      2) після вибору типу фільтра звертаються до однієї з таблиць фільтрів-прототипів, з яких вибирають числові значення коефіцієнтів і . До таких

таблиць «прив'язаний» також числовий параметр - відношення частоти дискретизації до частоти зрізу фільтра-прототипу. В літературі пропонуються таблиці для , що мають вид:

      Таблиця 1. Коефіцієнти для прототипів ФНЧ Баттерворта N-го порядку

     Розглядаючи таблиці, неважко помітити що, коефіцієнти  залежать також

 від  індексу  - номера каскаду. Справа в тому, що рекурсивні фільтри порядку N>2 прийнято одержувати шляхом послідовного з'єднання фільтрів 2-го порядку. Тому якщо передатна функція фільтра-прототипу 2-го порядку має вигляд:

то передаточна функція фільтра-прототипу більш вищого порядку виходить як

добуток передаточних характеристик P фільтрів:

3. виходячи з необхідного співвідношення  (при розрахунку НЧ або ВЧ фільтра) або необхідної пари співвідношень та ,  (при розрахунку смугового або режекторного  фільтра), заміняють змінну на функцію змінної , для чого використовують співвідношення з таблиці 2.

      Таблиця 2. Основні співвідношення

     4) отриманий аналітичний вираз  передатної характеристики  спрощують так, щоб у чисельнику та знаменнику виявилися поліноми від змінної .

     5) чисельник і знаменник функції  ділять на таке число, щоб виконувалася умова . Результуючі коефіцієнти в чисельнику й знаменнику (після такого нормування) і утворять шукані множини коефіцієнтів і .

     6) в аналітичному виразі для  роблять заміну , одержуючи в такий спосіб частотну характеристику синтезованого фільтра. АЧХ фільтра одержують як корінь квадратний із суми квадратів дійсної та уявної частин комплексної функції .У випадку, коли отримана АЧХ не влаштовує користувача,  роблять перерахунок коефіцієнтів для іншого типу фільтра або збільшують порядок фільтра.