Цифровая обработка сигналов

Федеральное агенство связи

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

 

Кафедра «Радиосвязь, радиовещание и телевидение»

 

 

 

Курсовая  работа по дисциплине:

«Цифровая обработка сигналов»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:                                    студентка гр. ИБС-71

                                                  Озернова Елена

Проверил:                                   д.т.н., пр. Мишин Д.В.

 

 

 

Самара

2009

Рецензия

 

 

 

 

 

Содержание

Задания на выполнение курсовой работы, определение варианта……………………..….с.5

Часть 1

Задание 1.1. Структурная схема фильтра……………………………………………………………………с.9

Задание 1.2. Коэффициент передачи ЛПП-системы ……………………………….....с.10

Задание 1.3. АЧХ и ФЧХ ЛПП-системы…………………………………………………………………..….с.11

Задание 1.4.1. Отклик ЦФ на последовательность , найденный непосредственно через уравнение свертки…………………………………………………………….с.14

Задание 1.4.2. Отклик ЦФ на последовательность , найденный с использованием z-преобразования………………………………………………………………………...с.15

Часть 2

Задание 2.1. Структурная схема цепи……………………………………………………………………...с.20

Задание 2.2.2. Импульсная характеристика дискретной цепи, найденная методом прямой подстановки …………………………………………………………………………….…..с.21

Задание 2.2.3. Импульсная характеристика дискретной цепи, найденная аналитически ……………………………………………………………………………………………………….……с.22

Задание 2.3. График импульсной характеристики ………………………………….….……с.24

Задание 2.4. АЧХ и ФЧХ цепи, графики…………………………………………………………………....с.24

Задание 2.5. Картина нулей и полюсов передаточной функции ……………..….…с.27

Задание 2.5.1. Область сходимости z-преобразования импульсной характеристики, определенная с помощью картины нулей и полюсов…………………………………….….…..с.27

Задание 2.5.1. Условия устойчивости цифрового фильтра, определенныя с помощью картины нулей и полюсов……………………………………………………………………………………..….с.27

Часть 3

Задание 3.1. Процедура вычисления Дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ): алгоритм БПФ с прореживанием по времени……………………………………………………………………………….…с.28

Задание 3.2. Структурная схема и листинг программы вычисления прямого и обратного БПФ…………………………………………………………………………………………………………..с.33

Задание 3.3. Отклик цифрового фильтра методом «быстрой свертки» с использованием алгоритмов прямого и обратного (БПФ) ………………………………..……с.36

Задание 3.4. Отклик цифрового фильтра на последовательность непосредственно через уравнение свертки, сравнение полученных результатов..с.38

Список используемой литературы………………………………………………………………….………..с.39

 

 

 

 

Задания на выполнение курсовой работы

Часть 1

Цифровой  фильтр (линейная стационарная система  с постоянными параметрами – ЛПП-система) задается в дискретном времени импульсной характеристикой .

На вход системы подается финитная (конечная) последовательность

    1. Составить структурную схему трансверсального (нерекурсивного) фильтра.
    2. Найти коэффициент передачи ЛПП-системы
    3. Построить АЧХ и ФЧХ ЛПП-системы.
    4. Найти отклик цифрового фильтра на последовательность двумя способами:
    • непосредственно через уравнение свертки;
    • с использованием z-преобразования.
    1. Построить график последовательности

Часть 2

По разностному  уравнению:

 

    1. Составить структурную схему цепи.
    2. Определить импульсную характеристику дискретной цепи двумя способами:
    • методом прямой подстановки;
    • аналитически.
    1. Построить график импульсной характеристики .
    1. Рассчитать АЧХ и ФЧХ цепи, построить графики.
    2. Построить картину нулей и полюсов передаточной функции , с помощью которой определить:
    • область сходимости z-преобразования импульсной характеристики;
    • условия устойчивости цифрового фильтра.

Часть 3

Нерекурсивный цифровой фильтр имеет импульсную характеристику

На вход системы  подается конечная последовательность .

    1. Описать процедуру вычисления Дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ):
    • алгоритм БПФ с прореживанием по времени
    • алгоритм БПФ с прореживанием по частоте
    1. Привести структурную схему и листинг программы вычисления прямого и обратного БПФ.
    1. Методом «быстрой свертки» с использованием алгоритмов прямого и обратного быстрого преобразования Фурье (БПФ) найти отклик цифрового фильтра
    2. Вычислить отклик цифрового фильтра на последовательность непосредственно через уравнение свертки, сравнить получены результаты.

№ зачетной книжки: 07369

Определение исходных данных для каждой части  задания

Часть1

Вариант

Отсчеты

9

          

-0.3

-0.7

0.1

0.7

0.3


 

Вариант

Отсчеты

чет.

                

1

0.5

0

-0.5

-1

-0.5

0

0.5


 

Часть2

Вариант

Коэффициенты

9, 6

            

7.4

5

7

9

4

2


 

Часть 3

Вариант

  

чет.

Алгоритм БПФ с прореживанием по времени


 

Вариант

Отсчеты

9

            

-9

-1

6

-6

1

9


 

Вариант

Отсчеты

6

                

1

2

3

4

5

6

7

8


 

 

Часть 1

Линейная  стационарная система (линейная система  с постоянными параметрами (ЛПП-система)) задается в дискретном времени импульсной характеристикой .


 

 

 

 

Рис. 1. Линейная система с постоянными параметрами

Импульсная  характеристика состоит из 5 отсчетов, т. е.

 

Отсчеты

         

-0.3

-0.7

0.1

0.7

0.3



 

 

 

 

 

Длительность  входных сигналов равна 8 отсчетам, т.е. ( – количество отсчетов последовательности )

 

Отсчеты

               

1

0.5

0

-0.5

-1

-0.5

0

0.5


 

 

 


 

 

 

 

    1. Нарисовать структурную схему

Взаимосвязь между входом и выходом ЛПП-систем описывают линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами:

 

 

В общем случае линейная система может иметь  импульсную характеристику как конечной, так и бесконечной длительности.

При в (1) ЛПП-система является системой с конечной импульсной характеристикой – КИХ-системой, которая описывается разностным уравнением вида:

 

При разностное уравнение (2) совпадает с уравнением дискретной свертки:

 

Таким образом, структурная схема ЛПП-системы с конечной импульсной характеристикой имеет вид:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

    1. Найти коэффициенты системы 

  - частотная характеристика ЛПП-системы с импульсной характеристикой .

Частотная характеристика является непрерывной функцией частоты. Кроме того, это периодическая функция частоты с периодом .

Поскольку - периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье :

 

В этой формуле  коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики .

Ряд Фурье (прямое преобразование Фурье)

 

 

 

Используя формулу Эйлера:   выражение (4) можно записать:

 

 

 

    1. Построить АЧХ и ФЧХ системы

В общем случае – комплексная функция и может быть выражена через свои действительную и мнимую части

 

или через модуль и фазу

 

Амплитудно-частотная  характеристика – АЧХ

 

Фазо-частотная характеристика – ФЧХ

 

Используя выражение (5) запишем выражения для действительной и мнимой части частотной характеристики

 

 

С учетом того, что частотная характеристика является непрерывной функцией частоты с периодом для построения графиков АЧХ и ФЧХ вычислим значения на интервале .

Зададим изменяющуюся на интервале с шагом

Расчет действительной части комплексной функции  произведем по формуле:

 

Расчет мнимой части комплексной функции  произведем по формуле:

 

Расчет АЧХ  комплексной функции  произведем по формуле:

 

Расчет ФЧХ  комплексной функции  произведем по формуле:

 

При расчетах использовали программу MathCad. Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1.

                       
 

0.1

0.067

-0.03

-0.183

-0.381

-0.608

-0.848

-1.083

-1.294

-1.468

-1.59

 

0

-0.217

-0.416

-0.579

-0.694

-0.75

-0.74

-0.664

-0.526

-0.334

-0.1

 

0.1

0.227

0.417

0.608

0.792

0.965

1.125

1.27

1.397

1.505

1.593

 

0

-1.272

1.499

1.265

1.069

0.889

0.717

0.55

0.386

0.224

0.063


 

                     
 

-1.652

-1.651

-1.585

-1.461

-1.285

-1.071

-0.831

-0.58

-0.332

-0.1

 

0.16

0.431

0.696

0.938

1.144

1.307

1.41

1.461

1.456

1.4

 

1.66

1.706

1.731

1.736

1.721

1.687

1.637

1.571

1.493

1.404

 

-0.097

-0.256

-0.413

-0.571

-0.727

-0.883

-1.038

-1.193

-1.347

-1.499


 

                     
 

0.105

0.275

0.405

0.494

0.544

0.558

0.542

0.504

0.451

0.39

 

1.301

1.17

1.016

0.851

0.685

0.529

0.388

0.269

0.173

0.1

 

1.306

1.202

1.094

0.984

0.875

0.769

0.667

0.571

0.482

0.403

 

1.49

1.34

1.191

1.044

0.9

0.759

0.622

0.49

0.366

0.251


 

                     
 

0.328

0.271

0.221

0.18

0.15

0.128

0.114

0.105

0.101

0.1

 

0.049

0.017

-0.0003

-0.007

-0.008

-0.006

-0.003

-0.001

-0.0001

0

 

0.332

0.271

0.221

0.18

0.15

0.128

0.114

0.105

0.101

0.1

 

0.149

0.063

0.001

-0.041

-0.054

-0.046

-0.027

-0.01

-0.001

0


 

Построим  АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра (с использованием программы MathCad).


 


 

    1. Найти отклик системы  на последовательность двумя способами:
    • непосредственно через уравнение свертки;
    • с использованием z-преобразования.

Уравнение свертки  имеет вид:

 

Количество  отсчетов последовательности

 

 – количество отсчетов последовательности

 – количество отсчетов последовательности

 – количество отсчетов последовательности

Таким образом,   

      1. Найти отклик системы на конечную последовательность можно с использованием уравнения свертки, непосредственно через формулу:

 

Подставляя в формулу значения соответственно, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление  отсчетов проиллюстрируем графическим  построением свертки:


 

 

 

 

 


 


 


 


 


 


 

 


 


 


 


 


 

 


 


Результаты  расчетов отклика системы на конечную последовательность с использованием уравнения свертки приведены в таблице 2.

Таблица 2.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

-0.3

-0.85

-0.25

0.9

1.3

0.95

-0.1

-1.05

-1

-0.1

0.35

0.15


 

Передаточные функции цифровых фильтров

В соответствии с общим определением передаточных функций линейных стационарных систем передаточной функцией ЦФ называют отношение Z-преобразований выходного и входного сигналов фильтра при нулевых начальных условиях:

 

Вычисляя  Z-преобразование сигнала по разностным уравнениям (1) и (2) для рекурсивного фильтра и преобразуя выражение, можно получить более удобные для использования зависимости для передаточных функций рекурсивных фильтров:

 

Передаточная  функция (13) содержит все те параметры  фильтров, что и разностное уравнение, и поэтому дает полное описание ЦФ. Она определяют собой способ аналитического описания ЦФ в Z-области.

      1. Найти отклик системы на конечную последовательность можно с использованием z-преобразования

Одностороннее Z-преобразование:

 

Представим  в виде степенного ряда (в виде полинома по )

 

Z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной (системной) функцией .

Таким образом,

 

 

Из свойств Z-преобразования следует, что последовательность имеет Z-преобразование

 

Таким образом, после перемножения полиномов 

 

и   

и после приведения подобных членов можно получить:

 

После проведения преобразований запишем значения отсчетов выходной последовательности в виде общих выражений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты  расчетов отклика системы на конечную последовательность с использованием Z-преобразования приведены в таблице 3.

Таблица 3.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

-0.3

-0.85

-0.25

0.9

1.3

0.95

-0.1

-1.05

-1

-0.1

0.35

0.15


 

Результаты  расчетов отклика системы на конечную последовательность с использованием Z-преобразования и с использованием уравнения свертки совпадают, что говорит о правильности проведенных вычислений. Следовательно, можем построить график последовательности .


 

 

 

 


 

Часть 2

Цифровой  фильтр (ЛПП-система) задается в дискретном времени линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами:

 

    1.  Составить структурную схему цепи

Существует  большое количество различных форм реализации рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтров. При построении структурных схем, соответствующих этим формам реализации, используем существующие в теории управления графические обозначения операции задержки, сложения, умножения. Операция задержки (запоминание) отсчетов сигнала на шагов дискретизации обозначается квадратиком с записью в нем величины , операция сложения – кружком со знаком å или + внутри, а операция умножения на константу – треугольником. Передача данных отображается на схемах сплошными линиями со стрелками.

Для рекурсивных фильтров можно выделить 4 основные формы реализации:

  • прямая
  • каноническая
  • каскадная (последовательная)
  • параллельная

Рассмотрим  более подробно прямую форму и  составим структурную схему.

Прямая форма (рис. 9.) соответствует непосредственной реализации разностного уравнения (1) или передаточной функции (13).


 

 

 

 

 

 

    1. Определить импульсную характеристику дискретной цепи двумя способами
      1. Определить импульсную характеристику методом прямой подстановки

ИХ  - это отклик системы на воздействие в виде единичного импульса :

 

Используя это  определение импульсной характеристики разностное уравнение ЦФ

 

можно переписать в виде:

 

В нашем случае

 , при

Необходимо  учесть, что единичный импульс  существует в точке, когда аргумент равен 0.

Чтобы необходимо выполнить нормировку. Для этого разделим каждый из коэффициентов на . Получим соответствующие значения нормированных коэффициентов:

 

 

 

Вычислим 8 отсчетов импульсной характеристики при нулевых начальных условиях:

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты  расчетов импульсной характеристики методом прямой подстановки приведены в таблице 4.

Таблица 4.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

 

1.216

-0.281

-0.69

0.732

0.158

-0.8

0.391

0.492


 

      1. Определить импульсную характеристику аналитически

Z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной функцией 

Таким образом, импульсная характеристика и передаточная функция связаны между собой парой Z-преобразований (прямого и обратного):