Цифровые системы управления

Министерство образования  и науки  Российской Федерации 
Федеральное агентство по образованию

Государственное  образовательное  учреждение

высшего профессионального образования 

«Самарский государственный технический  университет»

 

Факультет автоматики и информационных технологий.

 

Кафедра «Автоматика  и управление в технических системах»

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 

по дисциплине: «Цифровые системы управления»

 

Вариант № 4.5.2

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Морозов В.А. IV-АИТ-10

Проверил:

Чостковский Б.К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самара 2012

 

 

 

 

 

Содержание

 

Техническое задание         3

Построение эмпирической переходной функции объекта    4

Имметационное моделирование  объекта управления    5

Построение дискретной модели объекта.     

А)Построение дискретной модели переходом от     

дифференциального уравнения к разностному.    9

Б) Построение дискретной модели переходом к дискретной             

передаточной функции  объекта.      10

В)  Построение дискретно-совпадающей  модели по кривой разгона. 12

Г) Построение МНК-модели по кривой разгона.    14

Имметационное моделирование САУ с ПИД регулятором.   16

Система с регулятором по управляемому процессу.    17

Система с регулятором по возмущающему процессу.   19

Имметационное моделирование САУ с цифровым ПИД регулятором. 20

Моделирование системы с заданным возмущением.    23

Свободным движение системы.       25

Рекомендации по выбору регулятора      26

Список литературы и  использованного ПО     27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Техническое задание

Для непрерывного объекта управления с заданной передаточной функцией и характеристиками возмущающего воздействия выполнить следующее:

1) Построить эмпирическую переходную  функцию объекта  и по ней выбрать интервал квантования по времени .

2) Произвести имметационное моделирование объекта управления с возмущающим воздействием , имеющим корреляционную функцию:

Зарегистрировать реализацию   заданной корреляционной функции;

3) Построить дискретную модель  объекта следующими методами.

А) Переходом от дифференциального  уравнения к разностному;

Б) Переходом от передаточной функции  к дискретной передаточной функции  по таблицам z-преобразования;

В) Построением дискретно совпадающей  модели;

Г) Построением МНК модели;

Выбрать наилучшую дискретную модель;

4) Произвести имитационное моделирование  САУ с ПИД регулятором, подобрать  настройки регулятора, обеспечивающие  оптимальное управление. Оптимальное  управление по классическому  интегральному критерию.

5) Пересчитать оптимальные настройки непрерывного ПИД регулятора: и цифрового ПИД регулятора .

6) Произвести имитационное моделирование  цифровой управляющей системы и параметрическую оптимальную настройку параметров и по следующему критерию оптимальности (сумме квадратов ошибок). Оптимальную настройку провести методом Гаусса-Зайделя .

7) Произвести  анализ динамики цифровой управляющей  системы, построив переходные процессы по управляющему воздействию и по возмущающему воздействию, а так же построив кривую возмущающего процесса системы с заданным возмущающим воздействием.

8) Оценить эффективность управления, построив и сравнив графики свободного движения по управляющему и возмущающему воздействию.

9) Сделать выводы  и дать рекомендации по применению  цифрового регулятора для управления  реальным объектом.

 

Для варианта 4.5.2 объект имеет вид:

Где: =3; =0,5; =0,5; =5.

, , ,

Тогда передаточная функция объекта  примет вид:

1  Построение эмпирической переходной функции объекта

Для получения переходной функции  реализуем объект в программе  MatLab.

Составим структурную схему (см. Рисунок 1):

Рисунок 1 – Структурная  схема объекта.

Переходный процесс объекта  показана на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – Переходный процесс объекта.

Выберем интервал квантования равный

2  Имметационное моделирование объекта управления

Произведем моделирования  возмущающего воздействия, действующего на наш объект управления. Данное воздействие представляется как выходной сигнал формирующего фильтра, на вход которого подается белый шум.

Согласно техническому заданию корреляционная функция  белого шума имеет вид:

,

 

Рассчитаем также спектральную плотность возмущающего воздействия по известной корреляционной функции:

 

 

 

 

 

 

, , ,

 

Для окрашивания белого шума, используем формирующий фильтр, состоящий из двух апериодических звеньев первого  порядка. Определим параметры этих звеньев.

По условию заданно:

, , ,

Где: =3; =0,5; =0,5; =5.

Рассчитаем параметры непрерывного фильтра:

Проверим дисперсию каждого  фильтра и изменим, его коэффициенты для соответствия с заданными  значениями; для этого воспользуемся  программой Simulink пакета Matlab. Моделирование проведём на интервале 500 с:

Рисунок 3 - Проверка окрашивания белого шума

 

Произведем моделирование процесса окрашивания белого шума в непрерывной  форме в пакете Matlab (Рисунок 4):

Рисунок 4 - Структурная схема формирующего фильтра

 

Результат показан на рисунке  5 (Слева белый шум, справа окрашенный)

Рисунок 5 – Белый и окрашенный шум

Произведем моделирование процесса окрашивания белого шума в дискретной форме в пакете Matlab, для этого переведем полученный фильтр в дискретную форму при такте дискретизации 2:

, где   , ;

Найдем дискретный аналог первому  апериодическому звену:

 

Найдем дискретный аналог второму  апериодическому звену:

Схема фильтра показана на рисунке 6.

Рисунок 6 - Структурная схема формирующего фильтра

Результат показан на рисунке  7 (Слева белый шум, справа окрашенный)

Рисунок 7 – Белый и окрашенный шум

Смоделируем объект управления с возмущающим воздействием (Рисунок 8):

Рисунок 8 – Объект с возмущающим воздействием

 

Переходная характеристика объекта  с возмущающим воздействием показана на рисунке 9.

1. Рисунок 9 – Переходная характеристика непрерывного объекта с возмущением

3 Построение  дискретной модели объекта.

А)  Построение дискретной модели переходом от дифференциального уравнения к разностному

Передаточная  функция рассматриваемого объекта  управления имеет следующий вид:

W₀(p)=

= => (6.25p²+2.5p+1)·Y(p)=U(p);

Из данного выражения получим  дифференциальное уравнение, описывающее  объект управления:

6.25

+2.5 +y(t) = u(t);

Перейдем теперь от дифференциального уравнения к разностному, используя левую разность и учитывая размер такта Т₀ = 2  c:

Δ²y(k) = y(k) - 2y(k-1) + y(k-2),    Δy(k) =y(k) – y(k-1)

+ + y(k) = 20u(k);

+ +y(k)=20u(k)

1.5625y(k) – 3.125y(k-1) + 1.5625y(k-2) + 1.25y(k) – 1.25y(k-1)+y(k)=20u(k) 

y(k) - 4.375y(k-1) + 1.5625y(k-2) = 20u(k);

Чтобы получить передаточную функцию, применим к выражению для y(k) z-преобразование:

Z{20u(k)} = Z{y(k) - 4.375y(k-1) + 1.5625y(k-2)};

20u(z) = y(z) - 4.375y(z^-1) + 1.5625y(z^-2);

G₀(z)=

= ;

Для получения переходной функции реализуем объект в программе MatLab.

Составим структурную схему (см. Рисунок 10):

Рисунок 10 – Структурная схема объекта.

Переходный процесс объекта  показана на рисунке 11

.

Рисунок 11 – Переходный процесс объекта.

Б) Построение дискретной модели переходом к дискретной передаточной функции объекта

Перейдем от непрерывной  передаточной функции объекта управления W₀(p) к дискретной G₀(z), используя таблицы z-преобразования.

Приведём наше звено  к виду:

Для этого преобразуем наше звено  следующим образом:

Найдём коэффициенты и :

Исходя из того что  комплексное число можно сделать вывод, что таблица z-преобразования не дает адекватного преобразования для нашего звена.

Для того что бы перейти к дискретной передаточной функции объекта воспользуемся  методом Тастина.

G₀(z)=(1-z^-1)·Z

=(1-z^-1)·Z =(1-z^-1)·Z ;

Для перехода воспользуемся следующей  зависимостью:

p^-1=

=

Подставив данное выражение в исходную зависимость для дискретной передаточной функции G₀(z) и учитывая требуемое значение статического коэффициента, получим следующее:

G₀(z)= 

= =

=

=

=

=

=

;

Таким образом, в итоге получаем следующее выражение для дискретной передаточной функции G₀(z):

G₀(z) =

;

Для получения переходной функции реализуем объект в программе  MatLab.

Составим структурную схему (см. Рисунок 12):

Рисунок 12 – Структурная схема объекта.

Переходный процесс объекта  показана на рисунке 13

.

Рисунок 13 – Переходный процесс объекта.

В)  Построение дискретно-совпадающей модели по кривой разгона

Предположим, что рассматриваемый  объект второго порядка описывается дискретной передаточной функцией, имеющей следующий вид:

G₀(z)=

= =   =>

Y(z)·( 1 + a₁·z^-1 + a₂·z^-2) = U(z) ·( b₀ + b₁·z^-1);

Y(z)+Y(z)·a₁·z^-1 +Y(z)·a₂·z^-2 = U(z)·b₀ + U(z)·b₁·z^-1;

Применим к  данному выражению обратное z-преобразование:

y(k) + a₁·y(k-1)+ a₂·y(k-2) = b₀ ·u(k) + b₁·u(k-1);

y(k) = b₀ ·u(k) + b₁·u(k-1) - a₁·y(k-1) - a₂·y(k-2);

В данном выражении  y(k) – выходной сигнал, u(k) – входной сигнал (единичное ступенчатое воздействие), k – отсчеты времени. Из Рисунка 2 видно, что кривая разгона выходит из начала координат, т.е. y(0)=0. Следовательно:

y(0) = b₀ ·u(0) + b₁·u(-1) - a₁·y(-1) - a₂·y(-2)= b₀ ·1=0 => b₀ =0;

Исходя из полученного  условия (b₀ =0), выражение для y(k) можно записать следующим образом:

y(k) = b₁·u(k-1) - a₁·y(k-1) - a₂·y(k-2);

Согласно выбранному интервалу квантования Т₀ = 2 c возьмем несколько точек на графике, изображенном на Рисунке 2:

y(0) = y(0*Т₀) = 0;

y(1) = y(Т₀) = 4.741;

y(2) = y(2*Т₀) = 13.25;

y(3) = y(3*Т₀) = 19.89;

y(4) = y(4*Т₀) = 22.92;

y(5) = y(5*Т₀) = 23.06;

y(6) = y(6*Т₀) = 21.85;

y(7) = y(7*Т₀) = 20.53;

y(8) = y(8*Т₀) = 19.72;

y(9) = y(9*Т₀) =19.47;

y(10) = y(10*Т₀) = 19.58;

Найдем теперь неизвестные коэффициенты, подставив значения нескольких точек  в выражение для y(k):

y(3) = b₁·u(2) - a₁·y(2) - a₂·y(1) = b₁ - a₁·13.25 - a₂·4.741 = 19.89;

y(6) = b₁·u(5) - a₁·y(5) - a₂·y(4) = b₁ - a₁·23.06 - a₂·22.92 = 22.92;

y(10) = b₁·u(9) - a₁·y(9) - a₂·y(8) = b₁ - a₁·19.47 - a₂·19.72 = 19.72;

Решив систему  данных уравнений, получим следующие  значения неизвестных параметров:

a₁ = -1.0332;   a₂ = 0,4497;   b₁ = 8.3325;

Подставим полученные коэффициенты в  исходное выражение для y(k) и получим дискретно-совпадающую модель:

y(k) = 8.3325·u(k-1) + 1.0332·y(k-1) - 0,4497·y(k-2);

Подставив найденные выше коэффициенты еще и в выражение для дискретной передаточной функции, получим следующее  выражение:

G₀(z) =

;

 

Для получения переходной функции  реализуем объект в программе  MatLab.

Составим структурную схему (см. Рисунок 14):

Рисунок 14 – Структурная схема объекта.

Переходный процесс объекта  показана на рисунке 15

Рисунок 15 – Переходный процесс объекта.

Г) Построение МНК-модели по кривой разгона

В предыдущем пункте мы получили выражения  следующего вида:

y(k) = b₁·u(k-1) - a₁·y(k-1) - a₂·y(k-2);

Найдем теперь неизвестные коэффициенты в данном выражении методом наименьших квадратов. Представим данное выражение в матричном виде:

y = V·β;

В данном выражении y – вектор экспериментально снятых отсчетов, V – матрица входов-выходов, β – вектор неизвестных параметров модели:

y =

= ;  V = =  ;  β = ;

Согласно методу наименьших квадратов  вектор неизвестных параметров находится  из следующего соотношения:

β = (V^T·V) ^-1 · V^T ·y;

Для решения данного уравнения  воспользуемся пакетом «MATLAB», введя следующие команды:

>> y=[4.741; 13.25; 19.89; 22.92; 23.06; 21.85; 20.53; 19.72; 19.47; 19.58]

>> V=[1 0 0;1 4.741 0;1 13.25 4.741 ;1 19.89 13.25;1 22.92 19.89;1 23.06 22.92;1 21.85 23.06;1 20.53 21.85;1 19.72 20.53;1 19.47 19.72]

>> B=((V'*V)^(-1))*V'*y

В результате выполнения данной последовательности команд получим значения элементов  вектора β:

β =

;

Тогда неизвестные в выражении  для y(k) имеют следующие значения:

b₁=5.8719;   a₁ = 1.264;    a₂ = -0.5674;

Подставив данные значения в исходное уравнение, получим выражение для  МНК-модели:

y(k) = 5.8719·u(k-1) +1.264·y(k-1) -0.5674·y(k-2);

Подставив найденные выше коэффициенты еще и в выражение для дискретной передаточной функции, получим следующее выражение:

G₀(z) =

;

Для получения переходной функции  реализуем объект в программе  MatLab.

Составим структурную схему (см. Рисунок 16):

Рисунок 16 – Структурная схема объекта.

Переходный процесс объекта  показана на рисунке 17

Рисунок 17 – Переходный процесс объекта.

4  Имметационное  моделирование САУ с ПИД регулятором.

Для обеспечения оптимального управления непрерывной системой используется ПИД-регулятор. Согласно классическому критерию, с помощью настроек ПИД-регулятора мы должны обеспечить минимум квадрат ошибки регулирования. ПИД-регулятор формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально разности входного сигнала и сигнала обратной связи (сигнал рассогласования), второе — интеграл сигнала рассогласования, третье — производная сигнала рассогласования. Общий вид ПИД-регулятора представлен на рисунке 18.

Рисунок 18 –  Общий вид ПИД-регулятора.

Здесь:

Кп - Пропорциональная составляющая;

Ки - Интегральная составляющая;

Кд - Дифференциальная составляющая;

Выходной сигнал регулятора u определяется тремя слагаемыми:

,

Большинство методов настройки  ПИД-регуляторов используют несколько  иную формулу для выходного сигнала, в которой на пропорциональный коэффициент усиления умножены также интегральная и дифференциальная составляющие:

В нашем случае использование ПИД-регулятора выводит нашу систему из равновесия, поэтому для нашей задачи будем использовать ПИ-регулятор.

Реализуем ПИ-регулятор для нашей системы в программе simulink. Реализуем систему:

1) С регулятором по управляемому процессу.

2) С регулятором по возмущающему процессу

Система с регулятором по управляемому процессу.

Реализуем систему с регулятором по управляющему процессу с учётом минимальной интегральной квадратичной ошибкой  . Входное воздействие ровняется 1 (х=1) (рисунок 19). 

Рисунок 19 – Система с регулятором  по управляющему процессу.

Выходная  характеристика приведена на рисунке 20.

Рисунок 20 –  выходная характеристика системы.

Из графика видно, что система  имеет перерегулирование и коллебательность. Это объясняется тем, что квадратичная оценка не учитывает близость с системы к колебательной границе устойчивости.

 

2. Реализуем систему с регулятором  исходя из интегрального критерия. Входное воздействие равняется 1 (х=1) (рисунок 21). 

Рисунок 21 – Система с регулятором  исходя из интегрального критерия.

Выходная  характеристика приведена на рисунке 22.

Рисунок 22 –  выходная характеристика системы.

График системы практически  не имеет перерегулирование и  имеет меньшую коллебательность чем система с регулятором с учётом минимальной интегральной квадратичной ошибкой. При этом регулятор улучшает качество переходного процесса (перерегулирование системы уменьшается, время переходного процесса увеличивается).

Поэтому регулятор с такими параметрами  наиболее подходит для нашей системы  и в дальнейшем мы будем использовать его.

Параметры регулятора:

, ,

Система с регулятором по возмущающему процессу.

Реализуем систему  с регулятором по возмущающему процессу. Возмущающее воздействие равняется 1 (h=1). Схема объекта приведена на рисунке 23.

Рисунок 23 - Система с регулятором по возмущающему процессу

На рисунке 24 показано как ПИ-регулятор компенсирует ошибку в системе.

Рисунок 24 – Компенсация ошибки в системе.

Из рисунка 24 видно, что возмущающее воздействие, поданное на систему, со временем становится равным нулю

5  Имметационное моделирование САУ с цифровым ПИД регулятором.

В предыдущем пункте мы настроили ПИ-регулятор  для нашей системы. Теперь исследуем  дискретную систему; для этого регулятор должен быть представлен в дискретной форме.

Уравнение ПИД-регулятора имеет вид:

Для малых тактов квантования, заменяя производную разностью, а интеграл суммой, получим нерекуррентного цифровой алгоритм.

Найдём u(k-1):

Вычтем из ; получаем:

Проведём z-преобразование получившегося уравня и определим передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора.

 

Где , , соответственно равны:

;

;

Вычислим эти коэффициенты, используя значения полученные в предыдущем пункте. Получаем:

В результате передаточная функция  ПИД-регулятора примет вид:

Реализуем нашу систему  с цифровым регулятором в программе Simulink (Рисунок 25 верхний), Также построим схему с цифровым регулятором, настроенного по критерию минимальной суммы квадратов ошибок. Т.е. (Рисунок 25 нижний)

Рисунок 25 - Система с цифровым регулятором.

Выведем результаты на один график и сравним (Рисунок 26).

Рисунок 26 – Характеристика систем

На рисунке 26 показана характеристика системы с цифровым регулятором рассчитанного нами (пунктирная линия) и системы с регулятором, настроенного по критерию минимальной суммы квадратов (черная линия).

Из рисунка видно что система  с  регулятором, настроенного по критерию минимальной суммы квадратов имеет большую коллебательность. Квадратичная оценка не учитывает близость с системы к колебательной границе устойчивости. При этом регулятор улучшает качество переходного процесса (перерегулирование системы уменьшается, время переходного процесса увеличивается).

Реализуем систему  с регулятором по возмущающему процессу. Возмущающее воздействие зададим равное 1 Схема объекта приведена на рисунке 27.

Рисунок 27 - Система с регулятором по возмущающему процессу

На рисунке 28 показано как ПИ-регулятор компенсирует ошибку в системе.

Рисунок 28 – Компенсация ошибки в системе.

Из рисунка 28 видно, что возмущающее воздействие, поданное на систему, со временем становится равным нулю.

Из рисунка 24 и 28 видно что наш регулятор  настроен для работы как в непрерывной, так и в дискретной форме.

6  Моделирование системы с заданным возмущением.

Реализуем нашу дискретную систему с заданным возмущением (рисунок 29) и дискретную систему с заданным возмущением и настроенным регулятором (Рисунок 31).

Рисунок 29 – Схема системы без регулятора

Выходная  характеристика этой системы представлена на рисунке 30

Рисунок 30 - характеристика системы без регулятора

Из рисунка 30 видно, что система плохо отрабатывает заданную ошибку. Теперь реализуем систему с регулятором (рисунок 31).

Рисунок 31 –  система с регулятором

Выходная  характеристика этой системы представлена на рисунке 32.

Рисунок 32 - характеристика системы с регулятором

Как видно  из рисунка 32 что при введении ПИ-регулятора система стала лучше обрабатывать ошибку.

7  Свободным движение системы.

Свободным движение системы называется движение при котором системе заданы начальные условия и при этом на систему не оказывают никакого внешнего воздействия. Смоделируем такую систему в simulink при этом для систем будут заданы разные начальные условия. На рисунке 33 показана общая схема системы.

Рисунок 33 – Схема  системы

На рисунке 34 показан процесс системы с начальными условиями равными 10

 Рисунок 34 – процесс системы с начальными условиями равными 10

На рисунке 35 показан процесс  системы с начальными условиями  равными 1

Рисунок 35 – процесс  системы с начальными условиями  равными 1

На рисунке 36 показан процесс  системы с начальными условиями  равными -1.

Рисунок 36 – процесс  системы с начальными условиями равными -1

На рисунке 37 показан процесс  системы с начальными условиями  равными -10

.

Рисунок 37 – процесс  системы с начальными условиями  равными -10

8. Рекомендации по выбору регулятора

Согласно результатам проведенных  исследований для системы лучше использовать цифровой ПИД-регулятор, который мы получили из непрерывного регулятора. Так как он обеспечивает лучшие характеристики по сравнению с цифровым регулятором с минимальной обобщенной дисперсией, использование которого показывает худший результат.

 

 

 

 

 

 

9. Список литературы и использованного ПО

1. Б.К. Чостковский «Лекции по  предмету цифровые системы управления»

2. Б.К. Чостковский «Моделирование и алгоритмизация процессов управления в стохастических системах с цифровыми регуляторами»

3. Программа Matlab 2009b.

4. Пакет программы Matlab- Simulink.