Цилиндрические и конические винтовые линии
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Поморский государственный университет им. М.В. Ломоносова»
КОРЯЖЕМСКИЙ ФИЛИАЛ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
кафедра математики и информатики
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ
курсовая работа
Выполнил: Карманова Надежда Юрьевна, студентка 2 курса математического факультета, специальность «Математика» | |
Научный руководитель: Харитонова Ирина Владимировна, к.п.н., доцент кафедры математики и информатики |
Коряжма
2009
Содержание
Введение…………………………………………………………
§ 1. Цилиндрические винтовые линии
1.1. Примеры цилиндрических винтовых линий……….………………..6
1.2. Построение и особенности цилиндрических винтовых линий …....7
1.3. Фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии ……….12
1.4. Применение цилиндрических винтовых линий…………...……….14
§ 2. Конические винтовые линии
2.1. Построение конических винтовых линий ………………………….16
2.2. Спираль Архимеда как проекция конической винтовой
линии…………………………………………………………………
§ 3. Исследование свойств цилиндрической
и конической винтовых линий…………………………………………………………………
Заключение……………………………………………………
Список литературы……………………..………
Введение
Среди множества пространственных кривых наибольший интерес представляют цилиндрическая и коническая винтовые линии.
Винтовые линии занимают особое положение в евклидовой геометрии. Используя винтовые линии, можно создать наглядные модели многих широко применимых изделий в жизни. Они так же позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью этих линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата. Винтовые линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.
Спиральные образования, которыми изобилуют живые организмы, от простейшего вируса до частей человеческого тела, с помощью генетического кода почти всегда получают точную информацию о том, в какую сторону им закручиваться, более того, носителем генетического кода служат гигантские молекулы нуклеиновой кислоты, всегда (по мнению большинства биохимиков) закрученные по правовинтовой спирали. Но и это еще не все. С тех пор как появились первые работы Л. Поллинга, посвященные спиральному строению молекул протеина, все большее число фактов говорит о том, что существующие в природе гигантские протеиновые молекулы имеют «остов», закрученный по правовинтовой спирали. У молекул нуклеиновой кислоты и протеина такой остов представляет собой цепочку, состоящую из асимметричных элементов – отрезков спиралей, закрученных в одну и ту же сторону. После прохождения каждого такого элемента вся цепь совершает очередной полный оборот вокруг оси. Нечто подобное испытывают, поднимаясь по ступеням винтовой лестницы.
У животных, обладающих двусторонней
(или еще говорят
Каждая из двух спиралей, образующих пару, переходит в другую при зеркальном отражении. Эффектными примерами этого могут быть рога баранов (рис. 1, а), козлов, антилоп и других млекопитающих. У человека ушная улитка имеет форму конической спирали: в правом ухе – правовинтовую, в левом – левовинтовую. Любопытным исключением является зуб нарвала – небольшого кита, который обитаёт в водах северных морей. Это необычное животное появляется на свет с двумя верхними зубами. У самки оба зуба скрыты в челюсти. У самца правый зуб также скрыт в челюсти, зато левый зуб начинает расти вперёд, и торчит изо рта, словно копье. Размер его достигает почти трёх метров, т. е. превышает половину длины животного от кончика носа до кончика хвоста! Весь зуб обвит спиральными бороздками, закручивающимися против часовой стрелки от основания зуба к его концу (рис. 1, б). Казалось бы, в тех редких случаях, когда оба зуба превращаются в бивни, желобки на правом зубе должны были бы закручиваться по часовой стрелке. В действительности же спираль на правом зубе тоже оказывается левовинтовой.
Рис. 1
Самыми удивительными примерами являются раковины улиток и других моллюсков, свёрнутые в коническую спираль. Далеко не всегда можно говорить о том, в какую сторону закручена раковина. Например, плоскую раковину наутилуса можно, подобно спиральной туманности, рассечь пополам на две одинаковые части: правую и левую. Однако существуют тысячи красивейших раковин, образующих либо правую (рис. 1, в), либо левую спираль. У одних моллюсков раковины закручены только вправо, у других – только влево. Некоторые виды моллюсков в одной местности всегда закручивают свою раковину вправо, а в другой – только влево. Изредка попадающиеся «уродцы», закрученные в «обратную» сторону, очень высоко ценятся коллекционерами. В мире растений спирали встречаются на каждом шагу: в строении соцветий шишек, листьев и ветвей вокруг ствола дерева.
По спирали перемещаются не только неодушевленные предметы, но и представители живой природы: любая точка (кроме осевой) вращающегося винта самолета или парохода; белка, взбегающая вверх или спускающаяся вниз по дереву; стаи летучих мышей, вылетающих из подземных пещер. В качестве примеров конической спирали можно привести водовороты, воронки ураганов, траекторию точек воды, стекающей по желобу, и тысячи других явлений природы.
Поэтому целью работы является исследование цилиндрических и конических винтовых линий.
Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи:
- проанализировать литературу;
- изучить свойства цилиндрических винтовых линий;
- изучить свойства конических винтовых линий;
- рассмотреть практическое применение цилиндрических и конических
винтовых линий.
Поставленная цель и задачи определили структуру работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
§1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ
Примеры цилиндрических винтовых линий
Одним из очень важных примеров применения геометрических понятий в технике и на практике является применение цилиндрической винтовой линии.
В технических приспособлениях, от самых распространенных до наиболее специальных, не обойтись без винтов, болтов, гаек, шурупов и т.д. Край резьбы у них – цилиндрическая винтовая линия (рис. 2).
Рис. 2
Цилиндрическая винтовая линия имеет одно удивительное геометрическое свойство – она может скользить вдоль самой себя.
Как следует понимать слова «скользить вдоль самой себя»?
Рассмотрим такие примеры. Прямой меч плотно, без зазора входит в прямые ножны, то же относится и к мечу, изогнутому в форме дуги окружности: его всегда можно вложить в ножны той же кривизны. Именно это свойство имеют в виду математики, называя иногда прямые и окружности самосовмещающимися кривыми. При перемещении вдоль самосовмещающейся кривой любой ее дуги последняя никогда «не сходит с рельсов», т.е. в любой момент времени совпадают с соответствующим участком кривой.
Можно ли придумать меч и ножны какой-нибудь другой формы, отличной от отрезка прямой или дуги окружности? Даже после долгих размышлений многие ответят, что никакой другой формы кривой придумать нельзя, но они заблуждаются. Существует третья самосовпадающая кривая – цилиндрическая винтовая линия, или цилиндрическая спираль. Это кривая, которая, закручиваясь вдоль поверхности цилиндра, пересекает все его образующие под одним и тем же углом. Посмотрите на рис. 3 – буквой α обозначен постоянный угол, который образует спираль с каждой образующей, поскольку кривизна во всех точках спирали одинакова; спиральный меч можно без труда ввернуть в спиральные ножны и столь же легко вывернуть его обратно. Все это показывает актуальность изучения вышеприведённых понятий.
Рис. 3
1.2. Построение и особенности цилиндрических винтовых линий
Полученное представление о построении винтовой линии может показаться не достаточно понятным, так как при этом используется понятие угла образующей и кривой, кривизны, про которые мы ничего не знаем. Можно иначе показать возможность построения винтовой линии.
Возьмем цилиндр и точку М на его поверхности (рис. 4).
Рис. 4
Пусть точка М двигается равномерно по окружности основания и одновременно также равномерно опускается вниз (рис. 5, а) или поднимается вверх (рис. 5, б) по образующей. На рис. 5 точка М, переместившись на окружности основания, передвигается по образующей на 3 мм. В результате сложения этих двух равномерных движений точка М опишет некоторую
кривую линию. Эта линия и есть цилиндрическая винтовая линия.
Рис. 5
Вторая приведенная трактовка построения цилиндрической винтовой линии опять достаточно трудна и абстрактна, так как при этом используем понятие «сложения движения». Вот почему рассмотрим еще один практический
способ получения винтовой линии. Возьмем прямоугольный бумажный треугольник и «навернем» его на карандаш (рис. 6, а). Гипотенуза этого треугольника образует цилиндрическую винтовую линию (рис. 6, б). Получим правую винтовую линию, «навернув» на карандаш треугольник обращённой к нам поверхностью (рис. 6, в). Если же к карандашу будет прикасаться противоположная поверхность треугольника, то получим левую винтовую линию (рис. 6, г).
Рис. 6
Итак, видим, что есть правая и левая цилиндрические винтовые линии. Уточним эти понятия. Посмотрим на цилиндр со стороны основания в то время, когда точка, двигаясь по винтовой линии, будет удаляться от нас (рис. 7, а, б). Это движение может нам представляться происходящим по часовой стрелке или против неё. В первом случае имеем правую винтовую линию (рис. 7, а), а во втором случае – левую (рис. 7, б). В первом случае видимая часть линии поднимается слева направо, а во втором – справа налево. Большинство винтов, болтов, гаек имеют на своей поверхности правые винтовые линий. Если будем завинчивать такой винт, то это вращение будет происходить по часовой стрелке.
Рис. 7
Пусть точка М двигается по винтовой линии (рис. 5). Сделав полный оборот вокруг цилиндра, она поднимется вверх (или опустится вниз) на некоторое вполне определенное расстояние. Подъем точки за один оборот называется шагом винтовой линии. Часть винтовой линии, описываемая точкой за один оборот, называется ее витком.
У цилиндрической винтовой линии есть еще одно важное свойство: она определяет кратчайший путь между точками A и B на поверхности цилиндра.
Чтобы определить кратчайший путь между двумя точками A и B на поверхности цилиндра, развернем его боковую поверхность и соединим точки A и B отрезком прямой линии. Этот отрезок будет представлять некоторую часть винтовой линии и явится кратчайшим путем от точки A к точке B по поверхности цилиндра.
Исключение составляют точки, расположенные на одной образующей цилиндра или на окружности, параллельной окружности основания.
Если развернуть на плоскости боковую поверхность цилиндра с нанесенной на ней винтовой линией, то винтовая линия изобразится в виде прямой линии (диагональ прямоугольника на рис. 8, б). Это следует из тех соображений, что величина подъёма точки пропорциональна её перемещению вдоль окружности.
Угол α называется углом подъема винтовой линии. Его тангенс выражается формулой:
, где h — шаг винтовой линии, а D – диаметр цилиндра.
Рис. 8
Из формулы видно, что при данном диаметре цилиндра числовое значение угла зависит от шага винтовой линии. Чем меньше шаг, тем меньше угол подъема винтовой линии. Если же винтовая линия на нескольких цилиндрах имеет один и тот же шаг, то угол подъема будет тем меньше, чем больше диаметр цилиндра.
Длина одного витка винтовой линии .
Рассмотрим проекции цилиндрической винтовой линии на различные плоскости. Горизонтальная проекция винтовой линии совпадает с окружностью, в которую проектируется боковая поверхность цилиндра
(рис. 7, д, е).
Построим фронтальную проекцию винтовой линии (вид спереди). Пусть движение точки начинается на верхнем основании цилиндра в точке 1. Разделим шаг винтовой линии, а также окружность основания на одинаковое число равных частей, в данном случае на 12 (рис. 7, в, г). За полный оборот точка опустится на величину шага. Поэтому за одну двенадцатую часть оборота она опустится на шага (точка 2).
Проведем через точки деления шага горизонтальные, а через точки деления окружности вертикальные прямые. Точки фронтальной проекции винтовой линии получатся в пересечении горизонтальных и вертикальных прямых, проходящих через деления шага и окружности с одинаковыми номерами.
1.3. Фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии
Фронтальная проекция винтовой линии представляет собой синусоиду.
Докажем этот факт. Начнем с практического опыта. (Воспользуемся примером из книги И. М. Смирновой «Геометрия 10-11»)
Если обернуть свечу несколько раз листом бумаги, перерезать свечу наклонно острым ножом, затем разнять обе половинки свечи и, наконец, развернуть бумагу, то разрез края бумаги будет образовывать синусоиду. Выясним, почему это происходит. Для этого переведем задачу на язык математики.
1. Пусть дан прямоугольник
с нарисованными на нем осями
координат, параллельными
2. Свернем этот прямоугольник в прямой круговой цилиндр, радиус которого равен единице. При этом ось свернется в окружность, а ось станет образующей цилиндра (построение).
3. Через диаметр полученной окружности проведем сечение плоскостью, составляющей угол 45°. Знаем, что такое сечение является эллипсом. Его можно получить, нарисовав эллипс на поверхности цилиндра (см. рис. 9, б) (построение) (свойства эллипса).
4. Возьмем какую-либо точку A на эллипсе и опустим из нее перпендикуляры
на плоскость окружности и выбранный диаметр. Соответствующие точки
пересечения обозначим B и C (рис. 9, б).
5. Треугольник ABC – прямоугольный и равнобедренный, так как B = 90°, C = 45°.
6. AB = BC (5).
7. Заметим, что длина отрезка ВС равна , где – величина дуги OB окружности (убедитесь в этом, обратившись к рис. 9, в и вспомнив определение синуса).
8. Развернем цилиндр обратно
в прямоугольник. При этом
Рис. 9
Очень наглядно иллюстрирует сказанное следующий пример.
Если на пути параллельных световых лучей, падающих на стену под прямым углом, поместить цилиндрическую спираль, ось которой также перпендикулярна стене, то возникшая на стене тень будет перпендикулярна лучам, а на стене появится синусоида.
1.4. Применение цилиндрических винтовых линий
Теперь поговорим о различных применениях цилиндрических винтовых линий. Вокруг нас есть множество примеров использования винтовой цилиндрической линии и её свойств. В архитектуре с помощью винтовой линии «сворачивают расстояния» винтовая лестница занимает в строении меньше места.
Наглядное представление о винтовой линии может дать пружина (рис. 2, в). Винтовые линии очень распространены в технике. Винт, болт, гайка, сверло и многие другие предметы (рис. 2) содержат на своей поверхности винтовые линии. Резец токарного станка при обработке цилиндрической детали, снимая стружку, описывает на ее поверхности винтовую линию. Винтовая линия с той или иной степенью точности встречается в природе. Стебли вьющихся растений «шаг за шагом», «виток за витком» взбираются по стволу дерева по винтовой линии. По ней же смерч скручивает стволы деревьев.
Часто винтовую цилиндрическую линию называют цилиндрической винтовой спиралью.
Число витков спирали, которое необходимо сделать, чтобы перейти от нижнего листа к ближайшему верхнему, равно одному из чисел широко известного ряда Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13... (каждый член этого ряда равен сумме двух предыдущих). Это явление в ботанике носит название «филлотаксиса» (филлотаксис – расположение листьев); его неожиданной связи с числами Фибоначчи посвящено много книг и статей. Стебли вьющихся растений обычно закручиваются парами, причем стебли растений партнёров закручиваются в противоположных направлениях. Жимолость, например, всегда закручивается по левой спирали, а вьюнок – по правой.
Каждая спираль, цилиндрическая или же любой другой формы – это асимметричная пространственная кривая, отличная от своего зеркального отражения.
За исключением винтов, болтов, гаек, которые по стандарту полагается делать правовинтовыми (левовинтовыми их делают лишь для некоторых специальных целей), все остальные спирали, изготовленные человеком, обычно бывают и право-, и левовинтовыми – длинные витые конфеты, винтовые лестницы, канаты и кабели, свитые из крученых шнуров и проводов и т.д.
Задача. На боковой поверхности вращающегося цилиндра нарисованы три спирали красная, белая и синяя. Высота цилиндра равна 120 см. Красная линия пересекает все образующие цилиндра (прямые на поверхности цилиндра, параллельные оси) под постоянным углом 60°. Требуется найти длину красной линии.
На первый взгляд, кажется, что для определения длины в приведённом условии не хватает данных. На самом же деле при правильном подходе задача решается очень просто.
Наряду с цилиндрической винтовой линией рассматриваются так называемые винтовые цилиндрические поверхности. Их описывают дуги плоских кривых, которые, равномерно вращаясь вокруг оси, одновременно равномерно перемещаются вдоль неё же. Лопасть винта корабля, грубо говоря, является куском винтовой цилиндрической поверхности.
Винтовая цилиндрическая поверхность, образованная отрезком прямой, перпендикулярным оси вращения, называется прямым геликоидом («геликоид» в переводе с греческого означает «спиралеподобный»). На рис. 10 изображена модель прямого геликоида. Другая его модель – мыльная пленка, натянутая на проволочную винтовую линию.
Рис. 10
§2. КОНИЧЕСКИЕ ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ
Построение конических винтовых линий
Выше мы достаточно подробно рассматривали цилиндрическую винтовую линию. Не меньшее значение в геометрии и, особенно в окружающем нас мире имеют конические винтовые линии.
Многое о том, что говорили про цилиндрическую винтовую линию, переносится и на коническую.
Очень похоже и само построение конической винтовой линии. Точка опишет коническую винтовую линию, если она двигается равномерно по образующей конуса, а эта образующая вращается равномерно около оси конуса с постоянной угловой скоростью (рис. 11, а, б, в).
Рис. 11
При построении конической винтовой линия на рис. 11, а провели 12 образующих конуса и разделили шаг винтовой линии тоже на 12 равных частей. В рассматриваемом случае точка за два оборота поднимается от основания конуса до его вершины.
Рис. 12
Коническую винтовую линию можно наблюдать на винтах (рис. 12) и в архитектуре.
Конические спирали (т.е. спирали, навитые на поверхность конуса), например пружины в матрасах, могут быть право- и левовинтовыми.
2.2. Спираль Архимеда как проекция конической винтовой линии
Рассмотрим некоторые важные проекции винтовой линии. Горизонтальная проекция конической винтовой линии представляет собой спираль Архимеда (рис. 11, в).
На примере спирали Архимеда попробуем более подробно поговорить о кривых вообще.
Как можно задать аналитически (в виде формулы) спираль Архимеда? Применение декартовых координат здесь не помогает, выручают так называемые полярные координаты.
Поясним, что представляет собой полярная система координат. Рассмотрим полярные координаты на плоскости. Пусть на плоскости задана координатная прямая с выделенной точкой O и единичным отрезком ОЕ. Эта прямая в данном случае будет называться полярной осью (рис. 14, а). Полярными координатами точки A на плоскости с заданной полярной осью называется пара ( ), где r – расстояние от точки A до точки O, φ – угол между полярной осью и вектором OA, считаемым в направлении против часовой стрелки (см. рис. 14).
Угол φ при этом можно задавать в градусах или радианах.
Если на плоскости задана декартова система координат, то обычно за полярную ось принимается ось . В этом случае каждой точке плоскости можно сопоставить полярные координаты ( ) (рис. 14, б). При этом, декартовы координаты выражаются через полярные по формулам: , ; и, наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы координаты по формулам:
, , .
Рис. 14
Полярные координаты оказываются удобными для задания кривых на плоскости, особенно для задания различных спиралей. Рассмотрим некоторые из таких кривых.
Окружность радиусом R и центром O задаётся уравнением r = R (рис. 15).
На рис. 16 видим изображение спирали Архимеда.
Рис. 15 Рис. 16
Опираясь на это изображение, можно сформулировать основное геометрическое свойство, которое определяет эту спираль.
Геометрическим свойством,
характеризующим спираль
Спираль Архимеда в полярной системе координат задается уравнением , где a – некоторое фиксированное число, – угол, измеряемый в радианах (рис. 16).
Предположим, что a > 0, и построим график этой кривой. Если , . Это означает, что углу = 0 соответствует точка O на кривой. Поскольку радиус r должен быть неотрицательным числом, то отрицательным углам никаких точек на кривой не соответствует. Посмотрим, как изменяется радиус при изменении φ от 0 до + ∞. В этом случае радиус r будет возрастать и изменяться от 0 до + ∞. Например, при = радиус r будет равен aπ; при = π он будет равен a, т.е. в два раза больше; при φ = он будет в три раза больше и т.д. Соединим плавной линией найденные точки, получим кривую, которая называется спиралью Архимеда.
По спирали Архимеда идёт, например, звуковая дорожка на грампластинке; туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Архимеда. Металлическая пластинка профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ВИНТОВЫХ ЛИНИЙ
Задача 1.
Дана винтовая линия:
Написать ее уравнение
в естественной параметризации и
вычислить длину дуги
Решение:
Рассмотрим числовой промежуток . Длина дуги для значений , пробегающих промежуток , вычисляется по формуле:
Тогда имеем: .
Следовательно, естественная параметризация винтовой линии имеет вид:
Теперь вычислим длину дуги данной винтовой линии:
Задача 2.
Написать уравнение касательной к винтовой линии в точке .
Решение:
Имеем:
Задача 3.
Доказать, что все касательные винтовой линии образуют один и тот же угол с образующими цилиндра, на которых расположена эта винтовая линия.
Доказательство:
Направляющий вектор в произвольной точке этой винтовой линии, вычисляется по формуле:
Известно, что направляющие векторы образующих цилиндра , содержащего винтовую линию, коллинеарны вектору .
Пусть - угол между векторами и .
Тогда имеем:
Отсюда следует, что .
Задача 4.
Вычислить кривизну винтовой линии:
Решение:
Имеем:
где .
Задача 5.
Вычислить кручение винтовой линии.
Решение:
Используя вычисления, проведенные в предыдущих пунктах, получим:
где , , .
Вычислим кручение, ϰ применяя формулу:
ϰ =
Задача 6.
Вычислить кривизну и кручение винтовой линии γ заданной в произвольной параметризации :
Решение:
Имеем:
Теперь вычислим и ϰ:
ϰ =
Задача 7.
Винтовой
цилиндрической линией