Управление механическими системами

Введение

 

 

  Системы механической природы занимают существенное место среди других динамических объектов. Такие системы включают практически важные объекты управления: роботы-манипуляторы и другие подобные системы типа крана, центрифуги и т.д., летательные и плавательные аппараты, транспортные средства различного назначения. Изучается проблема синтеза законов управления механическими системами, которая является одной из центральных задач теории и практики управления.

  Основы решения этой задачи заложены в работах Н.Г. Четаева, В.В. Румянцева, Д.Е. Охоцимского, Ф.Л. Черноусько, В.М. Матросова, Е.П. Попова, А.М. Формальского, А.А. Первозванского.

  Задача синтеза управления решается при неполной информации о динамике механической системы, когда ее параметры (характеристики, свойства, коэффициенты) предполагаются не полностью известными, доступными.

 

  В главе I дана постановка задачи настоящей работы. Представлено описание динамики механической системы как объекта управления, введены основные предположения о свойствах механической системы. Формализовано понятие универсального закона управления. Сформулирована задача построения таких законов управления, указаны ее особенности и трудности решения .

В главе I I главе дано общее решение поставленной задачи синтеза управления механическими системами. Описывается класс функций Ляпунова, которые будут использоваться для исследования устойчивости движения системы. Приводится общая схема построения универсального закона управления. Описывается метод обоснования устойчивости замкнутой механической системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

 

В главе дана постановка задачи настоящей работы. Представлено описание динамики механической системы  как объекта управления, введены  основные предположения о свойствах  механической системы. Формализовано  понятие универсального закона управления. Сформулирована задача построения таких законов управления, указаны ее особенности и трудности решения .

§ 1. Механическая система как объект управления

 

  1. Уравнения динамики объекта. Объектом исследования в работе являются динамические системы, движение которых может быть описано в форме уравнений Лагранжа второго рода

                                                       ( 1.1)

Уравнения (1.1) описывают движения таких объектов, которые имеют механическую природу, а также движения электрических систем с сосредоточенными параметрами и движения электромеханических систем. Введенные уравнения описывают движения многозвенного манипулятора, который будет одним их основных объектов исследования в работе.

В системе (1.1) и далее используются общепринятые, стандартные обозначения: обобщенные координаты и скорости механической системы. соответствующие обобщенные силы. Часть обобщенных сил Mi рассматривается как управляющие силы.

Через Т в уравнении (1.1) обозначена кинетическая энергия системы. Для склерономных механических систем Т = T(q,) и

                            (1.2)

 

а система (1.1) в развернутом виде принимает форму

                            (1.3)

 

Будем рассматривать общий случай Т = T(q,q,t), когда

 

 

                                                                    (1.4)

Тогда система (1.1) будет  записываться в общей форме

 

 

                                                                            (1.5)

 

Где A – матрица       - матрица-строка. Для квадратичной формы

 

                                                                           (1.6)

Из выражения (1.4) будут  предполагаться выполненными неравенства 

 

                                                         (1.7)

 

 

   При любых значениях и .

В качестве входа в механическую систему рассматриваются управляющие силы (управления) .

Выходом являются обобщенные координаты и скорости (рис. 1.1).

Рис 1.1 Вход-выход объекта управления механической природы.

Функции и в соотношениях выше определяются динамическими параметрами р механической системы и внешней среды (массы и размеры элементов механической системы, коэффициенты трения и т.д. — см. ниже). Иначе говоря,

                                           (1.8)

Одним из основных в работе является предположение о том, что  параметры р не являются известными. Поэтому описания самих функций ,… и считаются неизвестными. Известно только, что они изменяются в некоторых конечных интервалах

 

                                                        (1.9)

 

.

Предполагается, что неравенства (1.9) выполнены для всех функций  и и их производных при всех и , D > 0 — некоторая единая константа. Условия типа (1.9) являются основными формальными предположениями в работе. Они вводятся для упрощения доказательств утверждений ниже. В частности, будет предполагаться, что заданное движение q*(t) является гладким — имеет ограниченные производные. Состояние ( ) системы (1.1) предполагается доступным.

 

    1. Класс допустимых управлений. Допустимым классом управлений в работе рассматривается класс ограниченных управлений. Иначе говоря, предполагается, что значения величин в уравнениях

(1.1)  должны удовлетворять неравенствам

 

        ,                                                    (1.10)

 

 

Неравенства (1.10) описывают естественные ограничения на величину выходного сигнала управляющих устройств механической системы. Эти ограничения задают известные константы Hi > 0.

    1. Особенности динамики объекта управления. Введенные выше предположения относительно свойств исследуемого объекта управления поясним на примере манипуляционного робота (рис. 1.2), который является типичным объектом управления механической природы.


                       Рис. 1.2. Многозвенный манипулятор



 

В этом случае обобщенные координаты в уравнениях (1.1) могут иметь смысл межзвенных углов манипулятора (см. рис. 1.2). Величины Mi являются управляющими обобщенными силами, которые приложены к звеньям манипулятора. Силы Mi соответствуют моментам на выходном валу управляющих приводов манипулятора. Неравенства (1.10) отражают ограниченность динамических возможностей приводов — выходные переменные Mi, приводов могут принимать значения только из интервала [—Hi,+Hi], Константы Hi отвечают максимальному размаху выходных моментов на валу электроприводов манипулятора (см. рис. 1.2).

Величины Qi в уравнениях (1.1) описывают силы веса звеньев манипулятора, силы трения и другие возможные силы сопротивления. Функции , описывают инерционные свойства механической системы. Заметим, что функции ,… и полностью определяют уравнения Лагранжа (1.1).

Поэтому, если указанная информация задана, то динамика механической системы  также задана (рис. 1.3)

Рис 1.3 Информация
полностью задает динамику

механической  системы.

Функции и в (1.8) строятся известными методами с учетом информации о динамических параметрах р объекта управления. Именно, величины определяются массами, размерами и моментами инерции звеньев манипулятора. Величины зависят от коэффициентов трения в шарнирах, коэффициентов сопротивления внешней среды (например, для подводных роботов-манипуляторов) и т. д.

Заметим, что получение информации об инерционных характеристиках механической системы и внешних силах, как правило, представляет собой существенную проблему. Например, значения указанных выше параметров не всегда могут быть получены в результате прямых оперативных измерений. Действительно, некоторые динамические параметры (массы и моменты инерции, размеры звеньев механической системы) могут быть измерены заранее. Однако, другие динамические параметры, например, коэффициенты трения, объем присоединенных масс и т. д. могут существенно изменяться в процессе движения механической системы и заранее не могут быть измерены в общем случае. Более того, некоторые динамические параметры могут быть практически недоступны для прямых оперативных измерений, например, коэффициент сцепления с дорогой. Они могут быть построены, например, в результате процесса наблюдений, оценок, т. е. с большими вычислительными и временными затратами.


Динамические  параметры некоторых механических систем могут быть измерены заранее. В этом случае обобщенные силы и коэффициенты строятся как функции и переменных состояния. В связи с этим заметим, что координаты и скорости механической системы обычно бывают доступны прямым оперативным измерениям. Однако на этом пути возникают следующие проблемы. Как правило, точность описания функций оказывается достаточно низкой. Более того само описание оказывается достаточно громоздким. Это связано с тем, что функ17


ции и зависят от многих аргументов. В частности, функции зависят от п координат ,  и времени t, а функции — от 2п переменных , Поэтому оперативное получение значений указанных функций может потребовать значительных вычислительных затрат и времени.

В некоторых частных случаях  указанные затруднения удается  преодолеть и упростить описание указанных функций. Это возможно, например, если вместо произвольных целевых движений q*(t) механической системы исследовать только некоторые ее положения q*(t)=const. Или, если механическую систему рассматривать как линейный объект управления, или, например, предполагать, что некоторые обобщенные силы малы и т. д. (соответствующие области значений переменных иногда удается обнаружить).

Иначе говоря, получение информации о динамических параметрах объекта  управления в общем случае требует  значительной доли изобретательности, по существу искусства. Поэтому регуляторы, использующие такую информацию, могут оказаться не эффективными, не универсальными. Именно в связи с этими обстоятельствами в работе введено более естественное предположение (1.9).

Соотношение (1.9) означает, что для  функций  и известны только грубые оценки, например, интервалы, в которых изменяются эти величины и их производные. Физически соотношение (1.9) выражает тот факт, что внешние силы, действующие на механическую систему, являются ограниченными вместе с производными. Аналогичным свойством обладают коэффициенты матрицы кинетической энергии механической системы. Подобные предположения могут вводиться и для других величин ниже. Предположение типа соотношений (1.9) о достаточной гладкости исследуемых механических систем будет далее рассматриваться в качестве основного формального предположения.

В связи с изложенным выше, в настоящей работе механическая система рассматривается как объект управления, динамика которого известна не полностью. Иначе говоря, следуя Н. Винеру, объект управления рассматривается по существу как «черный ящик» механической природы (Пятницкий, 1989, рис. 1.4).

Неравенства (1.7) выражают известное  свойство кинетической энергии Т механической системы. Именно, ее компонента Т2 в (1.6)

Рис. 1.4. В задаче управления механическая система рассматривается как  «черный ящик» механической природы

 

 

является положительно определенной по обобщенным скоростям  системы. Это важное свойство будет использовано ниже при построении функции Ляпунова, которая будет лежать в основе анализа устойчивости движений механической системы.

                                     § 2. Цель управления механической системой

 

Цель  управления механической системой (1.1) будет рассматриваться в виде 

 

                                                                                   (2.1)

 

где q*(t) заранее заданные программы (функции времени). Это значит, что управления должны обеспечить изменение каждой обобщенной координаты механической системы в соответствии с заданной программой . Или, иначе говоря, необходимо, чтобы движение (2.1) являлось устойчивым по Ляпунову в соответствующей замкнутой механической системе (как по обобщенным координатам, так и по обобщенным скоростям).

В качестве допустимых целей  управления рассматриваются реализуемые движения механической системы, т. е. такие движения, которые отвечают ее динамическим возможностям. Это значит, что функция в (2.1) должна удовлетворять уравнениям (1.1), т. е. должны быть выполнены тождества

                                       (2.2)

Функции в (2.2) рассматриваются как некоторые программные управления, которые отвечают заданному движению . Эти управления должны принадлежать классу допустимых управлений. Таким классом в работе рассматривается класс ограниченных управлений (1.10). Поэтому функции должны удовлетворять неравенствам

,   ,                              (2.3)

Если функции  , удовлетворяющие условиям (2.2), (2.3), существуют, то (гладкое) движение будем называть реализуемым. Очевидно, что только такие функции могут быть использованы в качестве описания допустимой цели управления в соотношениях (2.1).


19


Введем  множество Ф всех реализуемых  движений

            (2.4)

Физический смысл введенного множества  состоит в том, что оно содержит все возможные движения объекта  управления, поскольку содержит все  возможные функции , которые удовлетворяют системе (1.1) и условиям допустимости управлений (1.10).

Введенное предположение  о реализуемости поставленной цели управления будет основным содержательным предположением в работе. Естественность этого предположений представляется достаточно очевидной. Действительно, нарушение неравенств (2.4) означает, что не является движением рассматриваемой механической системы. Это значит, что не существует допустимого закона управления, который стабилизировал бы движение . Поэтому для такого целевого движения (2.1) задача построения стабилизирующего управления не имеет смысла.

Обратим внимание, что проверка предположения  о реализуемости того или иного  движения является конструктивной. В  общем случае она сводится к проверке соотношений (2.2), (2.3). Вообще говоря, такая  задача является достаточно громоздкой. Это связано с тем, что для  этого надо использовать уравнения  движения механической системы. Именно, необходимо располагать полной информацией  о динамике объекта управления, осуществить построение величин ,исходя из соотношений (2.2), реализовать проверку справедливости неравенств (2.3) для всех моментов времени t > t° движения системы. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание.

Вопрос о реализуемости цели управления естественно возникает  не только при использовании универсального, но и при использовании любого иного закона управления. Обычно этот важный вопрос просто не исследуется. И не только потому, что проверить  реализуемость цели управления бывает затруднительно. Во многих случаях  задачу проверки реализуемости цели управления вообще не удается корректно  формализовать. Напротив, в настоящей  работе процедура проверки реализуемости  цели управления формализована и  записана в конструктивной форме (2.2), (2.3).

Заметим также, что  решение вопроса о реализуемости  заданного движения (как станет ясно ниже) можно получить из результатов  непосредственного использования  универсального закона в реальном процессе управления. Именно, если движение механической системы оказалось устойчивым, то заданная цель управления, очевидно, является реализуемой. Более того, имеет место по существу обратное утверждение. Если устойчивость механической системы нарушена, то практически это может быть связано только с нарушением предположения о реализуемости заданного движения. Это обусловлено тем, что (как уже говорилось выше) условие реализуемости является практически единственным содержательным условием, при котором универсальный закон управления обеспечивает устойчивость движения механической системы.

В утверждениях ниже вместо условий реализуемости (2.2), (2.3) заданной цели управления будут использоваться условия вида

                                 (2,5)

 Соответствующее множество  функций  обозначим через . Неравенства в соотношениях (2.5) представляют собой усиленные неравенства (2.3). Иначе говоря, соотношения (2.5) описывают усиленные условия реализуемости заданного движения механической системы.

Введенная в соотношениях (2.5) константа  имеет смысл минимального запаса управления, который в общем случае может быть истрачен для стабилизации движения (гарантирует стабилизацию). Константа может быть выбрана достаточно малой, если в задаче управления допустимы малые начальные отклонения от заданного движения .

В связи с этим заметим, что в  работе механическая система рассматривается в общем случае, т. е. как нелинейная многосвязная динамическая система высокого порядка, элементы которой могут испытывать интенсивное динамическое взаимовлияние. Внешние силы, действующие на систему, могут играть роль возмущающих сил, направленных против стабилизирующего воздействия управляющих сил. Неравенства (2.5) по существу отражают ограниченность возмущений, обусловленных внешними силами. Более того, неравенства (2.5) по существу отражает условия доминирования управляющих сил над возмущающими. Доминирования не будет, если в неравенствах (2.5) . В этом случае весь ресурс управлений может быть полностью затрачен только на компенсацию возмущений, а на стабилизацию движения системы запаса управлений не останется. В этом смысле условие в неравенствах (2.5) является, по существу, необходимым. Формальная сторона обсуждаемого вопроса будет ясной ниже при обосновании устойчивости движения замкнутой механической системы.

Заметим также, что при малых любые функции удовлетворяющие неравенствам (2.3) практически удовлетворяют и неравенствам (2.5) (с точностью до малого . В этом случае соотношения (2.5) могут рассматриваться практически как исходные условия реализуемости (2.2), (2.3) для цели управления механической системы. В этом смысле можно говорить о близости множеств и . То есть можно говорить, что множество содержит по существу все возможные движения рассматриваемого объекта управления.

 

 

                         § 3. Задача построения универсальных законов управления

 

Стандартная задача управления для механической системы (1.1) состоит  в том, чтобы построить такой  закон управления

                                                                           (3.1)

 

который стабилизирует заданное движение . Иначе говоря, необходимо, чтобы замкнутая система (1.1) вида

                              (3.2)

имела устойчивое (по Ляпунову) движение .

Универсальный закон управления должен отвечать двум дополнительным условиям. Во-первых, универсальный закон вида (3.1) должен стабилизировать не только одно конкретное движение (2.1) вида , а любое такое движение из множества Ф, которое описано выше. Во-вторых, закон (3.1) не должен содержать динамические параметры р механической системы и внешней среды.

В качестве множества Ф в работе рассматривается множество (2.4), которое  содержит все реализуемые цели управления вида (2.1), т. е. любые функции , удовлетворяющие соотношениям (2.2), (2.3). Таковы основные особенности универсальных законов управления, которые строятся в настоящей работе.

Поясним введенные свойства универсального закона управления. Как  уже говорилось выше, введенное множество  Ф содержит все возможные движения рассматриваемого объекта управления. Следовательно, универсальный закон управления должен обладать следующим важным свойством. Закон должен стабилизировать по существу любое из возможных движений рассматриваемой механической системы (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Универсальный закон  управления должен стабилизировать  любое заданное движение q*(t) из множества Ф всех возможных движений механической системы

Иначе говоря, замкнутая система (3.2) должна быть устойчивой, каково бы ни было движение q*(t), выбранное из множества Ф. В то же время обратная связь (3.1) не должна содержать динамические параметры механической системы и внешней среды, определение которых представляет собой проблему.

      Поясним смысл постановки задачи управления на примере манипуляционного робота (см. рис. 1.2). В этом случае множество Ф содержит всевозможные функции q*(t), которые удовлетворяют соотношениям (2.2), (2.3).       Иначе говоря, множество Ф содержит любые функции , которые могут, описывать изменение положения звеньев манипулятора, т. е. могут рассматриваться в качестве возможного движения манипулятора.

 

 

Следовательно, универсальный закон  управления должен обеспечить достижение любой цели управления, любого движения, если только оно отвечает динамическим возможностям манипулятора.

Закон управления (3.1) выше должен допускать  изменение цели управления и динамических параметров механической системы. Именно, при замене цели управления на другую**** осуществляется замена входной информации q = q*(t) на другую в универсальный регулятор (см. рис. 1.5). Если то такая замена не должна приводить к нарушению устойчивости движения механической системы. Замена должна допускать стабилизацию новой цели управления , если движение реализуемо. Изменение динамических параметров механической системы также не нарушает устойчивости ее движения, поскольку закон управления (3.1) не зависит от этих параметров.

Общая цель работы состоит в том, чтобы решить задачу построения универсальных  законов управления для динамических систем механической природы. Именно, необходимо:

  1. Разработать метод построения универсальных законов управления.
  2. Обосновать грубость законов управления по отношению к различного рода возмущающим факторам (неидеальностям устройств управления механической системы, постоянно действующим возмущениям, деформациям звеньев системы и т.д.).
  3. Построить законы управления в явной форме в рамках широких условий, которые отвечают природе, назначению и применению механических систем:
  • когда цель управления задана в форме общих требований к движению механической системы;
  • когда динамика управляющих приводов системы существенна;
  • когда звенья механической системы обладают высокой жесткостью;
  • когда на систему наложены неголономные связи;
  • когда требуется регулировать силовое воздействие механической

системы на окружающие объекты.

  1. Решить задачу стабилизации движений твердого тела, включая задачи, которые отвечают специфике динамики полета (стабилизацию движения самолета в условиях дефицита управляющих воздействий, при учете возмущающего влияния скоса воздушного потока и т.д.).
  2. Исследовать задачу стабилизации движения колесной механической системы (автомобиль, колесный трактор) вдоль плоской гладкой кривой.

Такова постановка задачи настоящей  работы и основные мотивы, которые  обусловили ее особенности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ                       УПРАВЛЕНИЯ

 

В настоящей главе дано общее  решение поставленной задачи синтеза управления механическими системами. Описывается класс функций Ляпунова, которые будут использоваться для исследования устойчивости движения системы. Приводится общая схема построения универсального закона управления. Описывается метод обоснования устойчивости замкнутой механической системы.

 

§ 1. Функции Ляпунова энергетического типа

В работе закон управления строится, исходя из условий устойчивости замкнутой механической системы. В основе метода построения законов лежит функция Ляпунова энергетического типа. Она имеет вид 

 

                           (1.1)

 

Величины  в (1.1) являются отклонениями движения механической системы от заданного движения по обобщенным координатам, — отклонения по обобщенным скоростям. Матрица квадратичной формы (1.1) совпадает с матрицей коэффициентов перед старшими производными в уравнениях движения механической системы (1.5)

 

                                        (1.2)

 

При функция (1.1) совпадает с компонентой кинетической энергии механической системы (1.2). Функция является положительно определенной по переменным

                                        (1.3)

 

при любых  значениях  и t (см. гл. I). Иначе говоря, функция G характеризует меру отклонения движения механической системы от заданной программы по переменным .

Заметим, что для динамических систем общего вида выбор функции Ляпунова представляет собой проблему. Решение  этого вопроса может быть сведено  к задаче построения стабилизирующей  пары, которая содержит как функцию  Ляпунова, так и управление, стабилизирующее  движение замкнутой системы (Пятницкий, 1993). Функция Ляпунова разыскивается  как решение специальной системы  дифференциальных уравнений в частных  производных.