Управление запасами (стохастический случай)

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

ФИЛИАЛ  ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

         «ТИХООКЕАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО УНИВЕСИТЕТА»

            В г. ЮЖНО-САХАЛИНСКЕ САХАЛИНСКОЙ ОБЛАСТИ 

            Кафедра математики и моделирования 

      Дисциплина  «Математические методы в экономике» 
       
       

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

      На  тему: УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ (СТОХАСТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 
       
       
       
       
       

Выполнена студентом 4 курса

141 –Пи группы специальности 080801

«Прикладная информатика в экономике»

очного факультета,  обучающегося по основной  образовательной  программе

Глебовым Д. С.

Научный руководитель:

Киреева И.Ю.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Южно-Сахалинск

2008 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………….3

1. Теория управления запасами………………………………………5

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ модели УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ………………………………………………………………………….5

1.2. КЛАСИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ…………………………………………………………………….......11

1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ………….16

2. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ…………26

2.1. ОБОБЩЕННАЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ…………………….26

2.2. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ……….......28

3. ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ………………………………………........33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….......40

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………………………….41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

     Теория  управления запасами считается относительно молодой отраслью исследования операций, В первой трети XX века появился ряд статей по определению оптимального объема заказа — Ф. Харриса (1915 г.), К. Стефаник-Алмейера (1927), К. Андлера (1929) и Р. Уилсона (1934), с именем которого обычно и связывается соответствующая группа формул. Эти зависимости исключительно робастны и являются компонентами алгоритмов решения многих более сложных задач, в том числе со стохастическим спросом.

     Данная  тема актуальна в наше время, так как ресурсы каждого предприятия ограничены и оно решает как и когда пополнять запасы, и в каком размере. Управление запасами имеет место быть на как на производственных предприятиях, так и на торговых. Если в первом случаем уровень запаса выбирается таким образом, чтобы обеспечить бесперебойное производство между двумя поставками, то во втором случае речь идет о том, как обеспечить максимальное удовлетворение спроса и минимизировать издержки на хранение и неудовлетворенный спрос.

     Целью курсовой работы является анализ управления запасами и более подробно рассматривается  стохастическая модель.

     Задачи  курсовой работы:

  1. рассмотреть основные характеристики моделей управления запасами, факторы необходимости создания запасов, классическая модель управления запасами, входные и выходные параметры модели планирования экономичного размера партии, график затрат на управление запасами и график циклов изменения, а так же формулы модели экономичного размера партии, виды ограничений в задачах управления запасами и область применения теории управления запасами;
  2. рассмотреть обобщенную модель управления запасами, определить ее решение, выразить функции основных компонент суммарных затрат системы управления, типы моделей управления запасами;
  3. применить стохастическую модель управ. запасами в решении задач.

     1. Теория управления запасами 

     1.1. Основные понятия  модели управления запасами и ее элементы

  Задачи  управления запасами составляют один из наиболее многочисленных классов  экономических задач исследования операций, решение которых имеет важное народнохозяйственное значение. Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов позволяет высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что в конечном счете повышает эффективность используемых ресурсов.

  Рассмотрим  основные характеристики моделей управления запасами:

  1. Спрос. Спрос на запасаемый продукт может быть детерминированным (в простейшем случае — постоянным во времени) или случайным. Случайность спроса описывается либо случайным моментом спроса, либо случайным объемом спроса в детерминированные или случайные моменты времени.

  2. Пополнение склада. Пополнение склада может осуществляться либо периодически через определенные интервалы времени, либо по мере исчерпания запасов, т. е. снижения их до некоторого уровня.

  3. Объем заказа. При периодическом пополнении и случайном исчерпании запасов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Заказ обычно подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня — так называемой точки заказа.

  4. Время доставки. В идеализированных моделях управления запасами предполагается, что заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно. В других моделях рассматривается задержка поставок на фиксированный  или случайный интервал времени.

  5. Стоимость поставки. Как правило, предполагается, что стоимость каждой поставки слагается из двух компонент — разовых затрат, не зависящих от объема заказываемой партии, и затрат/ зависящих (чаще всего — линейно) от объема партии.

  6. Издержки хранения. В большинстве моделей управления запасами считают объем склада практически неограниченным, а в качестве контролирующей величины служит объем хранимых запасов. При этом полагают, что за хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата.

   7. Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы, предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживаемой системе. Отсутствие запаса в нужный момент приводит К убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства и т. п. Эти убытки в дальнейшем будем называть штрафом за дефицит.

   8. Номенклатура запаса. В простейших случаях предполагается, что на складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более сложных случаях рассматривается многоменклатурный запас.

   9. Структура складской системы. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т. п.

   В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает  функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвления капитала и т. п.) и затраты на штрафы.

     Управление  запасами состоит в отыскании  такой стратегии пополнения и расхода запасами, при котором функция затрат принимает минимальное значение.

     Ниже  рассматриваются простейшие модели управления запасами.

     Пусть функции А(t) В(t) и R(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0, t]. В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени a(t), b(t), r(t), называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

     Если  функции a(t), b(t), r(t) — не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер — стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае — динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические — в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решении с учетом происходящих изменений.

     Уровень запаса в момент t определяется основным уравнением запасов:

                                             `1.1 

где J0 - начальный запас в момент t = 0.

     Уравнение (1.1) чаше используется в интегральной форме:

                1.2

     Обеспечение потребностей хозяйственных, социальных и военных объектов  в  различных  материальных средствах  (топливе,   продовольствии, сырье, полуфабрикатах, комплектующих деталях, расходных материалах и т.п.) включает в себя три фазы планирование, производство и распределение Как правило, к моменту реализации поставки данные, положенные в основу заявки, оказываются устаревшими и объем поставки уже не соответствует фактической потребности. Для предотвращения остановки производства в случае недостаточности поставки у потребителей и в системе снабжения создаются запасы. К необходимости создания запасов приводят следующие факторы:

   1) Дискретность поставок.

   2) Случайные колебания:

  • в спросе за интервал между поставками,
  • в объеме поставок (например, при планировании поставок сельскохозяйственной продукции, зависящих от урожая и организации его сбора),
  • в длительности интервалов между поставками.

   3) Предполагаемые изменения конъюнктуры:

  • сезонность спроса,
  • сезонность производства,
  • инфляционные ожидания,
  • ожидаемое повышение цен.

Перечисленные факторы, действуя порознь или группируясь в различных сочетаниях, создают тенденцию к увеличению запасов.

Имеется, однако, ряд соображений в пользу минимизации запасов. К их числу относятся:

     1) плата за физическое хранение запаса;

         2) упущенный доход, который мог бы быть получен при вложении омертвленных в запасе средств на предприятии с твердым доходом (в простейшем случае — учетный процент);

     3) потери в количестве запаса (испарение, усушка, утруска, радиоактивный распад, хищения);

     4) качественные изменения (ухудшение потребительских свойств вследствие необратимых процессов в хранимом продукте — разложение, гниение, ухудшение внешнего вида, старение изоляции);

     5) устаревание (моральный износ), особенно характерный для модных товаров, бытовой электроники, персональных компьютеров, литературы по ним и их программному обеспечению.

     Управление запасами заключается в установлении моментов и объемов заказа на восполнение их и распределении вновь прибывшей партии по нижестоящим звеньям системы снабжения. Совокупность правил, по которым принимаются эти решения, назовем стратегией управления запасами. Каждая такая стратегия связана с определенными (чаще всего в вероятностном смысле) затратами по доведению материальных средств до потребителей. Будем считать оптимальной ту стратегию, которая минимизирует эти затраты. Отыскание оптимальных стратегий и является предметом теории оптимального управления запасами.[1, с. 12-18]

     При сравнении стратегий учитываются только переменные составляющие функции затрат, зависящие от выбора стратегии. Таким образом, во многих моделях управления запасами удается игнорировать большую часть затрат на содержание управленческого аппарата (кроме расходов по оформлению поставок), а также пропорциональную объему партии стоимость производства материальных средств, которая на достаточно длительном отрезке времени определяется суммарным спросом и не зависит от организации снабжения.

     Математическая формулировка задачи о нахождении оптимальной стратегии существенно зависит от исследуемой ситуации. Однако общность учитываемых факторов позволяет говорить о единой модели управления запасами. Приведем ее качественное описание, ограничившись для простоты одним складом, на который поступает случайный поток качественно однородных требований — заявок от потребителей.

Заявки немедленно удовлетворяются до тех пор, пока их суммарный объем (с начала планируемого периода) не превысит начального запаса. Все последующие требования не могут быть обслужены тотчас же, вследствие чего потребитель простаивает и несет некоторый убыток. Этот убыток по справедливости относится на счет системы снабжения — она выплачивает штраф. Время от времени запас хранимого имущества пополняется со склада вышестоящего объединения, центральной базы или из промышленности, причем с каждым таким пополнением связаны определенные дополнительные затраты. Наконец, склад несет расходы по хранению находящегося в нем имущества Требуется так выбрать момент и объем заказа на восполнение, чтобы суммарные затраты на хранение, штраф и поставки были минимальны. На работу склада могут быть наложены некоторые ограничения (например, максимальный запас не должен превышать вместимость склада, а его стоимость — заданной суммы). В этих случаях разыскивается условный минимум затрат.

     Элементами задачи управления запасами, таким образом, являются;

     1) система снабжения;

     2) спрос на предметы снабжения;

     3) возможность восполнения запасов;

     4) функция затрат,

     5) ограничения;

     6) стратегия управления запасами.

     Напомним, что здесь и далее «стратегия» понимается в смысле терминологии принятия решений, т.е. как выбранная менеджером линия поведения, полностью определяющая его действия в рамках рассматриваемой модели.

     Системы управления запасами можно классифицировать по многим признакам:

  • вид запасов (сырье, полуфабрикаты, готовая продукция, инструменты, запчасти);
  • место хранения (производитель, потребитель, снабженческая база или другие элементы товаропроводящей сети);
  • структура системы (изолированный склад, последовательная система складов, иерархическая система, с ремонтными возможностями или без них);
  • свойства запасов (одно- или многономенклатурные запасы, их взаимозаменяемость, ограниченность срока годности, порча при хранении);
  • статистические характеристики процессов спроса и поставок (стационарность, коррелированность спроса, управляемость, случайность поставок);
  • цели системы (стоимостные и вероятностные критерии, многокритериальность);
  • ограничения (на объем и номенклатуру запасов, размеры партий, надежность и экономические характеристики процесса снабжения);
  • информационные характеристики (периодичность сбора данных, наблюдаемость спроса, полнота знаний о коэффициентах потерь).
 

     1.2. Классическая постановка  модели управления  запасами

      Математические  модели управления запасами позволяют найти оптимальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара, а также убытки от его дефицита. Модель Уилсона является простейшей моделью УЗ и описывает ситуацию закупки продукции у внешнего поставщика, которая характеризуется следующими допущениями:

      · интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной;

      ·    заказ доставляется со склада, на котором хранится ранее произведенный товар;

      ·    время поставки заказа является известной и постоянной величиной;

      ·     каждый заказ поставляется в виде одной партии;

      ·      затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа;

      ·      затраты на хранение запаса пропорциональны его размеру;

      ·      отсутствие запаса (дефицит) является недопустимым.

     Входные параметры модели Уилсона:

      1)  V – интенсивность (скорость) потребления запаса, [ед.тов./ед.t];

      2)  s – затраты на хранение запаса, [руб./ед.тов.*ед.t];

      3) K – затраты на осуществление заказа, включающие оформление и доставку заказа, [руб.];

      4)  – время доставки заказа, [ед.t].

     Выходные  параметры модели Уилсона:

      1)   Q – размер заказа, [ед.тов.];

      2)    L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];

      3)  τ – период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками, [ед.t];

      4)    – точка заказа, т.е. размер запаса на складе, при котором надо подавать заказ на доставку очередной партии, [ед.тов.].

     Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рис.1. Максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа Q.

   Рис. 1. График циклов изменения запасов  в модели Уилсона

   Формулы модели Уилсона:

            ,       1.3

где Q* - оптимальный размер заказа в модели Уилсона;

            ,      1.4

            ,        1.5

            ,        1.6

     График  затрат на управлении запасами в модели Уилсона представлен на рис.2

   Рис.2. График затрат на управление запасами в модели Уилсона

        Рассмотрим модель планирования экономичного размера партии.

      Модель  Уилсона, используемую для моделирования  процессов закупки продукции  у внешнего поставщика, можно модифицировать и применять в случае собственного производства продукции. На рис.3 схематично представлен некоторый производственный процесс. На первом станке производится партия деталей с интенсивностью λ деталей в единицу времени, которые используются на втором станке с интенсивностью ν [дет./ед.t].

Рис.3. Схема производственного процесса

     Входные параметры модели планирования экономичного размера партии:

  1. λ –интенсивность производства продукции первым станком, [ед.тов./ед.t];
  2. ν –интенсивность потребления запаса, [ед.тов./ед.t];
  3. ѕ –затраты на хранение запаса, [руб./ед.тов.*ед.t];
  4. K–затраты на осуществление заказа, включающие подготовку (переналадку) первого станка для производства продукции, потребляемой на втором станке, [руб.];
  5. tп – время подготовки производства (переналадки), [ед.t].

     Выходные  параметры модели планирования экономичного размера партии:

  1. Q – размер заказа, [ед.тов.];
  2. L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];
  3. τ – период запуска в производство партии заказа, т.е. время между включениями в работу первого станка, [ед.t];
  4. h0 – точка заказа, т.е.размер запаса, при котором надо подавать заказ на производство очередной партии, [ед.тов.].

     Изменение уровня запасов происходит следующим  образом (рис.11.4):

   ·   в течение времени t1 работают оба станка, т.е. продукция производится и потребляется одновременно, вследствие чего запаса накапливается с интенсивностью .

   ·   в течение времени t2 работает только второй станок, потребляя накопившийся запас с интенсивностью ν.

     Выходные  параметры модели планирования экономичного размера партии представлены ниже на рис. 4

Рис. 4 График циклов изменения запасов в модели планирования экономичного размера партии

     Формулы модели экономичного размера партии:

             или    1.7

где Q* – означает оптимальность размера заказа;

                              или                                1.8

             или     1.9

            ;        1.10

     Таким образом, в пункте 1.2. была рассмотрена  классическая модель управления запасами, входные и выходные параметры модели планирования экономичного размера партии, график затрат на управление запасами и график циклов изменения, а так же формулы модели экономичного размера партии.
 

     1.3. Классификация моделей управления запасами 

     Многообразие  реальных ситуаций вызвало необходимость  в рассмотрении огромного числа вариантов задачи управления запасами, которые систематизированы лишь частично. Использование богатейшего материала, накопленного теорией управления запасами (Inventory Control), немыслимо без его упорядочения в рамках единой классификации. Попытки такой классификации и введения унифицированных обозначений (по типу известной нотации Кендалла в теории массового обслуживания) предпринимались неоднократно, но оказались малопродуктивными.

     ПИ. Феклисов предлагал характеризовать  модель системы управления запасами 17-компонентным вектором, задающим стратегию  формирования заказа, объемы пачек требований и поставок, статистические распределения интервалов между пачками каждого рода, наличие складской и транзитной форм поставок, количество уровней системы, характер связей между уровнями, формирование расходов на хранение и штрафы, наличие ограничений (по типичным их классам) и т.д. [4,с. 87-89]

     В справочнике «Модель управления запасами», под редакцией A. Шихана, классификация моделей проводится уже по 45 элементам. Укрупнено она различает модели по:

     •   числу номенклатур;

     •   числу складов,