Управление запасами в условиях определенности

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Северо-Казахстанский  государственный университет им. М. Козыбаева 

Факультет Информационных Технологий

Кафедра «Математика» 
 

Курсовая  работа защищена

с оценкой «_____________»

«__  »____________2011 год

зав.кафедрой

Таджигитов  А. А._________ 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по прикладной математике 

«УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ» 

050602.ДO.Ин(е)-08 
 
 
 
 
 
 
 
 

Петропавловск,2011 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 

 

       ВВЕДЕНИЕ

 

       Задача  управления запасами возникает, когда  необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления  с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов [1]. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени) [2].

       При избыточном запасе требуется более  высокие удельные (отнесённые к единице  времени) капитальные вложения, но дефицит  возникает реже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита, это и будет являться актуальностью данной курсовой работы [1].

       В настоящее время широко развиты информационные технологии. Они продолжают совершенствоваться и становятся все более доступны для широкого круга людей. Их применение облегчает работу сотрудников многих фирм, которым требуется производить множество расчетов, строить модели и др. При помощи информационных технологий можно смоделировать множество процессов, существенно ускорить и упростить обработку информации. В курсовой работе также применяются информационные технологии для моделирования экономических задач управления запасами [3].

       Цель курсовой работы систематизировать материал по детерминированным моделям управления запасами и показать их применение к решению задач.

       Для достижения цели необходимо решить следующие  задачи:

  1. изучить и систематизировать материал;
  2. рассмотреть детерминированные модели управления запасами;
  3. создать шаблон в MS Excel для решения задач управления запасами;
  4. решить ряд конкретных задач, как непосредственно, так и с помощью созданного шаблона.

       Объектом  исследования является непосредственно детерминированные модели в сфере управления запасами.

       Предметом исследования является решение задач с использованием детерминированных моделей.

       Практическая  значимость работы – состоит в том что, работа может быть использована в качестве учебно-методического пособия по теме «Детерминированные модели и их использование».

       Основные  положения работы, выносимые автором  на защиту:

    1. общая структура детерминированных моделей;
    2. применение моделей на примере решения задач непосредственно и с помощью табличного шаблона.

       Структура курсовой работы. Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе отображены теоретические сведения о детерминированных моделях управления запасами, во второй главе описана структура решения задач с помощью моделей.

       Объем работы составляет 36 страниц.

          

 

       

       1 ПОСТАНОВКА, ВИДЫ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

       1.1 Обобщенная модель управления запасами

 

       Любая модель управления запасами, в конечном счете, должна дать ответ на два вопроса:

  1. Какое количество продукции заказывать?
  2. Когда заказывать?

       Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа, определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять каждый раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться во времени. Ответ на второй вопрос зависит от типа системы управления запасами. Если система предусматривает периодический контроль состояния запаса через равные промежутки времени (например, еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояние запаса, точка заказа обычно определяется уровнем запаса, при котором необходимо размещать новый заказ [4].

       Таким образом, решение обобщённой задачи управления запасами определяется следующим  образом:

  1. в случае периодического контроля состояния запаса следует обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные интервалы времени;
  2. в случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достигает точки заказа [5].

       Размер  и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарных  затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных. Суммарные затраты системы управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент, в соответствии с рисунком 1 [6]. 

       

       Рисунок 1. Функция суммарных затрат 

       Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа. Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением [5]. Таким образом, при удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством более крупных заказов (и, следовательно реже). Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (например, процент на инвестированный капитал, затраты на переработку, амортизационные расходы и эксплуатационные расходы), обычно возрастают с увеличением уровня запаса. Наконец, потеря дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции. Обычно они связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя и с потенциальными потерями прибыли [7].

       Рисунок 2 иллюстрирует зависимость четырёх компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса. Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму суммарных затрат. Отметим, что модель управления запасами не обязательно должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут быть не значительными, а иногда учёт всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую – либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат. Этот фактор необходимо иметь ввиду при изучении различных моделей, описанных в данной главе [8].  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 2. Схема обобщенной модели управления затрат 

       1.2 Типы моделей управления запасами

 

       Обобщенная  модель управления запасами, описанная  выше выглядит довольно простой. Чем  же тогда объясняется столь большое  разнообразие моделей этого класса и методов решения соответствующих  задач, базирующихся на различном математическом аппарате: от простых схем дифференциального и интегрального исчисления до сложных алгоритмов динамического и других видов математического программирования? Ответ на этот вопрос определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности) [9]. На рисунке 3 приведена схема классификации спроса, обычно принимаемая в моделях управления запасами. Детерминированный спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления остаётся неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и не стационарным, когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.  

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 3. Схема классификации спроса 

       В реальных условиях случай детерминированного статистического спроса встречается  редко. Такой случай можно рассматривать  как простейший. Так, например, хотя спрос на такие продукты массового потребления, как хлеб, может меняться от одного дня к другому, эти изменения могут быть столь незначительными, что предположение статичности спроса несущественно искажает действительность [10].

       Наиболее точно характер спроса может быть, возможно, описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Однако с математической точки зрения модель значительно усложняется, особенно при увеличении рассматриваемого периода времени. Рисунок 3 иллюстрируют возрастание математической сложности модели управления запасами при переходе от детерминированного статического спроса к вероятностному стационарному спросу [6].

       На  первом уровне предполагается, что  распределение вероятности спроса стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. При таком предположении влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается [11].

       На  втором уровне абстракции учитывается изменение спроса от одного периода к другому. Однако при этом функции распределения не меняются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается [12, 13]. Однако оно позволяет исследовать сезонные колебания спроса, которые вследствие аналитических и вычислительных трудностей нельзя учесть вероятностной модели. Другими словами, здесь возникает определенный компромисс: можно использовать, с одной стороны, стационарные распределения вероятностей, а с другой – переменную, но известную функцию спроса при допущении «определённости» [7].

       На  третьем уровне упрощения исключаются  как элементы риска, так и изменения  спроса. Тем самым спрос в течение любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.

       Хотя  характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели. К их числу относятся:

  1. запаздывание поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказов он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и иго поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной;
  2. пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится сомой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса;
  3. период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надёжно прогнозировать рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным;
  4. число пунктов накопления запаса. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованны таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт – потребитель одного уровня может стать пунктом – поставщиком на другом. В таком случае принято говорить о системе управления запасами с разветвленной структурой;
  5. число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Это фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды [14].

       Для данной курсовой работы, более подробно, рассмотрены детерминированные модели управления запасами. Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить достаточно универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этом разделе модели соответствуют некоторым системам запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами [3].

       В этом разделе обсуждается пять моделей. Большинство из них однопродуктовые, и только в одной из них учитывается  влияние нескольких «конкурирующих» видов продукции. Основное различие между моделями определяется допущением о  характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зрения формулировки и решения задачи является  также вид функции затрат. Используются различные методы решения, включающие классическую схему оптимизации, линейное и динамическое программирование. Эти примеры наглядно показывают, что при решении задач управления запасами следует применять различные методы оптимизации [14].    

       1.3 Статические модели управления запасами

       1.3.1 Классическая  задача экономичного размера заказа (модель Уилсона)

 

       Простейшие  модели управления запасами характеризуются  постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствие дефицита.

       Модель  Уилсона, в определенном смысле классическая, основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, который минимизирует расходы на оформление заказа, доставку и хранение товара.

       Введем  обозначения:

       у – объем заказа (количество единиц продукции);

       D – интенсивность спроса (измеряется в единицах продукции на единицу времени);

         – продолжительность  цикла заказа (измеряется во временных  единицах).

       Экономическая партия товара вычисляется при следующих  упрощениях реальной ситуации:

  • уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью спроса D, и в тот момент, когда все запасы товара исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии;
  • выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения равного y;
  • накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине;
  • ежедневная стоимость хранения единицы товара равна постоянной величине.

       Данная  политика проводимая складом характерна для тех случаев, когда интенсивность потребления запасов близка к постоянной величине, а поставки производятся регулярно.

       Продолжительность цикла заказа: 

       

 единиц времени. 

       Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу  времени) равна D.

Наивысшего  уровня запас достигает в момент поставки заказа размером y (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя y/D единиц времени после получения заказа размером у. Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать заказы, в соответствии с рисунком 4.

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 4.Изменение запаса в классической модели 

       Средний уровень запаса определяется соотношением единиц. Для построения функции затрат требуется два стоимостных параметра:

       К – затраты на оформление, связанные с размещением заказа;

       h – затраты на хранение (затраты на единицу складируемой продукции в единицу времени).

       Суммарные затраты в единицу времени (обозначается TCU) можно представить как функцию от у в следующем виде: 

         

       Оптимальное значение объема заказа у определяется путем минимизации по у функции TCU(y). Предполагая, что у является непрерывной переменной, получаем необходимое условие минимума (в виде уравнения), из которого можно найти оптимальное значение у: 

         

       Это условие является также и достаточным, так как функция TCU(y) выпуклая. Решение данного уравнения определяет экономичный объем заказа :

         

       Оптимальная стратегия управления запасами для  рассмотренной модели формируется  следующим образом:

       заказывать единиц продукции через каждые единиц времени.

       В действительности пополнение запаса не может произойти мгновенно в  момент размещения заказа, как предполагалось ранее. Для большинства реальных ситуаций существует положительный  срок выполнения заказа L (временное запаздывание) от момента его размещения до реальной поставки, как показано на рисунке 5. В этом случае точка возобновления заказа имеет место, когда уровень запаса опускается до LD единиц [15]. 
 
 
 
 
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 5. Точки возобновления заказа в классической модели 

       На  рисунке 5 представлено изменение уровня запаса во времени при условии, что срок выполнения заказа L меньше продолжительности цикла заказа , что в общем случае выполняется не всегда. В противном случае определяется эффектный срок L, выполнения заказа в виде: 

       

,

       где n – наибольшее целое, не превышающее L/ .  

       Такое решение оправдывается тем, что  после n циклов (длиной каждый) ситуация управления запасами становится такой же, как если бы интервал между размещением одного заказа и получением другого был равен . Следовательно, точка возобновления заказа имеет место при уровне запаса единиц продукции, и стратегия управления запасами может быть переформулирована следующим образом: заказать единиц продукции, как только уровень запаса опускается до единиц [16]. 

       1.3.2 Задача экономичного размера заказа с разрывами цен

 

       Эта модель управления запасами отличается от рассмотренной выше тем, что продукция может быть приобретена со скидкой, если объем заказа у превышает некоторый фиксированный уровень q; таким образом, стоимость единицы продукции с определяется как: 

       

       где . 

         Следовательно, затраты на приобретение продукции в единицу времени равны:  

         

       Используя обозначения из пункта 1.2.1, запишем общие затраты в единицу времени следующим образом: 

         

       Графики функций  и представлены на рисунке 6.  

         
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 6. Графики функций затрат 

       Так как значения этих функций отличаются только на постоянную величину, то точки их минимума совпадают и находятся в точке: 

         

       График  функции затрат , если идти от минимальных значений аргументов, совпадает с графиком функции до точки , в которой меняется цена продукции, а затем совпадает с графиком функции . На рисунке 666 показано, что определение оптимального объема заказа зависит от того, где находится точка разрыва цены q по отношению к указанным на рисунке зонам I, II и III, которые определены как интервалы соответственно. Величина определяется из уравнения: 

       

       или

         

       Отсюда  получаем квадратное уравнение относительно Q: 

         

       На  рисунках 7-9 показано 3 случая того, как определяется оптимальное значение : 

       

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 7. Случай первый 

         
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 8. Случай второй 
 
 
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рисунок 9. Случай третий 

       Алгоритм  определения  можно сформировать в следующем виде:

       этап 1. Вычисляем Если q попадает в зону I, полагаем  . В противном случае переходим к этапу 2;

       этап 2. Находим Q из уравнения  
и определяем зоны II и III. Если q находится в зоне II, полагаем  . Иначе q находится в зоне III, тогда [15]. 

       1.3.3 Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

 

       Эта модель рассматривает задачу управления запасами n различных товаров, которые хранятся на одном складе ограниченной вместимости. Характер изменения запаса каждого товара в отдельности определяется функцией, показанной на рисунке 4; предполагается, что дефицит отсутствует. Отличие от ранее рассмотренных моделей состоит в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное складское пространство [17].

       Определим для товара следующие параметры:

         интенсивность  спроса;

         стоимость размещения заказа;

        стоимость хранения единицы товара в единицу  времени;

        объем заказа;

        необходимое пространство для хранения единицы  товара;

        максимальное  складское пространство для хранения товаров n видов.

       При отсутствии дефицита математическая модель сформулированной задачи имеет следующий  вид:

       Минимизировать  при ограничениях: