Уравнение Фредгольма первого и второго рода

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Уравнения математической физики»  на тему:

 «Уравнение Фредгольма первого и второго рода»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент группы 010701

 

Путягин. Д.В.

 

Проверил   Солдатов А.П.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Белгород 2007

 

Содержание

Введение

1. Уравнение Фредгольма первого и второго рода. Основные понятия.
1. Пример решения интегрального уравнения Фредгольма.
2. Метод определителей Фредгольма.
1. Пример нахождения резольвенты ядра.
2. Рекуррентные соотношения.
3. Пример нахождения резольвенты ядра с помощью рекуррентных соотношений
3. Метод последовательных приближений.
1. Пример решения интегрального уравнения методом последовательных приближений.
4. Физические примеры.
1. Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма первого рода.
2. Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма второго рода.

Список литературы

 

Введение

 

Фредгольм (Fredholm) Эрик Ивар (7.4.1866, Стокгольм, ¬ 17.8.1927, Мёрбю), шведский математик. Окончил Стокгольмский  университет (1893), с 1906 профессор там же. Основные труды по интегральным уравнениям. В 1900 изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов (т.н. уравнения Фредгольма).

В работе изложены характерные  особенности интегральных уравнений и их классификация. Она является одним из разделов математического анализа.

Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть  основные понятия интегральных уравнений.

Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию  или, другими словами, математическую модель, т.е. пренебрегая второстепенным характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде интегральных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакциях, электрических и магнитных явлений, в электростатике, гидростатике и многих других разделов физики.

Целью моей работы является рассмотрение особенностей интегральных уравнений Фредгольма и изучение применения этого метода в механических и физических явлениях.

Проблемой исследования природных явлений в виде интегральных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом.

 

 

Уравнение Фредгольма первого  и второго рода. Основные понятия.

 

Линейным интегральным уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида:

        (1)

Линейным интегральным уравнением Фредгольма второго рода называется уравнение вида:

             (2)

где φ(x)- неизвестная функция, k(x,t) и f(x)- известные функции, x и t действительные переменные, изменяющиеся в интервале (a,b), λ- численный множитель.

 Функция k(x,t) называется ядром интегрального уравнения (2); предполагается, что ядро k(x,t) определено в квадрате Ω(a≤x≤b,a≤t≤b) на плоскости (x,t) и непрерывно в Ω, либо его разрывы таковы, что двойной интеграл:

имеет конечное значение.

Если f(x)≠0, то уравнение (2) называется неоднородным; если же f(x)≡0, то уравнение (1) принимает вид:

             (3)

и называется однородным.

Пределы интегрирования в уравнениях (3) и (2) могут быть

как конечными, так и  бесконечными.

Решением интегральных уравнений (3) и (2) называется любая функция  φ(x), при подстановке которой в уравнения последние обращаются в тождества относительно x принадлежащий (a,b).

Пример. Показать что функция является решением интегрального уравнения Фредгольма:

,

где ядро имеет вид:

 

Решение. Левую часть  уравнения запишем в виде:

Подставляя в полученное выражение вместо φ(x) функцию , будем иметь:

Итак, получим  , а это означает, согласно определению, что есть решение данного интегрального уравнения.

 

Метод определителей Фредгольма.

Решение уравнения Фредгольма второго рода :

         (1)

дается формулой:

     (2)

Где функция  , называемая резольвентой Фредгольма уравнения (1), определяется равенством:

                          (3)

При условии что D(λ)≠0. Здесь D(x,t;λ) и D(λ)- степенные ряды по λ;

    (4)

                            (5)

коэффициенты которых определяются формулами:

      (6) 

причем 

     (7)

Функция от D(x,t;λ) называется минором Фредгольма, а D(λ)- определителем Фредгольма. В случае, когда ядро k(x, t) ограничено или же интеграл

имеет конечное значение, ряды (4) и (5)  сходятся для всех значений, λ и значит являются целыми аналитическими функциями от λ.

Резольвента

есть аналитическая  функция от λ, кроме тех значений λ, которые являются нулями функции D(λ).

Пример. С помощью определителей Фредгольма найти резольвенту ядра k(x,t)=xe^t ; a=0 ; b=1.

Решение. Имеем B₀(x,t)=xe^t.

Так как определители под знаком интеграла равны нулю. Очевидно, что и все последующие B_n(x,t)=0. Находим коэффициенты C_n:

Очевидно, что и все  последующие C_n=0. Согласно формулам (4) и (5) в нашем случае имеем:

D(x,t;λ)=k(x, t)= xe^t;  D(λ)=1-λ.

Таким образом,

Применим полученный результат к решению интегрального  уравнения:

    (λ≠1)

Согласно формуле (2):

В частности, для f(x)=e^-x получаем:

 

Рекуррентные соотношения

Вычисление по формулам (1) и (2)

  (1)

  (2)

коэффициентов B_n(x,t) и C_n практически возможно лишь в очень редких случаях, но из этих формул получаются следующие рекуррентные соотношения:

      (3)

       (4)

Зная, что коэффициент C₀=1 и B₀(x,t)=k(x,t) по формулам  (3) и (4) найдем последовательно C₁, B₁(x,t), C₂, B₂(x,t), C₃ и т.д.

Пример. Пользуясь формулами (3) и (4) найти резольвенту ядра k(x,t)=x-2t, где 0≤x≤1, 0≤t≤1.

Решение. Имеем C₀=1, B₀(x,t)= x-2t. Пользуясь формулой (9) найдем:

По формуле (3) получим:

Далее будем иметь:

C₃=C₄=…=0, B₃(x, t)=B4(x, t)=…=0

Следовательно,

Резольвента данного  ядра будет:

 

Метод последовательных приближений

Мы докажем существование уравнения

         (1)

(при достаточно малых  |λ|) методом последовательных приближений.

Для простоты выкладок будем предполагать, что:

1. ядро k(x, s) непрерывно в квадрате a≤x, s≤b; тогда оно ограничено некоторой константой А, |k|≤А.
2. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], следовательно, она ограничена на этом отрезке некоторой константой В,  |f|≤В.

Построим последовательность функций

φ ₁(x),φ₂(x),…,φ_n(x)

по следующему правилу:

(2)

где φ ₀(s) – произвольная фиксированная непрерывная функция.

     (3)

……………………………………

      (4)

…………………………………..

Теорема1. Последовательность (2) – (4) функций φ_n(x) равномерно сходится на отрезке [a, b], к функции φ(x), являющейся решением уравнения (1) при .

Доказательство:

Преобразуем формулы  для получения φ_n(x). Подставляя функцию φ₁(x) в φ₂(x), получим:

Меняя в последнем  интеграле порядок интегрирования, получим:

K₁(x, s)=k(x, s),

Аналогично находим:

Где

Предел функции φ_n(x), если он существует, равен сумме ряда:

  (5)

Докажем равномерную  сходимость ряда. Для этого оценим интегралы:

Имеем

………………………………………………..

Поэтому

Следовательно, числовой ряд

           (6)

является мажорантным  для ряда (5). Если , то ряд (6) сходится. Следовательно, при таких λ ряд (6) сходится, а вместе с ним и последовательность функций φ_n(x) равномерно сходится к функции . Эта функция является решением уравнения (1.) В самом деле, переходя в формуле (4) к пределу при n→ ∞, получим

Переход к пределу  под знаком интеграла здесь закончен, так как последовательность сходится равномерно.

Заметим, что предел не зависит от выбора функции φ₀(x)(нулевого приближения). В самом деле, если существует еще одно решение ψ(x) уравнения (1), то, полагая в процедуре построения функций (2) – (4) φ₀(x)= ψ(x), получим

φ₁(x)= ψ(x), φ₂(x)= ψ(x),…, φ_n(x)= ψ(x)…

Эта последовательность имеет пределом функцию  . Но вместе с тем очевидно:

Таким образом, =ψ(x). Теорема доказана.

Поскольку ряд (6) сходится при  , то при таких же λ сходится и ряд:

Но этот ряд является мажорантным для ряда:

           (7)

Следовательно, ряд (7) сходится равномерно. Поэтому ряд  (5) можно  записать в виде:

 

Или

     (8)

где функция

называется резольвентой уравнения (1).

Пример. Решить интегральное уравнение , 0≤x≤1 методом последовательных приближений. Здесь k(x, t)=xt, a=0, b=1.

Решение. Последовательно  найдем

K₁(x, t)=xt,

Согласно формуле

Получим

,

причем |λ|<3 и в силу формулы:

решение данного интегрального  уравнения запишется в форме:

, 0≤x≤1, λ≠3

В частности, при f(x)=x получим

 

, 0≤x≤1, λ≠3

 

Физические примеры

Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма первого  рода.

Многие задачи математической физики приводят к линейным интегральным уравнениям. Рассмотрим некоторые примеры.

К интегральному уравнению  Фредгольма первого рода приводит задача восстановления размытого изображения. Пусть при фотографировании объекта его изображение было сфокусировано не в плоскости эмульсионного слоя пленки, а на некотором малом расстоянии h от него. Обозначим: (A) — плоскость фотопленки; (В) плоскость изображения объекта; R радиус объектива; f расстояние от линзы до плоскости (В); х и у координаты в плоскостях (A) и (В); v(x,y) — освещенность в плоскости (A); u(х,у) — освещенность в плоскости (В); S — поверхность фотокадра. Тогда в рамках геометрической оптики получаем, что пучок лучей, сходящийся в точку на плоскости (В), в плоскости (.A) равномерно осветит круг Ω_r радиуса t = Rh/f.

Аналитически эта ситуация описывается так: сходящемуся в  точку с координатами (ξ, η;) на плоскости (В) световому пучку, несущему единичный  световой поток, соответствует освещенность u₀(х.у) = δ(x-ξ, y-η); при этом в плоскости (A) получим освещенность v₀(х,у)=F[(x-ξ)²+(y-η)²]. Здесь δ — дельта-функция,

Отсюда, распределенной освещенности

в плоскости (B) соответствует освещенность в плоскости (А):

Это соотношение является интегральным уравнением Фредгольма первого  рода, определяющим u(х,у) при заданной v(x,у). Измеряя на фотографии значение функции v(х, у) и решая полученное интегральное уравнение, можно восстанавливать неразмытое изображение u(х,у).

Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма второго рода.

К однородным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода приводят задачи о собственных колебаниях систем, т.е. колебаниях при отсутствии внешней силы. Рассмотрим задачу о малых поперечных свободных колебаниях струны переменной плотности р(х). Пусть концы струны закреплены. Тогда для поперечных отклонений струны u(x,t) выполнено:

P(x)u_tt = A²u_xx , u(0, t)=0 , u(l, t)=0.                  (1)

Поставим задачу определить профиль струны при свободных гармонических колебаниях, т.е. будем искать решения вида u(x,t)= y(x)sin(ωt). Значения ω, при которых существует решение такого типа, называются собственными частотами колебаний струны.

Для у(х) из (1) получаем задачу

, y(0)=0 , y(l)=0.              (2)

Рассматривая правую часть уравнения (2) как неоднородность, записываем решение задачи (2) в форме

     (3)

где G(x,s) — функция  Грина. Таким образом, поставленная задача свелась к определению тех значений ω, при которых существует нетривиальное решение однородного уравнения Фредгольма второго рода (3), и нахождению этих решений.

 

Список литературы

1. М.Л. Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко: Интегральные уравнения; Издательство Наука, Москва 1968.
2. Б.А. Зон: Лекции по интегральным уравнениям; Москва «Высшая школа» 2004.
3. Васильева А. В., Медведев Г. Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
4. Васильева А. Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
5. Манжиров А. В., Полянин А. Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. — М.: «Факториал»,
6. Байков В. А., Жибер А. В. Уравнения математической физики. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
7. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа.-М,: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
8. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО,