Уравнения в начальных классах. 2

СОДЕРЖАНИЕ 
 

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................3

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В  НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ.................................................................................6

    1.1.Уравнения  в начальных классах..........................................................6

    1.2.Методика  работы над уравнением.....................................................12

2.ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ  РАБОТА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ............................................................................................19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................22

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.........................................24

ПРИЛОЖЕНИЕ  А.............................................................................................26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 

    В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

    Что представляет собой современная  математика? Зачем она нужна? Эти  и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ  будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.

    Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен  так широко и так часто оказывается  эффективным именно потому что математика к нему не сводится.

    Выдающийся  отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому ".

    Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

    Важное  влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ни один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку в осознании самого себя и формировании своего характера.

    Это то немногое из большого списка причин, в силу которых математические знания должны стать неотъемлемой частью общей  культуры и обязательным элементом  в воспитании и обучении ребенка.

    Изучение  простейших уравнений и способов их решений прочно вошло в систему начальной математической подготовки.

    Актуальность  темы нашей работы состоит в том, что изучение младшими школьниками  уравнений в начальной школе  подготавливает их к более успешному  изучению алгебраического материала в основной школе. Уравнения являются одним из средств моделирования изучаемых фрагментов реальности, и знакомство с ними является существенной частью математического образования.

    Исходя  из этого цель курсовой работы изучить процесс формирования понятия уравнения на начальном этапе обучения математике.

    Объект  – процесс изучения алгебраического  материала на примере уравнений  в начальной школе

    Предмет – формирование понятия уравнения  в начальных классах.

    Гипотеза  – формирование понятия уравнения  будет успешным, если изучаемые знания обоснованы доступным и убедительным для детей способом.

    Для достижения поставленной цели мною были поставлены следующие задачи:

    1. Изучить и проанализировать психолого-педагогическую  и методическую литературу по  теме исследования;

    2. Раскрыть процесс формирования  понятия уравнения в обучении  математике;

    3. Рассмотреть приемы применяемые  при формировании понятия уравнения.

    Опытно  экспериментальная работа проводилась  на базе СОШ №1 г. Петровска Саратовской  области.

    Курсовая  работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ 

1.1.Уравнения  в начальных классах 
 

    Описание  методики работы над построением  и решением уравнений рассмотрим с рассмотрения различных определений уравнения.

    В школьной энциклопедии уравнение определено как “два выражения, соединенные  знаком равенства; в эти выражения  входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение  – значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет” (Истомина 2008:155). Там же дано определение уравнения как  “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны”(Истомина 2008:156).

    Понятно, что под аналитической записью  и понимается запись равенства,  левая или правая  части которого  содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

    Введение  записи задачи (о нахождении неизвестной  величины) с помощью уравнения  начинается с конкретной задачи. Способы  составления и решения уравнений  опираются на отношение целого и его частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании,  умножении, делении.

    Для того, чтобы найти способ решения  уравнения, достаточно определить сначала  по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку не нужно запоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.

    Успешность  ребенка, его навык при решении  уравнений будут зависеть от того, может ли ребенок переходить от описания отношения между величинами с  помощью схемы к описанию с  помощью формулы и наоборот. Именно этот переход от уравнения как одного из вида формул к схеме и определения с помощью схемы характера (часть или целое) неизвестной величины являются теми основными умениями, которые дают возможность решать любые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания. Другими словами, дети должны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит, и задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей в чем и поможет схема. Схема здесь выступает в качестве средства решения уравнения, а уравнение, в свою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданий ориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовых задач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения, позволяющего найти решение задачи.

    Изучение уравнений в начальных классах происходит в несколько этапов. Программой школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида

4+  =5, 4-  =2, -7=3, и т.п.

    В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое).

    До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так: , ?, *. Теперь же для  обозначения неизвестного числа  используют буквы латинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением (Приложение А).

    На  первом этапе уравнения решают на основе состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы  чтения, учит записывать уравнения  по диктовку, разбирает понятия “решить  уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.

    На  втором этапе решение уравнений  происходит с использованием зависимости  между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа  можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф (Истомина 2008:161).

    Приведу примеры уравнений и замены их равнозначными уравнениями с  опорой на графы.

х × 4 = 16    

х = 16 : 4                  

х = 4

4 × 4 = 16

х : 5 = 7

х = 7 × 5

х = 35

35 : 5 = 7 

    После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более  сложные уравнения видов:

    48 - х = 16 + 9

    а - (60 - 14) = 27

    51 - (х + 15) = 20,

    решение которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений.

    Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением.

    Далее включаются уравнения, в которых  известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения  с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например:

    60 - (х + 7) = 25

    (12 - х) + 10 = 18.

    При решении уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов. Рассмотрим.

    Обучение  решению таких уравнений требует  длительных упражнений в анализе  выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения в пояснении решенных уравнений.

    Кроме того, следует чаще решать такие  уравнения с предварительным  выяснением, что неизвестно и какие  правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение.

    Такая работа предупреждает ошибки и способствует овладению умением решать уравнения.

    Особое  внимание следует уделять проверке решения уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоить последовательность и смысл действий, выполняемых  при проверке: найденное число  подставляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого  выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения.

    Если  получаются равные числа, значит, уравнение  решено верно.

    Дети  могут выполнять проверку устно  или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…

    Уравнения используются также для решения задач. Существует правило составления уравнения:

    1.Выясняется, что известно, что неизвестно.

    2.Обозначение неизвестного за х.

    3.Составление уравнения.

    4.Решение уравнения.

    5.Полученное число истолковывается в соответствии с требованием задачи (Бантова М.А., Бельтюкова П.В.2006:222).

    Необходимым требованием для формирования умения решать задачи с помощью уравнений  является умение составлять выражения по их условиям.

    Поэтому вводится запись решения задач в  виде выражения. Учащиеся упражняются  в объяснении смысла выражений, составленных по условию задачи; сами составляют выражения по заданному условию  задачи, а также составляют задачи по их решению, записанному в виде выражений.

    Одним из самых трудных моментов является запись задачи в виде уравнения, поэтому  вначале при составлении уравнения  широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.

    Для формирования у учащихся умения решать задачи алгебраическим способом необходимо, чтобы они могли решать уравнения, составлять выражения по задаче и осознавать сущность процесса “уравнивания неравенств”, т.е. преобразования неравенства в уравнение.

    Уже на первых уроках дети, сравнивая два множества, устанавливают, в каком из них содержится больше элементов и что нужно сделать, чтобы в обоих множествах было одинаковое их количество.

    Вместе  с тем возможности использования  алгебраического метода решения  текстовых задач в начальных  классах ограничены, поэтому арифметический способ остается в школе основным.

    Таким образом можно сделать вывод  о том, что изучение уравнений  продолжается на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2.Методика  работы над уравнением 
 

    Нужны ли уравнения маленьким детям? Легко  ли понять пример, когда ответ прячется за таинственным «х», который и прочесть-то не все могут правильно, то ли «икс», то ли «ха». Решение задач с помощью  уравнений таинственно и интересно, а сокрытие тайн для любознательного человека вредно. Поэтому знакомство с уравнениями надо начинать с первого класса. И провести его можно следующим образом.

    Начнем  с фигурок, которые дети умеют  складывать и строить из них. На доске  нарисованы две фигуры. Что получится  при их сложение?

    o + ∆ =

    Дети  получают дом, в котором квадрат  и треугольник превратились в  стену и крышу. Дом – целое, а крыша и стены – его  части. Из частей складывается целое (Бантова М.А., Бельтюкова П.В.2006:229).

    Ч₁ + Ч₂ = Ц

     Теперь разберем дом. Можно снять крышу и останется стена, а можно убрать стену и останется крыша. Если от целого отнять часть, то получится другая его часть   Ц – Ч ₁ = Ч ₂. Зная это, ребенок может теперь сам определить неизвестную часть, имея целое и известную часть. Это уже уравнение. В нем появляется мистер Икс.                      – х =

     Что же случилось с карандашом? Что  спрятал мистер Икс? Ну, конечно, у  него сломался грифель. х =     .

    Когда работают с уравнением, то пишут  три строчки. В каждой из них обязательно есть х и один знак равенства.

    Строчка 1 – уравнение; в нем х спрятался.

    Строчка 2 – решение уравнения; х в одной  стороне равенства, а остальное  – в другой.

    Строчка 3 – корень уравнения; в нем открывается  всем, что спрятал х.

    А теперь дети сами сочиняют и решают уравнения. Зная целое и части, можно  легко действовать с числами.

Х - 2 = 7     5 – х = 3                                 6 + х   =  9

    Начинают  с того, что определяют, где целое, и подчеркивают его. Ведь отнимать можно только от целого. 

Х - 2 = 7     5 – х = 3                                 6 + х   =  9 

    Из  этих уравнений только в первом мы ищем целое. В двух других – части.

    Х = 7 + 2     х = 5 –3          х = 9 - 6

    Х = 9               х =2           х = 3 

    Уравнение помогает узнать, верно ли произведены вычисления, если вместо х подставить свою находку – число. 

 Х - 2 = 7     5 – х = 3                                 6 + х = 9

9 –  2 = 7     5 – 2 = 3          6 + 3 =  9   

    Таким образом, для того чтобы решить уравнение нужно:

    а) Отметить целое;

    б) Найти решение;

    в)  Записать корень уравнения;

    г)  Сделать проверку – подставить найденное  число в первую сторону и убедиться, что конечные числа совпадают.

    Если  что-то не так, то нужно проверить, где  поторопился. Это тоже важное умение – найти у себя ошибку и исправить ее.

    Затем дети знакомятся с правилами, которые  называются болтушки – приговорки. То, что складывают, - слагаемые.

    с₁ + с₂ = сумма

    3 + 5 = 8

    То, что сложили, и есть сумма. Подбирают  слагаемые и сумму: 6 + 4 = 10

    Когда число уменьшают, его называют уменьшаемое. От него можно что-то отнять. Число, которое вычитают, называют вычитаемое. Ищем их разницу, или разность. Подбирают  числа: 7 – 6 = 1

    *    * =

    Болтушка  №1. Чтобы найти  уменьшаемое, к  разности прибавили вычитаемое.

                                                              Х – в = р

       Х = р + в

       Х = у

    Решаем  уравнения: 

     _{у       в       р             у       в      р}    

    х – 5 = 4     х – 7 = 2

    Болтушка  №2. Чтобы найти вычитаемое, на разность уменьшаем уменьшаемое.                         у – х = р

                                     х = у -  р

                                     х = в

    Решают  уравнения:

    _{у       в       р     у       в       р}

    8 – х = 3         7 – х = 4         

    Болтушка  №3. Чтобы найти любое слагаемое, от суммы отнимаем все остальные.     х + с₂   = сумма

                                  х = сумма -  с₂

                                  х = с₁

    Решают  уравнения:           

    с₁    с_{2      сум.}                     с₁   с_{2      сум.}

    3 + х = 9     х + 4 = 8

    После этого решаются уравнения, основанные на знании состава чисел (Моро М.И., Пышкало А.М. 2006:178). 

    Записывают  состав чисел без повторов, так  как при перемене мест слагаемых  сумма не меняется. 

    Поиграем  в занимательные игры «Клоуны» и  «Вертушки», где вместо х нужно вписать свое число.  

    Вставляют х в состав числа и узнают его.    6 х 4 3             7 6 х 4                  

                                                            0 1 2 3             0 1 2 3

    И решают уравнения: 6 – х = 1;      2 + х = 7.

    Запиши  состав чисел 8 и 9.                                            

    8 7 6 5 4        9 8 7 6 5 

       * * * * *   * * * * *  

     Найди х, в квадрате напиши отгадку.

               87 х 5 4                8 7 6 5 4               8 7 6 5            9 8 7 6 5

     0  1  2 3 4               х 1 2 3 4               1 2 3 4             0 1 2 х 4 

    Реши  уравнения: 8 – х = 2;    8 + х = 8;       х – 7 = 2;    9 – х = 6.

    Далее переходят к решению задач при помощи уравнений. Задачи в схемах.

     Схема №1.

          I –        в

          II - 

    Задача: Десять селедок разложили на две тарелки с учетом схемы. 

     I – х            10с.                     I – 7c.        10с.

    II – 3с.                                    II – x

    Составляют  и решают уравнения по схемам: 7 + х = 10; х + 3 = 10.

    Схема № 2.

    Было  – 10 птиц.

    Исчезли – 5 птиц

    Осталось  – х птиц

    Задача: сидели на дереве 10 птиц, пять птиц улетели. Сколько птиц осталось?

    Решение: 10 – х = 5.

    Схема №3.

    Было  – х

    Добавили  – 5 ягод

    Стало – 10 ягод

    Дети  самостоятельно придумывают условие  задачи и решают ее:

    х  + 5 = 10.

    Так же  детей знакомят с самым  легким способом решения уравнений  – аналогия.

    Надо  решить уравнение, а ребенок забыл  как. Что же делать? Давайте рассмотрим уравнения. И ребенок всегда будет  помнить, как они решаются.

    2 + 3 = 5  5 –3 = 2   5 – 3 = 2

    х + 3 = 5  х – 3 = 2  5 – х = 2

    х = 5 – 3  х = 2 + 3   х = 5 - 2

    Это синее              это зеленое            это красное 

    Решим уравнение: х + 5 = 11. Какое оно? Синее. Значит, оно решается так:        х = 11 – 5.

    Затем изучение уравнений продолжается во втором классе, после того, как дети ознакомились с такими действиями как умножение и деление. Начнем с болтушек.

      Множитель  1    ´ множитель 2 = произведение