Уравнения, выражения, неравенства
ВВЕДЕНИЕ
При изучении
математики очень важна
Изучение
данных понятий связанно с
использованием
В данной курсовой работе мы рассмотрели темы «Неравенства», «Уравнения» «Выражения».
Неравенство числовое - высказывание вида а < b или а > b, где < - отношение строгого порядка, а отношение ≤ - отношение нестрогого порядка на некотором множестве чисел.
Неравенство с переменной - высказывательная форма вида А≤ В, где А или В - высказывательная форма.
Множество значений переменной х (или нескольких переменных), при которых высказывательная форма А < В или А ≤ В истинна, называется множеством истинности этой формы или решением неравенства с переменной.
Иногда неравенство с переменной определяют менее формально, но более, может быть, доступно: два выражения, соединенные знаком неравенств.
Неравенство, содержащее знак > или <, называют строгим; содержащее знак ≤ или ≥, называют нестрогим. Отношения "меньше" и "больше" для чисел а и b взаимосвязаны: если а>b, то b<а; если а<b, то b>а.
К обеим частям истинного (верного) числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, в результате получим истинное неравенство. Умножая обе части истинного числового неравенства а<b на положительное число с, получим истинное неравенство ас<bс; если умножить на одно и то же отрицательное число с и изменить знак неравенства на противоположный, то получится истинное неравенство ас>bс.
Содержание линии неравенств развертывается на протяжении всего школьного курса математики. Учитывая важность и обширность материала этой линии, еще раз отметим целесообразность на заключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и сложные задания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонентов этой линии, основных понятий и основных приемов решения, исследования и обоснования заданий.
Выражение в математике - это практически всё, с чем мы собственно и имеем дело в математике. Уравнения, дроби, примеры, формулы... 1+1 - это выражение, a+b+c - это выражение, уравнение 5x+12=37 - это 2 математических выражения, соединённые знаком равенства. Дробь - математическое выражение, состоящее из числителя и знаменателя.
Значение выражения - (не совсем понятен вопрос) это либо просто результат (ответ) решения примера, уравнения и т.д. Либо это числовое выражение, состоящее из цифр и математических знаков (то в котором нет букв, если буквы появились, то это уже переменное или алгебраическое выражение). 7-3 - числовое выражение, (12+5)-(15-5) - числовое выражение. Любая дробь - числовое выражение. Иногда числовые выражения не имеют смысла, например, (12+5):(48-12х4) - просто потому, что на ноль делить нельзя.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначаемые буквами. Неизвестные числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, y, z хотя их можно обозначить и другими буквами.
Актуальность исследования: системная работа с уравнениями, неравенствами и выражениями, является базой качественного обучения.
Цель исследования: рассмотреть математические понятия, уравнения, выражения, неравенства и изучить работу с ними.
Объект исследования: уравнения, выражения, неравенства.
Предмет исследования: математические понятия, понятие уравнения, основные понятия неравенства.
Гипотеза исследования: определения уравнения, выражения, неравенства и их свойства создают более глубокие понятия в усвоении данных тем.
Задачи исследования: рассмотреть виды уравнений, неравенства,
В работе использовались следующие методы исследования:
- Теоретический анализ и синтез;
- Изучение литературы, различных источников;
- Изучение и обобщение педагогического опыта;
Структура работы состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ
1.1 Понятие выражения в математике
Выражения в математике - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований.
Для начала выясним, что такое выражение в математике. Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение. Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений.[2]
3+2 - это математическое выражение.
5х + 2 = 12
состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.
Вот в этих целях фраза "математическое выражение" очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике.
Конкретный вид- это другое дело. У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.
1.2 Числовые выражения.
Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.
7-3 - числовое выражение.
Главный признак числового выражения - в нём нет букв. Никаких. Только числа и математические значки.
Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений. [16]
Мы разберёмся с таким случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Выражение не имеет смысла.
Когда числовое выражение не имеет смысла?
Например:
(2+3) : (16 - 2·8)
Однако, это выражение тоже не имеет смысла. По той простой причине, что во вторых скобках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя. Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: выражение не имеет смысла.
1.3 Алгебраические выражения.
Если в числовом выражении появляются буквы, оно становится алгебраическим выражением. Например:
5а2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x2+4x-4; (а+b)2; ...
Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с, к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.
Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными.
В выражении у+5, например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная", без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная.
Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры. Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.
В арифметике можно записать, что
3 + 5 = 5 + 3
Посчитать, и все дела. Слева 8, и справа 8. А для других чисел такое равенство выполняется? Тоже можно записать и посчитать. Но чисел - бесконечное количество... И что, каждый раз считать?!
А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:
а + b = b + a
мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества.
Потому, что под буквами а и b подразумеваются
В каких случаях алгебраическое выражение не имеет смысла.
Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:
2: (а - 5)
Но есть одно значение а, при котором это выражение точно не имеет смысла. Это 5. Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла, если а = 5. Алгебраическое выражение 2: (а - 5) имеет смысл для любых значений а, кроме а = 5.
Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.
1.4 Преобразование выражений. Тождественные преобразования.
Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений Это любое действие с выражением. Возьмём крутое числовое выражение 3+5.
3+5 = 8
Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:
3+5 = 5+3
Записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:
3+5 = 10-2
И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь. [15]
Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:
3+5 = 2+1
Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.
Преобразования, не
меняющие сути выражения, называются тождеств
Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.
Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.
Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:
a(b+c) = ab + ac
Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac. И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.
Ещё пример. Одно из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот пример тождественных преобразований по этому свойству:
Эту цепочку можно продолжать до бесконечности
Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей.
Вывод: Выражения в математике - основа
всей математики. Вся математика
состоит из выражений и их
преобразований. В курсовой работе
мы рассмотрели следующие
ГЛАВА II.УРАВНЕНИЯ
Уравне́ние — это равенство вида
Чаще всего в качестве выступают числовые функции.
Основные свойства
С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:
В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнения,
которые являются результатом
этих операций, являются эквивалентными
начальному уравнению. Однако для
свойств 4 и 5 существует ограничение:
в случае прибавления к обеим
частям уравнения одного и
того же выражения (или в случае
вычитания из обеих частей
уравнения одного и того же
выражения), содержащего неизвестное
и теряющего смысл при
Умножение
или деление обеих частей
Возведение
обеих частей уравнения в
2.1 Линейные уравнения
Понятие многочлена.
Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых
составлен многочлен, называют членами многочлена.
Так членами многочлена4x2y - 5xy + 3x -1 являются 4x2y, -5xy, 3x и -
Если многочлен состоит
из двух членов, то его называют двучленом, если из
трех - трехчленом . Одночлен считают
многочленом, состоящим из одного члена.
В многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 члены 7x3y2 и - 2y2x3 являются подобными слагаемыми,
так как имеют одну и ту же буквенную часть.
Подобными являются и слагаемые -12 и 6, не имеющие буквенной
части. Подобные слагаемые в многочлене
называют подобными членами
многочлена, а приведение подобных слагаемых
в многочлене - приведением подобных
членов многочлена.
Приведем для примера подобные члены в
многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 .
Многочлен называется многочленом стандартного
вида, если каждый его член является одночленом
стандартного вида и этот многочлен не
содержит подобных слагаемых.
Любой многочлен можно
привести к стандартному виду. Для этого
нужно каждый его член представить в стандартном
виде и привести подобные слагаемые.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую
из степеней входящих в него одночленов.
Степенью произвольного
многочлена называют степень тождественно
равного ему многочлена стандартного
вида.
Для примера найдем
степень многочлена
8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 :
8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.
Заметим, что в исходный многочлен входят
одночлены шестой степени, но при приведении
подобных членов все они сократились,
и получился многочлен третьей степени,
значит и исходный многочлен имеет степень 3.
Сложение и вычитание многочленов
Сложим многочлены 5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7.
Для этого составим их сумму,
затем раскроем скобки и приведем подобные
члены:
( 5y2 + 2y - 3 ) + ( 7y2 - 3y + 7 ) = 5y2 + 2y - 3 + 7y2 - 3y + 7 = 12y2 - y + 4
Сумму многочленов 5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена 12y2 - y + 4. Вообще сумму любых многочленов можно представить и виде многочлена.
Вычтем из многочлена 8y2 + 5y + 3 многочлен 5y2 - 3y + 7.
Для этого составим их разность,
затем раскроем скобки и приведем подобные
члены:
( 8y2 + 5y + 3 ) - ( 5y2 - 3y + 7 ) = 8y2 + 5y + 3 - 5y2 + 3y - 7 = 3y2 + 8y - 4
Разность многочленов 8y2 + 5y + 3 и 5y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена 3y2 + 8y - 4. Вообщеразность любых
многочленов можно представить и виде многочлена.
При сложении и вычитании многочленов
снова получается многочлен.
Иногда требуется решить обратную
задачу- представить многочлен в виде
суммы или разности многочленов. При этом
пользуются правилом:
если перед скобками ставится
знак «плюс », то члены, которые заключают
в скобки, записывают с теми же знаками;
если перед скобками ставится
знак «минус », то члены, которые заключают
в скобки, записывают с противоположными
знаками. [14]
Например
4x + 3y - 2 = 4x + ( 3y - 2 )
4x + 3y - 2 = 4x - ( -3y + 2 )
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:
в общей форме:
в канонической форме:
Линейное уравнение одной переменной
Линейное уравнение от одной переменной можно привести к виду:
.
Количество решений зависит от параметров a и b.
Если , то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку
Если , то уравнение не имеет решений, поскольку . Если , то уравнение имеет единственное решение (рис.1)
Линейное уравнение двух переменных
Геометрическое место точек
линейного уравнения от двух переменных
вида:
y = ax + b.
Линейное уравнение двух переменных можно представить
в общей форме:
в канонической форме:
в форме линейной функции: , где
Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество. Геометрической моделью (графиком) такого уравнения является прямая .[1]
Решение линейных уравнений
Уравнение вида ax=b - линейное, где a и b - числа, а x - неизвестное.
Для того, чтобы найти решение линейного уравнения, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент a - числовой коэффициент возле переменной x. (рис.2)
Линейное уравнение может быть задано неявно. В этом случае необходимо раскрыть скобки, умножив многочлен на одночлен, применить действия над уравнениями, в результате которых получим уравнение равносильное данному, привести подобные.
Если изначально задано уравнение, содержащее переменную в знаменателе, то перед решением необходимо указать область определения, исключить из ответа корни, при которых выражение не имеет смысла. [14]
График линейной функции
Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки. [4]
Пример 1
Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.
Если , то
Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.
Если , то
При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:
А сами значения рассчитываются устно
или на черновике, калькуляторе.
Две точки найдены, выполним чертеж: (рис.3)
При оформлении чертежа всегда
подписываем графики. (рис.4)
2.2 Кубические уравнения
Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого имеет вид:
Для графического анализа кубического
уравнения в декартовой системе координат используется кубичес
Кубическое уравнение общего вида может быть приведено к каноническому виду при
где
Кубическая парабола
Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж: (рис.5)
2.3 Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
называется первым коэффициентом;
называется вторым коэффициентом;
— свободным членом.
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ( ).
Если в квадратном уравнении коэффициенты и не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, .[13]
Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение является корнем квадратного уравнения , потому что или — это верное числовое равенство. [6]
Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.
Решение неполных квадратных уравнений
ax2 + bx = 0, a≠0, b≠0
Пусть неполное
квадратное уравнение имеет
1. Вынесем общий множитель за скобки.
Мы получим . Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем или . Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
2. Решаем получившуюся систему уравнений.
Решив эту систему, мы получим и . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня и .
Пример 1.
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ: 0; 4.
ax2 + c = 0, a≠0, с≠0
Для решения данного
неполного квадратного
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если , то получаем два корня:
если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
Пример 2.
Таким образом, данное
квадратное уравнение имеет
ax2 = 0, a≠0
Разделим обе части уравнения на , мы получим , . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень .
Решение неполного квадратного уравнения
Найдем решение полного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения называется выражение b2 — 4ac.
При решении
уравнения с помощью
1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:
2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
3. D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.
Теорема Виета
Теорема Виета — сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.
Обратная теорема — если сумма двух чисел x1 и x2 равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x1 и x2являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен — многочлен вида ax2 + bx + c = 0, где x — переменная, a,b,c — некоторые числа. [7]
Значения переменной , которые обращают квадратный трехчлен в нуль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена — это корни квадратного уравнения .
Теорема. Если квадратное уравнение имеет корни , то его можно записать в виде: x2 + bx + c = a (x — x1)(x — x2).
Пример 3.
Разложим на множители квадратный трехчлен:
Сначала решим квадратное уравнение:
Получим: и .