Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие

1 Устойчивое и  неустойчивое упругое равновесие.

 

Проводя расчёты на прочность  и жёсткость при различных  деформациях, мы полагали, что во время  деформации любой системы имеет  место единственная заранее известная  форма равновесия. В действительности же в деформированном состоянии  равновесие между внешними и вызываемыми  ими внутренними силами упругости  может быть не только устойчивым, но и неустойчивым.

Упругое равновесие будет устойчивым, если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремиться возвратиться к первоначальному состоянию и возвращается к нему после удаления внешнего воздействия, нарушившего первоначальное равновесное состояние. Упругое равновесие неустойчиво, если деформированное тело, будучи выведено из него каким-либо воздействием, приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения и после удаления воздействия в исходное состояние не возвращается. Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело находиться в безразличном равновесии: оно может сохранить первоначально приданную ему форму, но может и потерять её от самого незначительного воздействия.

Устойчивость формы равновесия деформированного тела зависит от величины приложенных  к нему нагрузок. Например, если силы, сжимающие стержень, невелики, то первоначальная форма равновесия остаётся устойчивым (рис. 1, а). При возрастании величин приложенных сил достигается состояние безразличного равновесия, при котором наряду с прямолинейной формой стержня возможны смежные с ней слегка искривлённые формы равновесия

      Рис. 1                  (штриховые линии на рис. 1, б). При дальнейшем самом незначительном увеличении нагрузки характер деформации стержня резко меняется – стержень выпучивается (рис. 1, в), прямолинейная форма равновесия перестаёт быть устойчивой. Это означает, что нагрузки превысили критическое значение.

Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы тела, называется критической и обозначается через Р_кр.

Можно утверждать, что достижение нагрузками критических значений равносильно  разрушению конструкции, так как  неустойчивая форма равновесия неминуемо  будет утрачена, что связано с  практически неограниченным ростом деформаций и напряжений. Особая опасность  разрушения вследствие потери устойчивости заключается в том, что обычно она происходит внезапно и при  низких значениях напряжений, когда  прочность элемента ещё далеко не исчерпана.

До момента наступления  критического состояния упругие  деформации по величине весьма незначительны  и нарастание их происходит почти  незаметно для глаза. Но с момента  наступления критического состояния  до момента разрушения остаточные деформации нарастают крайне быстро, и практически  нет времени принять меры по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчёт на устойчивость критическая  нагрузка подобна разрушающей при расчёте на прочность. Для обеспечения определённого запаса устойчивости необходимо, чтобы удовлетворялось условие

                     в формуле     (1)

где Р – действующая нагрузка;

      n_y – коэффициент запаса устойчивости.

Следовательно, чтобы рассчитывать сжатые стержни на устойчивость, необходимо изучить способы определения  критических нагрузок Р_кр.

Из всего многообразия расчётов на устойчивость упругих систем подробно рассмотрим лишь случай потери устойчивости при сжатии длинного тонкого  стержня, или так называемый продольный изгиб.

 

 

2 Формула Эйлера для определения  критической силы сжатого             стержня.

 

Предположим, что под действием  силы Р, величина которой несколько превышает критическую силу Р_кр, стержень с шарнирно закреплёнными концами (рис. 2, а) слегка изогнулся (рис. 2, б). Отнесём искривлённую ось стержня к прямоугольной системе координат, выбрав начало координат в точке О.                                        

Предположим, что критическая  сила Р_кр не вызывает             Рис. 2            

в стержне напряжений, превышающих  предел пропорциональности, и что  рассматриваются только малые отклонения от прямолинейной формы. Тогда для  определения критической силы можно  воспользоваться приближённым дифференциальным уравнением упругой линии

,      следовательно   получим                    (2)

Здесь J_мин – наименьший момент инерции сечения стержня.

В расчёт принимается наименьшая жесткость стержня EJ_мин, так как очевидно, что прогиб произойдёт перпендикулярно к оси наименьшей жесткости, если остальные условия для изгиба во всех плоскостях одинаковы, как в рассматриваемом случае.

В отличие от поперечного  изгиба при продольном в правой части  этого уравнения следует ставить  знак «минус», так как абсолютная величина изгибающего момента                   ,            (3)

а знак прогиба всегда противоположен знаку второй производной, т.е. знаки  момента М(х) и второй производной противоположны при любом направлении

 Подставив в уравнение (2) выражение  (3) для изгибающего момента, получим 

(4)   или (5)

Введя обозначение (6) перепишем  уравнение (5) так:

                                                   (7)         

Мы получим однородное линейное дифференциальное уравнение, общий интеграл которого, как известно, представляется гармонической функцией

    (8)

Постоянные интегрирования А и В должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись граничные условия

Из первого граничного условия следует, что В=0, т.е.

     (9)

Из второго условия получаем (10)

Если допустить, что А=0, то прогиб будет тождественно равен нулю, т.е.

Это решение соответствует  одной из возможных форм равновесия сжатого стержня, а именно – прямолинейной  форме. Нас же интересует значение силы Р, при которой становиться возможной другая форма равновесия – криволинейная. Так как А≠0, то при искривлённой форме стержня должно выполняться равенство Корень этого уравнения kl может иметь бесконечное множество значений: 0, , 2π, …, nπ, т.е.   где n – произвольное целое число.

Однако первый корень kl=0 отпадает, так как он не соответствует исходным данным задачи. Таким образом,   (11)

Тогда из уравнения (6) получим  выражение для сжимающей силы:

  (12)

 

Уравнение (12) представляет собой формулу, впервые полученную Эйлером.

Практически нас интересует наименьшее значение продольной сжимающей силы, при котором становится возможным продольный изгиб. Наименьшее значение критической силы Р_кр получим при n = 1 и kl = π:

(13)

Возвращаясь к уравнениям (9) и (11), получим уравнение изогнутой  оси стержня при малых деформациях:

Наибольший прогиб стержня  при   Тогда .

Следовательно, уравнение упругой  линии сжатого стержня имеет  вид  (14)

График этой зависимости показан на рис. 3.

Максимум  имеет место при таком значении х, для которого т.е. или 

Наименьшее значение аргумента, при котором косинус равен   Рис.3    нулю,будет , значит, = , откуда x = .  (15)

Если n = 1, то х = , а максимум имеет место посредине    стержня,    что соответствует так называемому основному случаю, показанному на рис. 2.

Из соотношения (15) или  из уравнения (14) и рис. 4 следует, что n представляет собой число полуволн синусоиды, располагающихся на длине изогнутого стержня.

                                                                                                                                Рис. 4              

               

3. Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы.

 

В предыдущем разделе был  рассмотрен так называемый основной случай нагружения и закрепления  концов сжатого стержня – стержня  с шарнирно опёртыми концами. Как  было показано, после потери устойчивости на длине стержня укладывается только одна полуволна (n = 1).

Рассмотрим другие случаи закрепления концов стержня:              Рис. 5

1.Стержень длиной l заделан одним концом и сжат продольной силой, приложенной к свободному концу (рис. 5, а). Сравнивая рис. 5, а и б, видим, что изогнутая ось стержня, заделанного одним концом, находится в таких же условиях, как и верхняя половина стержня, длиной 2l с шарнирно закреплёнными концами. Таким образом, критическая сила для стержня с одним заделанным, а другим свободным концом такая же, как и для стержня с шарнирно опёртыми концами при длине L=2l, т.е.

                                   .      (16)

При этом изогнутая ось  стержня (рис. 5, а) имеет вид половины полуволны синусоиды.

2. Стержень длиной l, у которого оба конца жёстко заделаны (рис. 6). После потери устойчивости стержня вследствие симметрии средняя его часть длиной работает в тех же условиях, что и стержень при шарнирно опёртых концах. При этом образуются две полуволны: средняя длиной L = и две крайние    

Рис. 6       половинки полуволны длиной .

        Критическую силу в этом случае находим из уравнения (13) при L = :

  .      (17)

                      Рис. 7                                3. Стержень длиной l заделан одним концом и шарнирно оперт на другом (рис. 7). После потери устойчивости правая часть СВ стержня имеет вид полуволны синусоиды. Из сравнения рис. 7 и 5, б находим, что участок СВ длиной L = 0,7l находится в таких же условиях, как и стержень с шарнирно закреплёнными концами. Значит,

(18)

Соотношения (13), (16) – (18) можно объединить в одну формулу

  (19)

где vl = l_пр – приведённая длина стержня;

l – фактическая длина стержня;

v – коэффициент приведения длины.

Таким образом, различные  случаи опирания и нагружения стержня  приводятся к основному случаю введением  в формулу для Р_кр так называемой приведённой длины l_пр = vl. Это понятие впервые было введено Ф.С. Ясинским.

Из формулы Эйлера (19) видно, что  критическая нагрузка зависит от наименьшей жёсткости ЕJ_мин, длины стержня l и коэффициента v.

На рис. 8 приведены значения v для рассмотренных стержней. Однако такие расчётные схемы на практике редко встречаются в чистом виде. Чаще закрепления концов бывают упругими. Наиболее распространены следующие случаи упругого закрепления концов:

1. один конец стержня жёстко заделан, а другой упруго опёрт;                                                                                              Рис. 8
2. оба конца упруго заделаны.

Рассмотрим первый случай (рис. 9). После  потери устойчивости упруго опёртый  конец стойки перемещается в вертикальном направлении на величину f_В: R_B = cf_B ,

                       Рис. 9                                где с – коэффициент упругости опоры В.

Составим дифференциальное уравнение упругой линии сжатого  стержня после потери устойчивости:

  (20)

Разделив почленно на ЕJ_мин и обозначив, как обычно,

получим

или

  (21)

Общий интервал этого дифференциального  уравнения

  (22)

Для определения постоянных интегрирования и критической нагрузки имеем такие граничные условия:

при х = 0

     (23)

     (24)

при х = l

     (25)

Используя граничное условие (23), из уравнения (22) находим

Чтобы применить граничное  условие (24), вычислим производную от перемещения  :

   

откуда при х = 0 находим

или

Подставив полученные выражения  для произвольных постоянных в формулу (22), получим окончательное уравнение изогнутой оси сжатого стержня:

    (26)

Граничное условие (25) используем, чтобы получить определяющее уравнение  для нахождения критической нагрузки. Положив в уравнение (26) х=l, находим, что

или

откуда

    (27)

Если это уравнение  решить, т.е. определить наименьший корень k, то тем самым можно найти значение критической нагрузки, так как  

Рассмотрим два предельных случая. Положив с = 0, получим tg kl = ∞; т.е. kl = , и приходим к такой расчётной схеме стержня, когда один конец (левый) жёстко заделан, а другой (правый) свободен. Величина критической силы равна

Положив с = ∞ (очень жёсткая опора), получим определяющее уравнение

tg kl = kl;    т.е.   kl = 4,493 = .

Величина критической  силы

что даёт формулу для стержня, один конец которого заделан, а другой шарнирно опёрт.

Таким образом, если коэффициент  упругости опоры с меняется от нуля до бесконечности, то это можно учесть коэффициентом приведения v, который при этом соответственно изменяется от 2 до 0,7.

Значения критических  нагрузок могут быть получены в виде формул приведённых Эйлером и  для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил. Результаты решения  некоторых задач теории упругой  устойчивости, имеющих практическое значение, приведены в таблице 1.

 

 

4.Понятие о потере устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности.

 

Вывод формулы Эйлера основан  на применении дифференциального уравнения  упругой линии. Поэтому воспользоваться  этой формулой можно лишь в том  случае, если справедлив закон Гука, т.е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической  силе) не превышает предела пропорциональности:

     (28)

Действительно, если прямолинейная  форма стержня остаётся устойчивой и при напряжениях, превышающих  предел пропорциональности, то дифференциальное уравнение (2), предполагающее справедливость закона Гука, уже непригодно.

Выведем формулу для критического напряжения σ_кр. В соответствии с выражением (28) и (19)

         (29)

Здесь i² = i²_мин = – квадрат наименьшего из главных радиусов инерции стержня; F = F_бр – площадь брутто поперечного сечения стержня.

Введя безразмерную величину

λ = ,        (30)

называемую гибкостью стержня, окончательно получим

      (31)

т.е. критическое напряжение стержня  зависит от упругих свойств материала (модуля упругости Е) и гибкости стержня (λ).

Функциональная зависимость (31) представляет собой видоизменение  формулы Эйлера. В системе координат σ_кр – λ эта зависимость может быть представлена гиперболической кривой, называемой гиперболой Эйлера. В качестве примера приведём такой график (рис. 10) для стержня из стали марки                   Рис. 10               Ст3, для которой модуль упругости Е = 2,1 ×10⁶ кгс/см², предел текучести σ_т = 2400кгс/см², а предел пропорциональности σ_пц = 2000кгс/см².

График показывает, что  по мере возрастания гибкости стержня  критическое напряжение стремится  к нулю, и наоборот, по мере приближения гибкости стержня к нулю критическое напряжение стремится к бесконечности.

Однако из условия (28) применимости формулы Эйлера в соответствии с  формулой (31) имеем

 и следовательно,     (32)

Значит, формула Эйлера становится непригодной при гибкости стержня, меньшей предельного значения λ_пред, зависящего только от свойств материала, т.е. в рассматриваемом случае при

То же можно получить и  графически. Если на оси ординат (σ_кр) отложить величину предела пропорциональности (σ_пц = 2000кгс/см²) и провести из полученной точки К прямую, параллельную оси абсцисс, то она в пересечении с гиперболой Эйлера даст точку М, абсцисса которой и есть λ_пред. Слева от точки М гипербола Эйлера показана штриховой линией, так как здесь она даёт значения напряжений, большие пределы пропорциональности, т.е. не соответствующие условиям её применимости.

Однако явление продольного  изгиба продолжает существовать и за пределом упругости. Опытным путём  установлено, что действительные критические  напряжения для стержней средней  и малой гибкости (λ < λ_пред) ниже значений, определённых по формуле Эйлера. Таким образом, в этом случае формула Эйлера даёт завышенные значения критической силы, т.е. всегда переоценивает действительную устойчивость стержня. Поэтому использование формулу Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, не только принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим последствиям.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными  в результате обработки большого количества опытных данных.

Ф.С. Ясинский собрал и обширный опытный материал по продольному  изгибу стержней, в результате чего составил таблицу критических напряжений в зависимости от гибкости для ряда материалов и предложил простую эмпирическую формулу для вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности:                 σ_кр = a – bλ.     (33)

Значения коэффициентов  а и b для некоторых материалов даны в таблице 2.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

σ_кр = a – bλ + сλ2,   (34)

где  с = 0,53.

По этим данным для каждого  материала при 0 < λ < λ_пред можно построить график зависимости критических напряжений от гибкости стержня.

При некотором значении гибкости (обозначим его λ₀) величина σ_кр, вычисленная по формуле (33) или (34), становится равной предельному напряжению при сжатии, а именно: для пластичных материалов    σ_кр = σ_т,    а для хрупких материалов    σ_кр = σ_в .    (35)

Стержни, у которых λ < λ₀, называются стержнями малой гибкости. Их рассчитывают только на прочность.

В рассматриваемом примере (рис. 10) часть графика критических  напряжений за пределом пропорциональности (при 40 < λ <100) представляет собой слегка наклонённую прямую SM, а часть (при 0 < λ <40) – горизонтальную линию NS. Следовательно, график σ_кр = f(λ) для стали Ст3 состоит из трёх частей: гиперболы Эйлера при λ > 100, наклонной прямой при 40 < λ < 100 и почти горизонтальной прямой при λ < 40 = λ₀. Наклонная прямая SM соответствует напряжениям между пределом пропорциональности и пределом текучести. Горизонтальная прямая SN соответствует напряжению, равному пределу текучести.

 

 

 

 

 

 

 

5.Проверка сжатых стержней на устойчивость.

 

Можно считать, что центрально сжатые стержни теряют свою несущую  способность от потери устойчивости раньше, чем от потери прочности, так  как критическое напряжение всегда меньше предела текучести или  предела прочности:

σ_кр < σ₀

где σ₀ = σ_г – для пластичных материалов;

       σ₀ = σ_в – для хрупких материалов.

Необходимо напомнить, что  для стержней малой гибкости (λ < λ₀) трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы стержня, как это имеет место для стержней средней и большой гибкости. Несущая способность стержней малой гибкости определяется прочностью материала.

Критическое напряжение для  центрально сжатых стержней средней  и большой гибкости представляет, пожалуй, большую опасность, чем  предел текучести для пластичных материалов или предел прочности  для хрупких материалов при простом  растяжении. Очевидно, что при практическом решении вопроса об устойчивости стержня нельзя допустить возникновения  в нём критического напряжения, а  следует принять соответствующий  запас устойчивости.

Чтобы получить допускаемое  напряжение на устойчивость, нужно  выбрать коэффициент запаса n_y. Тогда

    (36)

Коэффициент запаса на устойчивость всегда принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность (n_y > n). Это делается потому, что для центрально сжатых стержней ряд обстоятельств, неизбежных на практике (эксцентриситет приложения сжимающих сил, начальная кривизна и неоднородность стержня), способствуют продольному изгибу, в то время как при других видах деформации эти обстоятельства почти не сказываются. Коэффициент запаса устойчивости для сталей выбирают в пределах 1,8 – 3,0; для чугуна – в пределах 5,0 – 5,5; для дерева – 2,8 … 3,2. Заметим, что меньшие значения n, принимают при большей гибкости.

Допускаемое напряжение на устойчивость

и допускаемое напряжение на прочность при сжатии

взаимно связаны. Составим их отношение:

   или      (37)

Обозначив

получим

     (38)

Здесь φ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчёте на устойчивость. Этот коэффициент для каждого материала можно вычислить при всех значениях гибкости λ и представить в виде таблицы или графика зависимости φ от λ. Значения коэффициента φ для сталей, чугуна и дерева приведены в таблице 3. Пользуясь аналогичными таблицами, можно достаточно рассчитать стержни на устойчивость.

Составим условие устойчивости сжатых стержней: σ ≤ [σ]_y     (39)

Так как

То условие устойчивости принимает вид

        (40)

При расчёте на устойчивость местные ослабления сечения практически  не изменяют величину критической силы, поэтому в расчётные формулы  вводится полная площадь F_бр поперечного сечения.

Рассмотрим два вида расчёта  на устойчивость сжатых стержней –  проверочный и проектировочный.

 

 

5.1 Проверочный расчёт сжатых стержней.

Порядок проверочного расчёта  на устойчивость при использовании  таблицы коэффициентов φ следующий:

1. исходя из известных размеров и формы поперечного сечения, определяем наименьший осевой момент инерции J_мин, площадь F_бр, вычисляем минимальный радиус инерции

                                                                                                            Рис. 11

и гибкость                                                                                              

2. по таблице находим коэффициент φ и вычисляем допускаемое напряжение на устойчивость по формуле

3. сравниваем действительное напряжение

с допускаемым напряжением [σ_y] на устойчивость: σ ≤ [σ]_y.   

Пример №1.

 Проверить на устойчивость сжатую деревянную колонну (рис.11) квадратного поперечного сечения (а = 15см) длиной l = 5м, если основное допускаемое напряжение [σ_] = 100кгс/см², а сжимающая сила Р = 10Тс.

Определяем следующие  величины:

площадь

F = a² = 225см²;

момент инерции

радиус инерции

проведённую длину

l_пр = = 0,7× l = 0,7 × 5м = 3,5м = 350см;

гибкость

λ = = = 80,6

по таблице 3 находим, что

φ = 0,48 – ×0,6 = 0,474.

Тогда               [σ_y] = φ[σ_] = 0,474 × 100кгс/см² = 47,4кгс/см²;

σ = кгс/см² = 44,4кгс/см²

Так как σ = 44,4кгс/см² < 47,4кгс/см², то устойчивость колонны обеспечена.

5.2 Проектировочный  расчёт сжатых стержней.

В расчётной формуле на устойчивость

      (41)

имеются две неизвестные  величины – коэффициент φ и искомая площадь брутто F_бр поперечного сечения. Поэтому при подборе сечений приходится пользоваться методом последовательных приближений, варьируя величину коэффициента φ. Обычно в первой попытке берут φ₁ = 0,5 0,6. Принимая какое-либо из этих значений φ₁, определяют требуемую площадь F_бр и подбирают сечение. Подобранное сечение проверяют и устанавливают фактическое значение φ₁’. Если φ₁’ значительно отличается от φ₁, то и напряжение отличается от допускаемого. Тогда следует повторить расчёт, т.е сделать вторую попытку, приняв среднее по величине значение между φ₁ и φ₁’ :

    (42)

В результате второй попытки  устанавливают φ₂’. Если требуется третья попытка, то            и т. д.

Обычно при подборе  сечений требуется не более двух-трёх попыток.

Пример №2.

 Подобрать по сортаменту двутавровое  поперечное сечение стержня длиной 5м, находящегося под действием центральной сжимающей нагрузки 32Тс. Оба конца стержня защемлены. Материал – Ст3. Основное допускаемое напряжение[σ_] = 1600кгс/см².

Определяем расчётную  длину стержня:

l_пр = = 0,5× l = 0,5 × 5м = 2,5м = 250см;

Подбираем поперечное сечение  путём последовательных приближений.

Первая попытка: принимаем φ₁ = 0,5; требуемая площадь поперечного сечения    F = = см²= 40см²;

По сортаменту подбираем двутавр №27 с площадью F =40,2см² и минимальным радиусом инерции i_мин= i_y = 2,54cм.

Гибкость стержня                                      98,5

По таблице 3 

φ₁’ = 0,69 – ×8,5 = 0,614 » φ₁ = 0,5.

Перейдём ко второму приближению, приняв   φ₂ = ≈ 0,557.