Содержание

Введение 

§ 1.  Теплопроводность в твердых телах.

1. Понятие теплопроводности.
2. Теплопроводность металлов.
3. Теплопроводность диэлектриков.

§ 2. Перенос массы в твердых телах (диффузия).

§3. Перенос  импульса в твердых телах (вязкое трение).

§4. Перекресные процессы переноса  в твердых телах.

Заключение 

Литература 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

     Явления переноса  -  неравновесные процессы, в результате которых в физической  системе происходит пространственный перенос электрического  заряда, вещества, импульса, энергии, энтропии или какой-либо другой физической  величины.

     Общую феноменологическую теорию явлений  переноса, применимую к любой системе (газообразной, жидкой или твёрдой), даёт термодинамика неравновесных процессов. Более детально явления переноса изучает кинетика физическая. Явления переноса  в газах рассматриваются на основе кинетической теории газов с помощью кинетического уравнения Больцмана для функции распределения молекул; явления переноса в металлах - на основе кинетического уравнения для электронов в металле; перенос энергии в непроводящих кристаллах - с помощью кинетического  уравнения для фононов кристаллической  решётки. Общая теория явлений переноса развивается в неравновесной статистической механике на основе Лиувилля уравнения для функции распределения всех частиц, из которых состоит система.

     Причиной  явлений переноса являются - возмущения, нарушающие состояние термодинамического  равновесия: действие внешнего  электрического поля, наличие пространственных  неоднородностей состава, температуры или средней скорости движения частиц системы.

     Перенос физической величины происходит в направлении, обратном её градиенту, в результате чего изолированная от внешних воздействий  система приближается к состоянию термодинамического равновесия. Если внешние воздействия поддерживаются постоянными, явления переноса протекают стационарно, которые характеризуются необратимыми потоками J_i физической  величины, например, диффузионным потоком вещества, тепловым потоком или тензором потока импульса, связанного с градиентами скоростей.

     При малых отклонениях системы от термодинамического равновесия потоки линейно зависят от термодинамических  сил Х_k, вызывающих отклонение от термодинамического равновесия, и описываются феноменологическими уравнениями

где L_ik - феноменологический коэффициент переноса (в термодинамике неравновесных процессов) или кинетические коэффициенты (в физ. кинетике), вычисляемые с помощью решения кинетических уравнений. Термодинамические  силы Х_k вызывают необратимые потоки; например, градиент температурыры вызывает поток теплоты (теплопроводность ),градиент концентрации вещества - поток компонента смеси (диффузия ),градиент массовой скорости - поток импульса (вязкость).  
Перенос вещества, вызванный градиентом температуры, - термодиффузию и обратный ей процесс переноса тепла вследствие градиента концентрации (Дюфура эффект)называют перекрёстными процессами. Для перекрёстных процессов в отсутствии магнитного поля имеет место соотношение симметрии L_ik = L_ki (Онсагера теорема), являющееся следствием микроскопической обратимости уравнений, описывающих движение частиц. Если магнитное поле отлично от нуля, то при замене i k нужно изменить направление магнитного поля на противоположное.

     Явления переноса  обычно сопровождаются производством  энтропии в единицу времени:

Это выражение  является формулировкой второго начала термодинамики для явлений переноса.  
Целью данной курсовой работы является изучение явление переноса в твердых телах, ………………………………………………………………………………………

Основной  задачей……………………………… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 1.  Теплопроводность в твердых телах.

1. Понятие теплопроводности.

     Теплопроводность  – это процесс переноса энергии  от более нагретых частей тела (или  тел) к менее нагретым частям (или  телам), осуществляемый хаотически движущимися  частицами тела. В газах,                                                                                             жидких и твердых диэлектриках такими частицами являются атомы и молекулы. Хотя атомарно – молекулярный характер переноса энергии является отличительной чертой теплопроводности во всех телах, механизм теплопроводности в различных агрегатных состояниях различен, что связано с различным характером теплового движения атомов и молекул. Механизм теплопроводности в твердых диэлектриках связан с тепловыми колебаниями атомов или молекул около положений равновесия. В области с повышенной температурой частицы тела имеют более высокую энергию и совершают колебания с большей амплитудой. Поскольку частицы связаны между собой упругими силами, то увеличение амплитуды колебаний частиц в одном месте вызывает увеличение амплитуды колебаний соседних частиц. В результате в теле возникает упругая волна, распространяющаяся со скоростью звука и переносящая энергию тепловых колебаний. Механизм распространения тепловых волн аналогичен механизму распространения звуковых волн, поэтому их обычно называют акустическими.

     Теория  тепловых волн в кристаллической  решетке была разработана в 1912 году Дебаем. В ее основе лежит представление о квантовании энергии. Согласно этим представлениям энергия решетки, в которой распространяется волна с частотой ν (энергия упругой волны) может принимать только дискретные значения:

где n = 0, 1, 2, 3… - квантовое число,

h –  постоянная Планка, h = 6,62·10 ^-34 Дж·с.

     Эти значения энергии изображены на рис. 2 в виде энергетических уровней. Минимальная энергия решетки соответствует уровню n = 0 и равна  hν (так называемая, нулевая энергия). Наименьшая порция энергии, которую может испустить или поглотить решетка при тепловых колебаниях, соответствует переходу с данного энергетического уровня на ближайший соседний уровень:

ε = h ν.              (2)

Рис. 1

     Эту порцию, или квант энергии тепловых колебаний решетки, называют фононом. В зависимости от степени возбуждения  решетки, она может испускать  то или иное число фононов. Так, если энергия решетки соответствует 3-му уровню (рис. 1), то есть

то это  означает, что решетка испустила  три одинаковых фонона с энергией ε = h ν каждый. Среднее число фононов  с одинаковой энергией ε при данной температуре Т равно

где e – основание  натурального логарифма, k – постоянная Больцмана.

     Из  формулы (3) следует, что при Т = 0 в  кристалле нет фононов, а с  ростом температуры их число быстро увеличивается. В кристалле может  одновременно распространяться много  слабо связанных между собой волн с различными частотами νi, которым соответствуют разного сорта фононы. Среднее число фононов других сортов (других энергий) также определяется формулой (3).

     Введение  фононов позволяет рассматривать  термически возбужденное твердое тело как сосуд, наполненный газом фононов, свободно перемещающихся внутри него со скоростью звука. Однако фононы отличаются от обычных частиц тем, что они не могут существовать в вакууме – для      фононов нужна среда и этой средой является кристалл. Подобного рода частицы называются квазичастицами. Используя понятие фонового газа, теплопроводность в кристаллических телах (решеточную теплопроводность) можно объяснить следующим образом. В той части тела, где выше температура, плотность фононов, согласно формуле (3), больше, фононы будут двигаться в ту часть тела, где температура ниже (меньше плотность), стремясь выравнять плотность по всему телу. При таком движении фононов от горячего конца к холодному происходит перенос тепла. Поскольку скорость движения фононов, равная скорости звука, велика (порядка 103 м/с), то, казалось бы, тепло должно распространяться в твердом теле очень быстро. Однако  происходит рассеяние фононов на фононах (столкновение фононов), вследствие чего средняя длина свободного пробега фонона (за исключением низких температур) оказывается маленькой. Рассмотренный механизм передачи энергии не обеспечивает ее быстрого переноса и поэтому теплопроводность твердых диэлектриков мала.

     Опыт  показывает, что теплопроводность металлов, как правило, значительно больше теплопроводности диэлектриков. Это объясняется тем, что в металлах в переносе тепла кроме фононов участвуют валентные электроны, образующие электронный газ, подобный идеальному атомарному газу. Механизм электронной теплопроводности металла подобен механизму теплопроводности газа: валентные электроны, пролетая большие расстояния между столкновениями с узлами решетки, переносят энергию из одной части в другую. В чистых металлах электронная часть теплопроводности значительно больше решеточной теплопроводности.

     При достаточно высоких температурах решеточная (фононная) теплопроводность составляет 1 –2 % от электронной теплопроводности. В сплавах со структурными неоднородностями кристаллической решетки электронная  теплопроводность может быть сравнима с решеточной, а общая теплопроводность   приближается к теплопроводности диэлектриков.

     Уравнение теплопроводности Количественно явление теплопроводности во всех телах описывается уравнением Фурье, согласно которому количество тепла dQ, прошедшее за время dt через некоторую площадку s, перпендикулярную направлению распространения тепла, выражается формулой:

Как следует  из формулы (4) К  измеряется в системе СИ в единицах Дж/м·с·К. 

     Величина dT/dl характеризует быстроту изменения температуры в направлении распространения тепла и численно равна изменению температуры тела на единице длины в этом направлении. Она называется градиентом температуры.

     Знак  минус в уравнении Фурье указывает, что поток тепла направлен в сторону, противоположную градиенту температуры.

     Коэффициент К, зависящий от физической природы вещества и его состояния, называется коэффициентом теплопроводности. Физический смысл его можно установить из следующих соображений. Если положить в формуле (4) s = 1; dt = 1; и dT/dl = 1, то dQ = K. Это означает, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству тепла, переносимому за 1 секунду через единицу площади, перпендикулярной направлению распространения тепла, если градиент температуры равен единице.

Метод определения коэффициента теплопроводности.

     В данной работе для определения коэффициента теплопроводности К используется уравнение  Фурье (4). При этом величины dQ/dt, s , dT/dl измеряются опытным путем. Исследуемый  материал взят в виде сплошного медного  стержня круглого сечения. Для создания потока тепла вдоль стержня его концы помещены в термостаты А и В (рис. 2).

Рис.2

     Термостат А представляет собой металлическую  коробку цилиндрической формы, в  которую впаяны две трубки для  входа и выхода водяного пара. Такое же устройство имеет термостат В, через который протекает холодная вода. Расход воды через термостат В поддерживается постоянным с помощью сосуда Д. Это достигается постоянством уровня воды в сосуде Д, для чего он снабжен трубкой Н, служащей для отвода излишков воды. Контроль за уровнем воды в сосуде Д осуществляется с помощью водомерной стеклянной трубки h. Вода, протекающая через термостат В, служит приемником тепла, переносимого через исследуемый стержень от его горячего конца к холодному. Термометры Т1 и Т2 позволяют определить увеличение  температуры воды. В точках «а» и «в» исследуемого стержня в специальных углублениях помещаются спаи термопары, соединенной с гальванометром Г и служащей для определения градиента температуры. Стержень помещен в ящик, наполненный пористым  веществом лигнином, являющимся хорошим теплоизоляционным материалом. При хорошей изоляции стержня можно пренебречь отдачей тепла через боковую поверхность и считать, что тепло распространяется только вдоль стержня. Через некоторое время после подачи пара в термостат А в стержне устанавливается стационарный процесс переноса тепла, характеризуемый постоянством температуры в каждом сечении стержня. Такое состояние возможно, если через любое поперечное сечение за равные промежутки времени проходит одинаковое количество тепла (dQ/dt = const).

     Из  уравнения (4) следует, что при этом градиент температуры dT/dl можно считать  одинаковым для всех сечений стержня. Поэтому он может быть определен  в виде:

где l – расстояние между двумя сечениями стержня, ΔТ – разность температур в этих сечениях, определяемая по показаниям гальванометра.

       Для определения dQ/dt (количества  тепла, протекающего через поперечное  сечение стержня за 1 секунду)  поступают следующим образом. При стационарном процессе переноса тепла:

     За  время t теплота Q будет передана воде, протекающей через термостат  В. При этом вода нагреется от Т1 до Т2 (см. рис. 3). Если за это же время  через термостат В протечет количество воды, масса которой М, то

Или                                                                                                                 (7)

где с  – удельная теплоемкость воды, Т1 и  Т2 – показания соответствующих  термометров.

     Подставляя  формулы (5), (6) и (7) в уравнение Фурье (4). Получим формулу для определения К:

S –  площадь поперечного сечения  стержня. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.    Теплопроводность металла

     Наиболее  впечатляющим успехом модели Друде  в то время, когда она была предложена, явилось объяснение эмпирического закона Видемана и Франца (1853г.). Закон Видемана-Франца утверждает, что соотношение  теплопроводности к электропроводности для большинства металлов прямо пропорционально температуре, причем коэффициент пропорциональности с достаточной точностью одинаков для всех металлов. Эта закономерность видна из таблицы , где приведены измеренные значения теплопроводности и отношение  (называемое числом Лоренца) для некоторых металлов при двух температурах, 273 К и 373К.

     Для объяснения этой закономерности в рамках модели Друде предполагают, что основная часть  теплового потока в металле  переносится электронами проводимости.  Это предположение  основано на том  эмпирическом наблюдении, что металлы проводят тепло гораздо лучше, чем диэлектрики.  Поэтому теплопроводность, обусловленная ионами, которые имеются и в металлах, и в диэлектриках, гораздо менее важна по сравнению с теплопроводностью, обусловленной электронами проводимости (присутствующими только в металлах).

Таблица 1

     Чтобы дать определение коэффициента теплопроводности и рассчитать его, рассмотрим металлический  стержень, вдоль которого температура  медленно меняется. Если бы на концах стержня  не было источников, и стоков тепла, поддерживающих градиент температуры, то его горячий конец охлаждался бы, а холодный – нагревался, то есть тепловая энергия текла бы в направлении, противоположном градиенты температуры. Подводя тепло к горячему концу с той же скоростью, с которой оно отсюда уходит, можно добиться установления стационарного состояния с градиентом температуры и постоянным потоком тепловой энергии. Мы определяем плотность потока тепла j^q как вектор, параллельный направлению потока тепла и равный по абсолютной величине количеству тепловой энергии, пересекающей за единицу времени единичную площадь, перпендикулярную потоку. Для малых градиентов температуры поток тепла оказывается пропорциональным (закон Фурье):

     где  - коэффициентом теплопроводности. Он положителен, поскольку направление потока тепла противоположно направлению градиента температуры. 
 
 
 
 

3.   Теплопроводность диэлектриков.

     Большинство кинетических свойств металлов не имеет  аналогов у диэлектриков. Однако диэлектрики, являясь электрическими изоляторами, все же проводят тепло. Конечно, они проводят не так хорошо, как металлы: верхний конец серебряной ложки, опущенной в кофе, становится горячим гораздо быстрее, чем ручка керамической чашки. Тем не менее с точки зрения модели статистической решетки в диэлектриках вообще не существует механизма, который обеспечивал бы даже небольшой перенос тепла. Действительно,  в частично заполненных зонах диэлектриков содержится столь малое число  электронов, что их недостаточно для выполнения этой задачи. Теплопроводность диэлектриков обусловлена в первую очередь решеточными степенями свободы.

      Теплопроводность  реальных диэлектриков не бесконечна по ряду обстоятельств:

1. Неизбежные несовершенства решетки, примеси, изотопические неоднородности и т.п., всегда присутствующие в реальных кристаллах, играют роль рассеивающих центров для фононов и служат препятствиями тепловому потоку.
2. Даже в совершенно чистом кристалле фононы обязательно сталкиваются с поверхностью  образца, что также ограничивает тепловой поток.
3. Даже в совершенно чистом бесконечном кристалле стационарные состояния гармонического гамильтониана представляют собой всего лишь приближенные стационарные состояния полного ангармонического гамильтониана, поэтому состояние с определенной совокупностью фононных чисел заполнения не будет оставаться неизменным с течением времени.

Предположим, что вдоль оси х в кристалле диэлектрика приложен небольшой градиент температуры. (рис. 3) 

Рис. 3: Перенос тепла фононами при наличии постоянного градиента температуры вдоль оси х.

Поток тепла в точке х₀ обусловливается фононами, испытавшими  последнее столкновение в среднем на расстоянии от х₀. Фононы, скорость которых в точке х₀ составляет угол θ с осью х, испытали последнее столкновение в точке Р, расположенной на расстоянии выше по градиенту температуры, и поэтому переносимая ими плотность энергии равна , а компонента скорости вдоль оси х равна   . Полный поток тепла пропорционален произведению этих величин, усредненному по телесному углу.

      В отсутствии процессов переброса диэлектрический кристалл имеет бесконечно большую теплопроводность.

      Теплопроводность  совершенного бесконечного ангармонического кристалла конечна при низких температурах лишь из-за того, что в  этих условиях имеется небольшая  вероятность осуществления нарушающих закон сохранения квазиимпульса процессов переброса,которые уменьшают тепловой поток. С понижением температуры число фононов, способных принять участие в процессах переброса, спадает по экспоненте. Без процессов переброса теплопроводность имела бы бесконечно большую величину.

      Поведение теплопроводности во всем диапазоне  температур должно быть следующим. При  очень низких температурах теплопроводность будет ограничиваться температурно-независимыми процессами рассеяния, определяемыми  геометрией образца и чистотой вещества, из которого он изготовлен. Поэтому он будет расти пропорционально Т³ так же, как удельная теплоемкость. Рост продолжается до тех пор, пока не будет достигнута температура, при которой процессы переброса становятся столь частыми, что длина свободного пробега оказывается меньше не зависящей от температуры длины свободного пробега.  В этой точке теплопроводность достигает максимума, а затем начинает очень быстро падать за счет экспоненциального возрастания частоты процессов переброса с повышением температуры.  Резкое экспоненциальное падение скоро заменяется медленным степенным убыванием (из-за того, что при высоких температурах велико число фононов, способных принять участие в процессе рассеяния (с перебросом)).

      На  Рис. 4 Показаны типичные экспериментальные кривые температурной зависимости теплопроводности.

Рис.4: Теплопроводность изотопически чистых кристаллов LiF. 
 

     § 2. Перенос массы  в твердых телах (диффузия).

     Диффузия (от лат. diffusio — распространение, растекание), взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга вследствие теплового движения частиц вещества. Диффузия происходит в направлении падения концентрации вещества и ведёт к равномерному распределению вещества по всему занимаемому им объёму (к выравниванию химического потенциала вещества).

     Самым известным примером диффузии является перемешивание газов или жидкостей (если в воду капнуть чернил, то жидкость через некоторое время станет равномерно окрашенной). Другой пример связан с твёрдым телом: если один конец стержня нагреть или электрически зарядить, распространяется тепло (или соответственно электрический ток) от горячей (заряженной) части к холодной (незаряженной) части. В случае металлического стержня тепловая диффузия развивается быстро, а ток протекает почти мгновенно. Если стержень изготовлен из синтетического материала, тепловая диффузия протекает медленно, а диффузия электрически заряженных частиц — очень медленно. Диффузия молекул протекает в общем ещё медленнее. Например, если кусочек сахара опустить на дно стакана с водой и воду не перемешивать, то пройдёт несколько недель, прежде чем раствор станет однородным. Ещё медленнее происходит диффузия одного твёрдого вещества в другое. Например, если медь покрыть золотом, то будет происходить диффузия золота в медь, но при нормальных условиях (комнатная температура и атмосферное давление) золотосодержащий слой достигнет толщины в несколько микрометров только через несколько тысяч лет.

   Диффузия имеет место в газах, жидкостях и твёрдых телах, причём диффундировать могут как находящиеся в них частицы посторонних веществ, так и собственные частицы (самодиффузия).

     Самодиффузия, частный случай диффузии в чистом веществе или растворе постоянного состава, при котором диффундируют собственные частицы вещества. При самодиффузии атомы, участвующие в диффузионном движении, обладают одинаковыми химическими свойствами, но могут различаться по своим физическим характеристикам (составом атомного ядра). При различии изотопного состава вещества за процессом самодиффузии можно наблюдать, применяя радиоактивные изотопы или анализируя изотопный состав при помощи масс-спектрометров. Изменение концентрации данного изотопа в рассматриваемом объёме вещества в зависимости от времени описывается обычными уравнениями диффузии, а скорость процесса характеризуется соответствующим коэффициентом самодиффузии. Диффузионные перемещения частиц твёрдого тела могут приводить к изменению его формы и к другим явлениям, если на образец длительно действуют такие силы, как поверхностное натяжение, сила тяжести, упругие силы, электрические силы и т. д. При этом может наблюдаться сращивание двух пришлифованных образцов одного и того же вещества, спекание порошков, растягивание тел под действием подвешенного к ним груза (диффузионная ползучесть материалов) и т. д. Изучение кинетики этих процессов позволяет определить коэффициент самодиффузии вещества.

   Диффузия крупных частиц, взвешенных в газе или жидкости (например, частиц дыма или суспензии), осуществляется благодаря их броуновскому движению. В дальнейшем, если специально не оговорено, имеется в виду молекулярная диффузия.

   Наиболее быстро она происходит в газах, медленнее в жидкостях, ещё медленнее в твёрдых телах, что обусловлено характером теплового движения частиц в этих средах. Траектория движения каждой частицы газа представляет собой ломаную линию, т.к. при столкновениях частицы меняют направление и скорость своего движения. Неупорядоченность движения приводит к тому, что каждая частица постепенно удаляется от места, где она находилась, причём её смещение по прямой гораздо меньше пути, пройденного по ломаной линии. Поэтому диффузионное проникновение значительно медленнее свободного движения (скорость диффузионного распространения запахов, например, много меньше скорости молекул). Смещение частицы меняется со временем случайным образом, но средний квадрат его `L2 за большое число столкновений растёт пропорционально времени t. Коэффициент пропорциональности D в соотношении: `L2 ~ Dt называется коэффициентом диффузии. Это соотношение, полученное А. Эйнштейном, справедливо для любых процессов диффузии.

     В твёрдом теле могут действовать несколько механизмов диффузии: обмен местами атомов с вакансиями (незанятыми узлами кристаллической решётки), перемещение атомов по междоузлиям, одновременное циклическое перемещение нескольких атомов, прямой обмен местами двух соседних атомов и т.д. Первый механизм преобладает, например, при образовании твёрдых растворов замещения, второй — твёрдых растворов внедрения.

     Твёрдые растворы, твёрдые фазы переменного состава, в которых атомы раз личных элементов смешаны в известных пределах или неограниченно в общей кристаллической решётке. Растворимость в твёрдом состоянии свойственна всем кристаллическим твёрдым телам. Б большинстве случаев эта растворимость ограничена узкими пределами, но известны системы с непрерывным рядом Т. р. (например, Cu — Au, Ti — Zr, Ge — Si, GaAs — GaP). По существу все кристаллические вещества, известные как «чистые» или «особо чистые», являются твердыми растворами с очень малым содержанием примесей, поскольку абсолютная чистота практически недостижима. Наличие широкой области твердых растворов на основе соединений или главным образом металлов имеет громадное значение в технике, так как образующиеся при этом сплавы отличаются более высокими механическими, физическими и другими свойствами, чем исходные компоненты. При распаде твердых растворов сплавы приобретают новые, часто особые свойства.