Аффинные преобразования

Аффинные преобразования

Определение 1. Аффинным преобразованием f: А^п+А^п n-мерного аффинного пространства Аⁿ называется такое преобразование  этого пространства, при котором каждая точка с координатами (x₁, . . . , x_n) в некоторой системе аффинных координат переходит в точку с численно равными  координатами в некоторой, вообще говоря, другой системе аффинных координат. Возьмем в аффинном пространстве Aⁿ какой-нибудь вектор u=M₀M₁.

При аффинном преобразовании точки М₀ , М₁ переходят соответственно в точки М’₀ , М’₁  имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки М„, М_г имели относительно старого. Следовательно, при аффинном преобразовании пространства Аⁿ вектор u переходит в вектор u', имеющий относительно нового репера те же координаты, которые вектор и имел относительно старого репера. Отсюда в свою очередь получаем, что при аффинном преобразовании равным векторам соответствуют равные, так что аффинное преобразование аффинного пространства порождает преобразование  линейного пространства трансляций.

Это преобразование линейно, т.е.

 

(доказывается  переходом к координатам). Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, очевидно, соответствует нулевой, то из сказанного выше следует, что при аффинном преобразовании сохраняется линейная зависимость векторов.

Далее, обратное преобразование к аффинному преобразованию есть аффинное преобразование.  Действительно, если данное аффинное преобразование f: А^п+А^п задается переходом от репера Ое₁,..е_n к реперу О’е₁’,..е_n’ то аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера О’е₁’,..е_n’ к реперу Ое₁,..е_n является, как легко видеть, преобразованием, обратным к f.

При аффинном преобразовании f каждая линейно независимая система векторов u₁, ..., u_k переходит в линейно независимую — в противном случае при аффинном преобразовании f^-1, обратном к f, линейно зависимая  система u’₁, ..., u’_k перешла бы в линейно независимую, что, как мы  знаем, невозможно.

Из определения аффинного  преобразования следует, что при  данном аффинном преобразовании, определенном переходом от репера Ое₁,..е_n к реперу О’е₁’,..е_n’ , множество всех точек, координаты которых в координатном репере Ое₁,..е_n удовлетворяют некоторой системе уравнений, переходит в множество точек, координаты которых в системе О’е₁’,..е_n’ удовлетворяют той же системе уравнений. В частности, при аффинных преобразованиях m-мерные плоскости (1≤m≤n) переходят в m-мерные плоскости. При этом сохраняется параллельность.

Пусть аффинное преобразование аффинного пространства задается переходом от репера Ое₁,..е_n к реперу О’е₁’,..е_n’ . Предположим, что векторы е₁’,..е_n’ заданы своими координатами относительно старого репера

 

 

причем  , а координаты точки О’ относительно старого репера суть (а₁, ..., а_n). Тогда координаты (x₁, . . . , x_n) любой точки М относительно старого репера связаны с координатами той же точки М относительно нового репера соотношениями

 

  (1)

 

Нам даны: произвольная точка М с координатами (x₁, . . . , x_n) относительно старого репера и ее образ М', имеющий относительно нового репера те же координаты (x₁, . . . , x_n) которые точка М имела относительно старого репера. Требуется найти координаты точки М' относительно старого репера. Решение этой задачи дается формулами (1), в которые вместо нужно подставить координаты точки М' в новой системе, т. е. (x₁, . . . , x_n). Тогда в левой части (1) получим искомые координаты (x’₁, . . . , x’_n) точки М' в старой системе, т.е.

 

  (2)

 

Формулы (2) выражают координаты  точки М' — образа точки М при аффинном преобразовании — через координаты точки М (те и другие координаты берутся при этом относительно одного и того же «старого» репера).

Обозначим через x, x’ и а соответственно столбцы координат точек М, М' и О' относительно репера Се₁...е_n, и пусть С=||c_jk ||. Тогда формулы (2) можно переписать в матричном виде

 

   (3)

С — невырожденная матрица. Если аффинное преобразование f  задано в виде (3), то обратное к нему аффинное преобразование f^-1 записывается, как

 

   (4)

Частными  случаями аффинных преобразований (3) являются преобразования

 

    (5)

переводящие в себя начало координат  О и называемые центроаффинными  преобразованиями с центром О, а также преобразования

 

   (6)

называемые переносами или трансляциями. Каждому центроаффинному преобразованию взаимно однозначно соответствует линейный оператор А с матрицей А, называемый оператором центроаффинного преобразования, а каждому переносу взаимно однозначно соответствует вектор а, называемый вектором переноса. Центроаффинные преобразования образуют группу относительно композиции преобразований. Действительно, пусть х' = Ах и     х" = Вх' — два центроаффинных преобразования. Тогда их композиция имеет вид

 

 

т. е. снова  является центроаффинным преобразованием. Тождественнее преобразование, очевидно, является центроаффинным преобразованием. Обратным преобразованием для центроаффинного преобразования (5) является центроаффинное преобразование

 

 

Очевидно, что  группа центроаффинных преобразований изоморфна 
группе обратимых операторов n-мерного линейного пространства.

Переносы также образуют группу относительно композиции, 
изоморфную группе векторов n-мерного линейного пространства

по сложению. Действительно, композиция переносов  x’= x + a и 
x’= x + b имеет вид х' = х + (а + b), т. е. является переносом с вектором (a+b) Тождественное преобразование есть перенос на нулевой вектор а=0, а обратным к переносу x’= x + a служит перенос x’= x – a.

Композиция   двух   аффинных   преобразований  х' = Aх + a и х' = Вх + b также является аффинным преобразованием

 

 

Композиция  аффинных преобразований, очевидно, ассоциативна. Как было ранее установлено, обратное преобразование для аффинного преобразования также есть аффинное преобразование. Поэтому аффинные преобразования образуют группу относительно композиции; группы центроаффинных преобразований и переносов, очевидно, являются подгруппами этой группы.

 Теорема 1 . Для однозначного задания аффинного преобразования n-мерном аффинном пространстве достаточно указать, а какие точки переходят n + 1 точек, не лежащих в одной гиперплоскости.

Доказательство. Пусть f: А^п+А^п — некоторое аффинное преобразование. Выберем n + 1 точек M ₀ , M₁ , ... , M_n лежащих в одной гиперплоскости. Обозначим через N _k = f (M _k) образы точек M_k , k=0, 1, ..., n. Свяжем с точками (M ₀ , M₁ , ... , M_n)  и (N ₀ , N₁ , ... , N_n) аффинные реперы, приняв точки M ₀ и N ₀ за начала О и О', а векторы M ₀ M_k и N ₀ N_k — за базисные векторы e_k  и e’_k  Векторы e₁, ..., e_n  линейно независимы. Действительно, если бы векторы e₁, ..., e_n  удовлетворяли нетривиальному соотношению

 

 

то координаты точек (M ₀ , M₁ , ... , M_n) были бы связаны линейным уравнением, т.е. точки (M ₀ , M₁ , ... , M_n) лежали бы в некоторой гиперплоскости. Таким образом, мы построили два аффинных репера Ое₁,..е_n и О’е₁’,..е_n’. Эти реперы определяют аффинное преобразование, которое переводит точки (M ₀ , M₁ , ... , M_n) в точки (N ₀ , N₁ , ... , N_n). Точки M ₀ и N ₀ имеют в обеих системах одинаковые координаты x_i = 0, i=1,...n. Точки M _k, и N _k имеют в обеих системах одинаковые координаты x_i = δ_ik, i=1,...n. Это преобразование является единственным аффинным преобразованием, переводящим точки (M ₀ , M₁ , ... , M_n) в точки (N ₀ , N₁ , ... , N_n) поскольку построенные выше аффинные реперы являются единственными реперами, в которых эти точки имеют указанные координаты, а аффинное преобразование, определяемое двумя реперами, также единственно. Следовательно, построенное нами преобразование совпадает с исходным преобразованием f. Теорема доказана.

 

Все аффинные преобразования можно разделить на два класса. Аффинные преобразования, матрицы которых имеют положительные детерминанты, называются аффинными преобразованиями первого рода. Аффинные преобразования, матрицы которых имеют отрицательные детерминанты, называются аффинными преобразованиями второго рода. Так как оператор переноса — единичный оператор Е, то переносы являются аффинными преобразованиями первого рода.

 

Аффинные  преобразования первого рода образуют подгруппу в группе всех аффинных преобразований.

Пусть точка М₀ n-мерного аффинного пространства Aⁿ с координатами x⁰=(x⁰₁,...,x⁰_n) остается неподвижной при аффинном преобразовании x’ = Cx + a. Тогда координаты x⁰ точки М₀ удовлетворяют соотношениям

 

 

или

 

Отсюда следует, что если

 

   (7)

Таким образом, мы установили, что аффинное преобразование, для которого матрица (Е — С) обратима, имеет единственную неподвижную точку. Если же det(Е — С) = 0, то аффинное преобразование может иметь много неподвижных точек или не иметь ни одной неподвижной точки — таким примером является перенос, для которого Е — А=0.

Аффинное преобразование, имеющее  в координатной записи вид

 

   (8)

 

называется гомотетией с центром в точке М с координатами а. Два множества в аффинном пространстве, переводимые друг в друга гомотетией, называются гомотетичными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Движения  аффинного евклидова пространства.

 

Предположим   теперь,   что   рассматриваемые   нами   аффинные пространства снабжены евклидовыми метриками.

Определение   2.  Движением аффинного евклидова пространства,  называется такое преобразование   этого   пространства, при котором не изменяются расстояния между точками.

Теорема 2. Движение аффинного евклидова пространства, в координатах, записывается в виде

 

   (1)

 

где C — ортогональная матрица.

Доказательство.    В основе доказательства лежит следующая

Лемма. Пусть и — два вектора, приложенных к одной и той же точке, а , — их образы при данном движении. Тогда скалярные произведения и равны.

Доказательство   леммы. Имеем . Поэтому

 

 

т.е.

 

 

Поскольку и , то

 

  (2)

 

Формула   (2)   верна   для   любых  трех  точек  O,   A,   B,  так   что имеем

 

 (2’)

 

Правые  части   равенств  (2)  и  (2')  равны, так как движение сохраняет расстояния. Поэтому равны и левые части, т.е.

 

,   (3)

что и требовалось доказать.

Пусть теперь Ое₁,..е_n где e_k = OM_k  k= 1 , . . . , n — какой-нибудь ортонормальный репер. При нашем движении точка O переходит в O’, а единичные векторы e_k = OM_k  — соответственно в единичные векторы e’_k = O’M’_k .  Так как векторы e_k попарно ортогональны, то по лемме секторы e’_k, также ортогональны. Следовательно наше движение переводит ортонормальный репер Ое₁,..е_n в ортонормальный репер О’е₁’,..е_n’ . Координаты (x₁, . . . , x_n) любой точки P в координатной системе Ое₁,..е_n суть скалярные произведения

 

 

Координаты  образа  P’ точки  P в системе О’е₁’,..е_n’ суть скалярные произведения

 

 

Поэтому в силу леммы  x’_k  = x_k  т.е.  точка P’— образ точки P при данном движении имеет в новой координатной ортогональной системе те же координаты, которые точка P имела в старой. Опираясь на предыдущие рассуждения, получаем, что движение задается формулой

 

   (4)

 

где С — невырожденная матрица. Поскольку линейный оператор, соответствующий  матрице С, переводит ортонормальный  базис {е₁,..е_n } в ортонормальный базис {е₁’,..е_n’} , С — ортогональная матрица. Теорема доказана.

 

Замечание. Из доказательства теоремы 2 вытекает новое определение движения. Движение — это такое преобразование аффинного евклидова пространства, при котором каждая точка с координатами (x₁, . . . , x_n) в некотором ортонормалыюм репере переходит в точку с численно равными координатами в некотором новом ортонормальном репере. Следовательно, движение является аффинным преобразованием.  Если при некотором движении множество X переходит в множество Y, то множество Y переходит в множество X при обратном движении и в этом случае множества X и Y называются конгруэнтными множествами.

 

Важным примером движения в аффинном евклидовом пространстве E является отражение от данной m-мерной плоскости .

Отражением от плоскости  π^m называется преобразование пространства E, ставящее в соответствие произвольной точке M E такую точку M’ E , что прямая MM’ пересекает плоскость π^m под прямым углом и точка пересечения прямой MM’ и плоскости π^m является серединой отрезка MM’. Отражение от фиксированной плоскости π^m сохраняет расстояние между точками, т. е. является движением. Частным случаем отражения от m-мерной плоскости является отражение от точки, т. е. от нульмерной плоскости.   Следовательно, отражение от фиксированной точки P — это преобразование аффинного евклидова пространства, ставящее в соответствие произвольной точке M такую точку M’, что точка P лежит на прямой MM’ и делит пополам отрезок MM’.

Частными случаями движений (1) являются движения

 

   (5)

 

переводящие в себя начало координат  и называемые вращениями вокруг точки O, а также переносы

 

 

Вращения образуют группу относительно композиции, изоморфную группе ортогональных операторов. Действительно, композиция вращений x’ = C₁x и   x’=C₂x  имеет вид x’ = (C₂ C₁)x, т. е. является вращением с матрицей С₂ С₁.

Тождественное преобразование, очевидно, является вращением, обратным преобразованием для вращения (5) является вращение

 

  (6)

 

Группа вращений аффинного евклидова пространства является подгруппой группы центроаффинных преобразований.

Выше доказано, что аффинные преобразования n-мерного аффинного пространства образуют группу относительно композиции. Совершенно аналогично показывается, что множество движений n-мерного аффинного евклидова пространства является группой относительно композиции. Эта группа является подгруппой группы аффинных преобразований; группы вращений и переносов, очевидно, являются подгруппами группы движений.

Так как движение является частным случаем аффинного преобразования, для задания движения достаточно указать, в какие точки переходят n+1 точек                 n-мерного аффинного пространства, не лежащих в одной гиперплоскости. Эти системы точек должны быть конгруэнтны, т.е. если движение задается точками (M₁,M₂, ..., M_n+1) и (M’₁,M’₂, ..., M’_n+1) то должны выполняться следующие равенства:

 

 

Аналогично аффинным преобразованиям  все движения аффинного евклидова пространства делятся на два класса: движения первого рода и движения второго рода. Так же, как для аффинных преобразований, показывается, что движения первого рода и их частный случай — вращения первого рода — образуют группы относительно композиции.

 

Геометрические  свойства аффинных преобразований

 

Образ прямой линии.

Здесь будут рассмотрены геометрические свойства аффинных преобразований. Ниже f обозначает аффинное преобразование, записываемое в декартовой системе координат Ое₁,..е_n формулами

 

  (1)

 

при условии

 

   (2)

 

Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением r = r₀ + at и найдем ее образ при преобразовании f. (Под образом прямой понимается множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа M* произвольной точки M можно вычислить так:

 

 

Здесь с — постоянный вектор , а r — радиус-вектор точки M. Согласно

f(a+b) = f(a) + f(b) и f(χa) = χf(a) мы получаем

 

  (3)

 

Так как f — аффинное преобразование и , то а перейдет в вектор , и уравнение (3) является уравнением прямой линии. |Итак, образы всех точек прямой r = r₀ + at лежат на прямой (3). Более того, преобразование f определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь выборе начальных точек и направляющих векторов точка М* имеет на прямой (3) то же значение параметра t, что и точка M на исходной прямой. Отсюда мы получаем

Предложение 1. При аффинном преобразовании:

• прямая линия переходит в прямую линию;
• отрезок переходит в отрезок;
• параллельные прямые переходят в параллельные.

Для доказательства второго утверждения  достаточно заметить, что отрезок  прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида . Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные.

Предложение 2. При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

Доказательство. Пусть отрезки AB и CD параллельны. Это значит, что существует такое число , что . Образы векторов и связаны той же зависимостью . Отсюда вытекает, что

 

 

Следствие. Если точка C делит отрезок AB в некотором отношении , то ее образ C* делит образ A* B* отрезка AB в том же отношении .

 

Изменение площадей при  аффинном преобразовании

Для начала рассмотрим ориентированный  параллелограмм. Выберем общую декартову систему координат Ое₁,..е_n и обозначим через (p₁, p₂) и (q₁, q₂) компоненты векторов p и q, на которых он построен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить

 

 

Пусть аффинное преобразование f записывается в выбранной системе координат формулами (1). Векторы f(p) и f(q) имеют в базисе f(e₁), f(e₂) те же компоненты (p₁, p₂) и (q₁, q₂), что и векторы p и q в базисе e₁, e₂. Образ параллелограмма построен на векторах f(p) и f(q), и площадь его равна

 

 

Вычислим последний множитель. Координаты векторов f(e₁) и f(e₂) равны соответственно (a₁, a₂) и (b₁, b₂).

Поэтому и

 

 

Отсюда мы видим, что

 

  (4)

 

Таким образом, отношение площади  образа ориентированного параллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно a₁b₂ – a₂b₁.

Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вычисляется по коэффициентам, зависящим от системы координат. Эта величина — инвариант, выражающий геометрическое свойство преобразования.

Из формулы (4) видно, что отношение площади образа неориентированного параллелограмма к его площади равно

 

 

Если a₁b₂ – a₂b₁> 0, то ориентации всех ориентированных параллелограммов сохраняются при преобразовании, а если a₁b₂ – a₂b₁< 0, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Займемся теперь площадями других фигур. Каждый треугольник может  быть дополнен до параллелограмма, площадь  которого равна удвоенной площади  треугольника. Поэтому отношение  площади образа треугольника к площади этого треугольника удовлетворяет равенству (5).

Каждый многоугольник может  быть разбит на треугольники. Следовательно, формула (5) справедлива и для произвольных многоугольников

Мы не будем здесь касаться определения  площади произвольной криволинейной фигуры. Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта площадь определена, она равна пределу площадей некоторой последовательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фигуру. Из теории пределов известно следующее предположение: если последовательность S_n стремится к пределу S, то последовательность δS_n, где δ постоянное, стремится к пределу δS. На основании этого предложения мы заключаем, что формула (5) справедлива в самом общем случае.

В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. Существует доказательство того, что эллипс с полуосями a и b может быть получен сжатием окружности радиуса a к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен b/a. Координатную запись сжатия к прямой x* = x, y* = y. Детерминант из коэффициентов в этих формулах равен , т. е. в нашем случае b/a. Таким образом, отношение площади эллипса к площади круга равно b/a, и эта площадь равна . Окончательно имеем

 

 

 

Образы линий второго  порядка.

Мы видели, что прямая линия переходит в прямую. Это частный случай следующего предложения.

Предложение 3. Аффинное преобразование переводит алгебраическую линию в алгебраическую линию того же порядка.

В самом деле, пусть линия L в декартовой системе координат Ое₁,..е_n имеет алгебраическое уравнение порядка p. Образы всех точек линии L при аффинном преобразовании f имеют в системе координат f(O), f(e₁), f(e₂) те же координаты, что и их прообразы в системе координат Ое₁,..е_n. Следовательно, координаты образов в системе f(O), f(e₁), f(e₂) связаны тем же алгебраическим уравнением порядка p. Этого достаточно, чтобы сделать нужное нам заключение.

Из предложения 3, в частности, следует, что линия второго порядка при аффинном преобразовании перейдет в линию второго порядка. Мы докажем более сильное утверждение. Мы увидим, что класс линии сохраняется при аффинном преобразовании. На этом основании классы линий, перечисленные в указанной теореме, называются аффинными классами. Итак, докажем

Предложение 4. Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только в линию того же класса. Каждую линию второго порядка подходящим аффинным преобразованием можно перевести в любую другую линию того же аффинного класса

Доказательство. Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная — в неограниченную.

1) Эллипс — ограниченная  линия второго порядка. Кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной точки, т. е. пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс.

2) Гипербола состоит из двух  отдельных ветвей. Это свойство можно сформулировать так, что будет ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды.

Из всех линий второго порядка  только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством. У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу.

3) Парабола — неограниченная  линия второго порядка, состоящая  из одного непрямолинейного куска.  Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу.

4) Если линия второго порядка  представляет собой точку (пару  мнимых пересекающихся прямых), прямую (пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта линия не может перейти в линию никакого другого класса.

Докажем вторую часть предложения. Канонические уравнения линий второго  порядка можно записать в декартовой   прямоугольной системе координат и и они будут содержать параметры a, b,... Если мы откажемся от нормировки базисных векторов, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена координат x’=x/a, y’= y/b переводит уравнение эллипса x²/a² + y²/b² = 1 в уравнение x’² + y’² = 1, каковы бы ни были a и b. (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.)

Канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения:

1) x² + y² = 1;    2) x² + y² = 0;    3) x² – y² = 1;    4) x² – y² = 0

5) y² = 2x;    6) y² - 1 = 0;     7) y² = 0.

Такую систему координат мы назовем аффинной канонической системой координат.

Аффинное преобразование, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинного класса, совмещает и эти линии. Это заканчивает доказательство.

 

 

Разложение ортогонального преобразования.

Теорема 1. Каждое ортогональное преобразование раскладывается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметрии

Доказательство. Пусть f — ортогональное преобразование и ∆ABC— равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом A. При преобразовании f он перейдет в равный ему треугольник ∆A*B*C * с прямым углом при вершине A*. Теорема будет доказана, если, производя последовательно параллельный перенос p, поворот q и (в случае необходимости) осевую симметрию r, мы сможем совместить треугольники ABC и A*B*C*.

Действительно, произведение rqp — аффинное преобразование так же, как и f, а аффинное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому rqp совпадает с f.

Итак, переведем A и A* параллельным переносом p на вектор AA* (если A — A*, то p — тождественное преобразование). Затем поворотом я вокруг точки A* совместим p(B) с B* (возможно, и это преобразование окажется тождественным). Точка q(p(C)) либо совпадает с C*, либо симметрична ей относительно прямой A*B*. В первом случае цель уже достигнута, а во втором потребуется осевая симметрия относительно указанной прямой. Теорема доказана.

Следует иметь в виду, что полученное разложение ортогонального преобразования не однозначно. Более того, можно поворот или параллельный перенос разложить в произведение осевых симметрии, произведение параллельного переноса и поворота представить как один поворот и т. д. Мы не будем уточнять, как это сделать, а выясним следующее общее свойство всех таких разложений.

Предложение 5. При любом разложении ортогонального преобразования в произведение любого числа параллельных переносов, поворотов и осевых симметрии четность числа осевых симметрии, входящих в разложение, одна и та же.

Для доказательства рассмотрим на плоскости произвольный базис и проследим за изменением его ориентации (направления кратчайшего поворота от e₁ к e₂) при осуществляемых преобразованиях. Заметим, что поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию любого базиса. Поэтому, если данное ортогональное преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его разложение должно входить нечетное число осевых симметрий. Если же ориентация базиса не меняется, то число осевых симметрий, входящих в разложение, может быть только четным.

Определение. Ортогональные преобразования, которые могут быть разложены в произведение параллельного переноса и поворота, называются ортогональными преобразованиями первого рода, а остальные — ортогональными преобразованиями второго рода.