Агрегатная форма индекса

Содержание

 

Задание 1. Агрегатная форма  общего индекса…………………………..	2
Задание 2…………………………………………………………………..	10
Задание 3…………………………………………………………………..	14
Задание 4…………………………………………………………………..	15
Задание 5…………………………………………………………………..	17

Задача……………………………………………………………………...        18

Решение……………………………………………………………………        19

Выводы…………………………………………………………………….        23

Список используемой литературы……………………………………….        32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Агрегатная форма  индекса.

 

Само слово «индекс» (index) означает показатель. Обычно этот термин употребляется для некой обобщающей характеристики изменений. Например,  индекс Доу-Джонса, индекс деловой активности, индекс объема промышленного производства и т.д. Гораздо реже термин «индекс» употребляется как обобщенный показатель состояния, например, известный коэффициент  умственного развития IQ.

Существует несколько  определений индекса. Приведем одно из них, может быть самое краткое.

Индекс — это показатель сравнения двух состоянии одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов).[1]

В зависимости от охвата элементов изучаемой совокупности индексы различают: индивидуальные, групповые и общие.

- Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельного явления или элемента совокупности. Рассчитываются индивидуальные индексы отношением уровня явления отчетного (текущего) периода к уровню базисного периода. Индивидуальный индекс – это условное название, потому, что он связан с общими и групповыми индексами. Это относительная величина динамики (коэффициент) и назначение его – расширение возможностей общих и групповых индексов.

- Общие (сводные)  индексы – это относительные показатели, характеризующие изменение сложного явления, состоящего из элементов неподдающихся непосредственно суммированию. Групповые индексы – это относительные величины, характеризующие изменение явления по группе [2, с. 82].

В каждом индексе выделяют 3 элемента:

индексируемый показатель — это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс

сравниваемый  уровень — это тот уровень, который сравнивают с другим.

базисный уровень — это тот уровень, с которым производится сравнение.

Для расчета индекса необходимо найти отношение сравниваемого  уровня к базисному и выразить его в виде коэффициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в процентах, если база сравнения  принимается за 100%. Обычно расчеты  индексов производятся в форме коэффициентов  с точностью до третьего знака  после запятой, т. е. до 0,001, в форме  процентов — до десятых долей  процента, т.е. до 0,1%.[3]

Для удобства построения индексов используется специальная символика:

i — символ индексируемого  показателя — индекс, характеризующий  изменение уровня элемента явления.

I — с подстрочным индексируемым  показателем — для группы элементов  или всей совокупности в целом.

q — количество проданных  товаров или произведенной продукции  в натуральном выражении

p — цена за единицу  товара

z — себестоимость единицы  продукции

w — производительность  труда

T — отработанное время  или численность работников

l — средняя заработная  плата одного работника

0 — базисный период

1 — отчетный период

 

Агрегатная формула  индекса товарооборота. Агрегатный индекс цен.

Агрегатная формула индекса  товарооборота показывает, что его  величина зависит от двух явлений, от двух переменных величин: физического объема товарооборота, т. е. количества проданных товаров, и цены за каждую единицу реализованных товаров. Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности, следует влияние одной из них исключить, т. е. принять ее условно в качестве постоянной, неизменной величины на уровне отчетного или базисного периода.

Агрегатный индекс цен. Общее  изменение цен можно определить, если считать постоянной величиной  количество реализованных товаров  за отчетный или базисный период. Если для получения индекса цен  принимать в качестве весов данные о количестве реализованных товаров  за отчетный период, можно получить следующую формулу агрегатного  индекса цен:

где Р₁ и Р₀ – единицы реализованных товаров

в отчетном и базисном периодах; q₁ – количество реализованных товаров в отчетном периоде. Если примем в качестве весов данные о количестве реализованных товаров в базисном периоде, то формула агрегатного индекса цен примет вид:

Величина индекса зависит  от индексируемых показателей, т. е. от величин, изменения которых нам  нужно определить, и от сомножителей, которые берутся в качестве весов, а в зависимости от данных, которые  были взяты в качестве весов –  это данные базисного или отчетного  периодов, получают два разных индекса.

Первый индекс показывает изменение цен отчетного периода  по сравнению с базисным по продукции, проданной в отчетном периоде, и  фактическую экономию от снижения цен.

Другой индекс показывает, насколько поменялись цены в отчетном периоде по сопоставлении с базисными, но только по продукции, которая была реализована в базисном периоде, и экономию, которую можно было получить в результате снижения цен.

Для вычисления индекса цен  необходимо сопоставить стоимость  товаров, реализованных в отчетном периоде по ценам отчетного периода, со стоимостью этих же товаров, но по ценам  базисного периода.

Агрегатный индекс цен  представляет собой дробь, числитель  и знаменатель которой состоят  из двух сомножителей. Один из них является переменной индексируемой величиной (p₁ и p₀) а второй принимается условно в качестве постоянной величины – веса индекса (q₁).

 

Агрегатный индекс физического объема товарооборота. Типы цен

 

Индекс физического объема товарооборота представляет собой изменение физического объема в отчетном периоде по соотнесению с базисным. Чтобы агрегатный индекс показывал лишь изменение физического объема товарооборота, в качестве весов берутся неизменные цены базисного и отчетного периодов. Неизменные цены всегда только цены базисного периода. Применение в качестве весов неизменных цен дает возможность получить правильное представление о динамике физического объема товарооборота.

В индексе физического  объема сомножитель индексируемого показателя берется на уровне базисного  периода.

Абсолютное изменение  физического объема вычисляется  как разность между числителем и  знаменателем индекса еq₁p₀– еq₀p₀.

Если индексы вычисляются  за несколько периодов, то для всех них могут быть приняты одни и  те же веса – индексы с постоянными  весами, или же для каждого периода  свои веса – индексы с переменными  весами.

Теоретически возможны четыре типа индексов.

1. Общие базисные индексы  цен с постоянными (базисными)  весами:

2. Общие базисные индексы  цен с переменными (отчетными)  весами:

3. Общие цепные индексы  цен с постоянными весами:

4. Общие цепные индексы  цен с переменными весами:

В этих индексах отражается как изменение цен за ряд последовательных периодов, так и изменение структуры  реализованных товаров.

Для характеристики изменения  цен по сравнению с начальным  периодом без учета изменений  в структуре произведенных товаров  применяют общие базисные индексы  с постоянными весами, в тех  же целях, но с учетом изменения структуры  – базисные индексы с переменными  весами. Для определения изменения  цен каждого периода по сравнению  с предыдущим без учета изменений  в структуре проданных товаров  применяют цепные индексы с постоянными  весами, с учетом изменений в структуре  – цепные индексы с переменными  весами.

Выбор периода взвешивания  индексов зависит от того, какие  индексы вычисляются: индексы количественных (объемных) или качественных показателей.

 

Другие агрегатные индексы: индекс себестоимости продукции, индекс производительности труда, индекс трудоемкости

 

1. Индекс себестоимости  продукции показывает, во сколько раз себестоимость в отчетном периоде в среднем выше или ниже базисной или плановой себестоимости, а также абсолютный размер экономии или перерасхода в результате изменения себестоимости. Индекс себестоимости – это индекс качественных показателей и исчисляется по весам (объему) продукции отчетного периода:

где z₁– себестоимость единицы продукции в отчетном периоде;

z₀– себестоимость единицы продукции в базисном (или плановом) периоде;

q1 – количество продукции в отчетном периоде.

2. Индекс производительности  труда. Производительность труда определяется количеством продукции, произведенной в единицу времени, или затратами рабочего времени на производство единицы продукции. Для определения изменения производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным нужно затраты рабочего времени на производство единицы продукции в базисном периоде (t₀)разделить на затраты рабочего времени на производство единицы продукции в отчетном периоде (t₁).

Индивидуальный индекс производительности труда равен:

Для построения агрегатного  индекса производительности труда  необходимо затраты рабочего времени  на производство одной единицы продукции  взвесить на количество продукции, произведенной  в отчетном периоде:

где t₁q₁ – фактические затраты времени на производство всей продукции в отчетном периоде;

t₀q₁показывает, сколько времени потребовалось затратить на производство всей продукции отчетного периода в базисном периоде.

3. Индекс трудоемкости характеризует модификацию трудоемкости единицы продукции в отчетном периоде по сопоставлению с базисным. Величина индекса трудоемкости обратно пропорциональна величине индекса производительности труда, вычисленной по затратам времени на производство единицы продукции. Формула индивидуального индекса:

а агрегатного:

Индекс трудоемкости –  это индекс качественных показателей, и рассчитывается он также по весам  отчетного периода.

 

Другие агрегатные индексы: индекс выполнения плана, среднеарифметический и среднегармонический индекс, индексы средних величин

 

1. Индекс выполнения плана. При его вычислении фактические данные сопоставляются с плановыми, причем весами индекса могут быть показатели плановые и фактические.

2. Среднеарифметический  и среднегармонический индексы.

Агрегатные индексы цен, физического объема товарооборота  и другие могут быть рассчитаны, если известны индексируемые величины и веса, т. е. p и q. Допустим, что имеется  произведение pq и индивидуальные индексы. Возникает проблема построения средних  индексов, идентичных агрегатным, путем  осреднения индивидуальных индексов.

Преобразование агрегатного  индекса в среднеарифметический можно рассмотреть на примере  агрегатного индекса физического  объема товарооборота.

В данном случае индивидуальные индексы должны быть взвешены на базисные соизмерители. Из индивидуального индекса  физического объема товарооборота i_q= q₁/ q₀ следует, что q₁= i_q/ q₀.

Если заменить q₁ в числителе агрегатного индекса физического объема товарооборота

I_q= Σq₁p₀/ Σq₀p₀, на i_q/q₀,

то получим I_q= Σi_qq₀p₀/ Σq₀p₀.

Это среднеарифметический индекс физического объема товарооборота.

Но если не известны отдельные  значения q₁ и p₁, а дано их произведение q₁p₁ – товарооборот отчетного периода и индивидуальные индексы цен i_p= Р₁ / /р₀, и сводный индекс рассчитывается с отчетными весами, то применяется среднегармонический индекс цен. Необходимо, чтобы индивидуальные индексы были взвешены так, чтобы среднегармонический индекс совпал с агрегатным. Из формулы i_p= Р₁ / Р₀ определяем неизвестное значение р₀ и, заменив в формуле агрегатного индекса цен I_p= Σq₁p₁/ Σq0p0 значение Р₀ = Р₁/ i_p, получаем I_p= Σp₁q₁/ Σ(p₁/ i_p)q₁=Σp₁q₁/ Σ(p₁q₁/ i_p)

Этот индекс называется среднегармоническим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

Выработка тканей на фабрике  характеризуется следующими показателями:

Таблица 2

Группы рабочих по выработке  тканей за смену одним рабочим, м	Численность рабочих, чел.
До 50	12
50-60	15
60-70	14
70-80	10
80-90	20
90-100	17
Свыше 100	12
Итого:	100

Определить:

1. Среднемесячную выработку  тканей одним рабочим.

2. Показатели вариации.

3. Средние структурные  величины: моду и медиану.

 

Решение.

Расчеты оформим в таблице 3.

Таблица 3

Группы рабочих по выработке  тканей за смену одним рабочим, м	Численность рабочих, чел., f	Середина шкалы, х	Накопленная частота, Sj
До 50	12	45	12
50-60	15	55	27
60-70	14	65	41
70-80	10	75	51
80-90	20	85	71
90-100	17	95	88
Свыше 100	12	105	100
Итого:	100	х	х

 

Средняя арифметическая равна  сумме произведений вариант (х) на их частоты или веса (f), поделенной на сумму частот [3, с.124 ].

Обозначим индивидуальные значения признака (варианты) х₁, х₂, х₃, … х_n, а числа, показывающие, сколько раз повторяется варианта (частоты) – f_1, f_2, f₃, … f_n, то средняя арифметическая взвешенная будет равна:

.

Для этого мы и находили середину интервала.

«Взвешивать» будем по количеству рабочих.

Среднесменная выработка  тканей одним рабочим будет равна - В_ср

В_ср = (45*12 + 55*15 + 65*14 + 75*10 + 85*20 + 95*17 + 105*12)/100 = 76 м за смену в среднем на одного рабочего.

2. Рассчитаем показатели вариации.

Составим таблицу для  расчета показателей вариации.

Таблица 4

Группы рабочих по выработке  тканей за смену одним рабочим, м	Численность рабочих, чел. fj	Середина шкалы,
До 50	12	45	-31	961	11532
50-60	15	55	-21	441	6615
60-70	14	65	-11	121	1694
70-80	10	75	-1	1	10
80-90	20	85	9	81	1620
90-100	17	95	19	361	6137
Свыше 100	12	105	29	841	10092
Итого:	100	х	x	x	37700

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

м.

Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое отклонение сопоставляют с его средней  величиной и выражают в процентах. Такой показатель называется коэффициентом  вариации. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

Рассчитаем коэффициент  вариации:

%.

Величина V оценивает интенсивность  колебаний вариантов относительно их средней величины. Принята следующая  оценочная шкала колеблемости признака:

0%<V 40%  -    колеблемость незначительная;

40%< V 60%  -    колеблемость средняя (умеренная);

V>60%  -    колеблемость значительная.

 

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что величина среднесменной выработки тканей одним рабочим составляет 76 м, отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 19,4 м (или 25,55 %), наиболее характерная величина среднесменной выработки находится в пределах от 56,6 до 95,4 м (диапазон ).

Значение V = 25,55% не превышает 40%, следовательно, вариация величины среднесменной выработки рабочих в исследуемой совокупности незначительна и совокупность по данному признаку однородна.

 

3. Определим моду и медиану.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она  соответствует определенному значению признака.

Величину моды определяем по формуле:

,

где х_Мо – начало модального интервала;

f_Mo – частота, соответстующая модальному интервалу;

f_(-1) – предмодальная частота;

f_(-1) – послемодальная величина [3, с. 151].

Соответственно, модальный интервал «80 – 90 м», т.к. ему присуща наибольшая численность рабочих (20 человек).

Мо = 80+10*(20-10)/((20-17) + (20-10)) = 87,7 м.

Вывод. Для рассматриваемой совокупности рабочих наиболее распространенная выработка тканей за смену одним рабочим характеризуется средней величиной 87,7 м.

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его  пополам.

При нахождении медианы вариационного  ряда вначале определяют медианный  интервал, в пределах которого находится  медиана, а затем – приближенное значение медианы по формуле:

,

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

i_Ме – величина интервала;

S_Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала,

∑f – сумма частот или число членов ряда.

Медианным интервалом является интервал 70-80 м, т.к. именно в этом интервале  накопленная частота S_j=51 впервые превышает полусумму всех частот ( ).

Ме = 70+10*(100/2-41)/10 = 79 м.

Вывод. В рассматриваемой совокупности рабочих половина имеют выработку за смену не более 79 м, а другая половина – не менее 79 м.

 

Задание 3

 

За сентябрь 1999 г. произошли  следующие изменения в списочном  составе работников предприятия (человек):

Состояло по списку на 1 сентября 1999 г. – 1200

Выбыло 5 сентября – 5

Зачислено с 18 сентября – 8

Зачислено с 20 сентября – 2

Выбыло с 28 сентября – 3.

Определить среднесписочную  численность работников предприятия  за сентябрь.

Указать вид средней величины, по которой производили расчет.

 

Решение.

 

Среднесписочная численность  работников за месяц исчисляется путем суммирования списочной численности работников за каждый календарный день месяца, т.е. с 1 по 30 или 31 число (для февраля – по 28 или 29 число), включая праздничные (нерабочие) и выходные дни, и деления полученной суммы на число календарных дней месяца. Среднесписочная численность определяется по формуле средней арифметической:

,

где - сумма списочной численности работников численность за каждый календарный день месяца, чел.;

- число календарных дней месяца.

чел.

Численность работников в  течение сентября была разной, колебалась от 1195 до 1205 чел., а в пересчете  на полных работников (состоящих в  списке с 1 по 30 сентября 1999 г.) на данном предприятии было занято 1200 чел.

 

Задание 4

Имеются следующие данные о продаже продуктов на колхозном  рынке за июль и август месяцы:

Таблица 5

Продукты	Цены за 1 кг, руб.		Продано, тонн
	июль	август	июль	август
Овощи	6,0	5,0	20,5	30,0
Фрукты	9,0	8,0	15,0	22,0

Определите:

1. Общий индексы цен
2. Общий индекс физического объема продажи.
3. Рассчитать индекс товарооборота, используя взаимосвязь индексов.

 

Решение

1. Введем следующие обозначения:

- объем продаж продуктов  в июле - g0, в августе - g1;

- цена на 1 кг в июле - p0, в августе - p1.

Для проведения анализа определим:

– величину товарооборота  в июле – Т₀:

 

Т₀ = 20,5·6,0 + 15,0·9,0 = 123 + 135 = 258 тыс.руб.

– величину товарооборота  в августе – Т₁:

 

Т₁ = 30,0·5,0 + 22,0·8,0 = 150 + 176 = 326 тыс.руб.

– величину товарооборота  в ценах июля – Т₂:

 

Т₂ = 30,0·6,0 + 22,0·9,0 = 180 + 198 = 378 тыс.руб.

Расчеты представим в виде таблицы 6.

Таблица 6

Продукты	Продано, тонн		Цены за 1 кг, руб.		Товарооборот, тыс.руб.
	июль, g0	август, g1	июль, p0	август, p1	g0p0	g1p1	g1p0
Овощи	20,5	30	6	5	123	150	180
Фрукты	15	22	9	8	135	176	198
Итого	35,5	52	х	х	258	326	378

 

Определим общий индекс цен  – I_p:

 

= 326/378 = 0,86.

В августе произошло снижение общего уровня цен на 14 % по сравнению  с июлем.

 

2. Определим общий индекс  физического объема продажи –  I_g:

 

 

= 378/258 = 1,47.

Количество проданного товара в августе по сравнению с июлем  увеличилось на 47 %.