Атом водорода в сверхсильном магнитном поле

Содержание

Введение .......................................................................................................3

1.Сильные и сверхсильные магнитные поля..................................................4

2.Пульсары......................................................................................................8

3.Атом водорода в сверхсильном  магнитном поле..................................15

Заключение..................................................................................................21

Список литературы.....................................................................................23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Рассматриваются физические свойства атомов, молекул  и твердого вещества в сверхсильном магнитном поле (B ≥ ) на поверхности нейтронной звезды. В таком магнитном поле электронные оболочки атомов сильно деформированы и вытянуты вдоль линий магнитного поля; энергия связи и энергия ионизации атомов сильно возрастают; существенно изменяется характер межатомного взаимодействия. Свойства вещества на поверхности нейтронной звезды являются определяющими для моделей магнитосферы пульсара. Обсуждается возможность изменения характера эмиссии и граничных условий для электрического поля от свободной эмиссии в случае молодых пульсаров до полностью запертой эмиссии на поздних стадиях. Такое изменение характера эмиссии может быть связано с образованием сильно связанных полимерных цепочек, состоящих из чередующихся тяжелых и легких атомов, возникающих в результате аккреции легких атомов на поверхности звезды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сильные и  сверхсильные магнитные поля

Хорошо  известны разнообразные проявления действия магнитного поля в различных  областях физики. Достаточно сильное магнитное поле может намагничивать кусок металла, изменять электропроводность металла или полупроводника. Сильные магнитные поля необходимы для удержания и термоизоляции термоядерной плазмы. Мы говорим о сильном магнитном поле, если эффект, вызываемый приложенным полем, сильно изменяет свойства вещества, например электропроводность, диффузию и т.п.

Во  всех вышеперечисленных случаях  неопределенным остается само понятие "сильного” магнитного поля. Критерий сильного или слабого магнитного поля зависит от влияния, оказываемого полем на систему, и определяется параметрами самой системы: плотностью, температурой и т.д. Так, действие магнитного поля на ферромагнетик—это коллективный эффект, зависящий от большого числа: плотности элементарных магнитных моментов в ферромагнетике.

Влияние магнитного поля на электропроводность, теплопроводность, диффузию и другие кинетические коэффициенты определяется малым отклонением от равновесия. Например, степень влияния магнитного поля на транспортные коэффициенты плазмы зависит от отношения частоты  столкновения электронов к ларморовской частоте вращения электрона в магнитном поле

 

Для плазмы магнитное поле будет сильным, если . Учитывая, что частота столкновений электрона в полностью ионизованной плазме

 

 

 

 

где Z — заряд иона, Λ — кулоновский логарифм, получаем условие сильного магнитного поля для плазмы в виде

 

 

Здесь и далее, если это не оговорено, температура  выражается в электрон-вольтах, магнитное  поле — в гауссах, плотность —  в сантиметрах в минус третьей  степени.

Таким образом, для типичных параметров лабораторной термоядерной плазмы, т.е. для ,  T ≈ 5 кэВ,  "сильными” будут магнитные поля порядка 10 кГс, тогда как для космической межзвездной плазмы даже магнитное поле порядка 1 Гс является уже очень сильным.

Заметим, что в рамках классической физики нельзя дать абсолютную классификацию  магнитных полей. Такая классификация  может быть получена только в квантовой  физике. Она следует из сравнения  энергии магнитного момента

B

с характерной  энергией системы или частицы. Магнитное поле, влияющее на ориентацию спинов электронов или атомов в газе, имеющем температуру Т, определяется условием

, или    (1.1)

 

Магнитное поле, в котором энергия магнитного момента μB больше, чем характерная энергия связи атома или молекулы (порядка ), т.е. обладающее индукцией

,       (1.2)

 

существенно влияет на структуру атомов и молекул  и сильно изменяет их энергию связи  и энергию ионизации.

Если  магнитное поле таково, что радиус электронной орбиты в нижней зоне Ландау меньше, чем комптоновская длина волны электрона, или, что то же самое, выполняется условие

, (1.3)

 

то  существенными становятся релятивистские эффекты.

Магнитное поле сильно влияет на распространение электромагнитных волн в вакууме: вакуум может поляризоваться, а электродинамика в таких магнитных полях становится нелинейной. Релятивистские эффекты в магнитных полях , в частности влияние сильного магнитного поля на β-распад и на обратный β-распад, т.е. захват электрона ядром, рассматривались других работах . Особый интерес представляет влияние такого поля на поток нейтрино, излучаемый нейтронной звездой.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением  нерелятивистских эффектов и явлений в сверхсильных магнитных полях, типичных для нейтронных звезд, т.е. будем считать, что . Заметим, что , где — постоянная тонкой структуры.

В настоящем обзоре мы рассматриваем  физические свойства вещества в сверхсильных магнитных полях, типичных для поверхности  нейтронных звезд, так что для  индукции магнитного поля предполагается выполненным неравенство (1.2). В таком магнитном поле расстояние между уровнями Ландау значительно больше, чем энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядром атома. Электронные оболочки атомов при этом полностью перестраиваются, и атомы приобретают форму тонких трубочек, вытянутых вдоль магнитного поля, с электронными спинами, ориентированными строго против магнитного поля.

Особенность взаимодействия полностью поляризованных и сильно деформированных атомов приводит к появлению вещества с совершенно новыми и необычными свойствами. В зависимости от квантового состояния атома, основного или слабовозбужденного, межатомное взаимодействие либо слабое, так что атомы могут образовывать бозе-конденсат и переходить в сверхтекучее состояние, либо достаточно сильное, так что образуются длинные полимерные молекулярные цепочки и кристаллы с большой энергией связи.

Заметим, что бозе-конденсация, в принципе, возможна для спин-поляризованного водорода при выполнении неравенства (1.1). Такие магнитные поля вполне реальны в лабораторных условиях: неравенство (1.1) выполняется для полей порядка нескольких тесла при Т≤ 1 К. Однако при этом газ спин-поляризованных атомов водорода термодинамически неустойчив относительно рекомбинации с образованием молекул водорода в основном состоянии , энергия связи которых 4,6 эВ огромна по сравнению с μB. Поэтому бозе-конденсация спин-поляризованного водорода возможна только при достаточно низкой плотности и, следовательно, при очень низкой температуре. Особый интерес в "земных условиях" представляют экситоны, для которых условие сверхсильного магнитного поля (1.2) принимает вид

.                                        (1.4)

 

При этом значение сверхсильного магнитного поля зависит от свойств полупроводника. Из-за малой приведенной массы и большой диэлектрической проницаемости ε (специально для прямозонных полупроводников) магнитное поле для экситонов становится "сверхсильным" уже при полях порядка тесла. Так, сильное поле для Ge начинается с 0,9 Тл, а для InSb — с 0,2 Тл.

Изменение свойств экситонов в сверхсильном магнитном поле приводит к новым интересным физическим явлениям. Благодаря значительным увеличению энергии связи экситонов в сильном поле и уменьшению взаимодействия между ними экситонная жидкость приобретает свойства почти идеального бозе-газа, так что реальными становятся бозе-конденсация и сверхтекучесть экситонной жидкости, образование экситонного кристалла и т.п.

В сильном магнитном поле бозе-конденсация экситонов возможна при плотности экситонного газа, в раз большей, чем соответствующая предельная плотность бозе-конденсации экситонного газа без магнитного поля, где — боровский радиус экситона. При еще более высокой плотности экситонного газа, когда перекрытие волновых функций становится существенным, основным состоянием, будет электронно-дырочная плазма.

Предсказываемые эффекты представляют не только интерес  для фундаментальной физики, но и  возможность получения полупроводников  с новыми необычными свойствами, такими, как сверхпрозрачность, сверхтеплопроводность и т.п.

2. Пульсары — вращающиеся магнитные нейтронные звезды

Для любого специалиста, занимающегося  физикой магнитных явлений, магнитные поля порядка 10¹² — 10¹³ Гс представляются чем-то совершенно нереальным и относящимся к области фантастики. Однако открытие в 1967 г. английскими астрономами из Кембриджа  пульсаров — вращающихся магнитных нейтронных звезд, на поверхности которых магнитные поля достигают огромных значений (порядка 10¹² —10¹³ Гс), сделало исследование свойств вещества в таких гигантских магнитных полях не только чисто академической задачей.

Само  по себе открытие пульсаров было настоящим  триумфом не только для астрономии, но и для теоретической физики. Возможность существования нейтронных звезд была предсказана задолго до фактического обнаружения первого пульсара. Интересно, что всего за несколько месяцев до того, как Хьюиш с соавторами опубликовали в журнале "Nature” первое сообщение об открытии пульсара, в том же журнале была опубликована статья, в которой рассматривалась возможность генерации регулярных импульсов электромагнитного излучения быстро вращающейся намагниченной нейтронной звездой. Таким образом, пульсары фактически впервые появились на кончике пера теоретиков, а уже потом стали реальными объектами.

То, что пульсары — это быстро вращающиеся  намагниченные нейтронные звезды, следует из простейших соображений и стало ясно почти сразу после открытия пульсаров. Очевидно также, что, поскольку благодаря вращению сильно намагниченной нейтронной звезды радиусом R с частотой Ω у ее поверхности индуцируется огромное электрическое поле

,               (1.5)

такая звезда должна иметь протяженную  атмосферу.

Действительно, даже если принять для оценки, что  в ”вакуумном приближении” пульсар  излучает магнитно- дипольное излучение, как в вакууме, то для всех известных в настоящее время пульсаров значение ΩВ будет находиться в пределах от до , т.е. электрическая сила, действующая на заряженную частицу на поверхности пульсара с массой порядка массы Солнца г и радиусом порядка см (см), должна быть примерно на семь- восемь порядков больше силы гравитационного притяжения.

Огромные  магнитные поля нейтронных звезд (порядка — Гс) образуются в процессе эволюции звезд. Согласно теории звездной эволюции нейтронная звезда, представляющая собой заключительную фазу эволюции, возникает в результате коллапса звезды с первоначальной массой вблизи чандрасекаровского предела после того, как звезда исчерпала свои запасы термоядерной энергии. Такая звезда должна состоять преимущественно из атомов железа, поскольку, начиная с элементов тяжелее ⁵⁶Fe, термоядерная реакция становится эндотермической.

Типичный  сценарий образования нейтронной звезды обычно сопровождается вспышкой сверхновой. Самый "знаменитый” пульсар PSR-0531+21 виден в Крабовидной туманности как раз в том месте, где китайские астрономы в 1054 г. наблюдали яркую вспышку сверхновой. Он имеет период вращения P ≈ 0,033 с. Периоды вращения более тысячи известных к настоящему времени пульсаров составляют от 0,015 до 3,74 с.

В результате гравитационного сжатия при огромных плотностях в центре звезды становится энергетически выгодным захват электронов протонами в результате реакции . При балансе давления образующейся вырожденной нейтронной жидкости и давления гравитационного поля достигается равновесное состояние звезды, и ее сжатие останавливается.

Простую оценку для массы нейтронной звезды в равновесии можно получить, если приравнять давление сильно вырожденной  нейтронной жидкости плотности n в звезде радиусом R, равное

                    (1.6)

(где N — полное число нейтронов), гравитационному давлению

 

                                               (1.7)

 

Здесь дин — гравитационная постоянная. Масса нейтронной звезды получается равной

 

           (1.8)

где — масса нейтрона, — масса Солнца.

Плотность в центре нейтронной звезды можно  оценить как

 ≈ г ,               (1.9)

откуда  следует оценка для радиуса нейтронной звезды

          (1.10)

При высокой температуре и электропроводности звездной материи начальное магнитное  поле звезды сжимается вместе с веществом  в процессе коллапса, будучи вмороженным  в вещество, и растет как

 

                             (1.11)

где , и , — начальные и конечные значения магнитного поля и радиуса звезды соответственно. Для типичных значений звездных магнитных полей порядка - Гс, отсюда следует, что магнитное поле пульсара будет порядка

- Гс, что удовлетворительно согласуется с наблюдаемыми значениями.

Заметим, что  максимальное магнитное поле для  нейтронной звезды можно оценить  из теоремы вириала, полагая, что для звезды радиусом R магнитная энергия равна гравитационной энергии . Отсюда для максимального магнитного поля нейтронной звезды получаем

 

 Гс.

Интересно отметить, что ввиду консервативности магнитного поля нет принципиальных ограничений сверху на его максимальное значение (в отличие от электрического поля). Однако поскольку из-за вращения нейтронной звезды индуцируется электрическое  поле , то фактически ограничение на значение магнитного поля следует из ограничения сверху на индуцируемое им электрическое поле. Поэтому максимальное магнитное поле, которое может существовать в пульсарах, вероятно, не превышает Гс.

Сразу после рождения температура на поверхности  нейтронной звезды очень большая, однако звезда быстро остывает из-за интенсивного излучения, так что температура на поверхности даже сравнительно молодых нейтронных звезд должна быть примерно 100 эВ. Для более или менее старых нейтронных звезд (старше миллиона лет) температура поверхности, вероятно, должна быть 10-20 эВ.

Огромные  магнитные поля () существенно деформируют атомы в тонком поверхностном слое нейтронной звезды. Происходит полная перестройка атомных оболочек, и существенно изменяется межатомное взаимодействие. В частности, энергия связи и потенциал ионизации атомов значительно возрастают по сравнению с атомами в обычных земных условиях, так что атомы оказываются неионизованными даже при относительно высокой температуре на поверхности нейтронной звезды.

Существенно изменяются также и свойства вещества на поверхности. Например, атомы водорода, которые довольно сильно взаимодействуют  в обычных условиях, образуя молекулу с энергией связи примерно 4,5 эВ, и замерзают, образуя кристалл, при  достаточно низкой температуре, становятся слабо взаимодействующими, будучи полностью  поляризованными в магнитном  поле .

Более того, полностью поляризованный водород  становится в определенном смысле похожим  на гелий. Газ из полностью поляризованных атомов водорода в основном состоянии не замерзает вплоть до нулевой температуры и может образовывать бозе-конденсат и переходить в сверхтекучее состояние при низких температурах.

В сверхсильном поле существенно изменяются также свойства тяжелых атомов и  свойства вещества. Будучи поляризованными  в сильном магнитном поле, атомы  в основном состоянии слабо взаимодействуют, так что поверхность нейтронной звезды находится, вероятно, в жидком или газообразном состоянии. Энергия  связи для вещества на поверхности  звезды сравнима с температурой поверхности и заведомо мала по сравнению с расстояниями между уровнями Ландау: .

Вместе  с тем атомы в возбужденном состоянии могут сильно взаимодействовать, образуя молекулы, длинные полимерные цепочки или кристаллические  структуры с энергией связи, намного  большей, чем энергия связи в  обычных молекулах или твердых  телах.

Заметим, что влияние магнитного поля на состояние  вещества существенно только в тонком поверхностном слое звезды (толщиной примерно 1 м). С увеличением плотности в глубь звезды, когда среднее расстояние между электронами становится меньше циклотронного радиуса электрона на нижнем уровне Ландау, или, другими словами, при плотностях, когда температура Ферми больше магнитной энергии μB, магнитное поле уже не оказывает существенного влияния на свойства вещества. Значение соответствующей плотности для магнитного поля составляет примерно . Следует сказать, что полной ясности относительно состояния вещества в сверхсильном магнитном поле на поверхности нейтронной звезды пока нет. Вместе с тем для теории магнитосферы пульсара и понимания природы его излучения крайне важно знание свойств вещества на поверхности звезды. Более того, для моделей магнитосферы они могут быть определяющими.

В самом деле, благодаря вращению намагниченной  звезды имеется компонента электрического поля, параллельная магнитному полю, которая  способна ускорять электрические заряды до релятивистских энергий. Эти частицы должны заполнять магнитосферу пульсара и быть ответственными за электромагнитное излучение.

В ранних работах предполагалось, что при сильном межатомном взаимодействии на поверхности нейтронной звезды может образоваться вещество, имеющее столь большую энергию связи и работу выхода (превышающую 3 кэВ), что истечение вещества из звезды может быть полностью заперто. В этом случае вблизи поверхности звезды образуется вакуумный зазор, в котором происходит значительное падение электрического потенциала: . Пробой в этом зазоре происходит либо в результате каскадного процесса рождения электрон-позитронных пар, либо при рождении пар γ - квантами. Теория магнитосферы пульсара для случая полностью запертого истечения вещества из поверхности звезды подробно рассмотрена в монографии.

Однако  в последние 10 лет в ряде работ  было показано, что в действительности для полностью поляризованных в сильном магнитном поле атомов межатомное взаимодействие, а следовательно, энергия связи и работа выхода ионов не столь велики, как считалось ранее (во всяком случае, меньше 1 кэВ). В этом случае модели, основанные на большой работе выхода и предполагающие полностью запертую эмиссию частиц, становятся по крайней мере несамосогласованными.

В случае малой работы выхода, возможно, реализуется модель пульсара со ”свободной эмиссией”, в которой предполагается, что области замкнутых линий магнитного поля заполнены плазмой, а в областях открытых линий магнитного поля истечение частиц близко к предельному, при котором происходит полное экранирование электрического поля в этой области. Не исключено, что и другие процессы, например электрогидродинамическая неустойчивость, также влияют на структуру магнитосферы пульсара.

Можно сказать, что в целом структура  магнитосферы зависит от того, какой  из режимов истечения зарядов  реализуется на самом деле. Таким  образом, знание физических свойств  вещества на поверхности нейтронной звезды в сильном магнитном поле оказывается одной из важнейших проблем для физики пульсаров.

Согласно  теории звездной эволюции поверхность  нейтронной звезды должна состоять из атомов тяжелых элементов, преимущественно  из железа. Вместе с тем с течением времени нейтронные звезды могут  приобретать легкие элементы, в основном водород и гелий, в результате аккреции из межзвездного пространства или (в случае двойной звезды) от своего компаньона. При этом тяжелые атомы будут тонуть, а легкие оставаться на поверхности звезды.

Таким образом, можно ожидать, что у  ”старых” нейтронных звезд в атмосфере  и на поверхности будут преобладать  водород и гелий при относительно низкой поверхностной температуре (около 10 эВ), а у ”молодых” нейтронных звезд поверхность состоит в  основном из железа и температура  поверхности равна примерно 100 эВ. Следовательно, свойства вещества в  сильном магнитном поле представляют интерес как в случае, когда  оно состоит из легких атомов, так  и в случае тяжелых атомов.

Возможно  также, что для некоторых пульсаров  реализуется переходный сценарий: модель магнитосферы со свободной эмиссией в начале жизни пульсара и модель с запертой эмиссией для старого пульсара, если энергия связи решетки из чередующихся тяжелых и легких атомов достаточно велика.

3.Атом водорода в сверхсильном магнитном поле

Задача  об атоме водорода в сверхсильном магнитном поле впервые рассматривалась  в связи с поведением водородоподобных экситонов (так называемых экситонов Ванье-Мотта) в полупроводниках в сильном магнитном поле. В случае водородоподобных экситонов в полупроводнике ”сверхсильное” магнитное поле не столь велико из-за малой эффективной приведенной массы электрона и большой диэлектрической проницаемости полупроводника. Так, для экситонов в InSb магнитному полю соответствует поле с индукцией 2 кГс, вполне доступное в лабораторных условиях.

Даже  простейшая задача об атоме водорода в однородном магнитном поле не имеет точного аналитического решения, поскольку из-за разной симметрии членов с магнитным полем и кулоновского потенциала переменные в уравнении Шредингера не разделяются. Уже в области слабых магнитных полей (линейный эффект Зеемана) и, особенно, в области промежуточных значений магнитного поля (квадратичный эффект Зеемана) не существует решений, позволяющих даже классифицировать энергетические состояния атома в магнитном поле, и не ясен вопрос о пересечении энергетических термов.

В случае сверхсильного магнитного поля легко найти асимптотическое  решение, которое, однако, можно получить лишь с логарифмической точностью.

В сверхсильном магнитном поле расстояние между уровнями Ландау становится значительно больше энергии кулоновского взаимодействия, что эквивалентно условию

                                             (2.1)

 

где - боровский радиус. При этом электрон находится на нижнем, нулевом, уровне Ландау, а атом деформируется, приобретая форму тонкой трубочки, вытянутой вдоль магнитного поля, с радиусом порядка и длиной .

Оценку  для энергии основного состояния  атома водорода можно получить из рассмотрения простой модели. Будем  считать, что в основном состоянии  энергия атома складывается из кинетической энергии движения вдоль магнитного поля (ось z) с импульсом и потенциальной энергии однородно заряженной трубочки с радиусом и длиной L:

 

                                 (2.2)

 

Минимизируя (2.2), с логарифмической точностью получаем

 

                                          (2.3) 

                                    (2.4)                   

 

Формально более строгое решение задачи можно получить, используя так  называемое адиабатическое приближение. Будем рассматривать кулоновское  взаимодействие электрона с ядром как малое возмущение для движения электрона в однородном магнитном поле. Уравнение Шредингера для атома водорода в магнитном поле имеет вид

                         (2.5)

 

Для удобства будем пользоваться здесь атомными единицами ; магнитное поле выражается, соответственно, в единицах = Гс.

Направим  ось z вдоль магнитного поля и выберем обычную калибровку для векторного потенциала . В первом приближении по 1/В ≪ 1 волновая функция электрона может быть представлена в виде

                                                                           (2.6)

где

        (2.7)

 

- волновая функция свободного поперечного движения электрона в магнитном поле, а есть решение уравнения Шредингера, получающегося усреднением уравнения (2.5) по функциям . Здесь — полярная координата в плоскости xy, — угловая координата, — обобщенный полином Лагерра. Заметим, что в атомных единицах радиус нижней орбиты Ландау .

Состоянию с наименьшей энергией отвечает нижний уровень Ландау при . Соответствующее уравнение для имеет вид

                                                                   (2.8)

где энергия связи

 

а потенциал 

                                                  (2.9)

Для приближенного решения уравнения (2.8) потенциал (2.9) можно аппроксимировать выражением

                                                       (2.10)

где параметры а и A зависят от магнитного поля и квантовых чисел задачи и m. При этом задача сводится к одномерному уравнению Шредингера с потенциалом , переходящим в одномерный кулоновский потенциал на расстояниях, больших по сравнению с "размерами” атома, т.е. при .

Решение уравнения (2.8) с потенциалом (2.10), описывающее основное состояние, выражается через функции Уиттекера:

,                                               (2.11)

где индекс – α в  (10) является аналогом главного квантового числа в задаче об атоме водорода, т.е.

                                                        (2.12)

Можно легко получить асимптотическое  выражение для энергии основного  состояния. Для  с логарифмической точностью и из (2.12) следует выражение (2.4) для энергии связи основного состояния:

                                              (2.13)

Отметим, что решение задачи для энергии  связи водорода в сильном поле является асимптотическим и получено всего лишь с логарифмической точностью. Формула (2.13) дает лишь главный член в разложении, причем требуется не только , но и.

Таким образом, для магнитных полей  Гс, типичных для нейтронных звезд, выражение (2.13) обеспечивает правильные значения энергии основного состояния только по порядку величины. Многие авторы использовали различные приближенные методы, позволяющие получить (при В ≫ 1) значение энергии водорода с точностью, приемлемой для сравнения с наблюдениями.

На  рис. 1 показана энергия связи основного  состояния атома водорода как  функция магнитного поля для низшего уровня Ландау при значениях проекций орбитального момента m = 0, 1, 2, 3. Для магнитного поля В = 10¹² Гс, типичного для нейтронной звезды, потенциал ионизации водорода составляет примерно 160 эВ.

 

В основном состоянии спин электрона жестко фиксирован, будучи направленным против поля. Энергия, необходимая для переворота спина, очень велика. Например, для магнитного поля В = 10¹² Гс она составляет μВ ≈ 11, 6 кэВ. Возбужденные состояния в дискретном спектре получаются как решения уравнения Шредингера (2.8) в одномерном кулоновском поле и соответствуют волновым функциям, имеющим нули при конечных z. (Волновая функция основного состояния не имеет нулей по z.)

Спектр  возбужденных состояний водорода в  сильном магнитном поле более  или менее аналогичен спектру  обычного атома водорода. С логарифмической  точностью (порядка 1/ 1n В) энергетические уровни даются выражением . Эти возбужденные состояния находятся вблизи потолка дискретного спектра, а энергия связи в них мало отличается от энергии связи обычного водорода (13, 6 эВ). Полное решение задачи о спектре водорода в произвольном магнитном поле требует довольно громоздких вычислений.