Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ  МОДЕЛЬ       

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших  направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере  балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. 

 

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ 

 

 

      Пусть рассматривается экономическая  система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).      

Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).      

Таким образом, разность x_i - y_i  составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.      

Обозначим через x_ik  часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размерех_k. 

 

 

                                                                                                                    Таблица 1

      №                                потребление                             итого на        конечный   валовый 

       отрас.                                                                           внутре            продукт      выпуск                                                                                             

производ.          (  у_i  )               (   х_i  )   

№               1          2         …         k           …         n       потребление  

отрас.                                                                                    ( å х_ik  )

                       

1       х₁₁      х₁₂        …       х_1k           …         х_1n            å х_1k                   у₁                 х₁      

           

         2     х₂₁       х₂₂        …       х_2k          …         х_2n          å х_2k               у₂                х₂

                       

…    …        …        …        …          …         …              …                …                …

                         

i       х_i1       x_i2        …        x_ik         …          x_in            å x_ik               y_i                x_i

 

 

 
            

…    …        …        …        …         …          …              …                …                …

 

 

 
             

n      x_n1       x_n2       …        x_nk        …          x_nn           å x_nk              y_n                x_n

 

 

 
  

итого  

произв.

  затраты   å х_i1      å x_i2     …      å x_ik       …       å x_in 

в  k-ю  

отрасль

                                                                                                                         

Очевидно, величины, расположенные  в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами : 

 

 

       х₁ - ( х₁₁ + х₁₂ + … + х_1n ) = у₁              

х₂ - ( х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n ) = у₂                   ( 1 )       

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        

x_n - ( x_n1 + x_n2 + … + x_nn ) = y_n 

 

 

      Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.      

Будем снабжать штрихом ( х^’_ik , y^’_i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.      

Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :       

_       

у = ( у₁ , у₂ , … , y_n ) ,    ( 2 ) 

 

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :        

_       

x = ( x₁ , x₂ , … , x_n ).      ( 3 ) 

 

 

      Зависимость между двумя этими  векторами определяется балансовыми  равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n²неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.      

Поэтому преобразуем эти  равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений : 

 

 

                x_ik       

a_ik = –––  ( i , k = 1 , 2 , … , n ).                 

x_k     

 

 

      Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что 

 

 

       x^’_ik        x_ik        

–––  = ––– = a_ik = const     ( 4 )              

x^’_k        x_k 

 

 

      Исходя из этого предложения  имеем 

 

 

       x_ik = a_ikx_k ,         ( 5 )  

 

 

  

 

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпускаx_k. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.      

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу 

 

 

                       a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n                       

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n             

A=     ………………….                       

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in                       

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn 

 

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.       

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1       

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель : 

 

 

       x₁ - ( a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ) = y₁       

x₂ - ( a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ) = y₂                      ( 6 )       

……………………………………       

x_n - ( a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n ) = y_n   ,       

 

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1      

Система уравнений ( 6 ) может  быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:           

_        _    _       

Е·х - А·х = У , или окончательно                      

_     _       

( Е - А )·х = У ,            ( 6' ) 

 

где Е – единичная матрица n-го порядка и  

 

 

                     1-a₁₁   -a₁₂  …  -a_1n      

E - A=     -a₂₁   1-a₂₂ …  -a_2n                        

…………………                       

-a_n1    -a_n2 … 1-a_nn     

 

 

      Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( x_i и  y_i ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальныеn - переменных.       

Будем исходить из заданного  ассортиментного вектора У = ( y₁ , y₂ , … , y_n ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х₁ , х₂ , … х_n ).      

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей: 

 

 

                                          

 

 

  

 

 

                                                                                                                                        табл.2

 

 

 

         № отрас               Потребление              Итого           Конечный       Валовый     

 №                                                                           затрат           продукт          выпуск

 отрас                          1                         2

                                          

                                           0.2                      0.4                   

1               100                    160                  260                  240                    500 

 

 

 

 

                                           0.55                    0.1                 

2               275                     40                    315                  85                     400      

 

 

 

 
  

Итого затрат                                                                575  

в k-ю                       375                     200         

отрасль …                                                            575                            

 

  

 

 
      

Пусть исполнение баланса  за предшествующий период характеризуется  данными, помещенными в табл.2      

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:  

 

 

                100                       160                       275                           40       

а₁₁ = –––– = 0.2 ; а₁₂ = –––– = 0.4 ; а₂₁ = –––– = 0.55 ; а₂₂ = –––– = 0.1                 

500                       400                      500                          400 

 

 

      Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.       

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая  данным табл.2 

 

 

       х₁ - 0.2х₁ - 0.4х₂ = у₁       

х₂ - 0.55х₁ - 0.1х₂ = у₂ 

 

 

      Эта система двух уравнений может  быть использована для определения х₁ и х₂ при заданных значениях у₁ и у₂, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.      

Так, например, задавшись  у₁=240 и у₂=85, получим х₁=500 и х₂=400, задавшись у₁=480 и у₂=170, получим х₁=1000 и х₂=800 и т.д. 

 

 

  

 

 

  РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ  ПОЛНЫХ ЗАТРАТ. 

 

 

      Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).      

Первый вопрос, который  возникает при его исследование, это вопрос о существование при  заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.      

Заметим, что при любой  неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.      

Так, например, если        

 

 

        0.9  0.8                         0.1   -0.8    и уравнение ( 6' )

А=                 , то Е - А =        

0.6  0.9                        -0.6  0.1

запишется в виде    0.1   -0.8    х₁     у₁     или в развернутой форме                                 

-0.6    0.1    х₂     у₂ 

 

 

       0.1х₁ - 0.8х₂ = у₁               ( a )       

-0.6х₁ + 0.1х₂ = у₂          

 

 

      Сложив эти два уравнения  почленно, получим уравнение       

-0.5х₁ - 0.7х₂ = у₁ + у₂,

которое не может удовлетворяться  неотрицательным значениям х₁ и х₂, если только у₁>0 и у₂>0 ( кроме х₁=х₂=0 при у₁=у₂=0 ).      

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь  бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).      

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ  на поставленный вопрос.      

Теорема.  Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.      

При этом оказывается, что  обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно  неотрицательной.      

Из способа образования  матрицы затрат следует, что для  предшествующего периода выполняется  равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-планх' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.      

Обозначив обратную матрицу ( Е - А )^-1 через S = || s_ik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде       

_        _       

х = S·У          ( 7 ) 

 

 

      Если будет задан вектор –  конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )^-1, то по этой формуле может быть определен вектор-планх.      

Решение ( 7 ) можно представить  в развернутой форме: 

 

 

       x₁ = S₁₁y₁ + S₁₂y₂ + … + S_1ny_n       

x₂ = S₂₁y₁ + S₂₂y₂ + … + S_2ny_n                         ( 8 )       

………………………………       

x_n = S_n1y₁ + S_n2y₂ + … + S_nny_n    

 

 

  

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ

ЗАТРАТЫ.      

Выясним экономический смысл  элементов S_ik матрицы S.      

Пусть производится только единица конечного продукта 1-й  отрасли, т.е.                  

1       

_         0       

У₁ =    :                  

0 

 

 

      Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим 

 

 

                    1             S₁₁       

_           0             S₂₁       _       

х = S    :     =        :      = S₁                                                   

0             S_n1                                          0                                                                    

_          1

задавшись ассортиментным вектором   У₂ =     0        , получим                                                                                     

:                                                                                

0 

 

 

                    

0             S₁₂       

_          1             S₂₂        _       

х = S   :     =       :        = S₂                   

0             S_n2 

 

 

      Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит           

 

 

                   0           S_1k       

_          :            S_2k       _       

х = S   1   =      :       = S_k   ,                  ( 9 )                   

:            S_nk                   

0 

 

т.е. k-й столбец матрицы S.      

Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу  конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х₁=S_1k, во 2-й х₂=S_2k и т.д., в i-йотрасли выпустить x_i=S_ik и, наконец, в n-й отрасли выпустить x_n=S_nk единиц продукции.      

Так при этом виде конечного  продукта производства только единица k-го продукта, то величины S_1k, S_2k, …, S_ik, …, S_nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a_1k, a_2k, …, a_ik, …, a_nk на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a_ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a_1k ), 2-й отрасли (a_2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( a_i1, a_i2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2      

Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х₂=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a₁₂=0.4 и 2-й отрасли a₂₂=0.1.      

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у₂=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х₁=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а₁₁=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х₁=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х₁'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у₂=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно  обратиться к   составленной   систем  уравнений,  положив  у₁=0  и   у₂=1   ( см п.2 ): 

 

 

       0.8х₁ - 0.4х₂ = 0       

-0.55х₁ + 0.9х₂ = 1 

 

 

      Решив эту систему, получим х₁=0.8 и х₂=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х₁=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S₁₂. Таким образом, если а₁₂=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S₁₂ учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а₁₂ ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S₁₂-a₁₂=0.8-0.4=0.4       

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а₁₂=0.4 при х₂=1, то коэффициент полных затратрассчитывается на единицу конечного продукта.      

Итак, величина S_ik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( a_ik ), так и косвенные ( S_ik - a_ik ) затраты.      

Очевидно, что всегда S_ik > a_ik.      

Если необходимо выпустить у_k единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ): 

 

 

       x₁ = S_1k·y_k, x₂ = S_2k·y_k, …, x_n = S_nk·y_k ,  

 

что можно записать короче в виде:       

_    _       

x = S_k·y_k            ( 10 )        

 

Наконец, если требуется  выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент- 

 

 

                         _        у₁

ным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  x_k,  необходимый  для    его                                    

у_n 

 

обеспечения, определится  на основании равенств ( 10 ) как скалярное  произведение столбца S_k на вектор У, т.е.                                                             

_  _       

x_k = S_k1y₁ + S_k2y₂ + … + S_kny_n = S_k·y ,              ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.     

Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.      

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх₁, Dх₂, …, Dх_n ) вызовет заданное изменение ассортиментного продуктаDУ = ( Dу₁, Dу₂, …, Dу_n ) по формуле:         

_          _       

Dх = S·DУ ,         ( 12 ) 

 

 

      Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:  

 

0.2     0.4         

А =                      

0.55   0.1  

 

Следовательно, 

 

 

                       1        -0.2      -0.4                0.8       -0.4        

Е - А =                                         =                     

-0.55       1        -0.1               -0.55     0.9 

 

Определитель этой матрицы  

 

 

                                0.8     -0.4       

D [ E - A ] =                         = 0.5                               

-0.55    0.9 

 

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )^*. Имеем: 

 

 

                              0.9     0.4       

( Е - А )^* =                           ,                              

0.55   0.8 

 

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей: 

 

 

                                   1        0.9      0.4              1.8    0.8              

S = ( Е - А )^-1 = –––                            =                                  

0.5      0.55    0.8              1.1    1.6 

 

 

      Из этой матрицы заключаем, что  полные затраты продукции 1-й и 2-й  отрасли, идущие на производство единицы  конечного продукта 1-й отрасли, составляет S₁₁=0.8 и S₂₁=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а₁₁=0.2 и а₂₁=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.      

Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й  отрасли равны S₁₂=0.8 и S₂₂=1.5, откуда косвенные затраты составят       0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.