Биологиялық процестерді математикалық модель көмегімен зерттеу

Қазақстан Республикасының білім және ғылым  министрлігі

Шығыс Қазақстан  облысы

 

 

 

 

 

Бағыты: Таза табиғи орта – Қазақстан 2030 стратегиясын іске асырудың негізі

 

Секциясы: Биология

 

Тақырыбы: Биологиялық процестерді математикалық модель көмегімен зерттеу

 

 

 

 

Авторы:

Семей қаласы

 

 

Жетекші:

Семей қаласы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2010 жыл

Өскемен қаласы

 

 

Мазмұны

 

I 1.1   1.2   II 2.1   2.2   2.3

Кіріспе ................................................................................................ Теориялық бөлім  ............................................................................ Математикалық моделдеудің  жаратылыстану ғылымындағы маңызы ................................................................. Биологиялық кинетика заңдары .................................................   Зерттеу бөлімі ................................................................................... Моно теңдеуі - биомассаның ортадағы өзгеру динамикасының теңдеуі ................................................................ Жылдамдық үшін аддитивтік заңы: экологиялық тізбек құру ................................................................................................. Микроорганизмдердің популяциясының компьютерлік моделі ...............................................................................................   Қорытынды ....................................................................................   Қолданылған әдебиеттер.............................................................   Қосымша ........................................................................................

3 5   5 11   14   14   16   19   21   22   23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КІРІСПЕ

 

Қазіргі уақытта  математикалық әдістер адамның  барлық іс-әрекетінде қолданыс тауып  отыр. Осы математикалық әдістер ішінде математикалық модельдеу әдісінің алатын орны ерекше.

Бүгінгі күні ғылыми зерттеулердің қарыштап алға жылжуының негізгі факторы  модельдеу әдісінің ғылымның әр түрлі саласында кең түрде қолданыс табуында деп айтуға болады. Қоршаған ортамен араласып, қарым-қатынас жасаудың нәтижесінде адам өз танымына қарай модель құрайды. Танымдық процесс зерттелетін (танылатын) объектіге және зерттеуші (танушы) субъектіге байланысты. Зерттелетін объектіде болып жатқан оқиғаны бақылап, керек болса оқиғаға кірісіп, қойған сұрақтарына жауап алумен қатар, объектіге қатысты информацияларды жинақтап, қорытып, субъект пен объектіге тән құбылысты түсініп, өзінің көзқарасын белгілі бір формада бекітеді. Осы затқа тән нақтылы информацияларға негізделген зерттеушінің субъективтік танымы - объектінің моделі болып есептелінеді. Сөйтіп, танымдық процестің негізгі қызметі - информацияны жинау, сақтау және қорыту болса, модельдеудің негізінде де осылар жатыр деуге болады.

Математикалық модельдеу әдісі биологиялық процестерді зерттеуде жан-жақты қолданыс табуда. Биологиялық процестер, атап айтқанда организмдегі метоболизм, клеткалардың күйі, олардың бөлінуі, биологиялық түрлердің популяциясы, түрлер арасындағы өзара байланыс  және т.б. өте күрделі нысандар мен құбылыстарға жатады. Сондықтан, осындай күрделі жүйелердің даму заңдылықтарын зерттеу мақсатында математикалық модельдер және осы модель негізінде жұмыс істейтін компьютерлік модельдер кең түрде қолданыла бастады. 

Біздің ғылыми жобамыздың көкейкестілігі мынады: әр түрлі биологиялық процестердің күрделі құрылымын сипаттайтын және осы процестердің даму бағытын анықтайтын математикалық және компьютерлік модельдер жасалып, олар микроорганизмдердің даму динамикасының заңдылықтарын зерттеуде және экологиялық тізбектің болу шартын анықтауда қолданылды.

Зерттеу мақсаты: Биологиялық нысандардың дамуының жалпы заңдылықтарын математикалық және компьютерлік модель көмегімен сипаттау және оны микроорганизмдердің күйлерін сипаттауда қолдану.

Зерттеу міндеттері: 

• Математикалық модельдеу теориясын биологиялық процестерді сипаттауда қолдану жолдарын анықтау;
• Биологиялық кинетика заңдылықтарының математикалық теңдеулерін табу және оны зерттеу;
• Микроорганизмдердің ортамен және басқа биологиялық түрлермен әсерлесуінің заңдылықтарының математикалық модельдерін жасау;
• Экологиялық тізбектің құрылымын жасау және оның даму заңдылықтарын математикалық модель көмегімен зерттеу;
• Микроорганизмдердің популяциясын сипаттайтын компьютерлік модель жасау және оның көмегімен олардың көбею және азаю шарттарын анықтау.

Болжам: Егер биологиялық процестерді зерттеуде математикалық әдістерді жүйелі түрде қолданып, оларды сипаттауда математикалық және компьютерлік модельдерді мақсатты түрде қолданса, онда қарастырылып отырған биологиялық нысан туралы нақты және дәлірек мәліметтер ала аламыз.

Зерттеу кезеңдері: 1-кезең. 2007-2008 жж. Зерттеліп отырған мәселеге қатысты әдебиеттермен және көздермен таныстық. Жинақталған материалдар маңыздылығына байланысты жүйеленді.

2-кезең. 2008-2009жж. Әр түрлі биологиялық процестердің даму заңдылықтарының мәліметтеріне сүйене отырып олардың математикалық және компьютерлік модельдері жасалды.

3-кезең. 2009-2010. Зерттеудің теориялық және практикалық нәтижелері оқу орындарына зерханалық жұмыс ретінде және экологиялық басқару орталығының жұмысына енгізілді.

Жобаның эксперименттік базасы: Семей мемлекеттік педагогикалық институты, экологиялық басқару орталығы және Семей қаласындағы №5 мектеп-гимназия.

Эксперимент әдістемесі: әр түрлі биологиялық процестердің даму динамикасын эмпириялық жолмен зерттеу, оның теориясын жасау, микроорганизмдердің күйін және экологиялық тізбектің болу шартын анықтайтын дифференциалдық теңдеулер теориясына негізделген математикалық-компьютерлік моделін жасау.

 Зерттеудің жаңашылығы және автордың өзіндік үлесінің дәрежесі: әр түрлі биологиялық процестердің даму динамикасын, микроорганизмдердің күйін және экологиялық тізбектің болу шартын анықтайтын дифференциалдық теңдеулер теориясына негізделген математикалық-компьютерлік моделі жасалды. Осы модель өндіріске енгізілді.

Жұмыстың  нәтижесі және қорытынды: биологиялық процестердің даму динамикасын, микроорганизмдердің күйін және экологиялық тізбектің болу шартын анықтайтын дифференциалдық теңдеулер теориясына негізделген математикалық-компьютерлік модельдер өндіріске енгізілді және осы модельдерді қолдану практикалық жағынан тиімді екенін көрсетті.

Жұмыстың нәтижелерін практикалық қолдану аясы: Алынған ғылыми нәтижелерді жергілікті биологиялық процестерді зерттейтін ғылыми – зерттеу орталықтарының жұмыстарында пайдалануға болады.

 

 

 

 

 

 

I ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ

 

1.1 Математикалық  моделдеудің жаратылыстану ғылымындағы  маңызы

 

Биологиялық процестерді зерттеу үшін математикалық 
модельдерді алудың кейбір жолдарын түсіну қажет. 
Сондықтан     табиғаттағы     құбылыстарды зерттеуде қолданылатын математикалық модельдердің негізгі принциптерін білген жөн.

Қоршаған ортамен араласып, қарым-қатынас жасаудың нәтижесінде адам өз танымына қарай модель құрайды. Танымдық процесс зерттелінетін (танылатын) объектіге және зерттеуші (танушы) субъектіге байланысты. Зерттелетін объектіде болып жатқан оқиғаны бақылап, керек болса оқиғаға кірісіп, қойған сұрақтарына жауап алумен қатар, объектіге қатысты информацияларды жинақтап, қорытып, субъект пен объектіге тән құбылысты түсініп, өзінің көзқарасын белгілі бір формада бекітеді. Осы затқа тән нақтылы информацияларға негізделген зерттеушінің субъективтік танымы - объектінің моделі болып есептелінеді.

Сөйтіп, танымдық процестің негізгі қызметі - информацияны жинау, сақтау және қорыту болса, модельдеудің негізінде де осылар жатыр деуге болады.

Қоршаған дүниені ұғудың танымдық типтерін, әрі нақты процесті сипаттаудың жолы әртүрлі. Бұған жататындар ғылым, философия, дін, мәдениет, әдебиет... Ал бұларға тән ортақ байланыс бар ма? Мысалы, ғалым - атомның құрылысын, қоғамның өмір сүру заңдарын т.б; философ -өмір туралы және адамның өмірдегі орны; дін - адамның мәңгілік жасау мүмкіндігін, құдайдың қағидалық ұғымдары туралы; жазушы детективтік роман немесе трагедиялық әңгіме жазады; суретші теңіз жағасындағы күннің бату кезіндегі құбылысты беретін немесе басқа суреттер салса, ал композитор бір оқиғаға арнап симфония жазуы мүмкін ... [1].

Осы зерттеушілердің қайсысы болмасын өзін қоршаған ортаны түсіну үшін, әртүрлі құралдың көмегімен өзінің танымын жинақтайды. Сөйтіп, зерттеушілер процесті еріксіз модельдеу арқылы өзінің көзқарасын береді.

Модельдеуді жалпы үлкен екі топқа бөледі: материалдық (заттық) және идеалдық. Материалдық дегеніміз- зерттелінетін объектінің геометриялық, физикалық, динамикалық және функционалдық сипаттамасына негізделеді. Сондықтан материалдық таным физикалық және аналогтық болып бөлінеді.

Физикалық модельдеуге - ұқсастық теория негізінде нақты объектінің кішірейтілген немесе үлкейтілген көшірмесін қолданып, лабораториялық жағдайда процесті қайталап, тәжірибе жасап ұғу жатады. Мысалы, гидротехникада - өзенді, немесе су қоймаларын модельдеу, ал аэродинамикада - ұшатын аппараттардың кішірейтілген модельдері арқылы зерттеу, архитектурада - үйдің макетін қолдану т.б.

Аналогтік модельдеуге - зерттелінетін объектілердің физикалық табиғаты әртүрлі құбылыстарда жүретін процесстердің арасындағы байланысты білдіретін ұқсастық теорияны қолданып, зерттеу жатады. Мұндай процестер бірдей математикалық тендеумен, немесе логикалық сызбалармен беріледі. Қарапайым мысал ретінде механикалық тербелістерді электрлік сүлбе бойынша зерттеуге болады. Мұндағы процесстер аналогиялық қүбылыстарға жатады, сондықтан да екеуі де бірдей тендеумен сипатталады.

Бүл екі типтес модельдер берілген объектілердің заттық баламасына негізделген, өзара геометриялық, физикалық және басқа сипаттамаларымен байланыста қарастырылады. Сондықтан материалдық модельдеу өзінің табиғаты жағынан экспериментік тәсілге жатады.

Заттық модельдеуден идеалдық модельдеу принципі мүлде басқа. Заттық зерттеу объекті мен модельдің материалдық аналогиясына негізделсе, идеалдық зерттеу танымдық процестің негізінде құрылған ойдың, идеалдық аналогияның жемісі боп табылады.

Сөйтіп, идеалдық модельдеу теориялық сипаттамадан тұрады да, интуитивтік және таңбалық болып екіге болінеді. Интуитивтік модельдеу дегеніміз - зерттелетін объекті мен зерттеушінің сезім мүшелеріне әсер етуіне байланысты топшыланған информациялардың жиынтығы. Мысалы, адамның өмірде жинаған тәжірибесі қоршаған дүниенінің интуитивтік моделі болады т.б.; Таңбалық модель - зерттелінетін объектіге қатысты информацияны белгілі бір тәртіпке сүйеніп, таңбаларға түрлендіріп, мысалы, сүлбеге, графикке, сызбаға, формулаға, т.б. таңбаларға жинақтау. Таңбалық модель құрылымын түзейтін элементтер заңдылыққа, алгоритмге бағынып, өзіне тән ережелер жүйесінде жұмыс істейді. Математикалық модель - таңбалық танымның негізіне жатады. Классикалық мысал ретінде механиканың зандарын, И. Ньютонның математикалық формулаларын қолданып зерттеуге болады.

Бізді қоршаған дүниедегі объектілердің ғылыми танымдылығын жеткізу үшін әртүрлі математикалық тәсілдердің қолданылатынын пайымдайық. Ол үшін аздап математиканың маңызына және оның басқа ғылымдармен байланысына, әрі кейбір ерекшеліктеріне тоқталайық.

Физика мен химияның, биология мен психологияның, социология мен археологияның қолданылуы толық айқындалып, әрі қарай дамуда. Лазерлік шашырау және ацетиленді синтездеу, клеткалардың құрылысы және жеке меншіктің өмір сүру принциптері, жер қабатының эрозиясы және Рим империясының құлдырауы нақтылы объектілерге байланысты жүрді. Бұларды ұғу, зерттеу адамзат үшін міндетті болды. Себебі бұның бәрі бізді қоршаған өмірде болған оқиғалар. Ал математика болса тек қана абстрактылы ұғымдардан, яғни сандардан, функциялардан, жиындардан, қисындардан тұрады. Бұның бәрі, негізінде, табиғатта жоқ, адам миының ойлау қабілетінің нәтижесі. Сөйтіп, математика операциялық жұмысты идеалдық дүние мен адам идеясы бойынша атқарады.

Өмірде кездесетін ғылымдардың көбі бір-бірімен байланысты болғанмен, қолдану шекарасы айқындалған. Физикамен айналысатын таза физик жекеменшік формаларының өзара қатынасын түсіндіре алмайды. Тарихшыға химиялық реакцияны зерттеу қиын. Дәрігер ядролық ұсақ бөлшектердің өзара әсерлесу зандылығын медицина ғылымында қолданып, түсіндіре алмайды. Ал, өзінің қадірін білетін математиктің алдында ешқандай кедергі тұрмайды. Әртүрлі ғылыми пәндердің жасанды шекарасы математика моделін қолдануға бөгет болмайды. Таза математик бола тұрып, адамзаттың әртүрлі формадағы қызметіне батыл кірісіп, айтарлықтай жетістіктерге жетеді. Осыдан математика өзіне тән қасиеттер арқылы, барлық саланы қамтуға тырысатындығы және нақты не бере алады деген ой туады. Физика, социология немесе географияға қолданған «ғылым» - деген термин математикада өзін ақтай ала ма? Әлде дүниені танудың логикалық басқа формасы болуы мүмкін бе? Нақты қойылған күрделі есептерді шығарудағы абстрактілі математикалық тәсілдердің табысын қалай түсіндіреміз деген табиғи сұрақ туады. Қоршаған ортада кездеспейтін сандар, функциялар, теңдеулер, операторлар планеталардың қозғалысын, химиялық элементтердің өзара әсерлесуін, генетикалық информацияның берілуін, еркін нарықта бағаның алмасу механизмі т.б. процесстердің сырын түсіндіріп, анықтайды. Қалайша болды?- деп тығырыққа тірелген нәрсе математикалық танымның арқасында санамызға жетіп, нақты нәрсеге айналады.

Математика мен бізді қоршаған нақты өмірді байланыстырушы арнайы түйіннің түрі - модель болады. Сонымен, модель бір жағынан зерттелетін объектіге тиісті бай информацияны қамтыса, екінші жағынан математикалық стандартты формула таңбаларынан тұрады. Сөйтіп, математикалық аппа-ратты қолдануға мүмкіндік береді. Бұл дегеніміз - зерттелінетін құбылыстың математикалық моделі. Ол нақты ғылыми зандылықтардың негізінде математикалық тілге аударылып қызмет істейді, танымның дамуына жол ашады. Жалпы математикалық модель принципті түрде әртүрлі екі дүниені қосатын ұлы көпір. Біреуі - қоршаған объективтік шындық. Ол біздің сана-сезімімізге әсер етеді. Екіншісі - жеке адамзаттың идеясына сүйенген, құдіретті математика заңына бағынған абстрактік дүние.

Біздің мақсатымыз - әртүрлі процессте қолданылатын математикалық модельдерді бағалау және зерттеу тәсілдерімен таныстыру, яғни дүниетанымына қажетті математикалық көпір құруды үйрету.

Әдебиетте және мәдениетте кейбір шығарманы талдау үшін    оның    мазмұнын,    әрі    формасын    бағалаймыз.

Шығарманың мазмұны туралы сөз болса, жазушы қандай сюжетті мақсат еткенін, ойын оқырман қауымға қалай жеткізгенін анықтау керек. Форма - автордың айтайын деген ойын жеткізу құралы. Сөйтіп, мазмұн - зерттелінетін құбылыс немесе зат жөнінде объективтік информациядан тұрады. Форма - авторға тән жеке басының көзқарасы, сондықтан субъективтік шама.

Мақсат, идея, ой -форманың табиғи құралы десек, зерттеушінің субъективтік көзқарасы қарастырылатын құбылыстың табиғи бейнесін бүркемеуге тиісті. Өнерде және әдебиетте шығарманың формасы мазмұнына адекватты болса, онда қолданған құралымыз қойған мақсатымызға жеткізгені.

Осыған байланысты Огюста Роденнің сөзін келтірейік. Шындықты дәл бейнелеуге тырысқан суретші, болымсыз детальдардың бұлжытпай көшірмесін беріп, үлкен шебер иесі бола алмайды. Мысалы: жазушы оқиғаны документалдық дәлдікпен берсе, шығарманың тартымдылығы азаяды; үлкен қалам иесінің жазбасы соттағы эксперттік дәл жазбаға қарағанда көп әсер етеді.

Енді ғылыми зерттеудегі мазмұн мен форманың байланысы , оның ішінде математикалық модельдеудің мәні қандай? Кез-келген модельдің мақсаты- қарастырылатын объект туралы информацияны жеткізу болғандықтан, мазмұнын модельдеу, формаға қарағанда басым болады. Ал, математикалық модель бейнслейтін нақтылы дүниеге адекватты болады, сондықтан формаға және мазмұнға қойылатын талап бірдей. Математикалық танымның алдындағы кейбір этаптарды қарастырайық. Зерттелетін құбылысқа қойылған модельмен зерттеуші қандай проблеманы шешпек, қандай математикалык апаратты, тәсілді және техниканы қолданбақ, жетілген құрал-жабдықтарға, білімге байланысты нақтылы шындыққа барынша жақындап, нақты информация алуға болады десек артық бола ма? Әрине, бұдан математикалық апараттың негізінде абсолютті дәл немесе ықтималдылығы басым эталондық модель аламыз деген ой тумайды.

Айтар ойымызды жеңілдету үшін кейбір қарапайым мысалдарға жүгінейік. Кеңістікте дененің қозғалу процесіне байланысты есепте, кез-келген уақыт моментінде дененің тұрған орнын және жылдамдығын анықтау. Электрондық қабаттағы таңбаланған электронның уақытқа тәуелді орнын және импульсін табу.

Модельдеу дегеніміз – негізінен информацияны жинақтау, сақтау және түрлендіру болып табылады. Сондықтан бір объектінің екі моделін салыстырсақ, қайсысының информацияны түрлендіру эффектілігі басым, сол модель жақсы делінеді. Кейде абстрактілі математикалық модельден қосымша енгізілген түзетулердің көмегімен информацияларды өңдеп зерттелетін процесс туралы нақты деректер алуға болады.

Математикалық модель құруға байланысты кездесетін негізгі зандылықтарды түсіндіру үшін, еркін құлаған дененің моделіне тоқталайық. Ең алдымен, зерттелетін құбылыстың негізі болатын объектіні анықтау. Біздің жағдайда, құлайтын денеге сипаттама беру. Яғни дененің формасын, өлшемін және ішкі структурасын ескермей, біз материалдық нүкте деп қарастырдық. Келесі, қарастырылатын процессті сипаттайтын жүйедегі күйді анықтайтын функцияны табу. Біздің жағдайда құлаған дененің жер бетінен қандай биіктікте болғаны және жылдамдығын анықтау. Мысалы, жылу физикасында температура-күй функциясы болады, ал кинетикалық химияда озара әсерлесетін заттардың және өнімі болатын заттардың концентрациясы т.с.с. Сонымен математикалық модель дегеніміз - күйді сипаттайтын функциялар бойынша берілген теңдеу.

Енді тендеуді шеше отырып, біз математикалық модельді зерттейміз, яғни күйдің функцияларының басқа параметрлермен байланысын тауып, сипаттамасын анықтаймыз. Әуелі бұған жататындар тәуелсіз айнымалы шамалар - уақыт және кеңістік айнымалылары. Мысалы, құлаған дененің кез-келген уақыт моментіндегі биіктігі. Ал жылу тасымалдау процесінде дененің нүктелеріндегі температураның өзгерісі т.с.с.

Құрылған математикалық модельге байланысты, күйдің функцияларын және тәуелсіз айнымалыларды анықтағаннан кейін координат жүйесін анықтау қажет.

Осыдан бастап жүйеде қарастырылатын күйдің функцияларының өзгеру зандылығын беретін математикалық формуланы анықтау болады. Бұл үшін уақиғанын дамуына нақты әсер еткен не, яғни системаның эволюциясының себебін көрсету қажет. Мысалы, қарастырған есепте дененің құлауына негізгі себеп болған, денеге әсер ететін - ауырлық күш.

Бізді қызықтыратын уақиғаны туғызған себептерді көрсету үшін, модельдеу процесін құру кезінде салдарды туғызатын себептердің әрқайсысының қандай әсері болатынын білу кажет. Сөйтіп математикалық модельдеу негізі дегеніміз - осы салдарлық - себептердің әсеріне байланысты күй функцияларының өзгеру заңдылығын анықтау. Біздің мысалға келсек, мұндай байланыс Ньютонның екінші заңымен беріледі, яғни күй функциясының уақыт бойынша алынған екінші туындысы, әсер ететін ауырлық күшке пропорционал өзгереді.

Зерттелінетін құбылыстың салдарлық - себептер байланысын анықтайтын математикалық модельді толықтыратын басқа сипаттамасына тоқталайық. Бұл зерттелінетін табиғат құбылысының бізге керекті шарттарын анықтайтын жүйе параметрлерін анықтау. Дененің еркін құлауына байланысты, бастапқы биіктік және бастапқы жылдамдық болады. Ал, жылу тасымалдау процесіне дененің жылу қасиеттерін беретін физикалық шамалар жатады.

Келесі жүйе параметрлерінің өзгеру диапазонын белгілеу болады. Бұл дегеніміз, математикалық модельдің қолданылу мүмкіндігін анықтайтын шарттары туралы мәліметтер белгілі болу керек. Мысалы, дененің еркін құлауын сипаттайтын модель тек гравитациялық өрісте қолданылатыны зерттеушілерге мәлім.

Сөйтіп, математикалық модельдің құрамы жөнінде үш сипаттамаға назар аударуға болады. Әрбір нақтылы жағдайды сипаттайтын процестің параметрлері, белгіленген шамалардан тұрады және осылардың ақпараттарынан құралады. Мұнда тәуелсіз айнымалылар белгіленбеген, бірақ өзгеру облысы берілген, күй функциясының анықталу облысы болады. Параметрлері берілген айнымалылар бойынша, күй функциясын қалпына келтіру есебі математкалық модельдің негізгі жұмысына жатады.

Керекті математикалық ара-қатыстарды қорытып алған соң, күй функциясынан басқа шығатын информацияларды анықтау кажет. Мысалы, дененің жерге қүлағандағы уақыт моментін және соңғы жылдамдықты шығатын информацияға жатқызуга болады.

Қорыта келіп, зерттелінетіи процесстің математикалық моделін құрайтын элементтер:

1. Зерттелінетін объект.
2. Жүйе күйінің функциясы.
3. Тәуелсіз айнымалылар.
4. Координат системасы.
5. Жүйе эволюциясының себептері.
6. Салдарлық-себептер байланысы.
7. Жүйенің енетін параметрлері.
8. Математикалық модельдің қолданылу шарттары.
9. Жүйенің шығатын параметрлері.

Табиғи құбылыстағы зандылықты анықтау үшін өзіне тән ғылыми салалар зерттейді (физика, химия, биология т.с.с). Ал, математикалық амалдарды қолданып, модель құрып, компьютердің көмегімен анализ жасап, әрі табиғи процесті қалағанымызша қайталап, дисплейде тәжірибе жасап, көз жеткізіп, кез-келген құбылысты зерттеу мүмкіндігі зор.

Құрылатын модельдер үшін, математикалық модельдің сипаттамасы қолданылған математикалық есептер мен оларға кіретін шамалардың арасындағы байланыспен анықталады. Күй функциясы уақытқа тәуелді өзгерсе, онда жинақталған параметрлік жүйеде, ал күй функциясы уақытқа және кеңістік айнымалыларына байланысты өзгерсе - тарамдалған параметрлік жүйеде берілді деуге болады. Бұған маятниктің тербелісін, снарядтың ұшуын кейбір дербес жағдайда жинақталған параметрлік жүйеде қарастыруға болады, ал жылудың тасымалдануы, көлем ішіндегі сұйықтың қозғалысы - тарамдалған параметрлік жүйеде зерттелінеді. Математикалық есептерде жай дифференциалдық теңдеу жинақталған параметрлік жүйеде кездессе, ал дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеу тарамдалған параметрлік жүйеде қарастырылады.

Теңдеулерді қолданып қоймай, кейбір процестерді модельдеу үшін вариациялық принциптер негізінде әдістемелейді. Классикалық механикадан материалдық нүктенің козғалысын динамиканың тендеуін қолданып немесе ең аз әсер ету принципінің негізінде, яғни жүйе эволюциясын құрғанда шығатын энергияның шамасы минимум болатындай есеп құрып шығаруға болады.

Процеске кездейсоқ факторлар әсер етсе стохастикалық модель деп, ал сырттай әсер ететін факторлардың эффектілігін ескермей құрылған модель детерминальдық делінеді. Үздіксіз жүйеде тәуелсіз айнымалы үздіксіз өзгереді, ал дискретті жүйе тәуелсіз айнымалы тұрақты немесе айнымалы қадам жасап өзгереді.

Күйді сипаттайтын функциялар уақытқа байланысты өзгерсе динамикалық, ал күйдің сипаттамаларын беретін шамалар уақыт өзгерісіне қатысы жоқ болса стационарлық жүйе деп айырады. Математикалық модельдердің зерттелінетін процесті беру ерекшеліктеріне қарап, классификациалаудың басқа да түрлерін атауға болады.

 

 

 

 

1.2 Биологиялық кинетика заңдылықтары

 

Биологиялық кинетика биомассаның, организмндегі клетка мөлшерінің, жеке биологиялық объектінің массасының уақытқа тәуелді өзгерісін зерттейді. Аталған объектілер көптеген компоненттен тұрады және оларды сипаттайтын параметрлердің  уақытқа тәуелді өзгерістері әр түрлі заңдылықтармен болады. Сондықтан да біз алдымен  биологиялық кинетиканың негізгі ұғымдарымен танысып алайық:

1. Биологиялық объект  құрамында болатын кейбір компонент бойынша жылдамдығы ретінде осы компоненттің концентрациясының бірлік уақыттағы өзгерісін айтады [1]. Егер Dt уақыт ішінде кейбір компоненттің концентрациясы DС өзгерсе компонент бойынша жылдамдық

R =

                                           (1)

Бұл анықтама тек  химиялық кинетика ғана емес, биологиялық процестердің уақытқа байланысты өзгерісін де сипаттайды. Мысалы, белгілі бір микроорганизмдердің биомассасының уақытқа тәуелділік заңдылығын зерттесек, осы құбылыс белгілі бір жылдамдықпен сипатталады. Ал концентрация ұғымын көбінесе микроптарға қоладанады: бір литр қоректік ортадағы грамм бойынша алынған микроогранизм мөлшерін концентрация деп атайды.

2. Биологиялық процестер үшін Мальтус заңы. С.Д.Перт өсімдіктердің биомассасының өсу шарттарын анықтады [2]. Ол шарттар мыналар:

А) өсімдіктің өміршеңдігі;

Б) энергия көзінің болуы;

В) биомассаның синтезіне  қажетті барлық компоненттері бар қоректік қосымша заттарды енгізіу;

Г) Орта ішінде клеткалардың көбеюін тежейтін ингибиторлардың  болмауы;

Д) Ортада жағымды физико-химиялық шарттардың орындалуы.

Егер жоғарыда қарастырылған  талаптар орындалса, онда биомассаның  өсу жылдамдығы биомассаның мөлшеріне тура пропорционал болады.

Демек, 

=m·x₁                           (2)

m - бірлік биомассаның өсу жылдамдығы биомассаның меншікті өсу жылдамдығы деп аталады.  Ол бірлігімен өлшенеді. (1) және (2) теңдеулерді салыстыра отырып,  өрнекті r_x1 белгілейміз. Сонда r_x1 = . Бұл өрнек Мальтус заңы деп аталады. Жоғарыда келтірілген дәнді дақылдар үшін жасалған идеал жағдай орындалса, онда Мальтус заңы орындалады. Бұл қарапайым дифференциалдық теңдеуге жатады. Дифференциалдық теңдеуді айырмалық схема (разностная схема) түріне келтіріп, Matchad 14 ортасында шештік.

Оның шешуі 1-суретте  көрсетілген:

 

Сурет 1 – Мальтус теңдеуінің шешімі

 

Ал нақты  өмірде күнделікті практикадан білетініміздей С.Д.Перттің шарттары орындалмайды. Мұндай жағдайда математиканың универсаль әдісі – сандық әдісті пайдалану керек. (2) теңдеудегі m тұрақты шама- биомассаның өсуінің меншікті жылдамдығы. Осы шаманың мәнін эмпириялық жолмен анықтайық. Көрнекі физиолог Макс Клейбер егеуқұйрықтан бастап өгіздерге дейін метоболизмнің интенсивтілігін анықтаған. Бұл жануарлардың массасы 0,15 кг-нан 679 кг аралығында болған. Осы жануарлардың метоболизмін зерттей отырып, метобоизм интенсивтілігі мынандай теңдеуге бағынатынын ашқан:

 

Р_мет =70·М_Т^3/4

 

Мұндағы Р_мет метоболизм интенсивтіліг (ккал/сөтке), М_Т – жануар массасы (кг) [3]. Зерттеуші 1 литр оттек мөлшерімен 4,8 ккал жылу бара-бар екенін есептеген. Демек Р_мет шаманы ккал/сөтке бірлігімен емес лО₂/сағат мөлшерімен алмастырса онда былайша жазуға болады:

 

Р_мет =70/4,8/24·М_Т^3/4 лО₂/сағат

 

Көмірсутекті  энергия қөзі ретінде пайдаланатын бактериялар мен саңырауқұлақтардың оттек бойынша экономикалық коэффициенті 1 г оттекке келетін 1г құрғақ биомассаға жуық. Қалыпты жағдайда 22,4 литр оттек 16 грамм тартатынын біле отырып  1 литр оттектің массасын есептейміз:

m=16/22,4 г.

Демек, бір сағатта Р_мет литр оттек жұмсап, микроорганизм биомассасы

Р_мет· Y·m (құрғақ биомасса) шамаға өседі. Демек М_Т шама неғұрлым көп болса, өсім де соғұрлым көп болады. Ал меншікті өсу жылдамдығын табу үшін өсуді М_Т ға бөлеміз. Сонда меншікті өсу жылдамдығы

m = Р_мет· Y·

                                (4)

Мұндағы А (г  құрғақ биомасса/кг ылғал биомасса) ылғал биомассадан құрғақ биомассаға көшу коэффициенті. Р_мет шаманың М_Т шамаға тәуелділігін ескерсек

m = Р_мет· Y·

=

Біз к шаманы тек микроорганизмдер үшін есептедік. Анықтама материалдарды пайдалана отырып 11 түрлі микроорганизмдер үшін к шама орташа k = 0,0001 тең екенін таптық. Сонда массасы 10^-15 кг болатын бактерия үшін меншікті өсу жылдамдығы 0,6 болады [4].

Әрине, нақты  жағдайда организмдер тұрақты меншікті жылдамдықпен өспейді. Оған не әсер етеді. Өсудің меншікті жылдамдығы қоректік субстраттың концентрациясына тәуелді. Егер қорек жоқ болса организм өспейді және көбеймейді (m =0). Ал қоректік зат артығымен болғанда жоғарыда көрсеткендей максималь меншікті жылдамдық болады.