Действительные числа. 2

                                                   СОДЕРЖАНИЕ.

Введение………………………………………………………………………...2

Глава 1. Зарождение и развитие понятия числа……………………………...3

1.1.Числовые системы и  история их появления………………………………4

1.2 История появления дробных  чисел………………………………………..6

1.3 Предпосылки зарождения  «действительных чисел»……………………..8

1.4 Парадоксы……………………………………………………………………9

1.5 Теория предела………………………………………………………………11

Глава 2. Создание теории действительного числа…………………………….15

2.1 Карл Вейерштрасс…………………………………………………………...15

2.2 Георг Кантор…………………………………………………………………18

Глава 3. Действительные числа…………………………………………………21

3.1 Бесконечные десятичные  дроби…………………………………………….21

3.2 Определение иррациональности  числа……………………………………..23

Заключение………………………………………………………………………..25

Список литературы……………………………………………………………….26

          Введение.

        Темой данной курсовой работы является раскрытие и донесение понятия «Действительные числа», а так же их роль в математическом анализе.

        В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с понятием «Числа», его историей и путями развития.

        Понятия числа являются первичным и  основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития.

        Множество натуральных чисел появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа и рациональные числа где.

        Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь  не сократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

        Вторая и третья главы реферата посвящены теории действительных чисел и математических моделей их применения.

        Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.

        Вещественное, или действительное число - математическая абстракция, возникшая из потребности человека в измерении геометрических и физических величин окружающего материального мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений  [2, стр. 28] . Если «Натуральные числа» возникли в процессе счета, «Рациональные числа» возникли - из потребности оперировать частями целого, то «Вещественные числа» - предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами. 

        Глава 1. Зарождение и развитие понятия числа

        В основе математики лежит понятие числа, одно из самых ранних и самых абстрактных. Оно возникло как обобщение счета отдельных предметов. Счет присущ не только человеку, но и, в некоторой форме, и животным, например кошке, которая чувствует наличие при себе всех своих котят.

        Наиболее ранняя форма счета носит конкретно-чувственный характер. Такой счет можно обнаружить у первобытных людей и у животных. Однако нельзя с уверенностью сказать, что только человек способен к абстрактному счету. Есть данные о способности приматов к символизации счета «Приматы способны распознавать и обобщать признак «число элементов», устанавливать соответствие между этим отвлеченным признаком и ранее нейтральными для них стимулами — арабскими цифрами. Оперируя цифрами как символами, они способны ранжировать множества и упорядочивать их по признаку «число», а также совершать число действий, соответствующее цифре. Наконец, они способны к выполнению операций, изоморфных сложению, но этот вопрос требует более точных исследований.»[12]. Там же отмечается высокая способность к символизации и обобщении по признаку «количества» у врановых.

        Переход от «чувственного счета» к абстрактному осуществляется при помощи взаимооднозначного соответствия между двумя множествами, одно из которых позже принимается как бы за эталон. Взаимооднозначное соответствие по началу носит также конкретно-чувственный характер(например, расположение элементов друг напротив друга). Таким способом пользуются даже современные люди, когда считают что-либо загибая пальцы. Считается, что именно счет на пальцах лежит в основе десятичной системы исчисления, принятой у европейских народов [10, стр. 11]. На этом этапе обобщения появляется знаковое обозначение числа. Первоначально это были зарубки на дереве, костях, узелки на веревках, количество которых совпадало со значением числа. Конкретно-чувственное происхождение чисел находит свое отражение в языке. «Вначале счет производился с помощью подручных средств:пальцев камней, еловых шишек и т.д. Следы этого сохранились в названии математических счислений: calculus, которое имеет латинское происхождение и означает: счет камешками»[11, стр. 17]. С развитием культуры и общества появляется потребность в использовании более больших чисел, так появляются разнообразные числовые системы.

        1.1. Числовые системы и история их появления

        Современная десятичная система появилась в результате развития древних систем счисления. К системам счисления предшествующим десятичной относятся:

        Иероглифические непозиционные системы. К ней относится Римская система. В ней числа формируется из набора узловых чисел обозначенных иероглифами. Число образуется из этого набора путем дописывания справа или слева узлового числа других узловых чисел. Значения числа вычисляется по аддитивному или субстрактивному принципу.

        Алфавитные системы счисления. Здесь числа записываются при помощи букв. Чтобы отличить буквы от чисел, каждой букве приписывается отличительный признак. Буквы используемые для записи чисел берутся в группы по 9 штук. Для записи единиц десятков и сотен используются разные группы букв, что существенно осложняет ее использование.

        Почти одновременно со счетом зарождаются математические операции сложения и вычитания(когда уменьшаемое больше вычитаемого). Позже появляется умножение, как повторное сложение. Деление появляется значительно позже, чем умножение, хотя представления о простых дробях () появляется сравнительно рано. Понятие о натуральных числах, как о бесконечном наборе чисел, возникло не сразу. Представления о неисчислимо больших числах сохранились в языке, например в русском словами «тьма», «много». Наиболее отчетливое представление о безграничном продолжении ряда натуральных чисел обнаружено у греческих математиков. В XII-VII веках до н.э. (времена Гомера) самым большим числом было мириада (1000), которое позже стала обозначать 10000. В III в до н.э. Архимед в своем труде «Исчиление песчинок» опроверг возможность построить сколь угодно большое число.

        Однако даже в математике Древней Греции не было единого представления о том, что такое число. Так в школе Пифагора и Платона считали единицу не числом, а «эмбрионом числа». Стоит отметить, что мифологическое сознание древнегреческого общества еще не до конца воспринимало математические и философские абстракции. «Наименее доступны пониманию широких кругов были именно числа, эти наиболее абстрактные элементы науки того времени»[7, стр. 83]. По этим и другим причинам математика, ее методы и результаты выглядели мистически. Наиболее развитым и философски обоснованным мистическим взглядом на числа были пифагорейство и неопифагорейство. Упрощая, можно сказать, что пифагореизм в основе гармонии мира видел число, для пифагореизма все числа имели мистический смысл. Подобные взгляды можно встретить и сегодня.          Однако следует признать, что проникновение в философию понятий математики чаще всего было плодотворным. В качестве примера можно привести категорию «Количество» в философии Канта и в диалектической логике, а также парадоксы теории множеств.

        Первоначально понятие нуля возникло в качестве обозначения нулевого разряда в записи чисел. Первое достоверное использование нуля обнаружено в Индии и относится к IX веку. Однако точное происхождение цифры ноль в позиционных системах не известно. «Одни исследователи(Г. Фреуденталь) предполагают, что нуль был заимствован у греков...Другие(Дж. Нидэм), наоборот, считают, что нуль пришел в Индию с востока»[10, стр. 183]. В Индии наиболее ясно и полно исследовали вопрос о применимости к 0 арифметических операций, математиком Бхаскара даже исследовался вопрос о делении на на 0.

        Также в индийской математике было наиболее отчетливое представление об отрицательных числах. «Индийские математики, начиная с Брахмагунты(VII в.н.э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное как долг»[10, стр. 190], хотя мы не можем утверждать, что отрицательные числа впервые появились в Индии. Было установлено, что квадрат отрицательного числа — число положительное, также ставились вопросы о наличии квадратного корня из отрицательного числа. Действиям с отрицательными числами посвящена целая глава в произведении Бхаскары «Виджаганита».

       Менее ясные представления об отрицательных числах были и у китайцев. Их появление было связано с задачами, которые сегодня называются системы линейных уравнений. «Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, производились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов»[11, стр.84]. Юшкевич высказывает предположение о том, что представление об отрицательных числах имел Диофант [10, стр. 145].

        Интерпретация отрицательного числа как «долга» у индусов переняли арабы, использование отрицательных чисел встречается в работах арабского математика Абу-л-Вафы. Считается, что термин долг был заимствован математиком Средневековья Леонардо Пизанским(ок. 1170-после 1250, известен как Фибоначчи) у арабов. Кроме «долга» существовал термин «меньше, чем ничто». Зачатки геометрической интерпретации отрицательных чисел появляется в работе М. Штифеля «Полная арифметика», но только после работ Ферма и Декарта отношение к отрицательным числам кардинально изменилось. Применение отрицательных чисел и нуля сыграло важную роль в математике, позволило обобщить многие задачи, упростить некоторые вычисления и формализовать многие алгоритмы.

        1.2 История появления дробных чисел

        Как было отмечено ранее, дроби появились намного раньше чем целые числа () и даже раньше чем операция деления. Они возникли из потребности делить целое на части, а также выражать величину через ее части. Дроби вида  называемые долями известны человечеству со времен зарождения математического знания. Так египтяне имели обозначения для дробей вида (единичные), а также для , однако если им встречались дроби другого вида, они раскладывали их на сумму единичных дробей. Единичные дроби использовались на ранних этапах греками и шумерами. Дроби общего вида  появляются в Греции, хотя изначально не принимаются как числа. Греки впервые построили, по нашим понятиям группу положительных рациональных чисел. «Только в Греции начали оперировать с дробями вида , причем умели производить с ними все действия арифметики с тем ограничением, что вычитать можно было из большего меньшее»[10, стр. 71].

        Дроби также были издавна известны в Индии, упоминания о таких дробях как  относятся к середине II тысячелетия до н.э. Причем индийцы записывали их способом, напоминающий современный: числитель над знаменателем, но без разделительной черты. Также указывались правила обращения с такими объектами, аналогичные современным правилам обращения с дробями.

        Несколько слов стоит сказать о происхождении десятичных дробей. Прообразом для десятичных дробей послужили шестидесятиричные дроби, используемые вавилонянами. Она напоминала современный способ записи дробей тем, что позволяла записывать целю и дробную часть однотипно, что значительно упрощало вычисления. Постепенно, возникают догадки,что это удобство не связано с какими-то особенными свойствами число 60. «Зреет мысль о том, что в основу системы таких дробей может быть положено и другое число...Понимание этой мысли можно видеть уже в учебнике арифметики середины XII в., приписываемом Иоанну Севильскому. Иордан Немораррий(XIII в.) дает даже специальное название таким систематическим дробям, аналогичным шестидесятеричным»[6, стр. 240]. Идея десятичных дробей использовалась некоторыми математиками, но до XIV века строгого их построения не было. В середине XIV в. французский математик Бонфис сделал попытку развить идею десятичного числа. Однако его работа носила эскизный характер и не была опубликована.

        В первой половине XV теорию десятичного числа построил самаркандский математик Джемшид Гиясэддином ал-Каши. Он описал десятичную записи числа и описал правила обращения с десятичными дробями. Однако работы ал-Каши оставались неизвестными вплоть до середины XX века.

        В Европе десятичные дроби появились благодаря инженеру Симону Стевину(1548-1620). Он объединил отдельные идеи и представления о десятичных дробях и пламенно их пропагандировал. Большой интерес матетиков вызвали периодические дроби. Они были впервые обнаружены арабским матетиком ал-Марадини в XV в. В Европе вопрос о периодических дробях был серьезно рассмотрен Валлисом в 1676 в трактате по алгебре. Вопросами периодических дробей занимались также Лейбниц, Ламберт, Эйлер, Бернулли, Гаусс и др.

        1.3 Предпосылки зарождения «действительных чисел»

        Как видно из предыдущего исторического экскурса, твердого понимания что такое число долгое время не было. С точки зрения древних греков, числом было только натуральное число большее единицы. Несколько более прогрессивная система счисления была у вавлонян, использущих шестидесятиричные дроби. Вавилоняне знали теорему Пифагора и сталкивались с проблемой извлечения корней из чисел не имеющих точного квадрата. Однако, нет данных о том, рассматривали ли они этот вопрос теоретически. «Обладание подобной [шестидесятиричной] системой и вытекающая отсюда уверенность в числовых расчетах неизбежно приводили к «наивному» понятию действительного числа, почти совпадающему с тем, которое в наши дни можно встретить в элементарных учебниках математики (связанное с десятичной системой счисления) или у физиков и инженеров. Это понятие не поддается точному определению, но его можно выразить, сказав, что число рассматривается как определенное благодаря возможности получать его приближенные значения и вводить их в вычисления.»[2, стр. 146].

       «...проблема несоизмеримости получила громкую известность среди широких кругов образованных людей»[10, стр. 73]. Есть легенда о том, что Пифагор в благодарность богам принес в жертву сто быков[7, стр. 91]. Возможно было даже мнение что этот результат должен остаться тайным[1, стр.235].

        Несоизмеримость не имела геометрического осмысления. Это явление назвали «алогон», не поддающееся осмыслению. Термин «иррациональность» является латинским переводом этого слова[7, стр.91]. В истории математики крушение пифагорейской арифметики называют Первым кризисом математики.

        Открытие несоизмеримости оказало огромное влияние на греческую мысль. «Именно с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности»[1, стр. 235]. Дело в том, что до открытия несоизмеримости греки находили общую меру при помощи алгоритма Евклида. Но случае несоизмеримых отрезков алгоритм переставал быть конечным.

        1.4 Парадоксы.

        Приведем самые интересные для затронутой темы парадоксы по [10].

        1. Парадокс «Дихотомия» построенный в предположении, что пространство делимо до бесконечности.

        Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что сначала оно должно дойти до середины отрезка, потом до середины остатка отрезка, потом до четверти отрезка и так далее. Таким образом тело должно пройти бесконечный набор точек.

        2. Парадокс «Стрела», построенный в предположении, что время пространство и время состоят из неделимых элементов.

        Стрела в некоторый момент времени находится в точке в неподвижном состоянии. Так как это верно в каждый момент времени, то стрела покоится.

        Несмотря на то что, в этих парадоксах отражено незнание греками понятия предела, эти парадоксы не так просты. Вопросы, поставленные Зеноном, обсуждались философами и математиками во все времена. В частности такими математикам как Гильберт и Вейль. Но для греческих математиков вопрос был в том, допустимо или не допустимо использовать бесконечность в математике. Этот вопрос в греческой математике стоял очень остро. Например, Протагор(V в. до н.э) отрицал даже все математические абстракции[10, стр. 94].

        Первая концепция бесконечного, которая стала общепринятой в греческой математике, была выдвинута Анаксагором(V в. до н.э.) и развита Евдоксом Книдским. Евдоксу принадлежит метод исчерпывания, который был призван разрешить проблему несоизмеримых. Для этого он строит теорию величин аксиоматически. Величины в понимании Евдокса имеют различную природу - отрезки, числа, время, но все величины характеризуются:

1. Транзитивностью. «Равные  одному и тому же равны между  собой».

2. «Если к равным прибавляются  равные, то и остатки будут  равны».

3. «Если от равных отнимаются  равные, то и остатки будут  равны».

4. Эквивалентностью. «...совмещающиеся  друг с другом равны между  собой».

5. Все величины одного  вида упорядочены, т.е.

6. «...целое больше части».

7. «величины имеют отношение  друг с другом, если они взятые  кратно могут превзойти друг  друга» (или в современной трактовке: если , то найдется  такое что ).Эту аксиому Евдокс вводит, чтобы исключить бесконечно большие величины. Она известна в математике под названием аксиомы Архимеда, однако Архимед не только не был ее автором, но даже подчеркивал, что это аксиома была известна до него[2, стр. 148].

        Построение этой аксиоматики было значительным шагом в сторону теории действительного числа.

        1.5 Теория предела

        Строгая математическое построение понятия вещественного числа стала возможной благодаря теории предела.

        Человек, получивший современное математическое образование с трудом представляет себе дифференциальное и интегральное исчисление без аппарата теории предела. Однако, исторически производная появилась раньше предела. Причины такого явления в[1] объясняются насущной потребностью естествознания в XVII веке методах дифференциального и интегрального исчисления.

        В XVII идеи связанные с инфинитезимальными методами начали бурно развиваться. Здесь стоит отметить таких математиков как Декарт, Ферма, Паскаль, Торричелли, Кавальери, Роберваль, Барроу. Метод квадратур, разработанный в античности, нашел широкое применение и развитие. Исследовался вопрос касательных — было дано определение, более общее чем античное, были построены методы отыскания касательных. Были сделаны попытки ввести производную. Было даже установлено, что задача о нахождении касательной обратна к задаче о квадратуре.

        Несмотря на отсутствие строгости «...математики достигали все большего мастерства в обращении с понятиями, лежащими в основе исчисления бесконечно малых»[1, стр. 263].

        Методы бесконечно малых завоевывают популярность у математиков и все больше используются и совершенствуются. Интегральное и дифференциальное исчисление постепенно оформляется и обобщается трудами таких ученых как Ньютон(1643-1727) и Лейбниц(1646-1716). Так, Ньютон установил связь между производной и интегралом, предложил новый метод решения уравнений при помощи производной. Он разработал метод флюксий, который связал производную с мгновенной скоростью и ускорением. При помощи этого метода он разрабатывал интегральное и дифференциальное исчисление. Также Ньютон предложил алгоритм для нахождения производной функции, основанный на ранней форме теории пределов. Основой и мощным средством метода флюксий было разложение функций в ряды, правда без должного обоснования их сходимости.

        Лейбницу мы обязаны большим количеством удобных и красивых обозначений в интегральном и дифференциальном исчислении. К своим результатам Лейбниц пришел независимо от Ньютона. Пользуясь знаниями из комбинаторики он разработал формальный метод вычисления интегралов. Лейбниц ввел понятие дифференциала определив его через касательные, нашел некоторые правила нахождения дифференциала сложной функции, а также ввёл дифференциалы высших порядков. Также Лейбницем были разработаны методы поиска точек экстремума и точек перегиба. Сильной стороной теории Лейбница, с точки зрения практических вычислений, была алгоритмичность и формальность.

        И Ньютон, и Лейбниц решили множество практически важных задач, пользуюясь понятиями бесконечно малых величин, их точки зрения на производную и интеграл отличались друг от друга. Так Ньютон для решения дифференциальных задач использует метод флюксий, а Лейбниц дифференциалы. Ньютон рассматривает интегрирование как задачу обратную дифференцированию(в наших понятиях, отыскание первообразной), а Лейбниц рассматривает интеграл как сумму площадей бесконечно малых прямоугольников. Вполне естесственно, что две эти концепции были конкурирующими друг другу.

        Ньютон и Лейбниц, используя в своих выкладках бесконечно малые, не могли объяснить их природу, потому что не представляли себе малой величины и конечной и отличной от 0. Оба ученные близко подошли к понятию предела, но «..узкая концепция числа, не допускавшая отождествления некоторых отношений с числами, была отчасти причиной того, что ни в ньютоновской, ни в лейбницевой теориях не могло "прорезаться" понятие предела»[1, стр. 275]. Математики пользовались интуитивными и геометрическими соображениями. Функции понимались как кривые, полученные некоторым движением(так же как их рассматривали древние греки). «Первые создатели анализа и их последователи принимали как нечто само собой разумеющееся справедливость двух основным представлений о пространстве и механическом движени»[4, стр. 36]. Вероятно по этой причине связь между непрерывность и дифференцируемость долгое время считались почти синонимами.

        Однако метод бесконечно малых доказал свою плодотворность и нужность математике, от этого проблема фундамента для интегрального и дифференциального исчисления становилась еще более острой. Споры были не только среди математиков; жестким нападкам подвергалась вся математика, например, со стороны богослова Д. Беркли. Это состояние математики XVII-XVII получило название второго кризиса математики.

        Вслед за Ньютоном и Лейбницем попытки определить понятие бесконечно малой предпринимались Эйлером, Даламбером и Лагранжем. Эти попытки нельзя назвать бесполезными, этими работами укрепилось в матетике понятие функций, что сыграло свою роль дальнейшие поиски теории предела. Однако построить связанную и логически обоснованую теорию не получилось.

        Таким образом к XIX веку в математике сложилась парадоксальная ситуация. Налицо были несомненные успехи математических наук в естествознании, разработана методика обращения с рядами, дифференцирования и интегрирования, решены многие важные задачи, но понимния на чем основан математический анализ не было. Необходимость разобраться с фундаметом новой математики стала всеобщей и насущной.

        Построением стройной и строгой теории бесконечно малых мы обязаны Огюстену Луи Коши(1789-1857). Следует признать, что Коши был не первым математиком, кто пришел к этой идее, но, исторически, его работы сыграли в развитии математического анализа ключевую роль. Коши дал общее определение предела в описательной форме: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных». С точки зрения этого определения стало понтным что такое бесконечно малая величина — это всего лишь величина, имеющая предел равный 0, затем Коши определил понятие производной и показал связь этого определения с дифференциалами Лейбница. Также он построил первую строгую теорию интегрирования и доказал связь интегрирования и дифференцирования.

        Переоценить вклад Коши в математику трудно. Его работами открывалась новая эпоха в математике, «...начинается так называемая "арифметизация" всей математики»[3, стр. 117]. Благодаря работам Коши математический анализ прочно и заслуженно занял в математике одно из главных мест. Методы Коши получили всеобщее распрастранение, применялись оттачивались весь XIX век. Идеи и методы Коши плодотворно пользуются и обобщаются современными математиками и сегодня.

        Глава 2. Создание теории действительного числа

        После «наведения порядка» в математическом анализе встал вопрос о ситуации в арифметике. «К необходимости разработки теории действительных чисел приводили многие задачи анализа и некоторые способы рассуждений, применявшиеся при решении этих задач»[4, стр. 61]. Проблема основания, понимания того, что же такое число, в XIX в. еще не была решена. С нашей точки зрения, это была задача о пополнении множества рациональных чисел. Ее пытались решить следующим способом(приведен по [4]):

        Определим иррациональное число как предел последовательности рациональных чисел. Надо показать, что такая последовательность сходится. Для этого воспользуемся критерием Коши, который будет справедлив для любых рациональных значений, однако для того чтобы ответить на вопрос будет ли он справедлив для действительных чисел необходимо иметь определенными иррациональные числа. Получался замкнутый круг.

        Эта задача была решена в XIX веке с разных точек зрения и независимо друг от друга Вейерштрассом, Дедекиндом, Кантором и Мерэ.

        2.1 Карл Вейерштрасс

        Карл Вейерштрасс родился в городе Остенфельд (предместье Эннигерло), в семье секретаря бургомистра. В 1834 г. с успехом закончил Пандерборнскую гимназию, его имя было в списке 11 самых талантливых учеников. По настоянию отца в 1834 году Вейерштрасс поступает в Боннский университет для получения юридического образования. Но юридические науки его не увлекали, большую часть времени он уделял занятиям математикой. Через 4 года Вейерштрасс бросает университет, не сдав ни одного экзамена. В 1839 году поступает в Мюнстерскую академию, а в 1841 году блестяще сдает выпускную работу. После окончания университета работает учителем в провинциальных городах Германии. В 1845 публикует статью по абелевым функциям, за которую получает докторскую степень от Кенигсбергского университета. В 1861 избирается членом Баварской академии наук. С 1856 по 1889 читает лекции в Берлинском унивеситете. Умер Вейрштрасс в 1897 году.

        Математическое творчество отличается стремлением к ясности и строгости. Как пишет о нем Пуанкаре[5]: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у нее отнять» Работы Вейерштрасса охватывают широкий круг проблем: абелевы и эллиптические функции, комплексные величины, теория рядов и многие другие.

        Вейерштрасс сыграл главную роль в арифметизации математического анализа. Он стремился к тому, чтобы все понятия математики перевести в буквенно-числовые. Он ушел от любых интуитивных и геометрических представлений понятия функции. Чтобы уйти от туманных формулировок вроде «Неограниченное приближение одной величины к другой», был создан язык , который позволял теперь рассматривать функции как числовые соответствия между множествами, непрерывность которых можно установить при помощи арифметических неравенств. Вейерштрасс опроверг некоторые интуитивные представления о функциях, например, он построил непрерывную функцию не имеющей производной ни в одной точке.

        Вейерштрасс придерживался точки зрения, что строгость анализа зависит от арифметики. Поэтому он начинает работать над приведением в порядок доставшегося от греков математического наследства несоизмеримых. Он отделяет понятие числа от понятия величины.

        Приблизительно в 1863 году Карл Вейерштрасс создает теорию вещественных чисел, которая разрешает логические нестыковки арифметики. К сожалению, он не издавал её, а изложил на лекции своим ученикам. Вейерштрасс дал свое построение в терминах точных частей единицы, но здесь оно рассмотрено в современной трактовке.