Дифференциальные уравнения первого порядка. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

на тему: «Дифференциальные уравнения первого  порядка»

 

 

 

 

 

2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

1. Введение……………………………………………………………….……3
2. Основные понятия и определения………………………………….……..4
3. Существование  решения  дифференциального   уравнения   первого порядка………………………………………………………….……....…..6
4. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными………………………………………………….……....…...12
5. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………………..…16
6. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………….…....….18
7. Заключение…………………………………………………………….…..20
8. Литература………..………………………………………………………..21

 

 

 

Введение.

 

При решении  различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую  переменную, искомую функцию и  ее производные. Такие уравнения  называются дифференциальными.

Простейшие  дифференциальные уравнения встречались  уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления «флюксий» и «флюент» ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

Основное  открытие Ньютона, то, которое он счел нужным засекретить и опубликовал  лишь в виде анаграммы, состоит в  следующем: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». В переводе на современный математический язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения». В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для всевозможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики.

 

Основные понятия и определения.

 

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное  дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

 или  .

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

Тогда любая  функция вида y=c₁sinx+c₂cosx, где c₁, c₂ – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c₁sinx+c₂cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

Процесс решения дифференциального уравнения  называют интегрированием. Поэтому  само решение называют еще интегралом уравнения.

В общем  случае обыкновенному дифференциальному  уравнению n-го порядка

 отвечает семейство решений,  содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c₁, c₂, …, c_n), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c₁, c₂, …, c_n, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она  представляется уравнением Ф(x , y,c₁, c₂, …, c_n)=0.

Общее решение  дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое  конкретное частное решение дифференциального  уравнения, необходимо задать значения для параметров c₁, c₂ , …, c_n. Обычно значения этих произвольных постоянных c₁, c₂ , …, c_n определяются заданием начальных условий: y(x₀)=y₀, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

,

,

,

………………………………

,

решая которые  относительно c₁, c₂ , …, c_n находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка  общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x₀)=y₀ выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x₀,y₀).

 

 

 

Существование решения дифференциального  уравнения первого порядка.

 

Задано  дифференциальное уравнение вида

или, иначе, .

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию  y(x₀)=y₀. Тогда из следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c₀. Из y(x₀)=y₀, y(x₀)=F(x₀)+c₀ получаем c₀=y₀-F(x₀), т.е. y(x)=F(x)-F(x₀)+y₀.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x₀) равна значению определенного интеграла ,

И, следовательно, получаем

,

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

.

Задача  поиска решения дифференциального  уравнения  , удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, получила в литературе название задачи Коши.

Первое  доказательство существования и  единственности решения дифференциального  уравнения  было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x₀,y₀.

Тогда если

А) функция  f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ;

Б) функция  f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L – постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Последовательность  функций, дающих приближенное решение  уравнения, строится по правилу:

,

,

………………………………

.

Далее можно  показать, что функция  дает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке .

Выше  был рассмотрен случай дифференциального  уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y^/.

Более общим  видом является случай уравнения  вида , не разрешимого относительно производной y^/.

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y^/, и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений (k=1,2,…,m).

Если  при этом каждая из функций  (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x₀,y₀) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Y_k(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y^/ получаем два уравнения y^/=1 и y^/=-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 45⁰ и 135⁰. Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым  решением дифференциального уравнения 

 или 

называется  решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что  дифференциальное уравнение может  иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

Особые решения дифференциального  уравнения.

Пусть рассматривается  дифференциальное уравнение первого  порядка общего вида F(x,y,y^/)=0.

Тогда существование  его особого решения прежде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y^/ как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y^/)=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

,

и исключая из нее переменную y^/, получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y^/)=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра  p из системы уравнений

,

называется  дискретной кривой уравнения F(x,y,y^/)=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y^/)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнение .

Как было указано выше его особое решение  дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

.

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Дано уравнение .

Для него , т.е. дискретной кривой нет. Из и условия , получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым  решением дифференциального уравнения  довольно часто бывают огибающие  семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован  следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением  параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя  функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

.

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает .

Покажем, что  . Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x₀=x(t₀), y₀=y(t₀) при t=t₀ равен

.

Уравнение Ф(x,y,c₀)=0, где c₀=c(t₀), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M₀(x₀, y₀). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M₀(x₀, y₀) равен , где уравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c₀)=0, как неявное задание уравнения интегральной кривой, значение найдем из соотношения , предполагая .

Из  получаем и

 или

.

Таким образом, для произвольного значения t₀ параметра t выполняется .

Следовательно, из с учетом доказанного соотношения получаем

.

Но так  как  , ибо , то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие .

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

.

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременно и ). Окончательно убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

 

Дифференциальное  уравнение первого порядка с  разделяющимися переменными.

 

Для дифференциального уравнения  первого порядка 

 (1)

существует достаточно много методов  решений. Выбор каждого метода зависит  от вида уравнения, при этом общего метода для решения всех уравнений  первого порядка не существует.

Если уравнение можно записать в виде, разрешенном относительно производной 

, (2)

то выбор способа решения  определить несколько проще, чем  для уравнения (1).

Рассмотрим некоторые частные  виды дифференциальных уравнений первого  порядка.

К простейшему типу дифференциальных уравнений первого порядка относятся уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть дано дифференциальное уравнение  первого порядка вида (2), причем правая часть этого уравнения представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной  переменной: либо от переменной  , либо от переменной   

 (3)

При этом возможен случай, когда какая-то одна из функций   и   или обе – константы.

Запишем производную в виде    и домножим обе части уравнения (3) на  , получим 

.

Следующим шагом попытаемся разделить  переменные, то есть сделать так, чтобы  каждая часть уравнения содержала  бы функции и дифференциалы одной  и той же переменной. Этого можно  достичь путем деления обеих  частей уравнения на  : 

 (4)

Данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, которое  можно проинтегрировать, получив  тем самым общее решение (общий  интеграл) уравнения (3) 

.

Замечание 1. При делении на   мы можем потерять отдельные особые решения, обращающие функцию   в нуль. Если же в уравнении (3) функция   тождественно равна нулю, то очевидно, что решением уравнения   будет некоторая константа  .

Замечание 2. В некоторых случаях полученные интегралы не берутся в элементарных функциях, тем не менее, если существуют какие-то другие способы вычисления полученных интегралов, уравнение считается проинтегрированным.

Уравнение с разделяющимися переменными  кроме виды (3) может иметь вид 

 (5)

Привести такое уравнение к  уравнению с разделенными переменными  можно делением обеих частей равенства  на произведение  : 

Полученное равенство можно  интегрировать.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение 

Решение. Разделяем переменные и интегрируем:  

; 

; 

; 

Константу   удобнее в данном случае записать в виде  , тогда 

, 

, 

, 

 - общий интеграл решения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение 

Решение. Запишем уравнение в виде разрешенном относительно производной: 

 или  /

Разделяем переменные: 

, 

, 

, 

, 

, 

 - общий интеграл уравнения.

Решение можно записать в виде 

или  , где постоянная   может принимать и положительные и отрицательные значения,  .

 

Однородное дифференциальное уравнение  первого порядка.

 

Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид 

 (7)

Подстановка  ;  ;  , где   преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. 

, 

, 

.

Замечание. Функция   называется однородной степени  , если  , где   - некоторая константа. Например, функция    является однородной функцией степени два, поскольку

.

А функция   является однородной функцией нулевой степени однородности, так как 

.

Поэтому общий вид однородного  дифференциального уравнения часто  записывают как 

,

где   - однородная функция нулевой степени однородности.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение 

Решение. Поскольку уравнение имеет вид (2.7), то это уравнение однородное. Вводим замену  

,  ,  ,  ,

и получаем уравнение с разделяющимися переменными 

, 

,   

,   

 

 

 или  ,

учитывая знак константы  ,  .

Возвращаясь к первоначальным переменным, запишем общий интеграл уравнения  

.

 

 

 

Линейное  дифференциальное уравнение первого  порядка.

 

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение  вида y^/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что  относительно переменных y и y^/ его можно рассматривать как линейное.

Если  , то уравнение принимает простой вид y^/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла . Его общее решение тогда имеет вид .

Если  , то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает вид , и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными и далее .

Его общее  решение имеет вид  , где - некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что  , функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения.

Представим  исходное уравнение в виде

,

и подставим  в выражение, стоящее в квадратных скобках, , т.е. как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).

Общее решение  этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в  виде

,

где A – произвольная постоянная. Очевидно, является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении , т.е.

.

Если  теперь освободиться от условия фиксирования постоянной , то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

.

В нем  второй множитель функция  является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения . Первый множитель функция представляет общее решение дифференциального уравнения u^/v(x)=h(x).

Действительно, подставляя в это уравнение u^/_x(x,c), получаем тождество

.

Таким образом, показано, что общее решение линейного  дифференциального уравнения  .

 

Заключение

 

          Методы решений дифференциальных уравнений делятся на методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка (например, решение уравнения с разделяющимися переменными, линейного уравнения) и приближенные методы решений уравнений, простейшим из которых является метод Эйлера. 
          К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи не только из физики, но и из экономики, статистики и других наук. Основную трудность при решении таких задач представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующих законов и умении переводить эти задачи на математический язык. 
         Для решения таких проблем необходимо всестороннее и глубокое изучение теории дифференциальных уравнений, причем начинать следует с наиболее простого уравнения – с уравнения первого порядка.

 

 

 

Литература

 

http://ru.wikipedia.org/wiki/Обыкновенное_дифференциальное_уравнение

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR3/3-16.htm

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR3/3-15.htm

http://5ballov.qip.ru/referats/preview/20450/?referat-differentsialnyie-uravneniya-i-i-ii-poryadka

«Конспект лекций по высшей математике: полный курс»/Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.