Движение тел с переменной массой

Движение тел с  переменной массой.  
 

Константин Эдуардович Циолковский (1857-1935). Русский ученый и изобретатель в области аэродинамики, основоположник космонавтики 

Характерным проявлением  выполнения закона сохранения импульса является движение тел с переменной массой и реактивное движение. Применив закон сохранения импульса для описания движения тел с переменной массой, К. Э. Циолковский сделал теоретические  расчеты, послужившие основой для  реализации запусков космических аппаратов. Он получил уравнение движения ракеты, происходящего за счет выброса из нее продуктов сгорания топлива.  

Пусть в результате этого процесса за время dt скорость ракеты изменится на величину dυ, а ее масса m уменьшится на dm. Тогда изменение импульса системы "ракета, топливо" можно рассчитать с помощью соотношения : 

                             dp = ((m - dm)·(υ + dυ) + dm·u) - m·υ,                           

где u - скорость выброса топлива относительно Земли;

υ - скорость движения ракеты относительно Земли. 

Согласно закону преобразования скоростей, запишем  следующее векторное равенство: 

                                       u = υт + υ,                                                 

где υт - скорость выброса  топлива относительно ракеты. 

Из уравнений (14), (15) получим формулу для расчета  изменения импульса системы за время  dt. 

                     dp = m·dυ + υт·dm.                                          

Согласно второму  закону Ньютона скорость изменения  импульса равна равнодействующей внешних  сил F, действующих на систему.  

Проведя разделение переменных, преобразуем уравнение (16) к виду: 

                      dυ= -υт·dm/m.                                           

Проведя интегрирование (17) по скорости от 0 до υ и массе  от m0 до m, получим формулу Циолковского (18), позволяющую рассчитать скорость ракеты в зависимости от соотношения масс ракеты с топливом в начальный m0 и текущий m моменты времени и скорости истечения продуктов сгорания топлива относительно ракеты: 

                              υ = υт·ln (m0/m).                                    

Формулу (18) можно  привести к виду, позволяющему определить, каково должно быть отношение массы  ракеты с топливом к массе корпуса  ракеты mк для достижения ракетой заданной скорости υ, например, первой космической. 

                                  .                                                      
 

Закон движения центра масс      Космонавтка  
 
 

Главная

Высшая математика

Решить задачи по математике

Задача по математике

Физика 

Физики 

Электромагнитная  индукция  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Новый Firefox 7 с поиском Яндекса. Скачать