Екінші ретті дифференциялдық теңдеулер

 

 

 

 

 

 

Аякөз қаласындағы политехникалық колледжінің

10-ВТ-3 техник- бағдарламашы тобының оқушысы

Ораз Асыланның V семестр бойынша

Жоғарғы математика пәнінен міндетті бақылау жұмысы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рецензия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екінші  ретті дифференциялдық теңдеулер

     

             Жоспар

I Кіріспе

II Негізгі бөлім

    2.1 Брінші  ретті  дифференциалдық теңдеулер

    2.2 Бірінші ретті сызықтық дифференциялдық теңдеу

2.3 Бернулл теңдеуі

    2.4 Біртекті теңдеулер

   2.5 Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер

    2.6 Тұрақты  коэффицентті екінші ретті сызықтық           дифференциалдық теңдеулер

III Қорытынды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

Құрамында әріппен берілген белгісізі ( айнымалысы )бар теңдік теңдеу деп аталады .Мысалы , 5х+8=18; 6х+7=-5; 3(х+7)=15 -теңдеулер .х-белгісіз (айнымалы). Мұндай теңдеулер ді бір белгісізі бар немесе бір айнымалысы бар теңдеулер деп атайды .

Теңднудің оң жағы және сол  жағы болады .Мысалы,4х+7=19 теңдеуіндегі 4х+7 - теңдеудің сол жағы,ал 19 - теңдеудің оң жағы. мүшелері деп аталады . 4х; 7;19 - мүшелер.Мұндағы 4х - белгісізі бар мүше, 7 19 - бос мүшелер.

Теңдеумен берілген мысалдар мен есептерді шығрғанда,ондағы әріппен берілген белгісіздің немесе айнымалының сан мәнін табамыз .

Белгісіз санның немесе айнымалының теңдеуді тура санды таңдікке айналдыратын мәні теңдеудің түбірі деп аталады.

Теңдеуді шешу дегеніміз  оның түбірлерін табу немесе түбірлерінің жоқ екенін дәлелдеу . Теңдеулерді  шешкенде, кейде бірдей болатын теңдаулер  де кездеседі. Түбірлері бірдей болатын теңдеулерді мәндес теңдеулер деп атайды. Мысалы,2х=10 теңдеуі мен 3х =15 және 3х - х=2,5 4 теңдеулері мәндес тңдеулер. Түбірлері бірдей: х . Ескеретін жағдай, кейде теңдеудің түбірі болмайды. Түбірлері болмайтын теңдеулер де мәндес теңдеулер болып саналады .

Теңдеу әріпі бар  теңдік болғандықтан , теңдеудің қасиеттерін  теңдіктің қасиеттеріне сүйеніп  дәлелдейміз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Негізгі бөлім

 

Брінші  ретті дифференциалдық  теңдеулер мына түрде беріледі

                                                             (2.1.1)

Ал бұл теңдеу бірінші ретті  туынды арқылы шешілсе, онда

                                                             (2.1.2)

  Егер дифференциалданатын функциясы (2.1.2) теңдеудін қанағаттандырса, онда ол осы дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады

(2.1.2) теңғдеудің жалпы шешімі түрінде беріледі. Мұнда С кез келген нақты сан.

(2.1.1) немесе (2.1.2) дифференциалдық теңдеулерінің шешімінің графигін интегралдық қисық деп атайды.

Төмендегі кейбір дифференциалдық  теңдеулерді шешу әдістері көрсетіледі. Сондықтан дифференциалдық теңдеулерді  шешпес бұрын, оның әуелі түрін анықтап  алу керек

1. функциясы дифференциалдың шешімі екенін көрсету керек.

 Шешуі : Берілген функция  дифференциалдық теңдеудің шешімі  болу үшін, бұл функцияны теңдеуге  қойғанда тепе-теңдік шығуы керек.

 Әуелі функцияның туындысын  табалық

Енді  пен -терді дифференциалдық теңдеуге қоялық

Тепе теңдік алдық. Олай болса  функциясы берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болады.

 

 

 

Егер  теңдеу ізделінді функция мен оның туындысына қатысты бірінші дәрежелі болса,онда оны бірінші ретті дифференциялдық теңдеу деп атайды.

  Анықтама бойынша  бірінші  ретті сызықтық дифференциялдық   теңдеу мына түрде болады.

                             Y+py=q (1)  мұндағы p=p(x); q=q(x)

Бірінші теңдеуді шешу үшін  y=u*v  ауыстыруын  қолданамыз, мұндағы  u=u(x), v=v(x) сонда  (uv)’+puv=q болады. Бұдан u’v+v’u+puv=q; v (2) Еркімізше алынғанv функциясы шартын қанаңаттандырсын.Осы теңдеудіңайнымалыларынын бөлектеп шешсек

  (3 ) Сонда (2) теңдеуге (3) өрнекті қойсақ

бұдан (4) , болғандықтан (3)және (4) теңдіктері  пайдалансақ  (5) түрдегі жалпы шешімін аламыз.

   Егер (1) теңдеуіндегі q=0 болса, онда  оны  бірінші  ретті біртектес  сызықтық  дифференциялдық теңдеу деп аталады.

     1.Мысалы теңдеудін шешімі Мұндағы (5) формуланы қолданамыз.

    2.Мысалы теңдеуінің шешімі P=-tqx,q= 2sinx      ауыстыруын жасап, теңдеуін шешсек, яғни бұдан бұдан содан берілген теңдеу яғни болады.Бұдан екнің ескерсек, немесе болғандықтан ізделінді функция немесе

    Бірінші ретті  сызықтық  дифференциялдық  теңдеулнрдін  жалпы түрі

                                  

Мұнда p(x), f(x) берілген функциялар.Бұл теңдеуді Бернулли әдісін қолданып шешеді.Шешімі екі функцияның көбейтіндісі ретінде алынады.

       мұнда     Сонда        

3.Мысалы  Теңдеуді шешу   Мұнда

     =sinx+C Шешімі

 4.Мысалы Дифференциялдық теңдеудін шешімі  берілген теңдеуді түрлендірелік сонда бұдан       шешімі

5.Мысалы   теңдеуінің бастапқы шартын у(0)=3 қанағаттандыратың дербес шешім тап.    Мұнда p=tgx, f(x)= сонда    

 шешімі  Енді  бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімді табу үшін С-ның сәйкес мәнін табу керек.

             дербес шешімі

 

 

                                   Бернулл теңдеуі

 

 Бернулли теңдеуі деп мына түрде берілген теңдеуді айтады. мұнда а . Егер онда  теңдеуін аламыз,ал a=1 тең болса, онда айнымалылары бөлінген теңдеу аламыз.

    Бернулли теңдеуін     теңдеуі сияқты  шешуге болады, яғни шешімді түрінде алуға болады. Сонда           Сондай ақ теңдеуін ауыстыруын қолданып,  сызықтық теңдеуге  келтіруге болады.

6.Мысалы Теңдеуді шеш мұнда n=-1 Сондықтан

                         ,       

Берілген теңдеуді түрлендіріп  жазсақ, Осы теңдеудегі Z және Z’ өрнектерін қоялық   , Сөйтіп  сызықтық теңдеу алдық.Оның шешімін түрінде іздейміз.Мұнда  

    Сонда          Осыдан

 

7.Мысал Бернулли теңдеуін шеш   мұнда n=2 сондықтан

                                         

Енді берілген теңдеуді  түрлендірсек.

                         Соңғы теңдеугеZ және Z’  қойсақ

                         

                      

Бұл сызықтық теңдеу.Шешімін   түрінде жазамыз.

              

 

 Сонда       ;

 

                         Біртекті  теңдеулер

 

Егер әрбір үшін орындалса онда f функциясын 0 дәрежесі біртекті функция деп аталады.f f ,біртекті функция.

Егер  f 0 дәрежелі  біртекті функция болса онда  f дифференциялды теңдеуін біртекті дифференциялдық теңдеу деп аталады.

Бір текті дифференциялдық теңдеулерді  шешу үшін алмастыруын енгізу керек х-тәуелсіз айнымалы мұндағы қандайда бір х-ке қатысты функция.

 

 Мысалы  f f

    

   

Мысалы

   

     

Екінші ретті  дифференциалдық теңдеулер

 

Екінші ретті дифференциалдық  теңдеулер мына түрде беріледі:

                                                                (2.4.1)

Немесе

                                                                   (2.4.2)

Екінші дифференциалдық  теңдеудің жалпы шешімі

                                                                   (2.4.3)

түрінде беріліп, оның өрнегіне екі тұрақты  сандары кіреді.

Коши есебі. Берілген , болғанда, , болатын бастапқы шарттарды қанағаттандыратын теңдеуінің шешімін дербес шешім деп атайды.

Мұнда дербес шешімге  сәйкес келетін  сандары мына теңдеулер жүйесінен анықталады

                                                                   (2.4.4)

Төменде екінші ретті  теңдеулердің интегралданатын қарапайым  түрлері қарастырылады.

Интегралданатын екінші ретті теңдеулер қатарына бнлгілі бір әдістер қолданылғанда реті төмендетілетін теңдеулер жатады. Сондай теңдеудің үш түрін қарастырайық:

 а)  оң жақта тұрған  функция тек  -тен тәуелді, яғни

                                                                    (2.4.5)   

Бұл теңдеудің жалпы  шешімі екі рет интегралданып  табылады.

                                     (2.4.6)

1. Теңдеуді шеш

Шешуі : Екі рет интегралдаймыз

2. теңдуінің болғанда, болатын дербес шешімін тап

 Шешуі : Әуелі жалпы шешімін табалық

Енді берілген бастапқышарттарға  сәйкес келетін  және

-лерді табамыз. Ол ушін алдыңғы екі өрнектерге қоямыз.

Сонда

,      

Сөйтіп іздеп отырған  дербес шешім

ә) (2.4.2) теңдеуінің өрнегінде  жоқ, яғни

                                                                (2.4.7)

Бұл теңдеуді ауыстыру енгізу арқылы шешеміз. Сонда , аламыз. Бұл бірініші ретті теңдеу.

 

3.Теңдеу шеш

                 

Шешуі:     ауыстыру енгіземіз.

Сонда  

Бұл айнымалылар бөлінетін  теңдеу

,                              

   немесе

Осыдан:                  

Сонымен жалпы шешімі: 

б) (2)  теңдеудің өрнегінде  тәуелсіз айнымалы х жоқ, яғни

                                                   (2.4.8)

Бұл теңдеуді интегралдау  х-тің орнына жаңа тәуелсіз айнымалы у-ті енгізу арқылы жүзеге асырылды. 

Сонда   

Сөйтіп :               ,                                (2.4.9)

4. , y(0)=0, (0)=1 берілген.

Дербес шешімін тап.

Шешуі: Z=y^/жаңа айнымалылы енгіземіз. Сонда

, ,

,

Енді  екенін ескеріп,

   

теңдеуін аламыз.

Бұл теңдеуді шешпес бұрын, бастапқы шартқа сәйкес келетін C₁-ді анықталық:

,  C₁=0

Сөйтіп   ,

Теңдеуін алдық. Осыдан

, ,

Бастапқы шарт бойынша

,

Ақырында іздеп отырған  дербес шешімі мынадай болмақ:

,  ,  ,  ,   

Тұрақты коэффицентті екінші ретті сызықтық           дифференциалдық теңдеулер

     Тұрақты коэффицентті екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп мына түрде берілген теңдеулерді айтамыз

                             (2.5.1)

Мұнда p, q тұрақты сандар.

Егер  =0 болса, онда бұл теңдеу біртекті теңдеу деп аталады.

                             

                            (2.5.2)

                              

                               (2.5.3)

теңдеуінің сипаттамалық теңдеуі деп аталады.

Теңдеуінің жалпы шешімі сиаттамалық теңдеуінің түбірлеріне  байланысты анықталады:

1. Егер   k₁≠k₂  болса, онда

                    

                            (2.5.4)

 

2. Егер k₁= k₂    болса, онда

                                  

                     (2.5.5)

Егер k₁= +i , k₂= -i , болса онда

                         

                     (2.5.6)

  1.Теңдеудің жалпы шешімін тап

Шешуі:сипаттамалық теңдеуін құрамыз

,  k₁= -1,     k₂=4

Яғни k₁=k₂  Олай болса,жалпы шешімді (2.5.4) формуласын пайдаланып жазамыз.

2  теңдеуінің ,                 

Бастапқы шарттарды  қанағаттандыратын шешімін тап.

  Шешуі:характеристикалық теңдеу құрып,оны шешсек,

,             

Енді формуласын қолданып, жалпы шешім жазамыз

Бастапқы шарттарды  падаланып, С₁,  С₂  тұрақты сандарды табамыз

Осыдан С₁=         C₂=0. Содан іздеп отырған шешім.

y=

xe^2x

3. Теңдеудің жалпы шешімін тап:  

Шешуі: , ,

    Жалпы шешімді (2.5.6) формуласын қолданып жазамыз

Егер   теңдеуінде ≠0 болса, онда теңдеу біртекті емес теңдеу деп аталады. Біртекті емес теңдеудің   жалпы шешімі екі шешімнің қосындысынан тұрады:

                        

                                              (2.5.7)

         Мұнда y біртекті  теңдеудің жалпы  шешімі. Ол формулаларымен анықталады. Ал y шешімі ол біртекті емес  теңдеудің кез келген бір дербес  шешімі.

Жалпы жағдайда біртекті емес теңдеудің дербес шешімі функциясының түріне байланысты әр түрлі әдістерді қолданып табылады. Төменде екі жағдай қарастырылады.

1. ,  - тұрақты сан.

Бұл жағдайда іздеп  отырған дербес шешімнің түрі  -ның мәніне байланысты болады:

а) егер ≠k₁,  ≠k₂ болса, онда

        

                                  (2.5.8)

түрінде ізделеді. Мұнда  Q_n(x) n-дәрежелі n белгісіз коэффиценттері бар көпмүше.

ә) Егер =k₁ немпесе =k₂ болса, онда

                   

       (2.5.9)

 б) егер =k₁=k₂ болса, онда

                                        (2.5.10)

Мұндағы Q_n(x) көпмүшелігіндегі белгісіз коэффиценттер әдісін қолданып табылады.

Мұндағы екі  жағдай болуы мүмкін.

а) a+bi сипаттамалық теңдеудің шешімі болмайды, яғни

а ib≠ , онда шешім

                                  (2.5.11)

ә) а ib , яғни а ib сиаттамалық теңдеудің шешімі болады, онда

                         (2.5.12)

 

 

Қорытынды

Мен осы тақырыпты  қорыта отырып  y^//= f (x,y,y^/) теңдеуі, мұндағы х- тәуелсіз айнымалы; у- ізделінді функция; у^/ және у^//- оның туындылары, екінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. y= (x,C₁,C₂) – екінші ретті дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі, мұндағы С₁ және С₂ – кез келген тұрақты. Жалпы шешімде екі кез келген тұрақты болғандықтан, дербес шешімі екі шартты қанағаттандыруы керек: х=x₀ болғанда у=y₀, y^/=y^/₀

  Тұрақты коэффицентті екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп мына түрде берілген теңдеулерді айтамыз

y^//+p*y^/+q*y=                                                      

Мұнда p, q тұрақты сандар.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиет

 

 

1. О.М Жолымбаев, Г.Е Берікханова, Э.Т. Бахтинова.

«Жоғары математика»  Алматы 2005ж

 

2. Ә.Н Шыныбеков 

     «Алгебра  және анализ бастамалары» Алматы                                                                                                       «Атамұра» 2006ж

 

3. Қазешев А.Қ., Нұрпейісова С.А

«Экономисттерге арналған математика» Алматы 2008ж