Элементарные функции. 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Поволжский государственный технологический университет 

 

 

 

 

 

 

Кафедра высшей математики  

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

«Элементарные функции» 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка группы МТ-11

Соколова И.Ю.

Руководитель: доктор физ-мат наук Иванов В. А. 

 

 

 

Йошкар-Ола

2014

Содержание

1. Введение
2. Свойства и графики элементарных  функций

1. Степенная функция

2. квадратичная функция
3. показательная функция
4. логарифмическая функция
5. обратно пропорциональная зависимость
6. тригонометрические функции

3. Примеры графиков

4. Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 свойства и графики элементарных функций

 

1. степенная функция

 

Степенной функцией называется функция вида f(x)=xa, где a - любое действительное число, называемое показателем степени.

 

Свойства степенной функции.

 

1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.
5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(xa)¢= a.xa-1.

6. Степенная функция xa монотонно возрастает во всей области определения при a<0.

 

                                                   

  0          1                    x                    0           1                    x                                

         Рис. 1                                               Рис. 2

 

 

7. При  a<0 и a>1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a<1 – вогнутостью вниз.

Графики степенной функции при некоторых значениях a приведены на Рис. 1 и Рис. 2.

 

2. квадратичная функция

 

Функция f(x)=ax2+bx2+c, где a, b, c – некоторые действительные числа (a¹0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

Квадратичная функция может быть приведена к виду

  

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a,   (1)

 

выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата.

 

Свойства квадратичной функции и ее график

 

1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
2. При b¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.

                                                                                                               

         Рис. 3                                                   Рис. 4

 

3. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
4. Функция имеет единственную критическую точку

x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.

5. Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +¥); при a<0 – множество значений функции (-¥;-((b2-4ac)/4a)].
6. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке     x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

         Из представления квадратичной  функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).

         График функции

f(x)=ax2+bx+c

(или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

 

   3. показательная функция

 

Показательной функцией называется функция вида f(x)=ax, где а – некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а=1 далее не будет рассматриваться.

 

Свойства показательной функции.

1. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax)¢ =axlna

 

4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.
7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.

График показательной функции при значении а=2 изображен на рис. 5                                                                                           

     Рис. 5                                                                                       

                                                                                        

4. Логарифмическая  функция

 

Функцию, обратную показательной функции y=ax, называют логарифмической и обозначают

y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают

lg x,

а логарифмическую функцию с основанием е обозначают

ln x.

 

Свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

 

(loga x)¢ = 1/(x ln a).

 

4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
5. При любом основании a>0, a¹1, имеют место равенства

 

loga 1 = 0, loga a =1.

6. При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

        График логарифмической  функции при а=2                изображен на рис. 6.

                        Рис. 6

Основное логарифмическое тождество.

 

Обратной функцией для показательной функции y=ax будет логарифмическая функция x =loga  y. По свойствам взаимно обратных функций f и f-I

f(f-I (y))=y

для всех x из области определения функции f-I(х). В частности, для показательной и логарифмической функции равенство (1) принимает вид

alogay=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством.

    При любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

loga (x×y)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga (xa)=a× loga x       (a - любое действительное число);

logaa=1;

loga x =( logb x/ logb  a)   (b – действительное число, b>0, b¹1).

В частности из последней формулы при а=е, b=10 получается равенство

 

ln x = (1/(ln e))lg x.       (3)

 

Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде

 

lg x =M× ln x.

 

 

5. обратно пропорциональная зависимость

 

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x, если значения этих переменных связаны равенством y = k/x, где k – некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать x независимой переменной, а y – зависимой, то формула y = k/x определяет y как функцию от x. График функции y = k/x называется гиперболой.

                           Рис. 7

 

Свойства функции y = k/x.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.
2. Область значения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.
3. Функция f(x) = k/x – нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f(x)¢ = -k/x2. Функция критических точек не имеет.
4. Функция f(x) = k/x при k>0 монотонно убывает в       (-¥, 0) и (0, +¥), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.
5. График функции f(x) = k/x при k>0 в промежутке    (0, +¥) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке      (-¥, 0) – вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-¥, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +¥).

График функции f(x) = k/x для значения k=1 изображен на рис. 7.

 

6. тригонометрические функции

Функции sin a, cos a, tg a, ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sin a, cos a, tg a, ctg a существуют еще две тригонометрические функции угла a - секанс и косеканс, обозначаемые     sec a и cosec a соответственно.

sin х

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Свойства функции sin х.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

       sin (х+2p)= sin х.

5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    sin х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z,

    sin х<0 при x Î (p+2pn; 2p+2pn), n Î Z.

7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х)¢ =cos x.

8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,

      и убывает  при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn), n Î Z.

9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n Î Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой.

 

 

 

        Рис. 8

Свойства функции cos х.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х.
4. Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

       cos (х+2p)= cos х.

5. Нули функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    cos х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn)), n Î Z,

    cos х<0 при x Î ((p/2)+2pn); ((3p)/2)+ 2pn)), n Î Z.

7. Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х)¢ =-sin x.

8. Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn), n Î Z,

      и убывает  при xÎ (2pn;  p+ 2pn), n Î Z.

 

9. Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2pn, n Î Z.

График функции y=cos х изображен на рис. 9.

     Свойства функции tg х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn, n Î Z.
2. Область значения – множество всех действительных чисел.
3. Функция tg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.
4. Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

tg (х+p)= tg х.

5. Нули функции: tg х=0 при x=pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    tg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,

    tg х<0 при x Î ((-p/2)+pn; pn), n Î Z.

7. Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х)¢ =1/cos2 x.

8. Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn), n Î Z,

График функции y=tg х изображен на рис. 10. График функции tg х называют тангенсоидой.

 

          Рис. 10

 

 

 

 

Свойства функции сtg х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n Î Z.
2. Область значения – множество всех действительных чисел.
3. Функция сtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
4. Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

сtg (х+p)= ctg х.

5. Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    ctg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,

    ctg х<0 при x Î ((p/2)+pn; p(n+1)), n Î Z.

7. Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х)¢ =-(1/sin2 x).

8. Функция ctg х убывает в каждом из промежутков   (pn; p(n+1)), n Î Z.

График функции y=сtg х изображен на рис. 11.

 

 

                             Рис.11

 

 

Свойства функции sec х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида      х=(p/2)+pn, n Î Z.
2. Область значения:

      (-¥; 1]È[1; +¥).

3. Функция sec х – четная: sec (-х)= sec х.
4. Функция sec х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2p:

sec (х+2p)= sec х.

5. Функция sec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.
6. Промежутки знакопостоянства:

    sec х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,

    sec х<0 при x Î ((p/2)+2pn; (3p/2)+2pn), n Î Z.

7. Функция sec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(sec х)¢ =sin x/cos2 x.

8. Функция sec х возрастает в промежутках

    (2pn; (p/2)+ 2pn), ((p/2)+ 2pn; p+ 2pn], n Î Z,

    и убывает в  промежутках 

    [p+ 2pn; (3p/2)+ 2pn),  ((3p/2)+ 2pn; 2p(n+1)], n Î Z.

 

График функции y=sec х изображен на рис. 12.

Рис. 12

 

 

Свойства функции cosec х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n Î Z.
2. Область значения:

      (-¥; -1]È[1; +¥).

3. Функция cosec х – нечетная: cosec (-х)= -cosec х.
4. Функция cosec х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2p:

cosec (х+2p)= cosec х.

5. Функция cosec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.
6. Промежутки знакопостоянства:

   cosec х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z,

    cosec х<0 при x Î (p+2pn; 2p(n+1)), n Î Z.

7. Функция cosec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(cosec х)¢ =-(cos x/sin2 x).

8. Функция cosec х возрастает в промежутках

    [(p/2)+ 2pn; p+ 2pn), (p+ 2pn; (3p/2)+ 2pn], n Î Z,

    и убывает в  промежутках 

    (2pn; (p/2)+ 2pn], ((3p/2)+ 2pn; 2p+2pn), n Î Z.

 

График функции y=cosec х изображен на рис. 13.

Рис. 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. примеры графиков

 

График степенной функции.

График квадратичной функции.

График показательной функции

График логарифмической функции

График функции y=k/x

                                                                                            

                                                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. Список использованной литературы

1. A. Г. Цыпкин «Справочник по математике»
2. Ш. А. Алимов «Алгебра»
3. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа»