Гидрологиядағы статистикалық есептеулер

   1  Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары 

   Бақылау мәліметтерінің көлемі барынша толық  болғанда немесе бақылау қатары шексіздікке  ұмтылғанда (N ® ¥) қолда бар қатар немесе үлестірім функциясы кездейсоқ шама жөнінде толық түсінік береді. Әдетте, гидрологиялық бақылау қатарларының ұзақтығы жеткіліксіз болады (n, N), үлестірім функциясы мен қатар өте күрделі болғандықтан, практикалық есептеулер кезінде қолдануға, әсіресе әртүрлі бақылау қатарларына салыстырмалы талдау жүргізгенде қиындық туғызады. Іс жүзінде зерттеліп отырған кездейсоқ шаманың ерекшелігін сипаттайтын жекелеген параметрлерді көрсету жеткілікті болады.

   Берілген  бақылау қатарын сипаттау үшін аналитикалық формада берілетін үлестірімнің теориялық заңдылықтарын қолдану  қажет. Үлестірім заңдылықтарын  аналитикалық формада көрсету үшін оны сипаттай алатын параметрлер  немесе сипаттамалар керек.

   Үлестірімнің  ең маңызды ерекшеліктерін жан-жақты  көрсету мақсатында қолданылатын сипаттамалар кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары  деп аталады.

   Ықтималдық  теориясында және математикалық  статистикада әртүрлі мақсаттағы және қолдану облысы әртүрлі сипаттамалар қолданылады. Олардың көпшілігі  үлестірім моменттері ұғымына негізделген. 
 

   2Кездейсоқ шамалардың үлестірім моменттері  

   Статистикалық үлестірімнің моменттері кез келген санақ басының нүктесінен бастап анықталуы мүмкін. Дегенмен, гидрологияда көбінесе екі түрлі моменттер  қолданылады: «бастапқы» – зерттелініп  отырған кездейсоқ шаманың нольдік  мәнінен бастап және «центрлік» –  бұл шаманың орташа мәнінен бастап анықталады.

   s-тік  ретті Х дискрет кездейсоқ  шаманың бастапқы моменті келесі  қосынды арқылы өрнектеледі: 

,                                                         (1) 

   мұндағы x_j – Х-тің белгілі мәні,  p_j – x_j-ге тең Х мәнінің түсу ықтималдығы.

   Гидрологияда  қатарлардың қысқа болып келуіне  байланысты әдетте мына формула қолданылады:

,                                                         (2) 

   мұндағы х_i – берілген қатардың  i-лік мәні, 1/N – жиілік.

   Үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін s-тік ретті  бастапқы момент формуласы келесі түрде  өрнектеледі:  

    ,                                                   (3) 

   мұндағы f (х) – Х кездейсоқ шаманың  үлестірім тығыздығы.

   Бірінші бастапқы момент, немесе барлық кездейсоқ  шама мәндерінің осы мәндердің ықтималдықтарына көбейтіндісінің қосындысы математикалық  күтім деп аталады  

                       (4)

   немесе

    .                                               (5) 

   Үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін математикалық  күтімнің формуласы былай жазылады:  

    .                                                (6) 

   Центрлік  моменттерді анықтау үшін центрленген  кездейсоқ щама түсінігін енгізу керек. Бұл түсінік кездейсоқ  шаманың орташа мәннен ауытқуын көрсетеді  

   Гидрологиялық есептеулерде центрленген шамалар  нормадан ауытқулар деп аталады.

   Демек, Х кездейсоқ шаманың центрлік моменті деп центрленген кездейсоқ  шамаға сәйкес келетін s-тік дәрежелі математикалық күтімді айтады  

    .                                        (7) 

   (1.14) формуласы дискрет және үзіліссіз  кездейсоқ шамалар үшін келесі  түрде жазылуы мүмкін: 

    ,                                                      (8)

   және

            . (9) 

   Центрлік  және бастапқы моменттер арасында байланыс бар:  

                         М₂ = a₂ – m_х²

   М₃ =a₃ – 3 m_хa₂ + 2 m_х³                                                                                          (10) 

   мұндағы М₂ және М₃ – екінші және үшінші центрлік моменттер; a₂ және a₃ – екінші және үшінші бастапқы моменттер.

   Жалпы алғанда моменттер а еркін  нүктесінен салыстырмалы түрде қарастырылуы мүмкін:  

   j_s = M [(x – a)]^s                                                                                           (11) 

   Дегенмен, центрлік моменттер басқаларына  қарағанда бірқатар басымдылықтарға  ие: бірінші центрлік момент әрқашан  нөлге тең, екінші центрлік момент басқа  мүмкін болатын екінші моменттерге  қарағанда минимал болып келеді.  

    3Бақылау қатарларының статистикалық сипаттамалары  

    Кездейсоқ шаманың орташа мәні немесе жиынтық  мүшелерінің таралу центрі статистикалық  қатардың негізгі параметрлерінің  бірі болып табылады.

    Қатардың  арифметикалық орташа шамасы (1) формуласы бойынша анықталуы мүмкін.

    Қандай  да бір гидрологиялық сипаттаманың көпжылдық бақылау бойынша ұзақ кезеңге келтірілген арифметикалық  орташа мәні гидрологияда норма (қалыпты мәні) деп аталады.

    Статистикалық қатардың таңдалған орташа мәні оқиғаның қалыптасу жағдайы өзгермеген жағдайда және таңдама саны өскенде математикалық  күтімге ұмтылады.

    Математикалық күтім түсінігі гидрологиялық есептеулерге қатысты алғанда математикалық  абстракция болып табылады. Себебі гидрологиялық бақылау қатарлары  шектеулі. Инженерлік есептеулерде математикалық  күтім жылдық ағындының шексіз уақыт  кезеңі бойынша орташаланған арифметикалық  орташа ретінде емес, бақылау қатарының  ондаған немесе жүздеген жылдарын қамтитын кезең үшін анықталады. Бұл жағдайда қатаң талап қойылса математикалық  күтім түсінігін қолдануға болмайды [1].

    Арифметикалық орташадан кейінгі топтастыру центрінің  екінші маңызды сипатамасы медиана.

    Х кездейсоқ шамасының медианасы  ретінде төменде берілген шарт орындалған жағдайдағы М_е мәні қабылданады  

    Р(Х< М_е) = Р (р > М_е) = 50 % ,  

    яғни  кездойсоқ шаманың М_е-ден үлкен немесе кіші болуының ықтималдығы бірдей болады.

    Медиананы эмпирикалық мәліметтер бойынша  анықтау үшін қатарды кему (немесе өсу) ретімен орналастыру және орташа мүшесін таңдау керек. Қатар саны тақ боған жағдайда оның орташа мүшесі қабылданады, ал қатар мүшесінің  саны жұп болған жағдайда екі орташа таңдалып, олардың орташа шамасы есептеледі.

    Кездейсоқ шаманың үшінші сипаттамасы мода. Кездейсоқ шаманың модасы деп оның ықтималды болатын ең үлкен мәні аталады, немесе басқаша айтқанда біршыңды үлестірім қисығының ең үлкен ординатасына сәйкес келетін шаманы айтады.

    Жалпы жағдайда математикалық күтім, мода және медиана бір-біріне сәйкес келмейді, дегенмен, симметриялық үлестірімде  бұл сипаттамалар өзара сәйкес келуі (бір-біріне тең болуы) мүмкін.

    Мода, медиана және арифметикалық орташа үлестірім түрлерін сипаттауда қолданумен қатар практикалық тапсырмаларды  шешуде де кеңінен қолданылады. Мысалы, мода қателер санын азайту үшін, медиана – қателер қосындысының, ал арифметикалық орташа – қателер  қосындысы квадратының азайту критерийлері ретінде қолданылады. 

    Дисперсия – екінші центрлік момент  

    D = m₂ [X].                                                (1) 

    Дисперсияны тікелей есептеу үшін келесі формулалар қолданылады:

    Үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін: 

     ,                           (2) 

    дискрет кездейсоқ шамалар үшін:  

     .                     (3) 

    Мұндағы Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы  деп центрленген шамаға сәйкес келетін  математикалық күтімнің квадратын  айтамыз. Дисперсия кездейсоқ шаманың шашырандылығын және оның математикалық күтімін сипаттайды.

    Статистикалық қатар шамаларының арифметикалық  орташа мәннен  ауытқуын толымды  сипаттайтын көрсеткіш орташа квадраттық ауытқу немесе стандарт деп аталады.  

     .                                               (4)

    Практикалық есептеулерде бақылау қатары бойынша  стандарт келесі формуламен анықталады:

     .                                                      (5) 

    Гидрологиялық есептеулерде көп жағдайда гидрологиялық  сипаттамаларының шамалары бір-бірінен  барынша ерекшеленетін шамалардан құралған қатарлардың өзгермелілігін салыстыру қажеттілігі туындайды. Бірақ, ағынды сипаттамалары қатарларының орташа квадраттық ауытқуларын өзара  салыстыру олардың өзгермелілігі  жөнінде толық түсінік бермейді. Қатарлардың өзгермелілігін салыстыру  өлшем бірліксіз шама вариация коэффициенті (C_v) арқылы жүзеге асырылады 

                                        (6)

    мұндағы - модульдық коэффициент.

    Статистикалық қатардың симметриялылығын (асимметриялылығын) сипаттау үшін қатар мүшелерінің  орташа мәнінен ауытқуының кубы қолданылады (үшінші центрлік момент).  

     .                                                     (7) 

    Қатар асимметриясын өлшем бірліксіз  алу үшін қатар мүшелерінің орташа мәнінен ауытқуының кубын орташа квадраттық ауытқудың кубына бөледі.

     .                                           (8) 

    Практикалық есептеулерде C_s келесі формуламен есептеген орынды:

     ,                                   (9) 

    себебі, бұл формулада ығысуға түзету енгізіледі.

    Үлестірімнің  сипатын (тікшыңды немесе дөңес) анықтау  үшін төртінші центрлік момент:  

                                                 (10)

    немесе  оның салыстырмалы сипаттамасы (эксцесса) қолданылады:

                                                    (11) 

    Қалыпты үлестірім заңының эксцессасы Е_х=0. Сондықтан 3-тен m₄/s_х⁴ ауытқуы қарастырылып отырған қисықтың қалыпты үлестірім заңына қарағанда тікшыңдылығын (немесе дөңестігін) көрсетеді.

    Практикалық есептеулерде Е_х шамасы әдетте қолданылмайды, себебі бұл параметрді сенімді анықтау үшін өте ұзақ қатар қажет.  

     Гидрологияда  қолданылатын ықтималдық үлестірімінің негізгі  типтері 

     Қандай  да бір қамтамасыздыққа ие су өтімі  туралы ұғымды кездейсоқ шаманың  үлестірім заңының көмегі арқылы ала аламыз. Гидрологияда үлестірімнің теориялық заңдарының онға жуық түрі қолданыс табады. Есептеу кезінде, көбінесе, қалыпты үлестірім заңы, Пирсон, үшпараметрлі гамма-үлестірім заңдары, логарифмдік қалыпты үлестірім  заңы қолданылады.

     Үлестірім қисықтары әртүрлі тәсілдер арқылы тұрғызылады.

     Қалыпты үлестірім мен Пирсон қисығы теңдеулерін  әртүрлі жіберілімдер көмегімен  Ньютонның бином коэффициенттерінің өзгеріс заңы арқылы немесе көп реттік сынақтар кезінде күрделі оқиғалардың  ықтималдық үлестірімінің биномдық заңы арқылы көрініс беретін интерполяциялық  қисықтар ретінде, болмаса К.Пирсон ықтималдық тығыздығының дифференциалдық  теңдеуін шешу негізінде алуға болады. Үшпараметрлі гамма-үлестірімі мен  логарифмдік қалыпты үлестірім  теңдеулерін үлестірім қисығының  бастапқы теңдеуін жаңа үлестірім заңына айналдыру (трансформациялау) арқылы алуға  болады. 
 

     5Қалыпты үлестірім заңы 

     Көбінесе, Гаусс үлестірімі деп аталатын қалыпты  үлестірім заңы кездейсоқ шамалар  заңдылықтарын зерттеуге байланысты көптеген мәселелерді шешуде кеңінен  қолданылады.

     Көп заңдардың ішінен қалыпты үлестірім  заңын ажырататын басты ерекшелік, оның шектілігінде, яғни осы заңға  белгілі бір жағдайларда көптеген басқа үлестірім заңдарын жуықтатудың  қажеттілігінде. Қалыпты үлестірім  заңы барынша егжей-тегжейлі жасақталған  және қолдануға ыңғайлы.

     Қалыпты үлестірім заңы айнымалы шама көптеген тәуелсіз (немесе әлсіз тәуелді) факторлардың жиынтығының әсерінен қалыптасқан  жағдайда және бұл факторлардың әрқайсысы  зерттеліп отырған құбылысқа  басым ықпал жасамайтын жағдайда туындайды.

     Қалыпты үлестірім заңы өлшеулер қателігін  талдау негізінде алынған. Сондықтан  да ол ғылым мен техниканың көптеген салаларында, соның ішінде гидрологияда да кең қолданысқа ие. Гидрологияда қалыпты үлестірім заңы есептеулер мен болжамдардың дәлдігін бағалауда, сенімділік интервалдарын анықтауда  және т.б. кеңінен қолданылады. Сондай-ақ ең кіші квадраттар және корреляция теориясының  қағидалары осы қалыпты үлестірім  заңына негізделген.

     Қалыпты үлестірім қисығының дифференциалды түрдегі немесе ықтималдық тығыздықтарының  үлестірім қисығы формасындағы теңдеуі  төмендегідей өрнектеледі: 

      ,                                           (1) 

     мұндағы   х айнымалысының математикалық күтімі (орташа мәні); - орташа квадраттық ауытқу.

       және  шамалары қалыпты үлестірім қисығының параметрлері болып табылады. Қалыпты үлестірім қисығының шегі минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейінгі аралықты қамтиды .

     Қалыпты үлестірім заңының қисығы нүктесіндегі тең максималды ординатаға симметриялы орналасады. Демек, қалыпты үлестірім заңында орташа арифметикалық мән, М_о мода және М_е медиана бір-біріне сәйкес келеді.

     Қалыпты үлестірім заңының осы үш параметрінің тақ мүшелері нөлге тең болғандықтан, ол симметриялы болып келеді. Сәйкесінше, асимметрия коэффициенті де нөлге тең  болады.

     Қалыпты үлестірім функциясы жұп болады. Яғни, (+х)  минус (-х) айналдырғанда  функция өзгермейді у(-х)=у(+х). Матеметикалық күтімнің шамасы өзгергенде үлестірім қисығының пішіні өзгермей абсцисса осі бойынша ығысады. Параметр s үлестірім қисығының пішінін көрсетеді. s-ның мәні өскен сайын үлестірім қисығы абсцисса осі бойынша созылып, жазықтана түседі, ал s мәні азайған сайын, керісінше үлестірім қисығы екі жағынан жиылып симметрия осімен сығылады.

     Интегралды  өрнек түріндегі немесе қамтамасыздық  қисығы түріндегі қалыпты үлестірім  заңы қисығы төмендегідей өрнектеледі: 

                                          (2) 

     Егер  де х қатары мәндерінің орнына қалыптандырылған кездейсоқ шама мәндерін алатын болсақ, онда , ескере отырып мына өрнекке қол жеткіземіз: 

                 (2.3)                   

     Бұл интегралды толықтай (тікелей) есептеп  шығу мүмкін емес. Оны есептеу үшін арнайы ықтималдық интеграл функциясының кестелерін немесе Лаплас функциясын қолданады: 

                                                             (3) 

     Ықтималдық  интеграл кестесі І қосымшада  келтірілген.

     Қалыпты үлестірімнің интегралдық функциясын Лаплас функциясы арқылы келесі түрде  өрнектеуге болады: 

                                                                    (4) 

     ал  қамтамасыздық функциясын: 

                                                (5) 

     2 қосымшада қалыптандырылған қалыпты  үлестірімнің интегралды функциясының  мәндері (2.3.) келтірілген. Бұл  кестенің мәндерін х_і бастапқы айнымалыларын қалыптандыруда қолдануға болады.

     Қалыпты қамтамасыздық қисығын 1 – кесте мәліметтері бойынша тұрғызған жөн. Қалыптандырылған мәндер х_р шамасына келесі формула арқылы өтеді: 

     1 – кесте

     Қатардың  қалыптандырылған мәндерінің қамтамасыздық  қисығы ординаталары 

     Қалыпты үлестірім заңы бойынша таралған х кездейсоқ шамасының кез-келген және параметрлерімен α мен β аралығындағы мәндермен шектелген учаскеге түсу ықтималдығы мына теңдеу бойынша анықталады: 

                                        (2.7) 

     6 Пирсонның үшінші типті қамтамасыздық қисығы 

     Ағындының әртүрлі сипаттамаларын зертеу және есептеу тәжірибесінде биномдық үлестірім қисығы немесе Пирсонның  үшінші типті қисығы кең қолданыс тапты.

     Пирсонның үшінші типті қисығы биномдық заңға  тікелей тәуелді, атап айтқанда центрленген  кездейсоқ шамалардың ықтималдық тығыздығының дифференциалдық теңдеуінен шығады: 

                                                  (1) 

       коэффициенттерінің сандық  мәндеріне байланысты әртүрлі  типтегі Пирсонның жеті қамтамасыздық  қисығын алуға болады. Гидрологияда  олардың екеуі қолданылады: қалыпты  (екінші тип) және биномдық  асимметриялық (үшінші тип) үлестірім  заңдары. 

       коэффициентімен шектеле  отырып, яғни (2.8) өрнегінен  деп алып, қалыпты үлестірім заңын шығаруға болады, ал алғашқы екі коэффициенттіерін - және ескеріп, Пирсонның үшінші типті қисығы теңдеуіне заңына қол жеткізуге болады

                         (1а) 

     немесе  әдетте қолданылатын интегралдық өрнек  арқылы қамтамасыздық қисығы түрінде  осылайша өрнектеледі: 

     мұндағы у_о – үлестірімнің максималды ординатасы;

                 d – орталық ординатадан модаға дейінгі арақашықтық;

                     а – модадан қисықтың басталғанына дейінгі арақашықтық.

     Биномдық  асимметриялық үлестірім қисығының  немесе Пирсонның үшінші типті қисығының  жалпы көрінісі                1 - суретінде кескінделген. 
 
 
 

     1- сурет. Асимметриялық үлестірім қисығы.

     1 – үлестірім орталығы, 2 – медиана, 3 – мода, 4 – х_мин. 

     С_v және С_s арқылы а және d мәндерін бере отырып,  

     келесі  өрнекке қол жеткіземіз: 

                      (1б)        

       және  параметрлері арқылы (2.9б) теңдеуін былайша өрнектеуге болады: 

                                                     (1в)       

     Пирсон  қисығы теңдеуін, әдетте, гамма функция  арқылы өрнектейді. Мұндай жағдайда санақ  басын модадан х_мин (у=0) нүктесіне, яғни үлестірім қисығының басына ауыстырады. Сонда жаңа координаталар жүйесіндегі абцисса өсі бойындағы арақашықтық тең болады, мұндағы х үлестірім орталығынан бастап есептелген мән. (2.9в) өрнегіне арқылы х мәндерін қойып, яғни деп алып, сонымен қатар біршама өзгертулерден кейін (2-ші түрдегі интегралды немесе гамма фунцияны пайдалана отырып), келесі теңдеуді аламыз:

                                                              (2)        

     мұндағы - гамма фунция .

     Гамма-функциясы  арқылы өрнектелетін Пирсонның үшінші типті қисығын үш параметрлі гамма  үлестірім деп те атайды. Оны қолданған  кезде х шамасының модульдік корэффициент арқылы берілетіндігін ескерген жөн:

     Шамалардың  жиыны  , осыдан және екенін ескере отырып, теңдеуін аламыз немесе

                       болғанда 

                        болғанда   

     Сонымен, болғанда биномдық үлестірім қисығы нөлден басталады ( ); ал, болғанда қандай да бір оң саннан басталады, ақыр соңында болғанда теріс сандар аймағына өтеді. 

     Гидрологиялық есептеулерде, әдетте, интегралдық  үлестірім қисықтары немесе гидрологиялық  термин бойынша қамтамасыздық қисығы қолданылады. Қамтамасыздық қисығы қарастырылып отырған белгінің берілген мәнінің артық болу ықтималдығын көрсетеді және дифференциалды үлестірім  қисығының интегралы болып табылады (2.10).