Гидростатика. 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

Реферат

Тема: «Гидростатика»

 

 

 

 

 

 

                                                                            Выполнила:

Студентка 31 группы ФМФ

                                                                                Смирнова А.И.

 

 

Псков 2015 
Оглавление

 

 

Введение

 

Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучается равновесие жидкостей и воздействие покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жидкости.

Одна из основных задач гидростатики — изучение распределения давления в жидкости и определение на этой основе сил, действующих со стороны жидкости на соприкасающиеся с ней твердые тела.

Знание законов гидростатики позволяет рассчитать силы, действующие на дно и стенки сосудов различной формы и назначения (баки, емкости, цистерны), на поверхность плотины, шпунтовой стенки, подводной лодки, вывести условия плавания тел на поверхности и внутри жидкости. На законах гидростатики основано действие гидравлических подъемников, прессов и тормозов, жидкостных манометров и многих других машин, механизмов и приборов.

Жидкость, в том числе и однородная, представляет собой тело, состоящее из расположенных на некотором, хотя и весьма небольшом, расстоянии друг от друга молекул, то есть имеет, строго говоря, прерывную (дискретную) структуру. Однако при решении различных задач гидравлики мы пренебрегаем указанным обстоятельством и рассматриваем жидкость как сплошную (неирерывную) среду, то есть так же как это принято в теоретической механике для твердых тел.

Заменив при рассмотрении вопросов гидравлики жидкость сплошной средой, мы приписываем этой непрерывной среде те механические свойства, которые находим экспериментальным путем для действительно существующих в реальных условиях жидкостей.

Рассматривая жидкость как сплошную среду, мы получаем право говорить о "частицах" жидкости — то есть об элементарных объемах, в которых сосредоточена элементарная масса рассматриваемой жидкости. При этом частицы жидкости, даже бесконечно малые, считают состоящими из большого числа молекул.

Вследствие текучести (подвижности частиц) в жидкости действуют силы не сосредоточенные, а распределенные по ее объему или поверхности. Все они разделяются на внешние и внутренние.

• Внешние силы - это силы, приложенные к частицам рассматриваемого жидкого тела со стороны других тел или физических полей
• Внутренние силы (именуемые иногда усилиями) — силы взаимодействия между частицами жидкости

На находящееся в равновесии жидкое тело действуют две группы внешних сил:

1. Массовые силы, действующие на все частицы данного тела и пропорциональные массе частиц. К ним относятся силы тяготения, силы инерции — действующие на жидкость при относительном ее покое. В случае однородной жидкости, то есть жидкости, имеющей всюду одинаковую плотность, массовые силы будут пропорциональны также объему жидкости, поэтому при Р - const массовые силы можно называть объемными силами.
2. Поверхностные силы, приложенные к точкам поверхности тела и пропорциональные ее площади. К ним относятся силы воздействия на данное жидкое тело со стороны соседних объемов жидкости или соприкасающихся с данной жидкостью твердых либо газообразных тел.

В общем случае плотность распределения поверхностной силы, то есть напряжение σ , в различных точках рассматриваемой поверхности может быть различной (напряжение σ, вызываемое внешней поверхностной силой Р, постоянно в частном случае равномерного распределения этой силы по рассматриваемой поверхности ω).

Рассматривая жидкость как сплошную среду, ее напряженное состояние можно представить следующим образом.

Пусть некоторый объем жидкости W напряжен некоторыми сжимающими силами. Выделим у произвольной точки А внутри жидкости элементарный объем ∆W(весьма малый объем, удовлетворяющий условию, что координаты его точек х, у, z отличаются друг от друга на бесконечно малую величину).

У точки А намечаем элементарную площадку s — s называемую площадкой действия определенной ориентировки, то есть определенного наклона.

Напряжение в точке А, принадлежащей площадке s — обозначим через σ. Это напряжение представляет собой векторную величину (рис.1), причем эта величина с изменением ориентировки (угла наклона) площадки s —s в общем случае должна менять свое значение (модуль) и свое направление (по отношению к площадке действия). В рассматриваемом общем случае напряжение σ можно разложить на две составляющих: нормальную к площадке действия, которую будем называть нормальным напряжением σя, и касательную к площадке действия, которую будем называть касательным напряжением τ.

При отсутствии касательных напряжений значенин (модуль) полного напряжения о любой точке данного тела не зависит от ориентировки площадки действия.

Сжимающие нормальные напряжения условимся в дальнейшем считать положительными, характеризующимся полным отсутствием растягивающих напряжений.

 

 

Уравнение равновесия

 

Пусть какое-либо жидкое тело массой М и плотностью ρ находится в равновесии под действием внешних сил, равнодействующая которых F. Будем считать, что координатные оси х и у расположены в горизонтальной плоскости, а ось z направлена вертикально вверх. Разложив силу F на три составляющих, параллельных координатным осям Fx Fy и Fz, и поделив их на M, можно найти

 

 

где X, У и Z — проекции ускорений, вызываемых внешними силами, на соответствующие координатные оси.

Выделим у произвольной точки А в пределах жидкого тела бесконечно малый объем в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. Мысленно отбросив окружающую выделенный объем жидкость, заменим ее действие силами. Это будут сжимающие силы, нормальные к каждой из плоских граней. Например, в точках 1 и 2 (центры тяжести граней, параллельных плоскости yOz) будут приложены

силы dP1 и dP2, направленные навстречу друг другу вдоль оси (рис.2).

Поскольку жидкое тело находится в покое, то условия равновесия всех действующих в направлении оси х сил можно записать так:

(1)

где dF, — проекция на ось x элементарной массовой силы,

(2)

Известно что элементарная масса тела

 (3)

где элементарный объем рассматриваемого параллелепипеда

(4)

 

Cила гидростатического давления

,

то есть

 

 

 

где p1ир2, — давление в точках 1 и 2.

Считая давление в точке А (центре тяжести рассматриваемого параллелепипеда) равным р, и учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длины в направлении координатной оси х, может быть представлено частной производной , будем иметь

  (5)

Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия (1), получим

 (5)

Поскольку dy≠0 и dz≠0, то обе части уравнения (5) можно разделить на dydz, то есть отнести к единице площади.

(6)

Тогда, раскрывая скобки, будем иметь

  (7)

 

Аналогичным образом с учетом условий равновесия относительно двух других координатных осей, получены дифференциальные уравнения подобного же вида:

 
 

Учитывая, что не только dy и dz, но и dx и р не равны нулю, мы могли бы, как это делается во многих учебниках, обе части уравнения (8) разделить на рdxdydz, то есть отнести к единице массы, тогда, раскрывая скобки, можно записать

 

 

 

Эти дифференциальные уравнения равновесия жидкого тела были выведены в 1755 г. действительным членом Российской Академии наук               Л. Эйлером и носят его имя. Они получены для произвольно заданных сил и позволяют решать всевозможные задачи, связанные с равновесием жидкости.

Сложив почленно все три уравнения, получим

(10)

 

Из высшей математики известно, что сумма частных дифференциалов, стоящая в левой части, представляет собой полный дифференциал.

Таким образом,

(11)

 

Если плотность жидкости ρ с достаточной степенью точности может быть принята постоянной, то гидростатическое давление в любой точке жидкости, находящейся в равновесии под действием внешних сил

  (12)

 

Чтобы это общее выражение использовать для решения тех или иных задач, в каждом конкретном случае необходимо знать ускорение X, Y и Z.

Геометрическое место точек, имеющих одинаковое давление р=const, dр=0, называется поверхностью равного давления, или поверхностью уровня.

 

Зависимость давления от высоты в поле силы тяжести.

Если жидкость находится в равновесии под действием собственного веса, то проекции ускорений, вызываемых силой тяжести, для выбранных координатных осейX=0, Y=0, Z=-g, где g — ускорение свободного падения.

Тогда, подставляя эти значения в выражение (12), получим

(13)

то есть

 

 

где С — постоянная интегрирования, или иначе

  (14)

 

Пусть находящаяся в равновесии жидкость с плотностью р заключена в какой-либо сосуд произвольной формы.

На поверхности жидкости (рис. 3) имеется давление р0 называемое внешним давлением (если сосуд открыт и жидкость граничит с атмосферой Земли, то это давление равно атмосферному).

Считаем, как и прежде, ось z направленной вертикально вверх, а плоскость хОу — горизонтальной (эта произвольно расположенная горизонтальная плоскость называется плоскостью сравнения). Расстояние z от плоскости сравнения называют координатой, или отметкой, точки.

Наша задача — найти зависимость для определения давления в произвольной точке жидкости, например А, имеющей отметку z и находящуюся на глубине h под поверхностью жидкости.

Воспользовавшись выражением (15). можно записать для выбранной точки А и точек на поверхности жидкости (с координатой z0,) равенство

 

Тогда

 

Учитывая, что

 

получим, что для несжимаемой жидкости. находящейся в равновесии под действием силы тяжести полное гидростатическое давление в точке

 

где p0 — внешнее поверхностное давление; h — глубина погружения точки под свободной поверхностью жидкости,то есть поверхностью раздела между жидкостью и газообразной средой с постоянным давлением.

В последней величина pgh может быть названа весовым давлением, поскольку она представляет ту часть полного гидростатического давления или, как говорят, абсолютного давления в рассматриваемой точке, которая обусловлена весом самой жидкокости.

Из рассмотрения равенства заключаем, что абсолютное давление в точке равно сумме внешнего поверхностного и весового давлений. Из этого же выражения непосредственно следует, что внешнее давление на пограничную поверхность находящейся в равновесии жидкости передается одинаково во все точки внутри жидкости (закон Паскаля).

Внутри покоящейся жидкости, как это видно из последнего уравнения, во всех точках, погруженных на одну и ту же глубину, абсолютное давление — одинаково. Таким образом, при равновесии жидкости под действием силы тяжести поверхность равного давления, или поверхность уровня, представляет собой горизонтальную плоскость.

Превышение полного гидростатического давления над атмсоферным ра, называется избыточным (ссерхатмосферным) или манометрическим давлением

 

 

Если сосуд открыт на его свободной поверхности устанавливается атмосферное давление, то есть р0 = pa то понятии весового и избыточного давлений совпадают, для закрытого же сосуда, когда давление на свободной поверхности жидкости отлично от атмосферного, весовое и избыточное давлении отличаются друг от друга.

 Разницу между атмосферным  и гидростатическим давлением называют ва- куумом:

 

 

Условие равновесия двух разнородных несмешивающихся жидкостей (с плотностями р1 и р2) в сообщающихся сосудах (рис. 4)

 

 

 

где р01 и p02 — давление на свободной поверхности жидкостей в первом и втором сосуде.

Если р01= p02=p0, то

 

 

то есть уровни разнородных несмешивающихся жидкостей в сообщающихся сосудах при одинаковом внешнем давлении в них обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

 

Основное уравнение гидростатики

 

Разделив  обе части выражения (14) на ρg, получим основное уравнение гидростатики:

(15)

 

 

 Рассмотрим, какой физический смысл имеют входящие в основное уравнение гидростатики два его члена, имеющие размерность линейных величин.

В сосуде произвольной формы находится жидкость плотностью р. Давление на свободной поверхности жидкости р, (рис. 3).

Представим себе, что к точке А, находящейся внутри покоящейся жидкости на глубине h, подведена закрытая сверху тонкая, но не капиллярная вертикальная трубка П0, в которой создано полное разрежение (так называемая торричеллиева пустота). Тогда под давлением р в точке А горизонт жидкости поднимается по этой трубке на некоторую высоту hA над точкой А, называемую высотой давления.

Считая точку А принадлежащей сосуду получим

  (16)

 

Давление в этой же точке А, но принадлежащей трубке П0.

 (17)

 

Так как внешнее давление на поверхности жидкости в трубке П0 в которой было создано полное разряжение, р=0 то из (17) следует, что высота давления

(18)

 

Строго говоря, пространство над горизонтом жидкости П0, должно быть заполнено парами жидкости. Но в обычных интервалах температур давление насыщенных паров значительно меньше атмосферного давления и им можно пренебречь. считая давление на свободной поверхности жидкости в трубке равным нулю.

Находящаяся в покое жидкость обладает определенным запасом потенциальной энергии, то есть способностью производить работу. Если считать, что в точке А сосредоточен элементарный объем жидкости весом dG. то он может произвести определенную работу: во- первых, за счет паления на плоскость хОу с высоты z, следовательно, относительно выбранной плоскости сравнения он обладает определенным запасом потенциальной энергии

  (19)

во-вторых, за счет поднятия под давлением р на высоту hA; запас потенциальной энергии, способной произвести эту работу

  (20)

Потенциальная энергия элементарного объема жидкости весом dG

  (21)

 

В гидравлике принято иметь дело с так называемой удельной энергией е, то есть с энергией, отнесенной к единице веса жидкости, находящейся в точке А. Тогда удельная потенциальная энергия в рассматриваемой точке

  (22)

 

Таким образом, с энергетической точки зрения, сумма входящих в основное уравнение гидростатики (15) величина представляет собой удельную, то есть отнесенную к единице веса, потенциальную энергию жидкости в рассматриваемой точке. При этом — часть удельной потенциальной энергии — удельная энергия давления, часть удельной потенциальной энергии — удельная энергия положения.

 

Жидкость в неинцерциальных системах отсчета

В предшествующем изложении гидростатики предполагалось, что жидкость находится в покое относительно некоторой условно неподвижной системы отсчета (в так называемом абсолютном покое). Неподвижными относительно этой системы предполагаются также сосуды, в которых заключена жидкость. При таком предположении и получено основное уравнение гидростатики.

Перейдем к рассмотрению так называемого относительного покоя жидкости. Под этим определением подразумевается, что частицы жидкости, заключенной в некотором сосуде, не имеют перемещений друг относительно друга и вся масса жидкости покоится относительно стенок сосуда, следовательно, относительно жестко связанных с сосудом координатных осей, в то же время сосуд перемещается произвольным образом относительно неподвижной системы отсчета.

Из основ механики известно, что законы, описывающие абсолютный или относительный покой (а также абсолютное или относительное движение), не различаются между собой, если подвижная система отсчета перемещается относительно неподвижной инерциальным образом, т.е. прямолинейно и равномерно. Рассмотрим два примера относительного покоя жидкости.

Относительный покой однородной жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси. Подвижные координатные оси расположим так, что ось Oz направлена вертикально вверх (рис.7). Сосуд, благодаря трению, вовлекает в движение наполняющую его жидкость и по истечении небольшого промежутка времени, после начала вращения, жидкость также начинает приходить во вращение с той же угловой скоростью, что и сам сосуд. Таким образом, в дальнейшем жидкость покоится относительно сосуда, что позволяет применить уравнения гидростатики, но в координатах, жестко связанных с сосудом, т.е. вращающихся в пространстве.

Приложенными к частицам жидкости массовыми силами являются по-прежнему силы тяжести, параллельные оси z; силами инерции Fи в переносном движении в данном случае являются центробежные силы, перпендикулярные к оси z, имеющие ускорение (ω2r), где r = √( + у2)  есть расстояние данной частицы жидкости от оси вращения. Проекциями ускорения равнодействующей этих сил на оси координат будут           

 

 

 

Дифференциальное уравнение поверхностей уровня

 

 

Интегрируя это уравнение, получим  

 

Из последнего уравнения следует, что поверхности уровня (в том числе и свободная поверхность) являются параболоидами вращения вокруг оси z.

Напомним, что распределению давления в несжимаемой жидкости соответствует зависимость (11).

 

а в данном случае  

 

 

    отсюда    (после   интегрирования)        можно получить

 

Поместим начало подвижных координат в точку «О» пересечения оси z со свободной поверхностью. Тогда постоянная интегрирования определится из граничного условия р = р0 при r = 0 и    Z= 0. Подставив эти значения, получим

const = р0,

следовательно      

 

Последнее уравнение выражает закон распределения давления в жидкости.

Из уравнения видно, что давление в некоторой горизонтальной плоскости z=const  по мере увеличения радиуса увеличивается   по   сравнению   с гидростатическим,    вычисленным   для неподвижного сосуда, на величину , т.е. тем сильнее, чем  больше число оборотов сосуда. Этим пользуются в технике в случаях, когда надо увеличить на некоторый период времени давление внутри массы жидкости (увеличение давления, зависящее от значения центробежной силы, лежит также в основе работы центробежных насосов). 
Закон Архимеда.Плавание тел

Закон Архилида, известный из школьного курса физики, обычно формулируется так: на всякое пило, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Зная основные законы гидростатики, установим за счет чего эта сила образуется и уточним, на всякое ли тело в жидкости она действует.

Рассмотрим три цилиндрических тела. вес которых G1, G2 и G3 и сечение ω: одно из них частично погружено в жидкость. второе плавает внутри жидкости и третье покоится на дне (рис. 8). В первом и втором случае силы внешнего давления по верхней и нижней плоскостям цилиндра равны и противоположны по направлению. Равнодействующие силы избыточного давления, действующие по этим плоскостям при плавании на поверхности

 

  (23)

 

где W1— объем погруженной части цилиндра (в этом случае P1 > G).

При состоянии безразличного равновесия (тело плавает внутри жидкости, окружающей его со всех сторон)

  (24)

 

где W — объем полностью погруженного в жидкость тела (в этом случае P2=G).

 

В третьем же случае, если цилиндр стоит на водонепроницаемом дне и плотно прилегает к нему (отсутствует доступ жидкости к нижней поверхности цилиндра) сила гидростатического давления Рн =0 и никакой выталкивающей силы не будет, наоборот, тело, под действием собственного веса, веса вышележащего столба жидкости и внешнего давления, будет прижиматься ко дну.

Рассмотрим некоторые общие вопросы. связанные с плаванием тел.

Объем жидкости W, вытесняемый полностью или частично погруженным в нее телом, называется объемным водоизмещением.

Центр тяжести Д вытесненного объема жидкости (центр давления при плавании) называется центром водоизмещения (рис. 9). 

Подъемная (архимедова) сила имеет в качестве линии действия вертикальную прямую, проходящую через центр водоизмещения.

Плоскость сечения плавающего тела, совпадающая со свободной поверхностью жидкости, называется плоскостью плавания, а линия пересечения плавающего тела со свободной поверхностью жидкости — ватерлинией.

Прямая, проходящая через центр тяжести плавающего тела Ц и центр водоизмещения в положении устойчивого равновесия тела (когда сила его веса и сила тяжести действуют по одной вертикальной прямой), называется осью плавания.

Глубина погружения самой низкой точки смоченной поверхности тела называется осадкой.

Если тело выведено из положения равновесия на какой-то угол а относительно вертикали, называемый углом крена, то объем водоизмещения изменяет свою первоначальную, обычно симметричную форму, а центр водоизмещения переместится в новую точку Д', через которую и пройдет подъемная сила Р.

Точка пересечения подъемной силы Р при наклонном положении тела с осью плавания называется метацентром. Расстояние между центром тяжести тела Ц и метацентром М обозначается через hм и называется метацентрической высотой. Метацентрическая высота может быть определена по формуле

 

 

где I0 — момент инерции площади плоскости плавания относительно продольной оси S' — S', W — водоизмещение тела; е — расстояние между центром тяжести Ц и центром водоизмещения Д.

Плавучесть тела — его свойство плавать при заданной нагрузке, имея заранее установленное погружение. Запас плавучести — добавочная нагрузка, которая соответствует весу жидкости в объеме надводной части плавающего тела.

Остойчивость — способность плавающего тела восстанавливать свое исходное положение в жидкости.

Для того, чтобы плавающее и подводном состоянии тело обладало статической остойчивостью, центр тяжести его Ц должен лежать на оси плавания ниже центра водоизмещения Д (рис. 10, а). В противном случае (рис 10, 6) тело не обладает остойчивостью.

Если часть плавающего тела возвышается над свободной поверхностью жидкости (надводное плавание) при соблюдении приведенного выше условия, то тело, безусловно, остойчиво. При подводном плавании центр водоизмещения Д может лежать на оси плавания ниже центра тяжести Ц. Если последний будет располагаться не выше предельного метацентра М0 (при малых углах крена), тело будет оставаться остойчивым (рис. 9).

Чем выше расположен метацентр над центром тяжести тела, то есть чем больше метацентрическая высота hм, тем больше остойчивость тела (способность из крена переходить в положение равновесия), так как момент пары сил Р и С, стремящийся восстановить равновесие тела, прямо пропорционален мета- центрической высоте. Если метацентр лежит ниже центра тяжести тела, т.е метацентрическая высота отрицательна, то тело неостойчиво.

 

Использованная литература

1. Гидравлика. Общий курс: Учебник для вузов — К.: Вы- ща шк. Головное изд-во, 1989.— 215 с
2. http://hydraulic-drive.ru/otvety-na-bilety-k-ekzamenu-gidravlika/138-otnositelnyj-pokoj-zhidkosti.html
3. Башта, Т.М. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник для вузов / Т.М. Башта, С.С. Руднев, Б.Б. Некрасов [и др.]. – 2-е изд., перераб. – М.: Машиностроение, 2010. – 423 с