Индусская математика

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования 

«Стерлитамакская государственная педагогическая академия

им. Зайнаб Биишевой» 

Физико – математический факультет  
 

Реферат

Индусская математика 
 
 

                                   Выполнила:

                                                     студентка группы М51

                                                                            Кутлугильдина Гузель Фанилевна 
 
 
 
 
 
 
 
 

Стерлитамак 2012

     Математика  в древней и  средневековой Индии 

     Большинство научных трактатов индийцев написаны на санскрите — языке религиозных книг брахманов. Этот язык объединял многочисленные народы Индии, говорившие на различных языках. Только в XVII в. индийцы стали писать научные трактаты на разговорных языках: анонимный южно-индийский трактат «Йукти бхаша» («Разъяснение математики») написан на языке малайялам, а астрономические таблицы Савай Джай Сингха — на распространенном в Северной Индии персидском языке.

     Следует отметить, что наши сведения о математике древней и средневековой Индии весьма неполны и о некоторых этапах развития индийской математики мы можем судить только предположительно. Некоторые сведения о математике древней Индии мы черпаем из комментариев к священным книгам брахманов «Веды». В одной из таких книг, относящейся к VII—V вв. до н. э., «Шулва сутра» («Правила веревки») излагаются Способы построения алтарей и связанные с ними вычисления.

     Первые  «сиддханты», появившиеся в V в. н. э., имеют явно эллинистическое происхождение. «Пулиса-сиддханта» приписывается некоему Паули-се из Саинтры. По-видимому, ее автором был александрийский астроном Паул ос, бежавший в Индию после разгрома научного центра в Александрии. О греческом происхождении свидетельствует и название «Ромака-сид-дханты»: жителей Восточной Римской империи часто называли ромеями. В сиддхантах применяются некоторые греческие термины: расстояние от центра называется «кендра», минута — «липта». Важнейшая из сидхант была написана Брахмагуптой около 628 г. Она называлась «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы») и состояла из 20 книг, большая часть которых была отведена астрономии, но XII книга была специально посвящена арифметике и геометрии, а XVIII книга — алгебре.

     Многие  трактаты были написаны в стихах, чтобы  правила, сформулированные в коротких строках, можно было заучить наизусть. Например, «Тришатика» Шридхары (IX — X вв.) получила свое название от слова «тришата» — «триста», так как содержала триста стихов. Весьма краткое стихотворное изложение, почти непонятное непосвященным, разъяснялось в комментариях.

     Крупнейшему индийскому математику XII в. Бхаскаре принадлежит трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), переписанный в XIII в. па полосках пальмовых листьев. Этот трактат состоит из четырех частей, из которых «Лилавати» (см. рис.) посвящена арифметике, а «Биджаганита» — алгебре, остальные две части астрономические. «Лилавати» (что значит «прекрасная») Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах книги излагаются: 
1.Метрология;

2. Действия над целыми числами и дробями и извлечение корней;

3. Способ  обращения, способ ложного положения  и другие частные приемы решения задач;

4. Задачи  на бассейны и смеси;

5. Суммирование  рядов;

6. Планиметрия;

7—11. Вычисление различных объемов;

12. Задачи неопределенного анализа;

13. Задачи  комбинаторики.

     Другое  сочинение Бхаскары — «Биджаганита» — состоит из восьми отделов:

1. Действия  над положительными и отрицательными числами;

2—3. Неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени;

4. Линейные  алгебраические уравнения;

5. Квадратные  уравнения;

6. Системы  линейных уравнений;

7—8. Неопределенные  уравнения 2-й степени. 

     Индийская нумерация 

     Счет  целых чисел в Индии с древних  времен носил десятичный характер. Санскрит — индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1 — эка, 2 — дви, 3 — три). В названиях чисел применялся и аддитивный и субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и «навадаша», (девять-де-сять) и «экауна — вимсати» (без одного двадцать). В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют названия для 10ⁿ до n > 50.

     Одной из первых нумераций, применявшихся  в Индии, были цифры «карошти», которыми пользовались в Северной Индии со времени персидского завоевания до III в. н. э. вместе с сирийским письмом. Цифры ка-рошти были во многом похожи на финикийские: числа записывались справа налево, знаки для 1 и 10 были весьма близки к финикийским, имелся знак для 20, представляющий собой соединение двух знаков для 10, и знак для 100, который, как и в финикийской нумерации, не повторялся, а справа от него записывалось число сотен. Однако, в отличие от финикийских цифр, здесь употреблялся специальный знак для 4. Цифры карошти изображены в четвертом столбце таблицы 1.

     Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены цифры «брахми». В пятом столбце той же таблицы изображены цифры брахми, воспроизводящие надписи в пещере Назик. В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. Однако в обеих нумерациях было немало общего. Не говоря уже о том, что первые цифры в обоих случаях изображали три палочки, а четвертая — четыре палочки (в случае карошти — в виде креста), общим было то, что до сотни в обоих случаях применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.

     Следует отметить, что первые три знака  в обеих нумерациях совпадают  с китайскими; встречалась в Китае и четверка в виде креста. Важным отличием цифр брахми от карошти было наличие специальных знаков для чисел от 1 до 9; возможно, что цифры карошти представляли собой промежуточную стадию между обозначениями чисел от 1 до 9 с помощью повторения знака для 1, применявшимися в Финикии, Вавилоне и Египте, и обозначениями этих чисел с помощью специальных знаков. Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации.

     Наряду  с цифровой записью в Индии  широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы»; четверка — словами «океаны», «стороны света» и т. д.

     Применение  позиционного принципа в словесной  нумерации, в котором одно и то же слово в зависимости от места  имеет разное числовое значение, а  названия разрядов опускаются, зафиксировано  еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами «Луна — дыра — крылья — Луна». Одно из названий нуля —  «шунья» (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово «шунья» перевели арабским словом «сыфр», имеющим то же значение. Слово «сыфр» при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово «цифра», также первоначально означавшее нуль.

     На  основе цифр брахми выработались современные индийские цифры «деванагари» (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев. Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе —«индийским счетом» (хисаб ал-Хинд). 

     Арифметические действия. Отрицательные и иррациональные числа 

     Если  наши геометрические курсы в значительной степени восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение. Именно от индийской позиционной нумерации происходит наша нумерация, индийцы же первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации. К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней.

     Вычисления  индийцы производили на счетной  доске, покрытой песком или пылью, а  то и прямо на земле. Поэтому арифметические вычисления иногда назывались «дхули-карма» — работа с пылью. Числа записывались заостренной палочкой. Чтобы хорошо различать цифры, их писали довольно крупно, поэтому промежуточные выкладки стирались. Это наложило отпечаток на индийские способы вычисления. Сложение и вычитание производились как справа налево, т. е. от низших разрядов к высшим, так и слева направо, от высших разрядов к низшим.

      Для умножения существовало около  десятка способов. При основном способе  умножения операцию можно было начинать как с низшего, так и с высшего разряда. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения. Индийцы применяли и более удобные приемы умножения. Например, расчерчивали счетную доску на сетку прямоугольников, каждый из которых разделен пополам диагональю, по сторонам сетки записывали сомножители, а промежуточные произведения писали в треугольниках и складывали их по диагоналям (см. рис.).

     При делении делитель подписывался под  делимым так, чтобы первые их цифры  находились одна под другой, и из цифр делимого, написанных над делителем, вычиталось максимальное кратное делителя, не превосходящее числа, образованного этими цифрами. Затем делитель передвигался на один разряд вправо и таким же образом вычитался из цифр остатка.

     Существует  несколько способов возведения в  квадрат и куб. Шридхара в своей «Патиганите» («Искусство вычисления на доске») излагает методы, которые в наших обозначениях можно выразить формулами n 2 = ( a+b ) 2 = a 2 +2ab+ b 2 , n 2 = ( a+b ) 2 = (a−b ) 2 +4ab, n 2 =1+3+5+…+( 2n−1 ), n 2 =( n−a )( n+a )+ a 2 , n 3 = ( a+b ) 3 = a 3 +3 a 2 b+3a b 2 + b 3 , n 3 = ( n−1 ) 3+1+3n( n−1 ), n 3 =n( n+a )( n−a )+ a 2 ( n−a )+ a 3 , n 3 =n+3n+5n+…+( 2n−1 )n.

     Извлечение  квадратного корня в Индии, как  и в Китае, основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении кубического корпя) не применялся метод Горнера.

     Так как при выполнении арифметических действии приходилось стирать промежуточные  выкладки, проверить непосредственно, верны ли окончательные результаты, было невозможно. Для проверки умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня индийцы рекомендовали не обратные операции, а так называемую проверку с помощью девятки, основанную на том, что остаток при делении целого числа на 9 равен остатку при делении на 9 суммы цифр этого числа. Первое описание этого правила применительно к умножению, делению с остатком и извлечению квадратного и кубического корней встречается у Ариабхаты II (X в.). Если мы назовем пробой остаток от деления на 9 суммы цифр данного числа, то, например, при умножении двух чисел проба произведения должна быть равна пробе произведения проб множителей. Равенство проб является только необходимым, но не достаточным условием правильности действия, чего индийцы не отмечают.

     Индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н. э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Ему еще не была известна двузначность квадратного корня, но уже в 850 г. Магавира в своей книге «Ганита-сара-санграха» («Краткий курс математики») пишет: «Квадрат положительного или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными. Так как отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня». Последние слова Маг-авиры показывают, что он ставил вопрос и об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что эта операция невозможна. Не исключено, что об отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с китайской наукой. Прямых свидетельств в пользу такого предположения мы не имеем. Во всяком случае, в Индии отрицательные числа не применялись при решении систем линейных уравнений. Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные — «рина» или «кшайа» (долг).

     Индийцы применяли символ квадратного корня  «му» не только к полным квадратам, но и к полученным квадратичным иррациональностям. Бхаскара с помощью правил 

a+ b = a+ a2  −b 2 + a− a 2 −b 2 a+b+2 ab = a + b , заимствованных, быть может, у греков, производил преобразования квадратичных числовых иррациональностей и таким образом упрощал довольно-сложные выражения. 

     Алгебра. Квадратные уравнения 

     Как и в Вавилоне и Китае, в Индии  высокого расцвета достигли алгебраические вычисления. Алгебру, вместе с решением целочисленных неопределенных уравнений, индийцы называли «биджаганита» — «искусство вычисления с элементами» или «авьяктаганита» — «искусство вычисления с неизвестными».

     Выдающимся  достижением индийских математиков  было создание развитой алгебраической символики. Эта символика была даже богаче, чем у Диофанта. Впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней. Большинство символов представляет собой первые слоги соответствующих санскритских терминов.

     Неизвестную величину индийцы называли «йават-тават» (столько, сколько), для обозначения неизвестной служила буква, означающая слог «йа». Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: калака (черный), пилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), а обозначали первыми слогами соответствующих слов: ка, ни, пи, да, ло. Свободный член в уравнениях сопровождался первым слогом слова «руна» (целый). Иногда неизвестная обозначалась знаком нуля, так как первоначально в таблицах, например, пропорциональных величин, для нее оставлялась пустая клетка.

     Знаки, представляющие собой обозначения  первых слогов слов, применялись для основных действий. Сложение обозначалось знаком «йу» (вита» — сложенный), умножение — «гу» («гунита» — умноженный), деление — «бха» («бхага» — деленный).

     Обозначения степеней представляли собой сочетания  слогов «ва» («вар-га» — квадрат), «гха», («гхана» — куб) и слова «гхата» — произведение, т. е. степени и неизвестных обозначались: 

     x 2 =ва, x 3 =гха, x 4 = ва ва , x 5 = ва гха гхата , x 6 = ва гха , x 7 = ва вагха гхата , x 8 = ва ва ва , x 9 = гха гха .

     Мы  видим, что для степеней, показатели которых имеют вид 2^α, 3^β, обозначения состоят из слога «ва», повторенного α раз, и слога «гха», повторенного β раз. Таким образом, степени этого вида образуются по мультипликативному принципу. Напротив, обозначения степеней, показатель которых не представляется в таком виде, образуются по аддитивному принципу, причем слово «гхата» (произведение) означает, что степень такого типа представляет собой произведение степеней, суммой показателей которых является показатель этой степени. Следовательно, индийская символика принципиально отличается от символики Диофанта, где названия степеней были основаны на чисто аддитивном принципе. Квадратный корень обозначался слогом «му» — от слова «мула».

     Знака равенства не было: обе части уравнения  писали в две строки так, чтобы  одинаковые степени стояли друг под  другом. Если неизвестная отсутствовала, то записывали ее знак с коэффициентом нуль. Уравнение 10x - 8 = x² + 1 записывается в виде йа ва 0 йа10 ру 8 йа ва 1 йа 0 ру 1 уравнение 8x³ + 4a² + 10y²x = 4x³ + 12y²x йа гха 8 йа ва 4 ка ва йа 10 йа гха 4 йа ва 0 ка ва йа 12

     Символы применялись и в учении о прогрессиях. Первый член обозначается «а» от «ади»—(первый член), разность арифметической прогрессии — «ча» или «у» от «чайа» или «уттара» (разность прогрессии), число членов — «па» или «га» от «пада» или «гачха» (число членов), сумма прогрессии — «сан» или «ган» от «санкалита» или «ганита» (сумма).

     Итак, индийские ученые сделали большой  шаг в создании символической  алгебры, хотя их обозначения были громоздки, а сами знаки, т. е. сапскритские буквы, имели сложное начертание.

     Задачи  на квадратные уравнения имеются  в «Ведах» и «Шулва-сутре», но с решением их мы впервые встречаемся, по-видимому, у Аръабхаты. Так, задача на сложные проценты приводит к уравнению tx² + px = qp. Решение этого уравнения, приведенное Ариабхатой словесно, можно записать в виде x= qpt+ ( p 2 ) 2 − p 2 t .

     Немного спустя квадратные уравнения появляются в «Бахшалийской рукописи». Примерно в это же время большой вклад в решение квадратных уравнений внес Брахмагупта, который сформулировал общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к канонической форме ax² + bx = c, a > 0, где коэффициент при неизвестной первой степени b и свободный член с могут принимать и отрицательные значения. Решение Брахмагупты такое же, как у Ариабхаты. Шрпдхара словесно формулирует решение в несколько другом виде: x= 4ac+ b 2 −b 2a . Брахмагупта еще не говорит о двух корнях квадратного уравнения, но Магавира уже знает об этом и формулирует решение квадратного уравнения вида l m x 2 −x=−n с помощью правила x= m l ± ( m l −4n ) m l 2 , говоря, что «квадратный корень можно как прибавлять, так и вычитать».

     Бхаскара уже формулирует условие существования двух положительных корней. Индийцы решали и системы уравнений; например, Бхаскара решал задачу об определении катетов х и у и гипотенузы z прямоугольного треугольника по его периметру и площади, сводящуюся к системе { xy=p, x+y+z=q, x 2 + y 2 = z 2 . Бхаскара рассматривал также специально подобранные уравнения третьей и четвертой степеней, целочисленные корни которых он находил путем несложных преобразований. 

     Геометрия 

     Знания  и открытия индийских математиков  в области геометрии значительно уступают их знаниям и открытиям по арифметике, алгебре, теории чисел. Специальных сочинений по геометрии в Индии не было, геометрические сведения сообщались в арифметических трактатах или в арифметических разделах сочинений по астрономии.

     Геометрические  предложения приводились без  доказательств. Часто все сводилось  к чертежу со словом «смотри», который  в редких случаях сопровож дали краткие указания. По-видимому, доказательства сообщались учащимся устно. В геометрических задачах вопрос сводился к вычислению и никогда — к построению. Однако многими видами построений индийцы владели и пользовались в строительном деле. 

     Наиболее  ранние сведения о познаниях индийцев в области геометрии находим  в «Шулва-сутре» (VII—V вв. до н. э.), служившем руководством при постройке алтарей и храмов. Постройка храмов подчинялась ряду правил: они ориентировались по странам света; в основании храма лежали определенные фигуры. Все это требовало решения геометрических задач: построения прямого угла, квадрата, прямоугольных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами, построения квадрата, равновеликого прямоугольнику, построения квадрата, площадь которого кратна площади данного квадрата. Отправной точкой многих построений служила теорема Пифагора: с помощью пифагоровых треугольников строились прямые углы и производилось построение квадрата с кратной площадью. Для удвоения квадрата за сторону искомого квадрата бралась диагональ исходного, для построения квадрата, равновеликого двум данным квадратам, в большем квадрате строили меньший квадрат и соединяли их вершины так, как показано на рис. слева; проведенная линия является гипотенузой треугольника, катеты которого равны сторонам данных квадратов.

      Доказательство теоремы Пифагора приводятся в «Венце знания» Бхас-кары в виде чертежа (см. рис. справа) с надписью «смотри». Если мы обозначим катеты прямоугольного треугольника, построенного на каждой из сторон квадрата чертежа Бхаскары, через а и b, а гипотенузу этого треугольника, равную стороне квадрата, через с, то площадь с² квадрата равна четырем площадям прямоугольного треугольника, т. е. квадрата чертежа Бхаскары, через а и b, а гипотенузу этого треугольника, равную стороне квадрата, через с, то площадь с² квадрата равна четырем площадям прямоугольного треугольника, т. е. 4ab/2 = 2ab, и площади квадрата, построенного на разности катетов треугольника, т. е. а - b, откуда, упрощая, получим соотношение и площади квадрата, построенного на разности катетов треугольника, т. е. а - b, откуда, упрощая, получим соотношение c² = a² + b².

     Сведения  по геометрии имеются также в  трактатах Брахмагупты, Ма-гавиры, Шридхары, Бхаскары. Брахмагупта приводит приближенное правило для вычисления площади произвольного четырехугольника как произведения полусумм противоположных сторон, с которым мы встретились в математике египтян и вавилонян. Шридхара указывал, что это правило нельзя применять ко всем четырехугольникам. Он сообщает точное правило вычисления площади трапеции. Брахмагупта для нахождения площади четырехугольника пользовался правилом, аналогичным правилу Архимеда — Герона для площади треугольника: S= ( p−a )( p−b )(p−c )( p−d ) , где а, b, с и d — стороны четырехугольника, а р — полупериметр. Это правило верно только для четырехугольников, вписанных в круг. Брахмагупта не оговаривает этого, но фактически рассматривает лишь два типа четырехугольников — равнобедренные трапеции и четырехугольники с пересекающимися под прямым углом диагоналями, для  

которых правило справедливо.

     Как уже упоминалось, геометрические доказательства крайне лаконичны, но нередко весьма наглядны. Так, для обоснования правила  вычисления площади треугольника приводится рисунок, в котором высота прямоугольника равна половине высоты треугольника (см. рис. слева). Для обоснования предложения «Площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого соответственно равны полуокружности и радиусу» Гане-ша делит круг на 12 равных секторов, а затем разворачивает каждый полукруг, состоящий из 6 секторов, в пилообразную фигуру, основание которой равно полуокружности, а высота — радиусу (см. рис. справа). Прямоугольник, о котором говорится в условии, получится при вставлении зубьев одной из «пил» в зазоры между зубьями другой. По-видимому, читатель должен был представить себе, что круг разделен не на 12, а на столь большое число секторов, что эти секторы станут неотличимы от треугольников, составляющих «пилы». В обоих случаях, как и при доказательстве Бхаскарой теоремы Пифагора, доказательство состояло из чертежей и слова «смотри».

     Приближенные  выражения отношения длины окружности к диаметру мы находим уже в  сиддхантах. В «Пулисе-сиддханте» (V в. н. э.) говорится, что длина окружности относится к диаметру, как 3927 к 1250, что соответствует значению π = 3,1416. То же значение π в виде 62832/20000 мы находим у Ариабхаты. Брахмагупта пользовался приближением π = √10, возможно, китайского происхождения. Встречается у индийцев и приближение π = 22/7. В сиддхантах, как и у александрийских астрономов, окружность делится на 360 градусов, каждый градус — на 60 минут, но радиус делится не на 60 частей, а на 3438 минут. Это объясняется тем, что, если считать окружность равной 360 · 60 = 21 600 минутам, а π = 3,1416, то из соотношения С = 2πr, мы найдем, что r = 3437,7 минут. Как мы видим, индийцы измеряли радиус в долях окружности уже в V в., поэтому возможно, что приведенная выше «теорема Ганеши» была известна индийцам задолго до Ганеши. Возможно также, что в чертеже Ганеши предполагалось, что круг разделен на 3438 секторов.

     Шридхара приводит правила вычисления объема призмы V = SH, объема усеченного кругового конуса V= πH 3 [ R + 2 rR+ r 2 ],где π= 10 , и объема кругового конуса V = SH/3.

     Бхаскара дает правило вычисления объема шара V = 4πR³/3, где π = 3,1416.

     Индийская математика оказала огромное влияние  на развитие математики как на Востоке, так и на Западе. Именно в Индии была разработана наша арифметика, основанная на десятичной позиционной нумерации, а также такие арифметические правила, как тройное правило и его обобщения. Наши термины «корень» и «синус» постоянно напоминают нам о роли индийских ученых в разработке алгебры и тригонометрии. Оказали влияние на Европу и их теоретико-числовые исследования. В значительной степени индийцам обязаны мы и введением отрицательных и иррациональных чисел. К сожалению, математические и астрономические труды индийцев, написанные в XV—XVII вв., и в частности такое замечательное открытие, как бесконечные ряды для арктангенса, синуса и косинуса, остались в свое время неизвестными за пределами Индии и были получены вновь европейцами. Несомненно, что вклад индийцев в развитие мировой математики был бы во много раз больше, если бы Индия не попала на несколько столетий под колониальное иго.