Интерполяционные формулы Ньютона

Московский государственный университет приборостроения и        информатики Сергиево-Посадский филиал

 

 

 
Реферат на тему: “Интерполяционные формулы Ньютона”

           Выполнила:  Бревчик Таисия Юрьевна

Студентка 2 курса группы ЭФ-2

Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2014 год.

1.Введение

2. Первая интерполяционная формула  Ньютона.

3. Вторая интерполяционная формула  Ньютона.

4. Заключение

5.Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методомслучайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

 

Рассмотрим систему несовпадающих точек   () из некоторой области  . Пусть значения функции   известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции   из заданного класса функций, что

• Точки   называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

• Пары   называют точками данных или базовыми точками.

• Разность между «соседними» значениями   — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

• Функцию   — интерполирующей функцией или интерполянтом.

 

 

 

Первая интерполяционная формула Ньютона.

 

  1. Описание задачи. Пусть для функции   заданы значения   для равноотстоящих значений независимой переменной:  ,  , где   - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином   степени не выше  , принимающий в точках   значения

 

                                                            , .                                             (1)

Условия (1) эквивалентны тому, что    при  .

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

.             (2)

Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома   не выше  , во-вторых,

   и     ,   .

Заметим, что при   формула (2) превращается в ряд Тейлора для функции  :

.

 

    Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём новую переменную   по формуле     ;   тогда получим:

 

         ,               (3)

где   представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки  , исходя из точки   . Это и есть окончательный видинтерполяционной формулы Ньютона.

 

     Формулу (3) выгодно использовать для интерполирования функции   в окрестности начального значения  , где   мало по абсолютной величине.

 

     Если дана неограниченная таблица значений функции  , то число   в интерполяционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом случае число   выбирают так, чтобы разность   была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение   можно принимать любое табличное значение аргумента  .

 

    Если таблица значений функции конечна, то число   ограничено, а именно:   не может быть больше числа значений  функции  , уменьшенного на единицу.

 

   Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции  находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.

 

     2. Пример.  Приняв шаг  , построить интерполяционный полином Ньютона для функции  , заданной таблицей

	1	1,05	1,1	1,15	1,2	1,25	1,3
	-3	-3,685	-4,445	-5,285	-6,207	-7,218	-8,321

 

 

            Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1).

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем   . Приняв  ,  , будем иметь:

,

или     ,

где    . Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

 

                                                                                       Таблица 1

1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3	-3 -3,685 -4,445 -5,285 -6,207 -7,218 -8,321	0,685 0,76 0,84 0,922 1,011 1,103	-0,075 -0,08 -0,082 -0,089 -0,092	0,005 0,002 0,007 0,003

 

Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например,  .Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например,   .

 

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

 

      Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции

, 

для равноотстоящих значений аргумента     ,  где   - шаг интерполяции. Построим полином следующего вида:

,

или, используя обобщённую степень, получаем:

 

         .         (1)

Тогда, при выполнении равенства  ,  ,  получим

 ,  .

Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

 

                   .               (2)

 

      Введём более удобную запись формулы (2). Пусть  , тогда   ,   и т. д. Подставив эти значения в формулу (2), получим:

 

  .    (3)

Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона. Для приближённого вычисления значений функции   полагают:

.

 

      Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции   для значений аргументов  , лежащих вне пределов таблицы. Если   и   близко к  , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём тогда    .  Если же   и   близко к  , то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причём  .  Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

 

      Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция интерполирования в узком смысле слова.

Пример. Приняв шаг  , построить интерполяционный полином Ньютона для функции  , заданной таблицей

 

 

	0,5	0,55	0,6	0,65	0,7	0,75	0,8
	0,875	0,7088	0,5361	0,3572	0,173	-0,0156	-0,2081

 

 

 

Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем   . Приняв  ,  , будем иметь:

,

или

,

где  .

 

 

Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

 

                                     

 

 

 

 

                                                  Таблица 1

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

 

Заключение

 

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

 

 

Список литературы:

 

1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное  пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.

2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные  методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.

3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.

4. К. Де Бор. Практическое руководство по  сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.

5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.