Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Исследование поведения функций

Нижегородский государственный технический университет им. Алексеева

Исследования поведения функций.

г. Нижний Новгород

Возрастание и убывание функции
Максимум и минимум функций
Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.
Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Асимптоты
Практическая часть
Литература

Возрастание и убывание функций.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной.

Функция называется возрастающей на интервале, если для любых двух точек из неравенства следует, что ;

Убывающей на интервале , если из неравенства следует, что

;

Невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .

Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция (рис 1)

; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

(1)

Теорема

1)Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке [a,b]не отрицательна, т.е. f’(x)≥0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]и дифференцируема в промежутке (a,b), причем f’(x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке [a,b].

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы.

Пусть f(x) возрастает на отрезке [a,b]. Придадим аргументу x приращение *x и рассмотрим отношение

. (1)

Так как f(x) - функция возрастающая, то при *x>0

И при *x<0.

В обоих случаях

(2)

А следовательно, ,

Т.е. f’(x)≥0 , что и требовалось доказать. (Если бы было f’(x)>0 , то при достаточно малых значениях *x отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2).)

Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f’(x)>0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a,b).

Рассмотрим два любых значения и , принадлежащих отрезку [a,b].

По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:

, < c < .

По условию f’(c)>0, следовательно, , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающей(дифференцируемой) функции, а именно –

Если f(x) убывает на отрезке [a,b], то f’(x)≤0 на этом отрезке. Если f’(x)<0 в промежутке (a,b), то f(x) убывает на отрезке[a,b]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [a,b] и дифференцируема всюду на (a,b).)

Рис.1

Замечание

Доказанная теорема выражает следующий геометрический факт. Если на отрезке [a,b] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой в каждой точке на этом отрезке образует с осью Оx острый угол * или - в отдельных точках - горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен:.

Если функция убывает на отрезке то угол наклона касательной – тупой ( или – в отдельных точках – касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен(рис. 1,б). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку её производной.

Пример.

Рассмотрим функцию . Её производная такова:

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

x>0, так что нужно решать неравенство . Отсюда, . Таким образом, функция f(x) возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при x выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает.

Максимум и минимум функций.

Определение максимума. Функция f(x) в точке имеет максимум(maximum), если значение функции в точке больше,чем её значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку . Иначе говоря, функция f(x) имеет максимум при x=, если при любых (как положительных, так и отрицательных) достаточно малых по абсолютной величине.

Определение минимума. Функция f(x)имеет минимум(minimum) при x=, если при любых (как положительных, так и отрицательных) достаточно малых по величине.

В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства.

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях x, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.
Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума , а в точке минимума – наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Так, на рис.3 изображена функция, определенная на отрезке[a,b], которая

При x= и x= имеет максимум,

При x=x= имеет минимум,

Рис.3

Но минимум функции при больше максимума функции при. При значение функции больше любого максимума функции на рассматриваемом отрезке.

Максимумы и минимумы функции называют экстремумами или экстремальными значениями функции.

Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке [a,b] в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений.

Теорема 1(необходимое условие существования экстремума).

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f’()=0.

Доказательство.

Предположим для определенности, что в точке x= функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях *x (*x≠0) имеет место

Но в таком случае знак отношения определяется знаком , а именно:

при

при .

Согласно определению производной имеем:

Если f(x) имеет производную при , то предел, стоящий справа,

Не зависит от того, кок стремится к нулю ( оставаясь положительным или отрицательным).

Но если , оставаясь отрицательным, то f’(.

Если же , оставаясь положительным, то f’(.
Так как f’( есть определенное число, не зависящее от способа стремления *x к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если f’(.

Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции.

Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция f(x) имеет производную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках параллельна оси Оx. Действительно, из того, что f’( , где * – угол между касательной и осью Оx, следует, что (рис.3).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f(x)имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при которых производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или минимум. Так, на рис. 3 изображена функция, у которой при x= производная обращается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в точках, где производная существует и равно нулю, либо в тех точках, где производная не существует.

Заметим что если производная не существует в какой либо точке (но существует в близлежащих точках ), то в этой точке производная терпит разрыв.

Значения аргумента, при которых производная обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из этого следует, что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критичной. Поэтому для разыскивания экстремумов функции сначала находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум или же не будет ни максимума, ни минимума.

Теорема 2( достаточные условия существования экстремума).

Пусть функция f(x) непрерывна в некоторам интервале содержащем критическую точку и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме,быть может, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x= функция имеет максимум.

Таким образом, если а)

То в точке функция имеет максимум;

Если б)

То в точке функция имеет минимум. При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполняться для всех значений x, достаточно близких к т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки .

Доказательство.

Предположим сначала, что производная меняет знак с плюса на минус, т.е. что для сех x, достаточно близких к точке , имеем:

Применяя теорему Лагранжа к разности f(x)-f(), получим f(x)-f()=f’(ξ)(x-),

Где ξ – точка, лежащая между x и .

Пусть ; тогда

ξ< , f’(ξ)>0, f’(ξ)(x-)<0

и , следовательно, f(x)-f()<0 или f(x)<f(). (1)

2)Пусть x> ; тогда

ξ > , f’(ξ)<0, f’(ξ)(x-)<0

и, следовательно, f(x)-f()<0 или f(x)<f(). (2)

Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений x, достаточно близких к , значения функции меньше, чем значения функции в точке . Следовательно, в точке функция f(x) имеет максимум.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.

Рис.4 наглядно иллюстрирует смысл теоремы 2.

рис.4

Пусть в точке x= имеем f’()=0 и для всех x, достаточно близких к точке , выполняются неравенства

Тогда при x< касательная к кривой образует с осью Оx острый угол – функция возрастает, а при x> касательная образует с осью Оx тупой угол – функция убывает, при x= функция переходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет максимум.

Если в точке имеем f’()=0 и для всех значений x, достаточно близких к точке , выполняются неравенства

То при x< касательная к криво образует с осью Оx тупой угол функция убывает, а при x> касательная к кривой образует острый угол – функция возрастает. При x= функция переходит от убывания к возрастанию, т.е. имеет минимум.

Если при x= имеем f’()=0 и для всех значений x достаточно близких к , выполняются неравенства

То функция возрастает как при x< , так и при x>. Следовательно, при x= функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Пример. Найти максимум и минимум функции y = x³ - 3x³ - 9x +11

Решение. Найдем производные первого и второго порядков:

f '(x) = 3x² - 6x -9 =3(x² - 2x -3),

f ''(x) = 6x - 6

Приравняем первую производную к нулю и найдем корни уравнения

x² - 2x -3 = 0

Получим

x₁ = -1, x₂ = 3

Подставив эти значения во вторую производную, будем иметь: f ''(-1) = -12 < 0, f ''(3) = 12 > 0, следовательно при x = -1 данная функция имеет максимум, при x = 3 - минимум. Найдем ординату точки максимума:

f(-1) = - 1 - 3 + 9 + 11 = 16

Таким образом, A(-1; 16) - точка максимума.

Найдем ординату точки минимума:

f(3) = -16

Точка B(3; -16) - точка минимума.

Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.

Пусть при производная функции обращается в ноль, т.е..Пусть, кроме того, вторая производная существует и непрерывна в некоторой окрестности точки. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть ; тогда при функция имеет максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы.

Пусть и

Так как, по условию непрерывна в некоторой окрестности точки , то, очевидно, найдётся некоторый малый отрезок, окружающий точку , во всех точках которого вторая производная будет отрицательна.

Так как есть первая производная от первой производной , то из условия

следует, что убывает на отрезке, содержащем точку. Но ;

следовательно, на этом отрезке, при имеем , а при имеем ,

т.е. производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, а это значит, что в точке функция имеет максимум. Первая часть теоремы доказана.

Вторая часть. Если. то во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку , но тогда на этом отрезке и, следовательно, возрастает. Так как то, значит, при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. функция имеет минимум при .

если в критической точке, то в этой точке может быть или максимум или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести через первую производную.

Пример. Исследовать на максимум и минимум функцию.

Решение. с помощью второй производной.

таким образом, этот способ решение не даёт. тогда находим

Следовательно, при х=1 функция не имеет ни максимума, ни минимума (рис 12).

Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.

Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения. Будем предполагать, что на данном отрезке функция имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка , то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеются несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

Итак, функция на отрезке достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке , то надо;

найти все максимумы на отрезке.
определить значения функции на концах отрезка, т.е. вычислить и ;
из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее. Оно и будет представлять собой наибольшее значение функции на отрезке.

Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения.

Пример.

Определить на отрезке []наибольшее и наименьшее значения функции .

1)Находим максимумы и минимумы функции на отрезке []: , , ,,

, тогда . Следовательно, в точке x=1 имеет место минимум: y(1)=1. Далее, . Следовательно, в точке имеет место максимум :.

Определяем значение функции на концах отрезка: , . Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке [] есть , а наименьшее значение есть . График рассматриваемой функции изображен на рис.13

Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора.

Если в некоторой точке имеем и, то в этой точке может быть либо максимум, либо минимум, либо нет ни того, ни другого. Для решения вопроса в этом случае нужно вести исследование первым способом, т. е. путем исследования знака первой производной слева и справа от точки .

Теперь покажем, что можно в этом случае исследование вести и с помощью формулы Тейлора.

Для большей общности предположим, что не только но и все производные до -го порядка включительно от функции обращаются в нуль при :

Предположим, далее, что имеет непрерывные производные до го порядка включительно в окрестности точки .

Напишем формулу Тейлора для, принимая во внимание равенства (1):

где — число, заключенное между и .

Так как непрерывна в окрестности точки а и , то найдется такое малое положительное число h, что при любом , удовлетворяющем неравенству

,будет. При этом если , то и во всех точках интервала будет ; если , то во всех точках этого интервала

будет .

Перепишем формулу (2) в виде

и рассмотрим различные частные случаи.

Первый случай, нечетное.

а) Пусть . Тогда найдется интервал , во всех точках которого -я производная отрицательна. Если есть точка этого интервала, то тоже находится между и и, следовательно. . Так как — четное число, то при

, и поэтому правая часть в формуле (2') отрицательна.

Следовательно, при во всех точках интервала имеем , а это значит, что при функция имеет максимум.

б) Пусть. Тогда при достаточно малом значении h во всех точках интервала имеет место . Следовательно, правая часть формулы (2') будет положительна, т. е. при во всех точках указанного интервала будет

, а это значит, что при функция имеет минимум.

Второй случай, четное.

Тогда нечетное и величина имеет разные знаки при и .

Если h достаточно мало по абсолютной величине, то -я производная во всех точках интервала сохраняет тот же знак, что и в точке а. Следовательно, f(x) — f(a) имеет разные знаки при и при . Но это значит, что при нет ни максимума, ни минимума.

Заметим, что если при четном , то для и для .

Если же при четном , то для и для .

Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.

Если при имеем

и первая не обращающаяся в нуль производная есть производная четного порядка, то в точке а

имеет максимум, если ;

имеет минимум, если .

Если же первая не обращающаяся в нуль производная есть производная нечетного порядка, то в точке а функция не имеет ни максимума, ни минимума. При этом

возрастает, если ;

убывает, если

Пример.Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найдем критические значения функции

Из уравнения получаем единственную критическую точку x=1 (так как данное уравнение имеет лишь один действительный корень).

Исследуем характер критической точки x=1:

при x=1,

при любом x.

Следовательно, при x=1 функция f(x) имеет минимум.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Рассмотрим на плоскости кривую, являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции

Определение. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз — вогнутой.

На рис. 15 показана кривая, выпуклая на интервале и вогнутая на интервале .

Теорема 1. Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т.е., то кривая на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Доказательство. Возьмём в интервале произвольную точку (рис. 15) и проведём касательную к кривой в точке с абсциссой . Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале лежат ниже этой касательной, т.п. что ордината любой точки кривой меньше ординаты касательной при одном и том же значении . Уравнение кривой имеет вид

Уравнение же касательной к кривой в точке имеет вид

или

Из уравнений (1) и (2) следует, что разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении равна

Применяя теорему Лагранжа к разности , получим

(где лежит между и ), или

К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему Лагранжа; тогда

(где лежит между и .

Рассмотрим сначала тот случай, когда . В этом случае; так как

, и так как, кроме того, по условию, , то из равенства (3) следует, что

Рассмотрим теперь случай, когда . В этом случае и , , а так как по условию , то из равенства (3) следует, .

Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения и на интервале . А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана.

Аналогичным образом доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, т. е. , то кривая на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

Замечание. Содержание теорем 1 и 2 можно иллюстрировать геометрически. Рассмотрим кривую , обращенную выпуклостью вверх на интервале (рис. 16). Производная равна тангенсу угла а наклона касательной в точке с абсциссой, т. е. . Поэтому ;. Если для всех на интервале , то это значит, что убывает с возрастанием . Геометрически нагляден тот факт, что если убывает с возрастанием , то соответствующая кривая выпукла. Аналитическим доказательством этого факта и является теорема 1.

Подобным же образом иллюстрируется геометрически и теорема 2 (рис. 17).

Пример 1.Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, заданной уравнением y=2- .

Решение. Вторая производная y’’= -2<0 для всех значений x.Следовательно, кривая всюду обращена выпуклостью вверх.(рис.18).

Пример 2.Кривая задана уравнением y=. Так как y’’= > 0 для всех значений x, то , следовательно, ривая всюду вогнута, т.е. обращена выпуклостью вниз (рис.19).

Пример 3. Кривая определяется уравнением y=. Так как y’’=6x, то y’’ < 0 при x<0 и y’’ > 0 при x>0 . Следовательно, при x<0 кривая обращена выпуклостью вверх, а при x>0 – выпуклостью вниз(рис.20)

Определение . Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

На рис. 20, и 21 точки О, А и В - точки перегиба.

Очевидно, ,что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны — над нею.

Установим теперь достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.

Доказательство. 1) Пусть при и при.

Тогда при кривая обращена выпуклостью вверх и при — выпуклостью вниз. Следовательно, точка А кривой с абсциссой есть точка перегиба (рис. 21).

2)Если при и при , то при кривая обращена выпуклостью вниз, а при — выпуклостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абсциссой есть точка перегиба (рис. 22).

Асимптоты.

Очень часто приходится исследовать форму кривой , а значит, и характер изменения соответствующей функция при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее

переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рис. 26 и 27).

Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если

, или , или , то прямая

есть асимптота кривой ; и обратно, если прямая есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения , при приближении к которым функция стремится к бесконечности. Тогда прямая будет вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Пусть кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид

y=kx + b (1)

Определим числа k и b (рис. 31). Пусть М точка, лежащая на кривой, и N — точка, лежащая на асимптоте. Длина отрезка МР равна расстоянию от точки М до асимптоты. По условию . (2)

Если обозначим через угол наклона к оси Оx, то из найдем

Так как — постоянный угол (не равный ), то в силу предыдущего равенства

, (2')

Х-++ 00

и наоборот, из равенства (2') следует равенство (2). Но

и равенство (2') принимает вид . (3)

Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), наоборот, если при постоянных k и b выполняется равенство (3), то прямая y=kx + b есть асимптота. Определим теперь k и b. Вынося за скобки в равенстве (3), получаем:

Так как , то должно выполняться равенство

При b постоянном . Следовательно,,

или k, (4)

Зная k, из равенства (3) находим b:

. (5)

Итак, если прямая у =kx+b есть асимптота, то k и b находятся по формулам (4) и (5). Обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая у =kx+b есть асимптота.

Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет.

Заметим, что мы проводили исследование применительно к рис. 31 при , но все рассуждения справедливы и для случая .

Практическая часть.

1.Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью производных высших порядков .

В точке нет ни максимума, ни минимума и функция убывает. Так как производная нечётного порядка неравна нулю, это значит, что - точка перегиба функции

2.Провести полное исследование функций и построить их графики

а)

1)Область определения

2)Точки разрыва

3) Интервалы возрастания и убывания

Функция убывает при

Возрастает при

4)Точки максимума и минимума

– точка минимума

5)Области выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба

D<0 - точек перегиба нет



выпукла⌢	вогнута⌣	выпукла ⌢

6)Асимптоты

а) вертикальные

б)наклонные

– горизонтальная асимптота

7)График

б)

1)Область определения

2)Точки разрыва

Нет точек разрыва

3)Интервалы возрастания и убывания

Функция возрастает при

убывает при

Исследование поведения функций 📙 Реферат → 🆔 106261