Источники и классификация погрешностей

Источники и классификация  погрешностей

1.2.1. Погрешности данных, метода и вычислений

Почти всегда используемые на практике решения  математических задач имеют некоторые  погрешности.

Погрешность решения задачи обуславливается  следующими причинами:

1. Математическое описание задачи  является неточным, в частности,  неточно заданы исходные данные  описания.

2. Применяемый для решения метод  часто не является точным: получение  точного решения задачи требует  неограниченного или неприемлемо  большого числа арифметических  операций, и поэтому вместо получения  точного решения приходится прибегать  к приближенному.

3. При выполнении арифметических  операций на ЭВМ или любым  другим образом, как правило,  производятся округления. (Это же  относится к вводу чисел в  память ЭВМ и выводу полученных  результатов.)

Погрешности, соответствующие этим причинам, называются:

· неустранимая погрешность,

· погрешность метода,

· вычислительная погрешность.

1.3. Абсолютная и относительная  погрешности вычисления

Если  - точное значение некоторой величины, а   - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения   называют обычно некоторую величину  , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

 

 

Относительной погрешностью называют некоторую величину  , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

Относительную погрешность часто выражают в  процентах. Она дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине.

1.4. Погрешности арифметических  операций.

1.4.1. Погрешность вычисления  значений функции.

Пусть   непрерывно дифференцируемая функция,

 - приближенные значения ее аргументов, для которых

 - известные абсолютные погрешности.

Для погрешности приближенного значения функции   по формуле Лагранжа получаем

 , где 

Заменяя   , получаем

Оценка  погрешности соответственно:

 , где 

или   , где 

1.4.2. Погрешность суммы

Пусть задана функция 

Тогда  ,  .

Для абсолютной погрешности получаем

.

Относительная погрешность

.

Пусть  ,  , тогда   , т.е. при сложении приближенных величин относительная погрешность не возрастает.

1.4.3. Погрешность разности

Пусть задана функция 

Тогда аналогично предыдущему абсолютная погрешность

.

Для относительной погрешности имеем  формулу

.

Отсюда  следует, что если приближенные значения   и   близки друг к другу, то относительная погрешность их разности  может оказаться намного больше   и  .

1.4.4. Погрешность произведения

Пусть задана функция 

Тогда абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

.

1.4.5. Погрешность частного

Пусть задана функция 

Тогда абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

1.5. Обратная задача оценки  погрешности

Иногда  возникает задача определения допустимой погрешности аргументов, при которой  погрешность значений функции будет  не более заданной величины  .

Используем  ранее полученное неравенство

.

Должно  быть   .

При n=1 вопрос решается однозначно:

При n>1 возможны разные подходы:

1. Считать погрешности всех аргументов  одинаковыми

Тогда получаем   , следовательно 

2. Считать, что вклад погрешности  каждого аргумента в погрешность  результата одинаков.    , тогда

Если  для разных аргументов достижение определенной точности их задания существенно  различается, то можно ввести функцию  стоимости   затрат на задание точки   с заданными абсолютными погрешностями   и искать ее минимум в области

 ,